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(5) स्वरों को एक ब्लॉक मानकर \(4!\cdot5!=2880\) व्यवस्थाएं मिलती हैं। परीक्षा में साथ रहने की शर्त में ब्लॉक विधि लगाएं। / Treat the (5) vowels as one block to get \(4!\cdot5!=2880\) arrangements. In exams, use the block method for together conditions.
पहले बिना (R) के अक्षरों की \(\frac{5!}{2!}=60\) व्यवस्थाएं बनती हैं और (6) gaps में दो (R) \(\binom{6}{2}\) तरीकों से रखे जाते हैं। कुल \(60\cdot15=900\) है। / First arrange the non-(R) letters in \(\frac{5!}{2!}=60\) ways and place two (R)'s in \(\binom{6}{2}\) gaps. The total is \(60\cdot15=900\).
अंतिम अंक (0) या (5) होगा और दोनों cases अलग-अलग गिनने होंगे। कुल \(^{7}P_4+6\cdot{}^{6}P_3=840+420=1260\) है। / The last digit is (0) or (5), and both cases must be counted separately. The total is \(^{7}P_4+6\cdot{}^{6}P_3=840+420=1260\).
कुल गोल व्यवस्थाएं (7!) हैं और साथ बैठने वाली \(6!\cdot2!\) हैं। इसलिए उत्तर (5040-1440=3600) है। / Total circular arrangements are (7!), and together cases are \(6!\cdot2!\). Hence the answer is (5040-1440=3600).
दो (N) को एक ब्लॉक मानें तो इकाइयां (NN,B,A,A,A) हैं। संख्या \(\frac{5!}{3!}=20\) होगी। / Treat the two (N)'s as one block, giving units (NN,B,A,A,A). The number is \(\frac{5!}{3!}=20\).
पहले पुरुषों को गोल में ((5-1)!) तरीकों से बैठाएं और फिर महिलाओं को (5!) तरीकों से gaps में रखें। कुल \(4!\cdot5!=2880\) है। / First seat the men around the circle in ((5-1)!) ways and then place the women in gaps in (5!) ways. The total is \(4!\cdot5!=2880\).
इकाई स्थान (0) हो तो \(6\cdot5\cdot4\) और इकाई स्थान (2,4,6) हो तो \(3\cdot5\cdot5\cdot4\) तरीके हैं। कुल (120+300=420) है। / If the unit digit is (0), there are \(6\cdot5\cdot4\) ways, and if it is (2,4,6), there are \(3\cdot5\cdot5\cdot4\) ways. The total is (120+300=420).
कुल (7!) से साथ वाली \(6!\cdot2!\) और दोनों सिरों वाली \(2!\cdot5!\) व्यवस्थाएं घटाएं। overlap साथ नहीं हो सकता, इसलिए (5040-1440-240=3360) मिलता है। / Subtract together cases \(6!\cdot2!\) and both-end cases \(2!\cdot5!\) from (7!). There is no overlap because both-end positions are not together, so the result is (5040-1440-240=3360).
(9) अक्षरों में (M,T,E) दो-दो बार हैं, इसलिए \(\frac{9!}{2!2!2!}=45360\)। परीक्षा में हर repeated letter का factorial हर में रखें। / There are (9) letters with (M,T,E) each repeated twice, so \(\frac{9!}{2!2!2!}=45360\). In exams, put each repeated letter factorial in the denominator.
विशेष झंडे का स्थान (5) तरीकों से चुनें और बाकी (4) स्थान (8) झंडों से \(^{8}P_4\) तरीकों से भरें। कुल \(5\cdot{}^{8}P_4=8400\) है। / Choose the position of the particular flag in (5) ways and fill the other (4) positions from (8) flags in \(^{8}P_4\) ways. The total is \(5\cdot{}^{8}P_4=8400\).
(6) अलग-अलग गणित और (4) अलग-अलग विज्ञान की पुस्तकों को पंक्ति में ऐसे कितने तरीकों से रखें कि विज्ञान की सभी पुस्तकें साथ हों लेकिन गणित की पुस्तकें जरूरी नहीं?
विज्ञान की (4) पुस्तकों को एक ब्लॉक मानें, तब (7) इकाइयां हैं। कुल \(7!\cdot4!=120960\) है। / Treat the (4) science books as one block, giving (7) units. The total is \(7!\cdot4!=120960\).
पहला अंक (5,6,7,8) होना चाहिए और अंतिम अंक विषम होना चाहिए। cases गिनने पर कुल (900) संख्याएं मिलती हैं। / The first digit must be (5,6,7,8), and the last digit must be odd. Counting the cases gives (900) numbers.
पहले (5) लोगों को \(\binom{8}{5}\) तरीकों से चुनें और फिर गोल में ((5-1)!) तरीकों से बैठाएं। कुल \(\binom{8}{5}\cdot4!=1344\) है। / First choose (5) people in \(\binom{8}{5}\) ways and then seat them around a circle in ((5-1)!) ways. The total is \(\binom{8}{5}\cdot4!=1344\).
(10) अक्षरों में (S) तीन, (T) तीन और (I) दो बार है। इसलिए \(\frac{10!}{3!3!2!}=50400\) है। / There are (10) letters with (S) three times, (T) three times and (I) twice. Hence \(\frac{10!}{3!3!2!}=50400\).
यह (6) वस्तुओं का derangement है जिसकी संख्या (!6=265) होती है। परीक्षा में कोई भी सही स्थान पर न हो तो derangement सोचें। / This is a derangement of (6) objects, whose number is (!6=265). In exams, when none is in the correct place, think derangement.
कुल वैध (5)-अंकीय संख्याएं \(8\cdot{}^{8}P_4\) हैं और बिना (0) वाली \(^{8}P_5\) हैं। अंतर (13440-6720=6720) है। / Total valid (5)-digit numbers are \(8\cdot{}^{8}P_4\), and those without (0) are \(^{8}P_5\). The difference is (13440-6720=6720).
दो छात्रों को ब्लॉक मानकर पहले साथ वाली \(6!\cdot2!\) व्यवस्थाएं लें और तीसरे के end cases घटाएं। उत्तर (1200) है। / Treat the two students as a block, count \(6!\cdot2!\) together arrangements and subtract cases where the third is at an end. The answer is (1200).
दो मोतियों को एक ब्लॉक मानें, तो (7) इकाइयों की necklace संख्या (\frac{(7-1)!}{2}) है और ब्लॉक के अंदर (2!) तरीके हैं। कुल (720) है। / Treat the two beads as one block, so the necklace count for (7) units is (\frac{(7-1)!}{2}), with (2!) internal ways. The total is (720).
हजार स्थान पर (4,5,6,7) में से (4) विकल्प हैं और बाकी \(8\cdot7\cdot6\) तरीके हैं। कुल (1344) है। / The thousands place has (4) choices from (4,5,6,7), and the remaining places have \(8\cdot7\cdot6\) ways. The total is (1344).
(11) अक्षरों में (E) तीन, (N) तीन, (G) दो और (I) दो बार हैं। संख्या \(\frac{11!}{3!3!2!2!}=277200\) है। / There are (11) letters with (E) three times, (N) three times, (G) twice and (I) twice. The number is \(\frac{11!}{3!3!2!2!}=277200\).
विशेष वस्तु हटाने पर (9) वस्तुएं बचती हैं। इसलिए \(^{9}P_4=3024\) तरीके होंगे। / After excluding the particular object, (9) objects remain. Hence the number of ways is \(^{9}P_4=3024\).
पहले पुरुषों को (6!) तरीकों से बैठाएं और (7) gaps में (4) महिलाएं \(^{7}P_4\) तरीकों से रखें। कुल \(6!\cdot{}^{7}P_4=604800\) है। / Arrange the men first in (6!) ways and place (4) women in (7) gaps in \(^{7}P_4\) ways. The total is \(6!\cdot{}^{7}P_4=604800\).
पहला अंक (3,4,5,6,7) हो सकता है और बाकी (4) स्थान \(^{7}P_4\) तरीकों से भरेंगे। कुल \(5\cdot840=4200\) है। / The first digit can be (3,4,5,6,7), and the remaining (4) places are filled in \(^{7}P_4\) ways. The total is \(5\cdot840=4200\).
विशेष रंग के लिए (2) स्थान हैं और बाकी (3) स्थान (6) रंगों से \(^{6}P_3\) तरीकों से भरेंगे। कुल \(2\cdot120=240\) है। / The particular colour has (2) possible positions, and the remaining (3) positions are filled from (6) colours in \(^{6}P_3\) ways. The total is \(2\cdot120=240\).
(11) अक्षरों में (B) दो और (I) दो बार हैं। इसलिए \(\frac{11!}{2!2!}=9979200\) व्यवस्थाएं होंगी। / There are (11) letters with (B) twice and (I) twice. Hence \(\frac{11!}{2!2!}=9979200\) arrangements are possible.
गलत होने वाले (2) पत्र \(\binom{8}{2}\) तरीकों से चुनें और वे आपस में बदलेंगे। इसलिए \(\binom{8}{2}\cdot!2=28\) है। / Choose the (2) incorrect letters in \(\binom{8}{2}\) ways and they must swap. Hence \(\binom{8}{2}\cdot!2=28\).
बाकी (2) अंक (6) अंकों में से \(\binom{6}{2}\) तरीकों से चुनें और (4) अंकों को (4!) तरीकों से सजाएं। कुल \(15\cdot24=360\) है। / Choose the other (2) digits from (6) digits in \(\binom{6}{2}\) ways and arrange the (4) digits in (4!) ways. The total is \(15\cdot24=360\).
विशेष छात्र के लिए (3) अंदरूनी स्थान हैं और बाकी (4) स्थान (8) छात्रों से \(^{8}P_4\) तरीकों से भरेंगे। कुल \(3\cdot1680=5040\) है। / The particular student has (3) inner positions, and the remaining (4) places are filled from (8) students in \(^{8}P_4\) ways. The total is \(3\cdot1680=5040\).
हर जोड़े को एक ब्लॉक मानें, तो (5!) ब्लॉक व्यवस्थाएं और प्रत्येक ब्लॉक में (2!) तरीके हैं। कुल (5!\cdot(2!)5=3840) है। / Treat each couple as one block, giving (5!) block arrangements and (2!) ways inside each block. The total is (5!\cdot(2!)5=3840).
(11) अक्षरों में (T) दो बार है और बाकी अलग हैं। इसलिए \(\frac{11!}{2!}=19958400\) है। / There are (11) letters with (T) repeated twice and all others distinct. Hence \(\frac{11!}{2!}=19958400\).
दो विशेष वस्तुओं के स्थानों में (4) का अंतर होना चाहिए, ऐसे (4) position-pairs हैं और order (2!) है। बाकी (6!) तरीकों से सजेंगे, कुल \(4\cdot2!\cdot6!=5760\) है। / The two particular objects must have positions differing by (4), giving (4) position-pairs and (2!) orders. The remaining objects arrange in (6!) ways, so the total is \(4\cdot2!\cdot6!=5760\).
अंतिम स्थान पर (1,3,5,7) के (4) विकल्प हैं और पहला स्थान (0) नहीं हो सकता। कुल \(4\cdot7\cdot{}^{7}P_3=5880\) है। / There are (4) choices (1,3,5,7) for the last place, and the first place cannot be (0). The total is \(4\cdot7\cdot{}^{7}P_3=5880\).
तीन विशेष लोगों को एक ब्लॉक मानें, तो (5) इकाइयों की गोल व्यवस्था ((5-1)!) है और अंदर (3!) तरीके हैं। कुल \(24\cdot6=144\) है। / Treat the three particular people as one block, giving (5) units around a circle with ((5-1)!) arrangements and (3!) internal ways. The total is \(24\cdot6=144\).
(8) अक्षरों में (S) चार और (A) दो बार हैं। इसलिए \(\frac{8!}{4!2!}=840\) व्यवस्थाएं होंगी। / There are (8) letters with (S) four times and (A) twice. Hence \(\frac{8!}{4!2!}=840\) arrangements are possible.
कुल \(^{10}P_4\) में से विशेष छात्र के सचिव बनने वाली \(^{9}P_3\) व्यवस्थाएं घटाएं। उत्तर (5040-504=4536) है। / Subtract the cases where the particular student is secretary, \(^{9}P_3\), from total \(^{10}P_4\). The answer is (5040-504=4536).
पहला अंक (3) निश्चित है और अंतिम स्थान के लिए (4) सम विकल्प हैं। बीच के (3) स्थान \(7\cdot6\cdot5\) तरीकों से भरेंगे, कुल (840) है। / The first digit is fixed as (3), and the last place has (4) even choices. The middle (3) places are filled in \(7\cdot6\cdot5\) ways, giving (840).
दो विशेष पुस्तकों में से एक \(\binom{2}{1}\) तरीकों से और बाकी (4) पुस्तकें (6) में से चुनें। फिर (5!) से सजाएं, कुल \(2\cdot\binom{6}{4}\cdot5!=3600\) है। / Choose exactly one of the two particular books in \(\binom{2}{1}\) ways and the other (4) books from (6). Then arrange (5!) ways, giving \(2\cdot\binom{6}{4}\cdot5!=3600\).
(12) अक्षरों में (E) चार, (N) तीन और (D) दो बार हैं। इसलिए \(\frac{12!}{4!3!2!}=1663200\) है। / There are (12) letters with (E) four times, (N) three times and (D) twice. Hence \(\frac{12!}{4!3!2!}=1663200\).
दो कुर्सियां खाली निश्चित हैं, इसलिए (6) व्यक्तियों को बाकी (6) कुर्सियों पर (6!) तरीकों से बैठाएं। उत्तर (720) है। / The two empty chairs are fixed, so seat (6) persons on the remaining (6) chairs in (6!) ways. The answer is (720).
तीन वस्तुओं को fixed-order ब्लॉक मानें, तब (7) इकाइयां बनती हैं। इसलिए (7!=5040) व्यवस्थाएं होंगी। / Treat the three objects as a fixed-order block, giving (7) units. Hence there are (7!=5040) arrangements.
हजार स्थान पर (1,2,3) के (3) विकल्प हैं और बाकी (3) स्थान \(8\cdot7\cdot6\) तरीकों से भरेंगे। कुल (1008) है। / The thousands place has (3) choices (1,2,3), and the remaining (3) places have \(8\cdot7\cdot6\) ways. The total is (1008).
हर जोड़े को एक ब्लॉक मानें, तो (4) ब्लॉकों की गोल व्यवस्था ((4-1)!) है और अंदर ((2!)4) तरीके हैं। कुल (96) है। / Treat each couple as one block, so (4) blocks have ((4-1)!) circular arrangements and ((2!)4) internal ways. The total is (96).
विशेष छात्र के लिए अंतिम (3) positions हैं और बाकी (3) positions (7) छात्रों से \(^{7}P_3\) तरीकों से भरते हैं। कुल \(3\cdot210=630\) है। / The particular student has (3) non-first positions, and the other (3) positions are filled from (7) students in \(^{7}P_3\) ways. The total is \(3\cdot210=630\).
(1) और (8) को ब्लॉक मानें और बाकी (3) अंक (6) में से चुनें। कुल \(\binom{6}{3}\cdot4!\cdot2!=960\) है। / Treat (1) and (8) as a block and choose the other (3) digits from (6). The total is \(\binom{6}{3}\cdot4!\cdot2!=960\).
कुल (9!) में से तीनों विशेष पुस्तकों के साथ वाले \(7!\cdot3!\) cases घटाएं। उत्तर (362880-30240=332640) है। / Subtract cases where the three particular books are together, \(7!\cdot3!\), from total (9!). The answer is (362880-30240=332640).
गलत होने वाले (2) पत्र \(\binom{7}{2}\) तरीकों से चुने जाते हैं और वे derange होकर केवल (1) तरीके से बदलते हैं। उत्तर (21) है। / Choose the (2) incorrect letters in \(\binom{7}{2}\) ways, and they derange in only (1) way. The answer is (21).
चार (S) को एक ब्लॉक मानें, तो (8) इकाइयों में (I) चार और (P) दो बार हैं। संख्या \(\frac{8!}{4!2!}=840\) है। / Treat the four (S)'s as one block, giving (8) units with (I) four times and (P) twice. The number is \(\frac{8!}{4!2!}=840\).
कुल गोल व्यवस्थाएं (7!) हैं। विशेष वस्तु के दोनों पड़ोसी वे दो दी गई वस्तुएं हों तो उन्हें विशेष वस्तु के पास (2!) तरीकों से रखकर बाकी (5!) तरीके मिलते हैं। उत्तर (5040-240=4800) है। / Total circular arrangements are (7!). If the particular object has the two given objects as neighbours, they can be placed around it in (2!) ways and the rest in (5!) ways. The answer is (5040-240=4800).
पहले अंक के लिए (5) विषम विकल्प और अंतिम अंक के लिए (5) सम विकल्प हैं। बीच के (4) स्थान (8) अंकों से \(^{8}P_4\) तरीकों से भरेंगे, कुल \(5\cdot5\cdot1680=42000\) है। / There are (5) odd choices for the first digit and (5) even choices for the last digit. The middle (4) places are filled from (8) digits in \(^{8}P_4\) ways, giving \(5\cdot5\cdot1680=42000\).
(8) अलग-अलग व्यक्तियों की पंक्ति व्यवस्था में पहला विशेष व्यक्ति दूसरे विशेष व्यक्ति से पहले और तीसरा विशेष व्यक्ति चौथे विशेष व्यक्ति से पहले हो, तो कितनी व्यवस्थाएं होंगी?
कुल (8!) व्यवस्थाओं में दोनों स्वतंत्र order conditions आधी-आधी व्यवस्थाएं रखती हैं। इसलिए उत्तर \(\frac{8!}{2\cdot2}=10080\) है। / Out of total (8!) arrangements, each independent order condition keeps half the arrangements. Hence the answer is \(\frac{8!}{2\cdot2}=10080\).
स्वरों को एक खंड मानने पर (5!) व्यवस्थाएं और भीतर (3!/2!) व्यवस्थाएं मिलती हैं। परीक्षा में समान अक्षरों की पुनरावृत्ति जरूर जांचें। / Treat the vowels as one block, giving (5!) arrangements and (3!/2!) internal arrangements. In exams, always check repeated letters.
कुल (6) अक्षरों में (S) चार बार है, इसलिए संख्या (6!/4!) है। परीक्षा में समान अक्षरों से भाग देना न भूलें। / There are (6) letters with (S) repeated four times, so the number is (6!/4!). In exams, do not forget to divide by repeated letters.
अंतिम अंक (0) या (5) होगा और पहले अंक के शून्य होने की स्थिति अलग गिननी होगी। ऐसे प्रश्नों में अंतिम अंक से केस बनाएं। / The last digit must be (0) or (5), and the leading zero case must be counted separately. For such questions, start with the unit digit.
कुल (7!) में से साथ बैठने वाली \(2\cdot 6!\) व्यवस्थाएं घटाएं। निषेध वाले प्रश्नों में कुल से खराब व्यवस्थाएं घटाना आसान होता है। / Subtract the together cases \(2\cdot 6!\) from the total (7!). For restriction questions, subtracting bad cases is often easier.
दो लोगों को एक खंड मानकर (7) इकाइयों की गोल व्यवस्था (6!) और भीतर (2!) तरीके हैं। गोल व्यवस्था में घूर्णन को स्थिर मानें। / Treat the two people as one block, so (7) units have circular arrangements (6!), with (2!) internal ways. In circular arrangements, rotations are identical.
(T) और (E) की जगहों के (4) संभावित जोड़े हैं और क्रम (2) तरीके से होगा, बाकी (6!) हैं। स्थान-आधारित प्रश्नों में पहले निश्चित स्थान चुनें। / There are (4) possible position pairs for (T) and (E), with (2) orders, and the remaining (6!) arrangements. In position-based questions, choose fixed positions first.
अंतिम अंक (2,4,6) में से (3) तरीकों से होगा और शेष चार स्थान \(^{6}P_{4}\) तरीकों से भरेंगे। सम संख्या में इकाई अंक पहले तय करें। / The last digit can be (2,4,6) in (3) ways, and the remaining four places in \(^{6}P_{4}\) ways. For even numbers, fix the unit digit first.
कुल (9) अक्षरों में (M,T,E) दो-दो बार हैं, इसलिए संख्या (9!/(2!2!2!)) है। कठिन शब्दों में अक्षरों की गिनती पहले लिखें। / There are (9) letters with (M,T,E) each repeated twice, so the count is (9!/(2!2!2!)). For difficult words, list letter counts first.
पहले लड़कों को (5!) तरीकों से बैठाएं और (6) खाली स्थानों में से (4) पर लड़कियां \(^{6}P_{4}\) तरीकों से बैठेंगी। अंतराल विधि ऐसे प्रश्नों में सबसे सुरक्षित है। / Arrange the boys in (5!) ways, then place the girls in \(^{6}P_{4}\) ways in (4) of the (6) gaps. The gap method is safest for such questions.
दो निर्धारित पुस्तकें सिरों पर (2!) तरीकों से और शेष (4) पुस्तकें (4!) तरीकों से लगेंगी। पहले सबसे अधिक प्रतिबंधित स्थान भरें। / The two specified books occupy the ends in (2!) ways, and the remaining (4) books in (4!) ways. Fill the most restricted places first.
कुल (6!) व्यवस्थाओं में (A) और (B) के दोनों क्रम बराबर हैं, इसलिए आधी व्यवस्थाएं सही हैं। क्रम-शर्त में सममिति से समय बचता है। / In the total (6!) arrangements, the two orders of (A) and (B) are equally likely, so half are valid. Symmetry saves time in order-condition questions.
(8) स्थानों में (4) विषम स्थान हैं और (4) स्वर उन्हीं में (4!) तरीकों से आएंगे, व्यंजन भी (4!) तरीकों से। स्थान की समान संख्या दिखे तो सीधे अलग-अलग व्यवस्थित करें। / There are (4) odd positions among (8), and the (4) vowels occupy them in (4!) ways, while consonants also arrange in (4!) ways. When counts match, arrange groups separately.
अंकों का योग (3) से विभाज्य होना चाहिए; मान्य (5)-अंकीय समूहों की व्यवस्थाओं में अग्र शून्य घटाएं। पहले अंकों के समूह चुनना उपयोगी है। / The digit sum must be divisible by (3); arrange valid (5)-digit sets and subtract leading-zero arrangements. Choosing digit sets first is useful.
माला में संख्या ((9-1)!/2) होती है क्योंकि घूर्णन और प्रतिबिंब दोनों समान माने जाते हैं। गोल मेज और माला के अंतर को याद रखें। / For a necklace, the count is ((9-1)!/2) because both rotation and reflection are identical. Remember the difference between circular seating and necklaces.
हर स्थान पर उससे छोटे उपलब्ध अक्षरों से शुरू होने वाली व्यवस्थाएं जोड़कर अंत में (1) जोड़ते हैं। रैंक प्रश्नों में अक्षरों को पहले वर्णक्रम में लिखें। / Add arrangements beginning with smaller available letters at each position, then add (1). In rank questions, write the letters in alphabetical order first.
यह (4) वस्तुओं का पूर्ण विस्थापन है और मान (9) होता है। ऐसे प्रश्नों में विस्थापन सूत्र या छोटी सूची काम आती है। / This is the derangement of (4) objects, whose value is (9). For such questions, use the derangement formula or a small listing.
यह क्रम सहित चयन है, इसलिए \(^{10}P_{3}=10\cdot 9\cdot 8\) होगा। स्थानों की रैंकिंग हो तो क्रम महत्वपूर्ण होता है। / This is ordered selection, so \(^{10}P_{3}=10\cdot 9\cdot 8\). When positions are ranked, order matters.
पद अलग-अलग हैं, इसलिए \(^{8}P_{3}\) तरीके होंगे। अलग पदों का चयन क्रम सहित होता है। / The posts are distinct, so the number of ways is \(^{8}P_{3}\). Choosing distinct posts is an ordered selection.
(7) अक्षरों में (L) और (O) दो-दो बार हैं, इसलिए संख्या (7!/(2!2!)) है। समान अक्षर हर बार अलग वस्तु नहीं माने जाते। / There are (7) letters with (L) and (O) each repeated twice, so the count is (7!/(2!2!)). Repeated letters are not treated as distinct objects.
दोनों (L) को एक खंड मानने पर (6) इकाइयां हैं और (O) दो बार है, इसलिए (6!/2!) है। साथ वाली शर्त में खंड विधि लगाएं। / Treat the two (L)'s as one block, giving (6) units with (O) repeated twice, so the count is (6!/2!). Use the block method for together conditions.
हजार का अंक (4,5,6,7,8) में से होगा और बाकी (3) स्थान \(^{7}P_{3}\) तरीकों से भरेंगे। तुलना वाले प्रश्नों में पहले पहला अंक तय करें। / The thousands digit can be (4,5,6,7,8), and the remaining (3) places are filled in \(^{7}P_{3}\) ways. In comparison questions, fix the first digit first.
बैठने की दो रूपरेखाएं संभव हैं और हर रूपरेखा में पुरुष (6!) तथा महिलाएं (6!) तरीकों से बैठते हैं। समान संख्या में वैकल्पिक बैठाने पर दो पैटर्न याद रखें। / There are two possible patterns, and in each pattern men arrange in (6!) ways and women in (6!) ways. For equal alternate seating, remember the two patterns.
कुल (7!) व्यवस्थाओं में (E,E,U) के प्रभाव से भिन्न व्यवस्थाएं (7!/2!) हैं और स्वरों के क्रमों में केवल एक क्रम मान्य है। समान स्वरों सहित क्रम-शर्त सावधानी से गिनें। / The total distinct arrangements are (7!/2!), and among the possible vowel orders only one valid alphabetical order is allowed. Count order restrictions carefully when vowels repeat.
(5) अलग वस्तुओं के क्रम (5!) होते हैं। केवल क्रम पूछा हो तो सीधा फैक्टोरियल लगाएं। / The orders of (5) distinct objects are (5!). When only order is asked, apply factorial directly.
कुल (6!/2!) में से (O) साथ वाली (5!) व्यवस्थाएं घटाएं। न-साथ वाली शर्त में कुल से साथ वाली व्यवस्थाएं घटाएं। / Subtract the together cases (5!) from the total (6!/2!). For not-together conditions, subtract together arrangements from total.
कुल (7!) में से विशेष झंडे के ऊपर होने पर (6!) व्यवस्थाएं घटाएं। निषेध वाली एक जगह हो तो घटाने की विधि तेज होती है। / Subtract the (6!) arrangements where the specified flag is at the top from the total (7!). For one forbidden position, subtraction is quick.
अंतिम अंक (1,3,5) में से (3) तरीकों से होगा; पहले स्थान के लिए शून्य को छोड़कर (4) विकल्प और बाकी \(4\cdot 3\) हैं। विषम संख्या में इकाई अंक पहले तय करें। / The last digit can be (1,3,5) in (3) ways; the first place then has (4) nonzero choices, followed by \(4\cdot 3\). For odd numbers, fix the unit digit first.
(10) अक्षरों में (S) तीन बार, (T) तीन बार और (I) दो बार है, इसलिए संख्या (10!/(3!3!2!)) है। बड़े शब्दों में आवृत्ति तालिका बनाएं। / There are (10) letters with (S) three times, (T) three times and (I) twice, so the count is (10!/(3!3!2!)). For long words, make a frequency table.
पुरस्कार अलग-अलग हैं, इसलिए \(^{6}P_{3}\) तरीके होंगे। अलग पुरस्कारों में क्रम का महत्व होता है। / The prizes are distinct, so the number of ways is \(^{6}P_{3}\). For different prizes, order matters.
पहले (5) व्यक्तियों को क्रम सहित चुनना है, इसलिए \(^{8}P_{5}\) होगा। बैठाने में चयन और क्रम दोनों शामिल हैं। / We must choose and arrange (5) persons, so the number is \(^{8}P_{5}\). Seating includes both selection and order.
(N) और (R) सिरों पर (2!) तरीकों से होंगे और शेष (4) अक्षर (4!) तरीकों से। सिरों पर शर्त हो तो पहले सिरों को भरें। / (N) and (R) can occupy the ends in (2!) ways, and the remaining (4) letters in (4!) ways. With end restrictions, fill the ends first.
(1) और (2) को खंड मानकर (5!) व्यवस्थाएं और खंड के भीतर (2!) क्रम हैं। साथ वाले अंकों में खंड विधि सीधी होती है। / Treat (1) and (2) as a block, giving (5!) arrangements and (2!) internal orders. For adjacent digits, the block method is direct.
यह (9) में से (4) पुस्तकों का क्रम सहित चयन है, इसलिए \(^{9}P_{4}\) होगा। शेल्फ पर लगाने में क्रम जरूरी है। / This is an ordered selection of (4) books from (9), so the number is \(^{9}P_{4}\). Arrangement on a shelf requires order.
हर स्थान पर छोटे उपलब्ध अक्षरों से शुरू होने वाली व्यवस्थाएं जोड़कर (1) जोड़ने पर रैंक (84) मिलती है। रैंक में शुरुआत से अंत तक स्थानवार गिनें। / Adding arrangements starting with smaller available letters at each position and then adding (1) gives rank (84). In rank problems, count position by position.
कुल गोल व्यवस्थाएं (7!) हैं और साथ वाली \(2\cdot 6!\) हैं, इसलिए घटाने पर (3600) मिलता है। गोल व्यवस्था में कुल ((n-1)!) से शुरू करें। / Total circular arrangements are (7!), and adjacent cases are \(2\cdot 6!\), so subtraction gives (3600). In circular arrangements, start with ((n-1)!).
(8) अक्षरों में (C,L,U) दो-दो बार हैं, इसलिए संख्या (8!/(2!2!2!)) है। आवृत्तियों को पहचानना मुख्य कदम है। / There are (8) letters with (C,L,U) each repeated twice, so the count is (8!/(2!2!2!)). Identifying repetitions is the key step.
(A,B) के स्थानों के (4) जोड़े और (2) क्रम हैं, फिर शेष (5!) तरीके हैं। निश्चित दूरी में स्थान-जोड़े गिनें। / There are (4) position pairs for (A,B) and (2) orders, then (5!) ways for the rest. For a fixed gap, count position pairs.
पहला (6) होने पर \(^{6}P_{4}\), अंतिम (6) होने पर अग्र शून्य घटाकर \(5\cdot ^{5}P_{3}\), और दोनों स्थिति का प्रतिच्छेद घटता है। 'या' में समावेशन-बहिष्करण लगाएं। / If first is (6), count \(^{6}P_{4}\); if last is (6), subtract leading-zero cases from choices; then subtract the intersection. Use inclusion-exclusion for 'or'.
(4) उंगलियों के लिए (6) अंगूठियों में से क्रम सहित चयन \(^{6}P_{4}\) है। अलग स्थानों पर वस्तु रखना क्रम सहित चयन होता है। / For (4) fingers, choose and assign rings in \(^{6}P_{4}\) ways. Placing objects in distinct positions is an ordered selection.
(11) अक्षरों में (I,N,A) दो-दो बार हैं, इसलिए संख्या (11!/(2!2!2!)) है। बड़े शब्दों में दोहराए अक्षर अलग से नोट करें। / There are (11) letters with (I,N,A) each repeated twice, so the count is (11!/(2!2!2!)). In long words, note repeated letters separately.
तीन महिलाओं को एक खंड मानकर (6) इकाइयों की गोल व्यवस्था (5!) है और महिलाओं के भीतर (3!) तरीके हैं। गोल खंड विधि में इकाइयों की संख्या ध्यान से लें। / Treat the three women as one block, so (6) units have (5!) circular arrangements and the women have (3!) internal ways. In circular block problems, count units carefully.
अंतिम दो अंकों से (4) से विभाज्यता तय होती है; मान्य क्रमित अंतिम जोड़ों की संख्या (15) है और पहले दो स्थान \(^{5}P_{2}\) तरीकों से भरते हैं। (4) से विभाज्यता में अंतिम दो अंक जांचें। / Divisibility by (4) depends on the last two digits; there are (15) valid ordered ending pairs and the first two places fill in \(^{5}P_{2}\) ways. For divisibility by (4), check the last two digits.
दो विशेष चित्र बीच के (2) स्थानों पर (2!) तरीकों से और बाकी (4) चित्र (4!) तरीकों से लगेंगे। प्रतिबंधित स्थान पहले भरें। / The two specified pictures occupy the two middle positions in (2!) ways, and the remaining (4) pictures in (4!) ways. Fill restricted positions first.
यह (5) में से (3) का क्रम सहित चयन है, इसलिए \(^{5}P_{3}\) होगा। बिना पुनरावृत्ति और क्रम हो तो क्रमचय लगाएं। / This is an ordered selection of (3) from (5), so it is \(^{5}P_{3}\). When there is no repetition and order matters, use permutation.
चयन और क्रम दोनों हैं, इसलिए \(^{9}P_{4}\) होगा। केवल चयन नहीं, क्रम भी हो तो संयोजन नहीं लगाना चाहिए। / Both selection and order are involved, so the count is \(^{9}P_{4}\). When order matters, do not use combination.
(P) पहले निश्चित है; शेष (5!) में से (L) अंतिम होने वाली (4!) व्यवस्थाएं घटाएं। मिश्रित शर्तों में पहले निश्चित शर्त लगाएं। / With (P) fixed first, subtract the (4!) arrangements where (L) is last from the remaining (5!). In mixed conditions, apply fixed conditions first.
पहले (5) सामान्य विद्यार्थियों में से सिरों पर \(^{5}P_{2}\) तरीके और बीच के (5) स्थानों पर बाकी (5!) तरीके हैं। सिरों से जुड़ी शर्तों में पहले सिरों को भरना आसान है। / First fill the two ends with ordinary students in \(^{5}P_{2}\) ways, then arrange the remaining (5) students in the middle (5) places. For end restrictions, fill the ends first.
चार व्यंजन (4!) तरीकों से बैठते हैं और (5) अंतरालों में (2) स्वरों को \(^{5}P_{2}\) तरीकों से रखा जाता है। न-साथ स्वर में अंतराल विधि लगाएं। / Arrange the four consonants in (4!) ways and place the two vowels in \(^{5}P_{2}\) ways in the gaps. Use the gap method for non-adjacent vowels.
(1,2) के साथ शेष (7) अंकों में से (3) चुनकर (5!) तरीकों से व्यवस्थित करें। अनिवार्य वस्तुओं को पहले शामिल मानकर बाकी चुनें। / Include (1,2), choose (3) more digits from the remaining (7), then arrange the (5) digits in (5!) ways. For compulsory objects, include them first and choose the rest.
कुल (6!) में से उस व्यक्ति के निश्चित कुर्सी पर बैठने की (5!) व्यवस्थाएं घटती हैं। एक निषिद्ध स्थान हो तो कुल से अनुकूल-नहीं घटाएं। / Subtract the (5!) arrangements where that person sits on the fixed chair from the total (6!). With one forbidden seat, subtract the invalid cases from total.
स्वरों (A,I) को एक खंड मानने पर \(5!\cdot 2!\) व्यवस्थाएं मिलती हैं। साथ वाली शर्त में खंड विधि सबसे उपयोगी है। / Treat vowels (A,I) as one block, giving \(5!\cdot 2!\) arrangements. For together conditions, the block method is most useful.
कुल व्यवस्थाएं (7!/(3!2!)) हैं और स्वर साथ होने पर (120) व्यवस्थाएं हैं। न-साथ के लिए कुल में से साथ वाली गिनती घटाएं। / The total arrangements are (7!/(3!2!)), and vowel-together cases are (120). For not-together cases, subtract together cases from total.
पहला अंक (5,6,7,8) में से और अंतिम अंक सम होना चाहिए, इसलिए केस बनाकर गिनती करें। ऐसे प्रश्नों में पहला और अंतिम स्थान पहले तय करें। / The first digit must be one of (5,6,7,8), and the last digit must be even, so count by cases. In such problems, fix the first and last positions first.
तीन व्यक्तियों को एक खंड मानने पर (7) इकाइयों की गोल व्यवस्था (6!) है और भीतर (3!) तरीके हैं। गोल व्यवस्था में घूर्णन को समान मानें। / Treat the three people as one block, so (7) units have (6!) circular arrangements and (3!) internal ways. In circular arrangements, rotations are identical.
इसमें (E) तीन बार और (N) दो बार है, इसलिए संख्या (8!/(3!2!)) है। दोहराए अक्षरों से हमेशा भाग दें। / Here (E) is repeated three times and (N) twice, so the count is (8!/(3!2!)). Always divide by repeated letters.
स्वर-खंड के भीतर (4!/3!) और बाहर (5!/2!) व्यवस्थाएं होंगी। दोहराव और खंड दोनों को साथ संभालें। / Inside the vowel block there are (4!/3!) arrangements, and outside there are (5!/2!) arrangements. Handle repetition and blocks together.
कुल (8!) में से तीनों साथ वाली \(6!\cdot 3!\) व्यवस्थाएं घटती हैं। न-एक-साथ में कुल से खराब केस घटाएं। / Subtract the cases where all three are together, \(6!\cdot 3!\), from the total (8!). For not-all-together conditions, subtract bad cases from total.
कुल (7!) व्यवस्थाओं में दोनों स्वतंत्र क्रम-शर्तों के कारण (4) से भाग देंगे। ऐसी शर्तों में सममिति से तेज उत्तर मिलता है। / In the total (7!) arrangements, divide by (4) because of two independent order conditions. Symmetry gives a quick answer in such problems.
(6) अलग अक्षरों और (10) अंकों से (4) अक्षर के बाद (3) अंक वाला कोड बनाना है। यदि अक्षर और अंक दोहराए नहीं जाते और अंतिम अंक सम है, तो कितने कोड बनेंगे?
अक्षरों के लिए \(^{6}P_4\) और अंकों में अंतिम सम होने पर \(5\cdot 9\cdot 8\) तरीके मिलते हैं। कोड में अलग-अलग भागों को अलग गिनें। / Letters can be arranged in \(^{6}P_4\) ways, and digits with an even last digit in \(5\cdot 9\cdot 8\) ways. Count different parts of a code separately.
(A,B,C) के (3!) सापेक्ष क्रमों में केवल एक क्रम मान्य है, इसलिए (10!/3!) होगा। सापेक्ष क्रम में कुल क्रमों से भाग दें। / Among the (3!) relative orders of (A,B,C), only one is valid, so the count is (10!/3!). For relative order, divide by the number of possible orders.
हर स्थान पर उससे छोटे उपलब्ध अक्षरों से बनने वाली व्यवस्थाएं जोड़कर अंत में (1) जोड़ते हैं। रैंक में दोहराए अक्षरों की गिनती सावधानी से करें। / Add arrangements formed by smaller available letters at each position, then add (1). In rank problems, handle repeated letters carefully.
दो पैटर्न संभव हैं और प्रत्येक में लड़के (5!) तथा लड़कियां (5!) तरीकों से बैठते हैं। बराबर संख्या में वैकल्पिक बैठाने पर दो शुरुआतें होती हैं। / There are two possible patterns, and in each pattern boys arrange in (5!) ways and girls in (5!) ways. With equal numbers, alternate seating has two starts.
हर जोड़े को एक खंड मानकर (6) खंडों की गोल व्यवस्था (5!) और हर खंड के भीतर (2) तरीके हैं। जोड़ों वाले प्रश्नों में \(2^n\) अंदरूनी क्रम याद रखें। / Treat each couple as one block, so (6) blocks have (5!) circular arrangements and each block has (2) internal ways. For couple problems, remember the \(2^n\) internal orders.
कुल (8!) व्यवस्थाओं में (4) व्यंजनों के (4!) सापेक्ष क्रम बराबर हैं, इसलिए (8!/4!) है। मूल क्रम वाली शर्त में सापेक्ष क्रमों से भाग दें। / In the total (8!) arrangements, the (4!) relative orders of consonants are equally likely, so the count is (8!/4!). For original-order conditions, divide by relative orders.
अंतिम दो अंक (25,50,75) हो सकते हैं और अग्र शून्य की स्थिति अलग हटानी होगी। (25) से विभाज्यता में अंतिम दो अंक पहले जांचें। / The last two digits can be (25,50,75), and leading-zero cases must be removed separately. For divisibility by (25), check the last two digits first.
इसमें (I) चार बार, (S) चार बार और (P) दो बार है, इसलिए संख्या (11!/(4!4!2!)) है। लंबा शब्द हो तो आवृत्ति तालिका बनाएं। / It has (I) four times, (S) four times and (P) twice, so the count is (11!/(4!4!2!)). For long words, make a frequency table.
दोनों (P) को एक खंड मानने पर (10) इकाइयां बनती हैं, जिनमें (I) और (S) चार-चार बार हैं। इसलिए संख्या (10!/(4!4!)) है। / Treat both (P)'s as one block, giving (10) units with (I) and (S) each repeated four times. Hence the count is (10!/(4!4!)).
(A,B) के स्थानों की दूरी कम से कम (4) होनी चाहिए, ऐसे (10) स्थान-जोड़े हैं और क्रम (2) तरीके से होगा। बाकी (6!) लोग व्यवस्थित होंगे। / The positions of (A,B) must differ by at least (4), giving (10) position pairs and (2) orders. The remaining (6!) people are arranged afterward.
पहला अंक (1,2,3) होना चाहिए और अंतिम अंक विषम होना चाहिए, इसलिए केस बनते हैं। सीमा और विषमता दोनों को साथ गिनें। / The first digit must be (1,2,3), and the last digit must be odd, so cases are needed. Count the bound and oddness together.
(A) को स्थिर करने पर (B) का विपरीत स्थान निश्चित हो जाता है और शेष (6) लोग (6!) तरीकों से बैठते हैं। आमने-सामने में पहले एक व्यक्ति स्थिर करें। / Fix (A), then the opposite place for (B) is fixed, and the remaining (6) people arrange in (6!) ways. For opposite seating, fix one person first.
अक्षरों के स्थान \(^{6}C_2\), अक्षर \(^{5}P_2\) और अंक \(^{7}P_4\) तरीकों से आएंगे। पहले स्थानों का प्रकार तय करना आसान होता है। / Choose letter positions in \(^{6}C_2\) ways, letters in \(^{5}P_2\) ways and digits in \(^{7}P_4\) ways. It is easier to decide position types first.
कुल (9!) क्रमों में से लगातार आने वाले \(2\cdot 8!\) क्रम घटते हैं। न-लगातार में खंड विधि से खराब केस घटाएं। / Subtract the consecutive cases \(2\cdot 8!\) from the total (9!). For non-consecutive conditions, subtract the bad block cases.
इस शब्द में (B) और (I) दो-दो बार हैं, इसलिए संख्या (11!/(2!2!)) है। दोहराए अक्षर पहचानना पहला कदम है। / Here (B) and (I) are repeated twice, so the count is (11!/(2!2!)). Identifying repeated letters is the first step.
स्वर-खंड के भीतर (4!/2!) और बाहर (8!/2!) व्यवस्थाएं हैं। दोहराए व्यंजन और स्वर दोनों से भाग दें। / Inside the vowel block there are (4!/2!) arrangements, and outside there are (8!/2!) arrangements. Divide for repeated consonants and vowels.
तीन निश्चित पुस्तकों के (3!) सापेक्ष क्रमों में केवल एक क्रम मान्य है, इसलिए (7!/3!) है। सापेक्ष क्रम की शर्त में सीधे भाग दें। / Among the (3!) relative orders of the three specified books, only one is valid, so the count is (7!/3!). For relative-order restrictions, divide directly.
लड़कों को गोल मेज पर ((4-1)!) तरीकों से और लड़कियों को बने (4) अंतरालों में (4!) तरीकों से बैठाएं। गोल वैकल्पिक बैठाने में एक समूह पहले स्थिर करें। / Arrange the boys around the circle in ((4-1)!) ways and place the girls in the (4) gaps in (4!) ways. For circular alternate seating, fix one group first.
इसमें (E,T,I) दो-दो बार हैं, इसलिए संख्या (10!/(2!2!2!)) है। हर दोहराए अक्षर के फैक्टोरियल से भाग दें। / Here (E,T,I) are each repeated twice, so the count is (10!/(2!2!2!)). Divide by the factorial of each repeated letter.
स्वर-खंड के भीतर (5!/(2!2!)) और बाहर (6!/2!) व्यवस्थाएं हैं। खंड बनाते समय दोहराए अक्षरों को न भूलें। / Inside the vowel block there are (5!/(2!2!)) arrangements, and outside there are (6!/2!) arrangements. Do not forget repeated letters when forming blocks.
चार विषम स्थानों पर चार विषम अंक (4!) तरीकों से और बाकी स्थानों पर सम अंक (4!) तरीकों से आएंगे। स्थान की प्रकृति पहले पहचानें। / The four odd digits occupy the four odd positions in (4!) ways, and even digits fill the rest in (4!) ways. Identify the type of positions first.
कंगन में संख्या ((10-1)!/2) होती है क्योंकि घुमाना और पलटना दोनों समान हैं। कंगन और गोल व्यवस्था का अंतर याद रखें। / For a bracelet, the count is ((10-1)!/2) because both rotation and reflection are identical. Remember the difference between bracelets and circular arrangements.
अंतिम अंक (0) या (5) होगा, और (5) अंत में होने पर (0) को भीतर शामिल करना होगा। विभाज्यता और अनिवार्य अंक को अलग केस में गिनें। / The last digit is (0) or (5), and if (5) is last, (0) must be included inside. Count divisibility and compulsory digit cases separately.
(A,B,C) के सापेक्ष (6) क्रमों में (A) पहले होने के (2) क्रम हैं, इसलिए मान्य भाग (4/6) है। सापेक्ष क्रम से ऐसे प्रश्न जल्दी हल होते हैं। / Among the (6) relative orders of (A,B,C), (A) is first in (2) orders, so the valid fraction is (4/6). Relative order solves such questions quickly.
पहले पुरुषों को (6!) तरीकों से बैठाएं और (7) अंतरालों में (4) महिलाओं को \(^{7}P_4\) तरीकों से रखें। न-साथ की शर्त में अंतराल विधि लगाएं। / Arrange the men in (6!) ways and place the (4) women in \(^{7}P_4\) ways in the (7) gaps. Use the gap method for non-adjacent conditions.
बढ़ते क्रम में हर चुने हुए समूह की केवल एक व्यवस्था होती है, और (0) शामिल होने पर संख्या (6)-अंकीय नहीं रहेगी। इसलिए (1) से (9) में से (6) अंक चुनें। / In increasing order, each chosen set gives only one arrangement, and including (0) would not give a (6)-digit number. So choose (6) digits from (1) to (9).
हर स्थान पर छोटे उपलब्ध अक्षरों से शुरू होने वाली व्यवस्थाएं जोड़कर अंत में (1) जोड़ते हैं। रैंक में अक्षरों को पहले वर्णक्रम में रखें। / Add arrangements starting with smaller available letters at each position, then add (1). In rank problems, first arrange letters alphabetically.
यह (5) वस्तुओं का पूर्ण विस्थापन है, जिसका मान (44) होता है। विस्थापन में कोई वस्तु अपनी सही जगह पर नहीं रहती। / This is the derangement of (5) objects, whose value is (44). In derangement, no object remains in its correct place.
गलत जाने वाले (2) पत्र \(^{6}C_2\) तरीकों से चुनें और वे आपस में बदलेंगे। ठीक (2) गलत होने पर वही दो पत्र अदला-बदली करते हैं। / Choose the (2) wrong letters in \(^{6}C_2\) ways, and they must swap with each other. For exactly (2) wrong, those two letters interchange.
इसमें (A) दो बार और (L) तीन बार है, इसलिए संख्या (8!/(2!3!)) है। दोहराए अक्षरों की गिनती पहले करें। / Here (A) is repeated twice and (L) three times, so the count is (8!/(2!3!)). Count repeated letters first.
तीनों (L) को एक खंड मानने पर (6) इकाइयां हैं और (A) दो बार है, इसलिए (6!/2!) है। समान अक्षरों का खंड केवल एक इकाई माना जाता है। / Treat the three (L)'s as one block, giving (6) units with (A) repeated twice, so the count is (6!/2!). A block of identical letters acts as one unit.
(C) के लिए (2) सिरे हैं और प्रत्येक में (A,B) के (8) क्रमित स्थान-जोड़े मिलते हैं, फिर बाकी (5!) तरीके हैं। पहले सिरे और दूरी तय करें। / There are (2) ends for (C), and for each, (8) ordered position pairs for (A,B), followed by (5!) arrangements. Fix the end and distance first.
दो निश्चित अक्षरों को एक खंड मानें, शेष (8) में से (5) अक्षर चुनें और (6) इकाइयों को सजाएं। खंड के भीतर (2!) क्रम भी जोड़ें। / Treat the two specified letters as one block, choose (5) more letters from the remaining (8), and arrange (6) units. Include the (2!) internal orders of the block.
तीन विषम स्थानों के लिए (4) विषम अंकों से \(^{4}P_3\) तरीके और शेष तीन स्थानों के लिए (5) बचे अंकों से \(^{5}P_3\) तरीके हैं। स्थान-प्रतिबंध पहले लागू करें। / The three odd positions can be filled from (4) odd digits in \(^{4}P_3\) ways, and the remaining three positions from (5) remaining digits in \(^{5}P_3\) ways. Apply position restrictions first.
व्यवस्थाओं की संख्या (12!/(4!3!2!)) होगी। समान वस्तुओं के हर समूह के फैक्टोरियल से भाग देना चाहिए। / The number of arrangements is (12!/(4!3!2!)). Divide by the factorial of each group of identical objects.
कुल गोल व्यवस्थाएं (8!) हैं और साथ वाली \(2\cdot 7!\) हैं, इसलिए अंतर (30240) है। गोल व्यवस्था में कुल ((n-1)!) से शुरू करें। / Total circular arrangements are (8!), and adjacent cases are \(2\cdot 7!\), so the difference is (30240). In circular arrangements, start with ((n-1)!).
इसमें (N) तीन बार, (E) तीन बार और (D) दो बार है, इसलिए संख्या (11!/(3!3!2!)) है। आवृत्ति लिखकर ही सूत्र लगाएं। / It has (N) three times, (E) three times and (D) twice, so the count is (11!/(3!3!2!)). Write frequencies before applying the formula.
पहले (6) सफेद गेंदें रखें, उनसे (7) अंतराल बनेंगे और उनमें से (4) में काली गेंदें रखें। समान वस्तुओं में केवल स्थान-चयन करना होता है। / Place the (6) white balls first, creating (7) gaps, and choose (4) of them for black balls. With identical objects, only position selection is needed.
सही कार्य पाने वाले को (8) तरीकों से चुनें और बाकी (7) का पूर्ण विस्थापन \(D_7=1854\) है। ठीक एक सही का मतलब बाकी सभी गलत होंगे। / Choose the correctly assigned person in (8) ways, and derange the remaining (7) people with \(D_7=1854\). Exactly one correct means all others are wrong.
सम और विषम अंकों के समूह चुनकर (7!) व्यवस्थाएं गिनें, फिर अग्र शून्य वाले केस घटाएं। शून्य शामिल हो तो पहला स्थान सावधानी से देखें। / Choose the even and odd digit groups and count (7!) arrangements, then subtract leading-zero cases. When (0) is included, handle the first digit carefully.
पहले व्यंजन (7!/(2!2!)) तरीकों से रखें, फिर (8) अंतरालों में (4) स्वर चुनकर (4!/(2!2!)) तरीकों से सजाएं। न-साथ स्वर में अंतराल विधि लगाएं। / Arrange consonants in (7!/(2!2!)) ways, then choose (4) of the (8) gaps and arrange vowels in (4!/(2!2!)) ways. Use the gap method for non-adjacent vowels.
किसी भी (5) चुने हुए अंकों की घटते क्रम में केवल एक व्यवस्था होती है और पहला अंक शून्य नहीं होगा। इसलिए (10) अंकों में से (5) चुनें। / Any chosen set of (5) digits has only one decreasing arrangement, and the first digit will not be zero. So choose (5) digits from (10).
