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\(यदि (2^4\times3^2\times5) किसी संख्या का लघुत्तम समापवर्त्य है और महत्तम समापवर्तक (2^2\times3) है, तो (\frac{\)लघुत्तम समापवर्त्य}{महत्तम समापवर्तक}) क्या होगा?
अनुपात में लघुत्तम समापवर्त्य को महत्तम समापवर्तक से भाग देना है। / The ratio means dividing LCM by HCF.
Step 2
Why this answer is correct
समान आधारों की घातें घटाएँ: \(2^{4-2}\times3^{2-1}\times5=2^2\times3\times5\)। / Subtract powers of the same bases: \(2^{4-2}\times3^{2-1}\times5=2^2\times3\times5\).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य घातों में भाग का नियम याद रखें। / Remember the exponent rule for division.
\(2160=2^4\times 3^3\times 5\) और \(3780=2^2\times 3^3\times 5\times 7\)। / \(2160=2^4\times 3^3\times 5\) and \(3780=2^2\times 3^3\times 5\times 7\).
Step 2
Why this answer is correct
महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य गुणनखंडों के छोटे घातांक लिए जाते हैं, इसलिए \(2^2\times 3^3\times 5=540\)। / For HCF, take the smaller exponents of common prime factors, so \(2^2\times 3^3\times 5=540\).
Step 3
Exam Tip
ऐसी गणना में छोटे घातांक चुनना न भूलें। / In such questions, carefully choose the smaller powers.
संख्याओं को (42m) और (42n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (42m) and (42n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(42mn=2772), इसलिए \(mn=66=2\times3\times11\)। तीन अलग अभाज्य गुणनखंडों को दो समूहों में बाँटने से (4) अव्यवस्थित जोड़े मिलते हैं। / (42mn=2772), so \(mn=66=2\times3\times11\). Splitting three distinct prime factors into two groups gives (4) unordered pairs.
Step 3
Exam Tip
जोड़ों की गिनती में यह जरूर देखें कि (m) और (n) सहाभाज्य रहें। / While counting pairs, make sure (m) and (n) remain coprime.
यदि दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक \(2^2\times 3\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times 3^3\times 5\) है, तो दोनों संख्याओं के गुणनफल में (2) का घातांक कितना होगा?
दो संख्याओं का गुणनफल उनके महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। / For two numbers, product of the numbers equals HCF times LCM.
Step 2
Why this answer is correct
दूसरी संख्या \(=\frac{18\times 540}{90}=108\) होगी। / The other number \(=\frac{18\times 540}{90}=108\).
Step 3
Exam Tip
यह सूत्र केवल दो संख्याओं के लिए सीधे लागू करें। / Apply this relation directly only for two numbers.
\(64=2^6\) और \(5120=2^{10}\times5\) है। / \(64=2^6\) and \(5120=2^{10}\times5\).
Step 2
Why this answer is correct
गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल है, इसलिए (2) की घात (6+10=16) होगी। / Product equals HCF times LCM, so the power of (2) is (6+10=16).
Step 3
Exam Tip
समान आधारों के गुणन में घातें जोड़ें। / Add exponents when multiplying powers with the same base.
\(32=2^5\) और \(1536=2^9\times3\) है। / \(32=2^5\) and \(1536=2^9\times3\).
Step 2
Why this answer is correct
गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल है, इसलिए (2) की घात (5+9=14) होगी। / Product equals HCF times LCM, so the power of (2) is (5+9=14).
Step 3
Exam Tip
समान आधारों के गुणन में घातें जोड़ें। / Add exponents when multiplying powers with the same base.
दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल होता है। / Product of two numbers equals HCF times LCM.
Step 2
Why this answer is correct
(11) केवल लघुत्तम समापवर्त्य में \(11^1\) के रूप में है, इसलिए गुणनफल में इसकी घात (1) होगी। / (11) appears only in the LCM as \(11^1\), so its power in the product is (1).
Step 3
Exam Tip
गुणन में समान अभाज्य की घातें जोड़ी जाती हैं। / In multiplication, add powers of the same prime.
दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल होता है। / Product of two numbers equals HCF times LCM.
Step 2
Why this answer is correct
(7) केवल लघुत्तम समापवर्त्य में \(7^1\) के रूप में है, इसलिए गुणनफल में इसकी घात (1) होगी। / (7) appears only in the LCM as \(7^1\), so its power in the product is (1).
Step 3
Exam Tip
गुणन में समान अभाज्य की घातें जोड़ी जाती हैं। / In multiplication, add exponents of the same prime.
\(32=2^5\) और \(768=2^8\times3\) है। / \(32=2^5\) and \(768=2^8\times3\).
Step 2
Why this answer is correct
गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए (2) की घात (5+8=13) होगी। / Product (=) HCF \(\times\) LCM, so the power of (2) is (5+8=13).
Step 3
Exam Tip
समान आधार की घातें गुणा में जुड़ती हैं। / Exponents with the same base add during multiplication.
\(32=2^5\) और \(768=2^8\times3\) है। / \(32=2^5\) and \(768=2^8\times3\).
Step 2
Why this answer is correct
दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल है, इसलिए (2) की घात (5+8=13) होनी चाहिए। / Product equals HCF times LCM, so the power of (2) should be (5+8=13).
Step 3
Exam Tip
दिए विकल्पों से सावधान रहें और घातों को जोड़ें। / Add exponents of the same base carefully.
यदि दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3^3\times5\) और महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3\) है, तो दोनों संख्याओं के गुणनफल में (2) की घात क्या होगी?
जब दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) हो, तो वे सह-अभाज्य होती हैं। / If the HCF of two numbers is (1), the numbers are co-prime.
Step 2
Why this answer is correct
दो संख्याओं में गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए \(7429=1\times\) लघुत्तम समापवर्त्य। अतः लघुत्तम समापवर्त्य (7429) है। / For two numbers, product (=) HCF \(\times\) LCM, so \(7429=1\times\) LCM. Hence the LCM is (7429).
Step 3
Exam Tip
सह-अभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य उनके गुणनफल के बराबर होता है। / The LCM of co-prime numbers equals their product.
\(420=2^2\times3\times5\times7\), \(660=2^2\times3\times5\times11\), \(924=2^2\times3\times7\times11\) है। / \(420=2^2\times3\times5\times7\), \(660=2^2\times3\times5\times11\), and \(924=2^2\times3\times7\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
\(H=2^2\times3=12\) और \(L=2^2\times3\times5\times7\times11=4620\), इसलिए \(L\div H=385\) है। / \(H=2^2\times3=12\) and \(L=2^2\times3\times5\times7\times11=4620\), so \(L\div H=385\).
Step 3
Exam Tip
तीन संख्याओं में पहले साझा और फिर सभी अलग अभाज्य देखें। / For three numbers, check common primes first and then all distinct primes.
\(330=2\times3\times5\times11\), \(462=2\times3\times7\times11\), \(770=2\times5\times7\times11\) है। / \(330=2\times3\times5\times11\), \(462=2\times3\times7\times11\), and \(770=2\times5\times7\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
\(H=2\times11=22\) और \(L=2\times3\times5\times7\times11=2310\), इसलिए \(L\div H=105\) है। / \(H=2\times11=22\) and \(L=2\times3\times5\times7\times11=2310\), so \(L\div H=105\).
Step 3
Exam Tip
तीन संख्याओं में पहले साझा और फिर सभी भिन्न अभाज्य देखें। / For three numbers, first check common primes and then all distinct primes.
\(252=2^2\times3^2\times7\), \(315=3^2\times5\times7\), \(420=2^2\times3\times5\times7\) है। / \(252=2^2\times3^2\times7\), \(315=3^2\times5\times7\), and \(420=2^2\times3\times5\times7\).
Step 2
Why this answer is correct
\(H=3\times7=21\) और \(L=2^2\times3^2\times5\times7=1260\), इसलिए \(L\div H=60\) है। / \(H=3\times7=21\) and \(L=2^2\times3^2\times5\times7=1260\), so \(L\div H=60\).
Step 3
Exam Tip
तीन संख्याओं में महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य अलग-अलग नियमों से निकालें। / For three numbers, find HCF and LCM by their separate rules.
यदि \(2^4\times3^7\times5\) और \(2^6\times3^3\times5^4\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (3) की घात और (H) में (3) की घात क्रमशः क्या होंगी?
यदि \(2^6\times3^2\times5^4\) और \(2^3\times3^5\times5\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (5) की घात और (H) में (5) की घात क्रमशः क्या होंगी?
यदि \(2^6\times3^2\times5\) और \(2^3\times3^6\times5^2\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (3) की घात और (H) में (3) की घात क्रमशः क्या होंगी?
यदि \(2^8\times3^2\times5\) और \(2^5\times3^6\times5^4\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (5) की घात और (H) में (5) की घात क्रमशः क्या होंगी?
यदि \(2^5\times3^2\times5\) और \(2^2\times3^5\times5^2\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (3) की घात और (H) में (3) की घात क्रमशः क्या होंगी?
यदि \(2^7\times3^2\times5\) और \(2^4\times3^5\times5^3\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (5) की घात और (H) में (5) की घात क्रमशः क्या होंगी?
यदि \(2^7\times3^2\times5\) और \(2^5\times3^4\times5^3\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (5) की घात और (H) में (5) की घात क्रमशः क्या होंगी?
यदि \(2^6\times3^2\times5\) और \(2^4\times3^5\times5^2\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (2) की घात और (H) में (2) की घात क्रमशः क्या होंगी?
A. (a) और (b) का गुणनफल (30) और वे सहाभाज्य होंगे/Product of (a) and (b) is (30) and they are coprime
Step 1
Concept
यदि महत्तम समापवर्तक (30) है, तो संख्याएँ (30a) और (30b) लिखी जा सकती हैं जहाँ (a) और (b) सहाभाज्य होते हैं। / If HCF is (30), the numbers can be written as (30a) and (30b), where (a) and (b) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
लघुत्तम समापवर्त्य (30ab=900), इसलिए (ab=30)। / LCM becomes (30ab=900), so (ab=30).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में महत्तम समापवर्तक को बाहर निकालकर सोचें। / Factor out the HCF to simplify such problems.
दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य (=) दोनों संख्याओं का गुणनफल होता है। / For two numbers, HCF \(\times\) LCM equals the product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यहाँ यह गुणनफल \(288\times432\) के बराबर होगा। / Therefore, here the product equals \(288\times432\).
Step 3
Exam Tip
यह संबंध दो संख्याओं पर सीधे लागू करें। / Apply this relation directly for two numbers.
दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य (=) दोनों संख्याओं का गुणनफल होता है। / For two numbers, HCF \(\times\) LCM equals the product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यहाँ गुणनफल \(216\times360\) के बराबर होगा। / So here the product equals \(216\times360\).
Step 3
Exam Tip
यह सूत्र केवल दो संख्याओं पर सीधे लागू करें। / Apply this formula directly only for two numbers.
यदि \(H=2^2\times3\times5\) और \(L=2^6\times3^3\times5^2\times7\) क्रमशः दो संख्याओं के महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य हैं, तो \(\frac{L}{H}\) क्या होगा?
\(\frac{L}{H}\) में लघुत्तम समापवर्त्य को महत्तम समापवर्तक से भाग देते हैं। / In \(\frac{L}{H}\), divide the LCM by the HCF.
Step 2
Why this answer is correct
समान आधारों की घातें घटाएँ: \(2^{6-2}\times3^{3-1}\times5^{2-1}\times7=2^4\times3^2\times5\times7\)। / Subtract powers of the same bases: \(2^{6-2}\times3^{3-1}\times5^{2-1}\times7=2^4\times3^2\times5\times7\).
Step 3
Exam Tip
घातों वाले भाग में घटाव का नियम लगाएँ। / Use exponent subtraction in division.
\(\frac{L}{H}\) में लघुत्तम समापवर्त्य को महत्तम समापवर्तक से भाग देते हैं। / In \(\frac{L}{H}\), divide the LCM by the HCF.
Step 2
Why this answer is correct
समान आधारों की घातें घटाएँ: \(2^{5-3}\times3^{4-2}\times5=2^2\times3^2\times5\)। / Subtract powers of the same bases: \(2^{5-3}\times3^{4-2}\times5=2^2\times3^2\times5\).
Step 3
Exam Tip
घातों वाले भाग में घटाव का नियम याद रखें। / Remember subtraction of exponents during division.
B. दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर/Equal to the product of the two numbers
Step 1
Concept
दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य (=) दोनों संख्याओं का गुणनफल होता है। / For two numbers, HCF \(\times\) LCM equals the product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (LH) दोनों दी गई संख्याओं के गुणनफल के बराबर होगा। / Therefore (LH) equals the product of the two given numbers.
Step 3
Exam Tip
यह संबंध केवल दो संख्याओं के लिए सीधे प्रयोग करें। / Use this relation directly only for two numbers.
समान अभाज्य गुणनखंड (3) और (11) हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक (33) है। / The common prime factors are (3) and (11), so HCF (=33).
Step 2
Why this answer is correct
लघुत्तम समापवर्त्य \(3\times5\times7\times11=1155\) है, इसलिए योग (33+1155=1188) है। / LCM \(=3\times5\times7\times11=1155\), so the sum is (33+1155=1188).
Step 3
Exam Tip
योग पूछे जाने पर दोनों मान अलग-अलग निकालें। / When sum is asked, find both values separately.
A. दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर/Equal to the product of the two numbers
Step 1
Concept
दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य (=) दोनों संख्याओं का गुणनफल होता है। / For two numbers, HCF \(\times\) LCM (=) product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
यह संबंध केवल दो संख्याओं के लिए सीधे लागू होता है। / This direct relation is for two numbers.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में इस सूत्र को तीन संख्याओं पर बिना जाँच के लागू न करें। / Do not apply this formula blindly to three numbers in exams.
दो संख्याओं में महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य (=) दोनों संख्याओं का गुणनफल। / For two numbers, HCF \(\times\) LCM equals the product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(54\times96=5184\)। / \(54\times96=5184\).
Step 3
Exam Tip
यह छोटा तरीका समय बचाता है। / This shortcut saves time in exams.
दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य (=) दोनों संख्याओं का गुणनफल। / For two numbers, HCF \(\times\) LCM equals the product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(32\times72=2304\)। / \(32\times72=2304\).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्न में अलग-अलग महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य निकालने की जरूरत नहीं होती। / In such questions, finding HCF and LCM separately is not necessary.
दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। / For two numbers, HCF \(\times\) LCM equals the product of the numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(24\times36=864\)। / \(24\times36=864\).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्न में अलग से दोनों मान निकालना जरूरी नहीं होता। / In such questions, you need not always find HCF and LCM separately.
A. ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव हैं/Such whole numbers are possible
Step 1
Concept
महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का पूर्ण भाजक होना चाहिए। / The HCF must exactly divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(4620\div84=55\) पूर्णांक है, इसलिए ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव हो सकती हैं। / \(4620\div84=55\), which is a whole number, so such whole numbers can exist.
Step 3
Exam Tip
अस्तित्व जाँचने में सबसे पहले यह आवश्यक शर्त देखें। / For existence checks, first test this necessary condition.
\(78=26\times3\) और \(286=26\times11\) हैं। / \(78=26\times3\) and \(286=26\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
(3) और (11) सहाभाज्य हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक (26) और लघुत्तम समापवर्त्य \(26\times3\times11=858\) है। / Since (3) and (11) are coprime, HCF is (26) and LCM is \(26\times3\times11=858\).
Step 3
Exam Tip
विकल्पों में महत्तम समापवर्तक बाहर निकालकर बची संख्याओं की सहाभाज्यता देखें। / In options, factor out the HCF and check whether the remaining numbers are coprime.
B. ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव नहीं हैं/Such whole numbers are not possible
Step 1
Concept
महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का पूर्ण भाजक होना चाहिए। / The HCF must exactly divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
(990) को (44) से भाग देने पर पूर्णांक नहीं मिलता, इसलिए ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव नहीं हैं। / (990) is not exactly divisible by (44), so such whole numbers are not possible.
Step 3
Exam Tip
जोड़ा खोजने से पहले यह आवश्यक शर्त जाँचें। / Check this necessary condition before searching for pairs.
संख्याओं को (18m) और (18n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (18m) and (18n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(18mn=6930), इसलिए \(mn=385=5\times7\times11\)। तीन अलग अभाज्य गुणनखंडों से (4) अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े बनते हैं। / (18mn=6930), so \(mn=385=5\times7\times11\). Three distinct prime factors give (4) unordered coprime pairs.
Step 3
Exam Tip
जोड़े गिनते समय क्रम को दो बार न गिनें। / Do not count the reversed order again.
संख्याओं को (30m) और (30n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (30m) and (30n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(30mn=2730), इसलिए \(mn=91=7\times13\); अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े ((1,91)) और ((7,13)) हैं। / (30mn=2730), so \(mn=91=7\times13\); the unordered coprime pairs are ((1,91)) and ((7,13)).
Step 3
Exam Tip
जोड़ों की गिनती में उल्टे क्रम को अलग न गिनें। / Do not count reversed order as a new pair.
A. ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव हैं/Such whole numbers are possible
Step 1
Concept
महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का पूर्ण भाजक होना चाहिए। / The HCF must exactly divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(1248\div96=13\) पूर्णांक है, इसलिए ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव हो सकती हैं। / \(1248\div96=13\), which is a whole number, so such whole numbers can exist.
Step 3
Exam Tip
अस्तित्व जाँचने में सबसे पहले यह आवश्यक शर्त देखें। / For existence checks, first test this necessary condition.
\(286=26\times11\) और \(260=26\times10\) हैं। / \(286=26\times11\) and \(260=26\times10\).
Step 2
Why this answer is correct
(11) और (10) सहाभाज्य हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक (26) और लघुत्तम समापवर्त्य \(26\times11\times10=2860\) है। / Since (11) and (10) are coprime, HCF is (26) and LCM is \(26\times11\times10=2860\).
Step 3
Exam Tip
विकल्प में महत्तम समापवर्तक बाहर निकालकर बची संख्याओं की सहाभाज्यता जाँचें। / In options, factor out the HCF and check if the remaining numbers are coprime.
A. ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव हैं/Such whole numbers are possible
Step 1
Concept
महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का पूर्ण भाजक होना चाहिए। / The HCF must exactly divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(1950\div75=26\) पूर्णांक है, इसलिए ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव हो सकती हैं। / \(1950\div75=26\), which is a whole number, so such whole numbers can exist.
Step 3
Exam Tip
अस्तित्व जाँच में पहले यह भागफल देखें। / For existence checks, first inspect this quotient.
संख्याओं को (21m) और (21n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (21m) and (21n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(21mn=2310), इसलिए \(mn=110=2\times5\times11\)। तीन अलग अभाज्य गुणनखंडों से (4) अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े बनते हैं। / (21mn=2310), so \(mn=110=2\times5\times11\). Three distinct prime factors give (4) unordered coprime pairs.
Step 3
Exam Tip
जोड़े गिनते समय क्रम को दो बार न गिनें। / Do not count the reversed order again.
संख्याओं को (48m) और (48n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (48m) and (48n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(48mn=2112), इसलिए \(mn=44=2^2\times11\); सहाभाज्य अव्यवस्थित जोड़े ((1,44)) और ((4,11)) हैं, इसलिए संख्या (2) है। / (48mn=2112), so \(mn=44=2^2\times11\); the unordered coprime pairs are ((1,44)) and ((4,11)), so the count is (2).
Step 3
Exam Tip
समान अभाज्य गुणनखंड दोनों भागों में न जाने दें। / Do not split the same prime factor into both parts.
\(154=22\times7\) और \(264=22\times12\) हैं। / \(154=22\times7\) and \(264=22\times12\).
Step 2
Why this answer is correct
(7) और (12) सहाभाज्य हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक (22) और लघुत्तम समापवर्त्य \(22\times7\times12=1848\) है। / Since (7) and (12) are coprime, HCF is (22) and LCM is \(22\times7\times12=1848\).
Step 3
Exam Tip
विकल्पों में महत्तम समापवर्तक बाहर निकालकर बची संख्याओं की सहाभाज्यता देखें। / In options, factor out the HCF and check whether the remaining numbers are coprime.
संख्याओं को (15m) और (15n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (15m) and (15n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(15mn=420), इसलिए \(mn=28=2^2\times7\); सहाभाज्य अव्यवस्थित जोड़े ((1,28)) और ((4,7)) हैं, इसलिए संख्या (2) है। / (15mn=420), so \(mn=28=2^2\times7\); the unordered coprime pairs are ((1,28)) and ((4,7)), so the count is (2).
Step 3
Exam Tip
(m) और (n) में समान अभाज्य नहीं आना चाहिए। / (m) and (n) must not share a prime factor.
संख्याओं को (18m) और (18n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (18m) and (18n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(18mn=1260), इसलिए \(mn=70=2\times5\times7\); इसके अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े (4) बनते हैं। / (18mn=1260), so \(mn=70=2\times5\times7\); this gives (4) unordered coprime factor pairs.
Step 3
Exam Tip
वर्गमुक्त गुणनफल में अव्यवस्थित जोड़े गिनते समय अभाज्य गुणनखंडों को दो भागों में बाँटें। / For a square-free product, split prime factors into two groups to count unordered pairs.
A. ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव हैं/Such whole numbers are possible
Step 1
Concept
दो पूर्ण संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का पूर्ण भाजक होना चाहिए। / For two whole numbers, the HCF must exactly divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(1320\div24=55\) पूर्णांक है, इसलिए ऐसी संख्याएँ संभव हो सकती हैं। / \(1320\div24=55\), which is a whole number, so such numbers can exist.
Step 3
Exam Tip
अस्तित्व जाँचने के लिए पहले यही divisibility शर्त देखें। / For existence checks, test this divisibility condition first.
A. ऐसी दो पूर्ण संख्याएँ संभव हैं/Such two whole numbers are possible
Step 1
Concept
महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का पूर्ण भाजक होना चाहिए। / The HCF must exactly divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(420\div15=28\) पूर्णांक है, इसलिए ऐसी दो पूर्ण संख्याएँ संभव हो सकती हैं। / \(420\div15=28\), which is a whole number, so such two whole numbers can exist.
Step 3
Exam Tip
अस्तित्व जाँचते समय पहले विभाज्यता देखें। / For existence checks, test divisibility first.
\(दो संख्याओं के लिए लघुत्तम समापवर्त्य (=\frac{\)पहली संख्या\(\times\)दूसरी संख्या}{महत्तम समापवर्तक}) होता है। \(/ For two numbers, LCM (=\frac{\)first number\(\times\)second number}{HCF}).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{154\times231}{77}=462\) है। / \(\frac{154\times231}{77}=462\).
Step 3
Exam Tip
पहले \(154\div77=2\) करके गणना तेज करें। / First calculate \(154\div77=2\) for a quicker solution.
