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{1,{∅}} के सभी तत्व A में हैं, इसलिए यह A का उपसमुच्चय है और P(A) का तत्व है। परीक्षा में घात समुच्चय के तत्व हमेशा मूल समुच्चय के उपसमुच्चय होते हैं। / All elements of {1,{∅}} are in A, so it is a subset of A and an element of P(A). In exams, the elements of a power set are always subsets of the original set.
रिक्त समुच्चय में तत्वों की संख्या n = 0 होती है। किसी समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या का सूत्र है \(2^n\)। यहाँ \(2^0 = 1\)। इसलिए रिक्त समुच्चय का केवल एक उपसमुच्चय (खुद रिक्त समुच्चय) होता है। विकल्प '0' गलत है क्योंकि हर समुच्चय कम-से-कम स्वयं एक उपसमुच्चय रखता है; '2' गलत है क्योंकि वह स्थिति तब आती है जब n = 1 (\(2^1=2\)); 'infinite' गलत है क्योंकि एक फाइनाइट समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या हमेशा \(2^n\) जैसी फाइनाइट संख्या होती है। परीक्षा-टिप: पहले हमेशा \(|A|=n\) निर्धारित कर लें, फिर \(2^n\) लागू करें। / The empty set has cardinality n = 0. The number of subsets of a set with n elements is given by \(2^n\). Thus \(2^0=1\), so the empty set has exactly one subset — itself (the empty set). Option '0' is incorrect because every set has at least itself as a subset; '2' corresponds to the case n = 1; 'infinite' is incorrect since for a finite set the number of subsets is the finite value \(2^n\). Exam tip: first find \(n=|A|\), then compute \(2^n\).
किसी समुच्चय में यदि कुल \(n\) तत्व हों तो उसके उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है, क्योंकि प्रत्येक तत्व को या तो उपसमुच्चय में रखा जा सकता है या नहीं। यहाँ \(n=3\) होने पर \(2^3=8\)। इसलिए विकल्प C सही है। निकटवर्ती गलत विकल्पों का कारण: विकल्प A (6) वास्तव में उन उपसमुच्चयों की संख्या है जो न तो खाली समुच्चय हैं और न ही पूरा समुच्चय (अर्थात् गैर-खाली proper उपसमुच्चय) क्योंकि \(2^3-2=6\)। विकल्प B (7) उस त्रुटि का परिणाम हो सकता है जिसमें खाली समुच्चय या पूर्ण समुच्चय को गिना ही नहीं गया। परीक्षा टिप: उपसमुच्चयों की गिनती में हमेशा खाली समुच्चय और समुच्चय स्वयं दोनों को शामिल करें। / A set with \(n\) elements has \(2^n\) subsets since each element can either be included or excluded independently. For \(n=3\), \(2^3=8\), so option C is correct. Why other plausible options are wrong: option A (6) equals the number of non-empty proper subsets (\(2^3-2=6\)), option B (7) suggests one subset was omitted (either the empty set or the set itself), and option D (9) is simply incorrect. Exam tip: always count both the empty set and the set itself when listing subsets.
कुल 5 सदस्य हैं; यदि हम \(p\) को न रखें तो शेष 4 सदस्य स्वतंत्र रूप से शामिल या बाहर किए जा सकते हैं। इसलिए उपसमुच्चयों की संख्या \(2^4=16\) होगी, अतः सही उत्तर 16 है। भ्रामक विकल्पों पर टिप्पणी: 32 उस कुल संख्या का मान है जिसमें \(p\) भी शामिल हो सकता है (\(2^5\)), 31 उन सभी गैर-रिक्त उपसमुच्चयों की संख्या है (\(2^5-1\)) और 8 तब प्राप्त होता है जब केवल 3 स्वतंत्र सदस्य हों (\(2^3\)) — इसलिए ये गलत हैं। परीक्षा सुझाव: किसी भी दिए गए तत्व को न रखने के लिए बाकी के तत्वों पर "हर एक के लिए शामिल/न incluir" के दो विकल्प लगाकर \(2^{n-1}\) का प्रयोग करें। / There are 5 elements in total; excluding \(p\) leaves 4 elements that can each be either included or excluded independently. So the number of subsets is \(2^4=16\), hence 16 is correct. Notes on distractors: 32 equals the total number of subsets including \(p\) (\(2^5\)), 31 equals the number of non-empty subsets (\(2^5-1\)), and 8 would correspond to only 3 free elements (\(2^3\)), so they are incorrect. Exam tip: For subsets that must exclude a specific element, count subsets of the remaining \(n-1\) elements using \(2^{n-1}\).
यदि \(A=B\) है, तो कोई भी उपसमुच्चय \(X\) के लिए \(X\subset A\) तब और तभी होगा जब \(X\subset B\) होगा। इसलिए \(X\in\mathcal{P}(A)\) ⇔ \(X\in\mathcal{P}(B)\) और इस कारण \(\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B)\)। विकल्प B गलत है क्योंकि सख्त उपसमुच्चय तब ही होगा जब एक पक्ष में अतिरिक्त उपसमुच्चय मौजूद हों — बराबरी में ऐसा नहीं होता। विकल्प D केवल उस विशेष स्थिति में सही है जब \(A=B=\varnothing\); सामान्य रूप से गलत है। परीक्षा टिप: दो-तरफ़ा समावेशन दिखाएँ या तत्व-स्तर पर \(X\in\mathcal{P}(A)\) ⇔ \(X\in\mathcal{P}(B)\) लिखकर साबित करें। / If \(A=B\), every subset \(X\) satisfies \(X\subset A\) iff \(X\subset B\). Hence \(X\in\mathcal{P}(A)\) ⇔ \(X\in\mathcal{P}(B)\), so \(\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B)\). Option B is wrong because a proper subset relation would require extra subsets in one power set; equality prevents that. Option D holds only in the special case \(A=B=\varnothing\), not in general. Exam tip: prove power-set equality by showing two-way inclusion or by the element-wise argument \(X\in\mathcal{P}(A)\) ⇔ \(X\in\mathcal{P}(B)\).
यहाँ 2 और 7 अनिवार्य रूप से शामिल हैं, इसलिए शेष दो तत्व 3 और 5 स्वतंत्र रूप से शामिल या न शामिल हो सकते हैं। हर एक के 2 विकल्प हैं, अतः कुल उपसमुच्चय की संख्या है \(2^2=4\)। विकल्प C (8) गलत है क्योंकि वह तीन स्वतंत्र विकल्पों की गिनती का परिणाम होता (\(2^3\)) — यहाँ ऐसे तीन स्वतंत्र तत्व नहीं हैं; विकल्प A (2) छोटा आकलन है। परीक्षा संकेत: यदि मूल सेट में कुल n तत्व और k अनिवार्य तत्व हों तो उत्तर \(2^{n-k}\) होगा। / Since 2 and 7 must be included, the remaining elements 3 and 5 can each be either present or absent independently. That gives 2 choices per element, so the total number of subsets is \(2^2=4\). Option C (8) is incorrect because it corresponds to counting 3 independent choices (\(2^3\)), which doesn't apply here; option A (2) undercounts. Exam tip: for a set of size n with k fixed elements, the number of subsets containing those k elements is \(2^{n-k}\).
दिए गए सेट में विषम तत्व \(1,3,5\) हैं — कुल 3 तत्व। किसी भी सेट के उपसमुच्चयों की संख्या सूत्र \(2^n\) से दी जाती है जहाँ \(n\) उस सेट के तत्वों की संख्या है। अत: उपसमुच्चयों की संख्या \(2^3=8\) होगी (यहां खाली सेट भी शामिल है)। विकल्प B (6) भ्रम का सामान्य उदाहरण है जब छात्र तत्वों की संख्या को गलती से सीधे उत्तर मान लेते हैं या खाली सेट शामिल करना भूल जाते हैं। परीक्षा सुझाव: पहले केवल विषम तत्व गिनें, फिर तुरंत \(2^n\) लागू करें और खाली सेट को न भूलें। / The odd elements in the set are 1, 3 and 5 — so n = 3. The number of subsets of a set with n elements is given by 2^n, hence 23 = 8 subsets (including the empty set). Option B (6) is incorrect — a common mistake is to confuse the number of elements with the number of subsets or to omit the empty set. Exam tip: identify the relevant elements first, then apply 2^n; always remember the empty subset is counted.
किसी सेट के कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है जहाँ \(n\) तत्वों की संख्या है। यहाँ \(n=4\) अतः कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं। इनमें से केवल रिक्त समुच्चय (empty set) को हटाना है ताकि कम-से-कम एक सदस्य वाले उपसमुच्चय बचेँ: \(16-1=15\)। विकल्प C (16) इसलिए गलत है क्योंकि वह रिक्त समुच्चय को भी गिनता है। विकल्प A (14) तब आ सकता है यदि किसी ने गलती से दो उपसमुच्चयों को निकाल दिया हो — यह गलत कटौती है। परीक्षा-सूत्र: गैर-रिक्त उपसमुच्चयों की त्वरित गिनती के लिए फार्मूला \(2^n-1\) याद रखें। / The number of all subsets of an n-element set is \(2^n\). Here \(n=4\), so total subsets = \(2^4=16\). Excluding only the empty set gives the non-empty subsets: \(16-1=15\). Choice C (16) is incorrect because it includes the empty set. Choice A (14) would result from incorrectly excluding an extra subset and is therefore wrong. Exam tip: use the formula for non-empty subsets \(2^n-1\) to answer quickly.
यदि A में 3 सदस्य हैं तो पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) के सदस्यों की संख्या \(2^3=8\) होगी। किसी 8-सदस्यीय सेट के कुल उपसमुच्चय \(2^8=256\) होते हैं। उचित उपसमुच्चयों में स्वयं समुच्चय शामिल नहीं होता, अत: संख्या \(2^8-1=256-1=255\)। विकल्प C (256) को चुनना इस गलती से आता है कि वे सभी उपसमुच्चयों (जिसमें पूरा सेट भी शामिल है) को गिन लेते हैं। विकल्प A (127) और D (511) गलत गणनाओं के परिणाम हैं (127 = \(2^7-1\), 511 = \(2^9-1\)) और यहाँ प्रासंगिक नहीं हैं। परीक्षा का सुझाव: पहले चरण-दर-चरण सेट का आकार तय करें (यहाँ \(2^3=8\)) और फिर उसी पर उपसमुच्चय सूत्र लगाएँ। / If A has 3 elements then the power set \(\mathcal{P}(A)\) has \(2^3=8\) elements. The total number of subsets of an 8-element set is \(2^8=256\). Proper subsets exclude the set itself, so the count is \(2^8-1=256-1=255\). Option C (256) incorrectly counts the set itself as a proper subset. Options A (127) and D (511) correspond to wrong exponents (\(2^7-1\) and \(2^9-1\) respectively) and are not relevant here. Exam tip: compute the size of \(\mathcal{P}(A)\) first, then apply the subset formula; don’t confuse subsets of A with subsets of \(\mathcal{P}(A)\).
अब \(A\) के तत्व \(1,2\) सभी संभावित \(X\) में निश्चित शामिल होंगे। बचते हुए तत्व \(B\setminus A=\{3,4,5,6\}\) हैं — प्रत्येक को या तो शामिल किया जा सकता है या नहीं। इसलिए कुल संभावनाएँ \(2^{4}=16\) हैं। विकल्प B (12) गलत है क्योंकि वह अनिवार्यताओं को गलत तरीके से गिनने का परिणाम है; यहाँ स्वतंत्र विकल्पों की संख्या \(|B|-|A|=4\) है। परीक्षा टिप: ऐसे सवालों के लिए सामान्य सूत्र याद रखें — संख्या = \(2^{|B|-|A|}\)। / The elements of \(A\), namely 1 and 2, must appear in every valid \(X\). The remaining elements are \(B\setminus A=\{3,4,5,6\}\); each of these four elements can be either included or excluded independently, giving \(2^{4}=16\) possible sets. Option B (12) is incorrect — it arises from miscounting the independent choices. Exam tip: use the formula \(2^{|B|-|A|}\) for the number of sets \(X\) with \(A\subseteq X\subseteq B\).
किसी उपसमुच्चय को निर्धारित करने के लिए हर शेष तत्व के लिए शामिल/न शामिल — दो विकल्प होते हैं। यहाँ 1 को शामिल और 5 को बाहर रखना अनिवार्य है, इसलिए बचते हैं केवल तत्व 2, 3 और 4 — कुल 3 स्वतंत्र तत्व। प्रत्येक के दो विकल्प होने से कुल उपसमुच्चय होंगे \(2^3=8\)। विकल्प A (4) तब गलत होगा जब कोई केवल 2 स्वतंत्र तत्व मान ले; विकल्प D (16) तब गलती है जब चार स्वतंत्र तत्व मान लिए जाएँ। परीक्षा टिप: किसी भी शर्तित सदस्यता/अप्रविष्टता के बाद बचे स्वतंत्र तत्वों की संख्या गिनें और उत्तर \(2^{\text{बचे हुए}}") से निकालें। / Each element not fixed by the conditions can either be present or absent, giving 2 choices each. Here 1 must be included and 5 must be excluded, leaving elements 2, 3 and 4 free — three independent elements. Therefore the number of such subsets is \(2^3=8\). Option A (4) would be the result if only two elements were treated as free; option D (16) corresponds to incorrectly treating four elements as free. Exam tip: count the remaining free elements after applying inclusion/exclusion conditions and compute \(2^{\text{number of free elements}}\).
कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^4=16\) है। कम से कम एक में से नहीं — यानी दोनों \(a\) और \(b\) को बाहर रखने वाले उपसमुच्चय केवल elementen \(\{c,d\}\) के किसी भी चयन से बनते हैं, उनकी संख्या \(2^2=4\) है। अतः कम से कम एक होने वाले उपसमुच्चय = \(16-4=12\)। नज़दीकी गलती: विकल्प D (14) तब मिलेगा जब कोई गलत तरीके से सोचे कि बाहर रखने वाले उपसमुच्चय केवल \(2\) हैं (यानि \(16-2\)) — पर वास्तविक में दोनों को बाहर रखने के \(2^2=4\) उपसमुच्चय होते हैं। परीक्षा युक्ति: कुल से पूरक गिनें — "कम से कम एक" गिनने के बजाय "दोनों नहीं" गिनकर घटाएँ; यह अक्सर सरल और तेज़ होता है। / Total number of subsets is \(2^4=16\). Subsets that exclude both \(a\) and \(b\) are exactly the subsets of \(\{c,d\}\), which number \(2^2=4\). Therefore subsets containing at least one of \(a\) or \(b\) = \(16-4=12\). About a common wrong answer: option D (14) comes from mistakenly subtracting \(2\) instead of \(4\) for the "exclude both" case (i.e. doing \(16-2\)), so it's incorrect. Exam tip: use the complement principle — count "neither a nor b" and subtract from the total; it avoids double counting.
समुच्चयों के लिए सामान्य सूत्र है \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\)। यहाँ दिया है \(2^{n(A)}=32\)। क्योंकि \(32=2^5\), इसलिए \(n(A)=5\)। नज़दीकी विकर्षक क्यों गलत हैं: विकल्प A पर \(2^4=16\) होता है, विकल्प C पर \(2^6=64\) होता है, और विकल्प D पर \(2^{16}\) बहुत बड़ा है; इसलिए वे सभी 32 नहीं दे रहे। परीक्षा सुझाव: ऐसे प्रश्नों में सीधे बेस-2 के घात की पहचान करें या दोनों पक्षों का \(\log_2\) लें — यह गलत उत्तरों से तुरंत छुटकारा दिलाता है। / For sets the formula is \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\). Here \(2^{n(A)}=32\), and since \(32=2^5\), we get \(n(A)=5\). Why other choices are wrong: option A gives \(2^4=16\), option C gives \(2^6=64\), and option D corresponds to \(2^{16}\), none equal 32. Exam tip: recognize powers of 2 quickly or take \(\log_2\) of both sides to find \(n(A)\).
यदि \(X\in\mathcal{P}(A)\) है तो \(X\subseteq A\)। क्योंकि \(A\subseteq B\), इसलिए \(X\subseteq B\) भी होगा, अतः \(X\in\mathcal{P}(B)\)। यह दिखाता है कि हर तत्व (उपसमुच्चय) जो \(\mathcal{P}(A)\) में है, वह \(\mathcal{P}(B)\) में भी है, अर्थात् \(\mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)\)। विकल्प B गलत है क्योंकि इसका सत्य होने के लिए आवश्यक है कि \(B\subseteq A\) भी हो (यानी \(A=B\))। विकल्प C तभी सही होगा जब \(A=B\)। परीक्षा सुझाव: समावेशन साबित करने के लिए किसी भी सामान्य तत्व \(X\in\mathcal{P}(A)\) को लेकर देखिए कि वह \(\mathcal{P}(B)\) में भी आता है — यह विधि अक्सर तेज और सुरक्षित रहती है। / Take any \(X\in\mathcal{P}(A)\). Then \(X\subseteq A\). Since \(A\subseteq B\), we get \(X\subseteq B\), so \(X\in\mathcal{P}(B)\). Hence every element of \(\mathcal{P}(A)\) lies in \(\mathcal{P}(B)\), i.e. \(\mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)\). Option B is incorrect because it asserts the reverse inclusion, which holds only when \(A=B\). Option C is only true in the special case \(A=B\). Exam tip: to prove set inclusions, pick an arbitrary element of the left side and show it belongs to the right side — this direct-element method is reliable for power sets.
A में सम तत्व {2,4} हैं — कुल 2 तत्व। किसी भी n-तत्व वाले सेट के उपसमुच्चयों की संख्या का सूत्र है \(2^n\)। यहाँ \(n=2\) इसलिए उपसमुच्चयों की संख्या \(2^2=4\)। आम त्रुटियाँ: विकल्प A (2) गलत है क्योंकि वह केवल सम तत्वों की संख्या गिन रहा है, न कि उनके उपसमुच्चयों की संख्या। विकल्प D (8) गलत है — 8 का संबंध किसी तीसरे तत्व वाले सेट के \(2^3\) से हो सकता है और यह यहाँ प्रासंगिक नहीं है। परीक्षात्मक सुझाव: पहले सम तत्वों की संख्या गिनें और तुरंत \(2^n\) फार्मूला लागू करें; खाली सेट भी उपसमुच्चय माना जाता है। / The even elements of A are {2,4}, so there are 2 even elements. The number of subsets of a set with n elements is given by \(2^n\). Here \(n=2\), hence the number of subsets is \(2^2=4\). Common mistakes: option A (2) confuses the count of elements with the count of subsets. Option D (8) is incorrect — 8 would correspond to \(2^3\) and is unrelated here. Exam tip: count the allowed elements first, then apply \(2^n\); remember the empty set is a valid subset.
क्योंकि \(A \subseteq U\), इसलिए (\mathcal{P}(A)) के सभी \(2^4=16\) सदस्य (U) के उपसमुच्चय हैं। परीक्षा में पहले \(A \subseteq U\) जांचें। / Since \(A \subseteq U\), all \(2^4=16\) members of (\mathcal{P}(A)) are subsets of (U). In exams, first check whether \(A \subseteq U\).
(|\mathcal{P}(A)|=128=27), इसलिए (|A|=7) और (|A'|=4)। non-empty subsets \(2^4-1=15\) होंगे। / Since (|\mathcal{P}(A)|=128=27), (|A|=7) and (|A'|=4). The non-empty subsets are \(2^4-1=15\).
यहां (A'=U-A={b,d}), इसलिए (|\mathcal{P}(A')|=22=4)। परीक्षा में पूरक हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष लें। / Here (A'=U-A={b,d}), so (|\mathcal{P}(A')|=22=4). In exams, always take complement with respect to the given universal set.
यहां \(A\cap B={3,4}\), इसलिए (\(A\cap B\)') में (6) तत्व हैं। अतः (|\mathcal{P}(\(A\cap B\)')|=26=64)। / Here \(A\cap B={3,4}\), so (\(A\cap B\)') has (6) elements. Hence (|\mathcal{P}(\(A\cap B\)')|=26=64).
क्योंकि (|U-A|=9-5=4), इसलिए (|\mathcal{P}(U-A)|=24=16)। परीक्षा में पहले पूरक की संख्या निकालें। / Since (|U-A|=9-5=4), (|\mathcal{P}(U-A)|=24=16). In exams, first find the number of elements in the complement.
(a) fixed होने पर odd cardinality के लिए बाकी (4) तत्वों में even संख्या चुननी होगी। ऐसे choices \(2^{4-1}=8\) हैं। / After fixing (a), an even number of elements must be chosen from the remaining (4) elements for odd cardinality. The number of such choices is \(2^{4-1}=8\).
(\mathcal{P}\(\varnothing\)={\varnothing}) में (1) सदस्य है, इसलिए (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) में \(2^1=2\) सदस्य होंगे। खाली समुच्चय और उसके घात समुच्चय को अलग समझें। / (\mathcal{P}\(\varnothing\)={\varnothing}) has (1) member, so (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) has \(2^1=2\) members. Treat the empty set and its power set separately.
समुच्चय (A) में (3) अलग-अलग सदस्य हैं, इसलिए (|\mathcal{P}(A)|=23=8)। nested sets को अलग तत्व मानकर गिनना चाहिए। / The set (A) has (3) distinct members, so (|\mathcal{P}(A)|=23=8). Nested sets should be counted as separate elements.
(|\mathcal{P}(A)|=64), इसलिए (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) में \(2^{64}\) सदस्य होंगे। परीक्षा में घात समुच्चय पर फिर घात समुच्चय लगाने में घातांक न घटाएं। / (|\mathcal{P}(A)|=64), so (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) has \(2^{64}\) members. In exams, do not reduce the exponent when taking a power set again.
कोर कॉन्सेप्ट: किसी सेट S के पावर सेट \(\mathcal{P}(S)\) के सदस्यों की संख्या \(2^{|S|}\) होती है। यहाँ \(|U|=8\) और \(|A|=5\)। इसलिए \(|\mathcal{P}(U)|=2^8=256\) और \(|\mathcal{P}(A)|=2^5=32\)। \(\mathcal{P}(U)-\mathcal{P}(A)\) में वे ही उपसमुच्चय आएँगे जो \(U\) के हैं पर \(A\) के नहीं—इसलिए कुल = \(2^8-2^5=256-32=224\)। निकटतम भ्रामक विकल्प: \(256\) (विकल्प D) केवल \(\mathcal{P}(U)\) का आकार है, वह \(\mathcal{P}(A)\) को घटाता नहीं; \(243\) और \(248\) के कोई सरल सेट-कार्डिनैलिटी अर्थ यहाँ उपयुक्त नहीं। परीक्षा-सुझाव: ध्यान रखें कि \(\mathcal{P}(U)-\mathcal{P}(A)\) और \(\mathcal{P}(U-A)\) अलग होते हैं — पहले में उन सभी उपसमुच्चयों को घटाते हैं जो पूरी तरह A में हैं। / Core concept: the power set of a set S has \(2^{|S|}\) elements. Here \(|U|=8\) and \(|A|=5\). So \(|\mathcal{P}(U)|=2^8=256\) and \(|\mathcal{P}(A)|=2^5=32\). The set \(\mathcal{P}(U)-\mathcal{P}(A)\) consists of subsets of U that are not subsets of A, hence its size is \(2^8-2^5=256-32=224\). Why other choices are wrong: 256 counts all subsets of U (ignores subtraction of those inside A); 243 and 248 do not correspond to correct counts from cardinalities here. Exam tip: compute cardinalities first and remember that \(\mathcal{P}(U)-\mathcal{P}(A)\) is not equal to \(\mathcal{P}(U-A)\).
यहां (A'={1,3,5}), इसलिए ({2}) इसका उपसमुच्चय नहीं है। परीक्षा में विकल्प को पूरक के उपसमुच्चय के रूप में जांचें। / Here (A'={1,3,5}), so ({2}) is not its subset. In exams, check each option as a subset of the complement.
({2}) स्वयं (A) का एक तत्व है, इसलिए ({{2}}) (A) का उपसमुच्चय है। परीक्षा में तत्व और एकल समुच्चय में फर्क करें। / ({2}) itself is an element of (A), so ({{2}}) is a subset of (A). In exams, distinguish an element from a singleton set.
समुच्चय (A) में दो अलग सदस्य \(\varnothing\) और \({\varnothing}\) हैं, इसलिए (|\mathcal{P}(A)|=22=4)। परीक्षा में nested elements को गिनते समय सावधान रहें। / The set (A) has two distinct members \(\varnothing\) and \({\varnothing}\), so (|\mathcal{P}(A)|=22=4). In exams, be careful while counting nested elements.
क्योंकि \(A\in \mathcal{P}(A)\), इसलिए \(A\in \mathcal{P}(U)\) और अतः \(A\subseteq U\)। परीक्षा में \(\mathcal{P}(A)\subseteq \mathcal{P}(U)\) से \(A\subseteq U\) निकालें। / Since \(A\in \mathcal{P}(A)\), \(A\in \mathcal{P}(U)\), hence \(A\subseteq U\). In exams, infer \(A\subseteq U\) from \(\mathcal{P}(A)\subseteq \mathcal{P}(U)\).
(|\mathcal{P}(A')|=8=23), इसलिए (|A'|=3) और (|A|=7-3=4)। परीक्षा में \(2^n\) से (n) पहचानें। / (|\mathcal{P}(A')|=8=23), so (|A'|=3) and (|A|=7-3=4). In exams, identify (n) from \(2^n\).
\(A\cup B={1,2,3}\), इसलिए कुल subsets \(2^3=8\) और proper subsets (8-1=7) हैं। परीक्षा में पूरा समुच्चय हटाना न भूलें। / \(A\cup B={1,2,3}\), so total subsets are \(2^3=8\) and proper subsets are (8-1=7). In exams, do not forget to exclude the whole set.
(A) और (A') असंबद्ध हैं, इसलिए दोनों के समान उपसमुच्चय में केवल \(\varnothing\) है। परीक्षा में intersection of power sets को common subsets समझें। / (A) and (A') are disjoint, so the only common subset is \(\varnothing\). In exams, understand intersection of power sets as common subsets.
जब \(A\cap B=\varnothing\), तब common subset केवल \(\varnothing\) होता है। इसलिए cardinality (1) है। / When \(A\cap B=\varnothing\), the only common subset is \(\varnothing\). Therefore the cardinality is (1).
(\mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B)=\mathcal{P}\(A\cap B\)), इसलिए संख्या \(2^2=4\) है। परीक्षा में यह identity बहुत उपयोगी है। / (\mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B)=\mathcal{P}\(A\cap B\)), so the number is \(2^2=4\). This identity is very useful in exams.
(|\mathcal{P}\(A\cup B\)|=16), \(|\mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B)|=4+4-1=7\), इसलिए अंतर (9) है। परीक्षा में \(\varnothing\) दोनों में common गिनें। / (|\mathcal{P}\(A\cup B\)|=16), \(|\mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B)|=4+4-1=7\), so the difference is (9). In exams, count \(\varnothing\) as common to both.
दो-सदस्यीय subsets की संख्या \(\binom{3}{2}=3\) है। परीक्षा में fixed size subsets के लिए combination लगाएं। / The number of two-element subsets is \(\binom{3}{2}=3\). In exams, use combinations for fixed-size subsets.
ऐसे subsets की संख्या \(\binom{6}{4}=15\) होती है। परीक्षा में \(\binom{6}{4}=\binom{6}{2}\) का प्रयोग तेज गणना के लिए करें। / The number of such subsets is \(\binom{6}{4}=15\). In exams, use \(\binom{6}{4}=\binom{6}{2}\) for faster calculation.
किसी (n)-तत्वीय समुच्चय में odd subsets की संख्या \(2^{n-1}\) होती है, अतः \(2^6=64\)। परीक्षा में even और odd subsets बराबर होते हैं। / For an (n)-element set, the number of odd subsets is \(2^{n-1}\), so \(2^6=64\). In exams, even and odd subsets are equal in number.
Even cardinality subsets की संख्या \(2^{8-1}=128\) है। परीक्षा में \(n\geq1\) होने पर even और odd subsets बराबर याद रखें। / The number of even cardinality subsets is \(2^{8-1}=128\). In exams, remember that for \(n\geq1\), even and odd subsets are equal.
(1) fixed है और (5) excluded है, इसलिए शेष ({2,3,4}) से \(2^3=8\) choices मिलती हैं। परीक्षा में fixed और forbidden elements अलग करें। / (1) is fixed and (5) is excluded, so the remaining ({2,3,4}) gives \(2^3=8\) choices. In exams, separate fixed and forbidden elements.
(a) और (b) fixed हैं, बाकी (4) तत्वों पर \(2^4=16\) विकल्प हैं। परीक्षा में compulsory elements को पहले रख दें। / (a) and (b) are fixed, and the remaining (4) elements give \(2^4=16\) choices. In exams, place compulsory elements first.
कुल subsets \(2^6=64\) हैं और (2,4) दोनों न होने वाले subsets \(2^4=16\) हैं, इसलिए उत्तर (48) है। परीक्षा में at least one के लिए complement method तेज है। / Total subsets are \(2^6=64\), and subsets containing neither (2) nor (4) are \(2^4=16\), so the answer is (48). In exams, use complement method for at least one.
जिस subset में ({1,2}) शामिल हो, उसमें (3) और (4) वैकल्पिक हैं, इसलिए \(2^2=4\)। परीक्षा में required subset को fixed block मानें। / A subset containing ({1,2}) has (3) and (4) as optional elements, so \(2^2=4\). In exams, treat the required subset as fixed.
\(A\cup B={1,2,3,5,7,8}\), इसलिए complement ({4,6}) है और power set size \(2^2=4\)। परीक्षा में पहले union फिर complement लें। / \(A\cup B={1,2,3,5,7,8}\), so the complement is ({4,6}) and the power set size is \(2^2=4\). In exams, take union first and then complement.
(U) में primes ({2,3,5,7,11}) हैं, इसलिए (|A'|=12-5=7) और \(2^7=128\) नहीं? ध्यान दें (A') में (7) तत्व हैं, इसलिए सही मान (128) है। / The primes in (U) are ({2,3,5,7,11}), so (|A'|=12-5=7) and the value is \(2^7=128\). In exams, do not count (1) as prime.
(A') में odd numbers ({1,3,5,7,9}) हैं, इसलिए non-empty subsets \(2^5-1=31\) हैं। परीक्षा में \(\varnothing\) हटाने पर (1) घटाएं। / (A') contains odd numbers ({1,3,5,7,9}), so non-empty subsets are \(2^5-1=31\). In exams, subtract (1) to exclude \(\varnothing\).
B. असत्य क्योंकि \(1\notin \mathcal{P}(A)\)/False because \(1\notin \mathcal{P}(A)\)
Explanation
Simple Explanation
\({1}\subseteq \mathcal{P}(A)\) का अर्थ है \(1\in\mathcal{P}(A)\), जो गलत है। परीक्षा में \(\in\) और \(\subseteq\) का अर्थ ध्यान से पढ़ें। / \({1}\subseteq \mathcal{P}(A)\) means \(1\in\mathcal{P}(A)\), which is false. In exams, read the meanings of \(\in\) and \(\subseteq\) carefully.
(a) excluded होने पर शेष (3) तत्व स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2^3=8\) subsets हैं। परीक्षा में excluded element हटाकर गिनें। / When (a) is excluded, the remaining (3) elements are free, so there are \(2^3=8\) subsets. In exams, remove the excluded element and count.
जोड़ी ({2,3}) के लिए (2) choices हैं और बाकी (3) तत्वों के लिए \(2^3\), इसलिए \(2\cdot2^3=16\)। परीक्षा में linked elements को cases में बांटें। / For the pair ({2,3}), there are (2) choices and for the remaining (3) elements there are \(2^3\), so \(2\cdot2^3=16\). In exams, split linked elements into cases.
(1) fixed होने के बाद बाकी (5) तत्वों में odd number चुनना होगा, जिसकी संख्या \(2^{5-1}=16\) है। परीक्षा में total parity को fixed element से adjust करें। / After fixing (1), an odd number must be chosen from the remaining (5) elements, which is \(2^{5-1}=16\). In exams, adjust total parity using the fixed element.
\(A\cap B={3}\), इसलिए complement में (5) तत्व हैं और power set size \(2^5=32\) है। परीक्षा में complement सार्वत्रिक समुच्चय से लें। / \(A\cap B={3}\), so the complement has (5) elements and the power set size is \(2^5=32\). In exams, take complement from the universal set.
\(|A\cup B|=6+5-3=8\), इसलिए complement में (2) तत्व हैं और power set size \(2^2=4\) है। परीक्षा में inclusion-exclusion लगाएं। / \(|A\cup B|=6+5-3=8\), so the complement has (2) elements and the power set size is \(2^2=4\). In exams, use inclusion-exclusion.
(|B-A|=2) और (|U-B|=3), इसलिए \(2^2+2^3=4+8=12\)। परीक्षा में nested subsets में अंतर सीधे घटाकर निकालें। / (|B-A|=2) and (|U-B|=3), so \(2^2+2^3=4+8=12\). In exams, find differences in nested subsets by direct subtraction.
Singleton members ({1},{2},{3}) हैं, इसलिए संख्या (3) है। परीक्षा में \(\varnothing\) singleton नहीं होता। / The singleton members are ({1},{2},{3}), so the number is (3). In exams, \(\varnothing\) is not a singleton.
(\mathcal{P}(A)) में \(2^3=8\) सदस्य हैं, इसलिए उसके power set में singleton members भी (8) होंगे। परीक्षा में singleton members की संख्या base set की cardinality के बराबर होती है। / (\mathcal{P}(A)) has \(2^3=8\) members, so its power set has (8) singleton members. In exams, the number of singleton members equals the cardinality of the base set.
Disjoint subsets केवल ({3,4}) से बनेंगे, इसलिए संख्या \(2^2=4\) है। परीक्षा में disjoint condition के लिए forbidden elements हटाएं। / Disjoint subsets are formed only from ({3,4}), so the number is \(2^2=4\). In exams, remove forbidden elements for a disjoint condition.
(A'={4,5,6,7}) में (4) तत्व हैं, इसलिए proper subsets \(2^4-1=15\) हैं। परीक्षा में पूरा (A') हटाना न भूलें। / (A'={4,5,6,7}) has (4) elements, so proper subsets are \(2^4-1=15\). In exams, remember to exclude the whole (A').
पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में तत्वों की संख्या \(2^n\) होती है यदि A में n तत्व हों। A का पूरक A' में कुल तत्व \(|U|-n = 12-n\) होंगे, अतः \(|\mathcal{P}(A')| = 2^{12-n}\). दिया गया है \(2^n = 2^{12-n}\)। आधार समान होने पर सूचक बराबर होते हैं, इसलिए \(n = 12 - n\) और \(n = 6\)। निकटतम भ्रमित विकल्प: B (5) पर विचार करने से पता चलता है कि \(2^5=32\) जबकि \(2^{12-5}=2^7=128\), अतः वह सही नहीं है। परीक्षा-सुझाव: पूरक का आकार \(|U|-n\) और पावर-सेट का आकार \(2^{(\cdot)}\) याद रखें — समान आधार मिलने पर सीधे एक्सपोनेंट बराबर करें। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) has \(2^n\) elements when A has n elements. The complement A' has \(|U|-n = 12-n\) elements, so \(|\mathcal{P}(A')| = 2^{12-n}\). Given \(2^n = 2^{12-n}\), with equal bases the exponents must be equal, hence \(n = 12 - n\) and \(n = 6\). Closest distractor check: option B (5) fails because \(2^5=32\) while \(2^{12-5}=2^7=128\). Exam tip: compute complement size as \(|U|-n\) first and then equate exponents when the bases are identical.
कारण: \(|\mathcal{P}(A)|=32=2^5\) से \(|A|=5\)। पूरक का आकार \(|A'|=|U|-|A|=15-5=10\) होगा। इसलिए \(|\mathcal{P}(A')|=2^{|A'|}=2^{10}\)। निकटतम भ्रामक विकल्प क्यों गलत है: विकल्प A (\(2^5\)) असल में \(\mathcal{P}(A)\) का आकार है, न कि \(\mathcal{P}(A')\)। परीक्षा-सुझाव: हमेशा याद रखें \(|\mathcal{P}(X)|=2^{|X|}\) और पूरक का आकार \(|A'|=|U|-|A|\)। / Reason: since \(|\mathcal{P}(A)|=32=2^5\), we have \(|A|=5\). The complement has size \(|A'|=|U|-|A|=15-5=10\). Hence \(|\mathcal{P}(A')|=2^{|A'|}=2^{10}\). Why the closest distractor is wrong: option A (\(2^5\)) equals the size of \(\mathcal{P}(A)\), not of \(\mathcal{P}(A')\). Exam tip: use \(|\mathcal{P}(X)|=2^{|X|}\) and compute complement size by \(|U|-|A|\) before applying the power-set formula.
कुल \(2^5=32\) subsets हैं और sizes (0,1,2) वाले (1+5+10=16) हैं, इसलिए उत्तर (16) है। परीक्षा में complement counting करें। / Total subsets are \(2^5=32\), and those of sizes (0,1,2) are (1+5+10=16), so the answer is (16). In exams, use complement counting.
संख्या \(\binom{7}{5}+\binom{7}{6}+\binom{7}{7}=21+7+1=29\) है। परीक्षा में at least का अर्थ सभी बड़े sizes जोड़ना है। / The number is \(\binom{7}{5}+\binom{7}{6}+\binom{7}{7}=21+7+1=29\). In exams, at least means adding all larger sizes.
(1) fixed है, इसलिए बाकी (2) तत्व (5) में से चुने जाएंगे: \(\binom{5}{2}=10\)। परीक्षा में compulsory element के बाद remaining choice गिनें। / (1) is fixed, so the remaining (2) elements are chosen from (5): \(\binom{5}{2}=10\). In exams, count remaining choices after fixing the compulsory element.
(1) हटाने पर (5) तत्व बचते हैं, जिनमें से (3) चुनने हैं: \(\binom{5}{3}=10\)। परीक्षा में excluded element को पहले हटा दें। / After removing (1), (5) elements remain and (3) must be chosen: \(\binom{5}{3}=10\). In exams, remove the excluded element first.
(A) fixed है और (U-A) के (4) तत्व optional हैं, इसलिए \(2^4=16\)। परीक्षा में containing (A) का अर्थ \(A\subseteq S\) लें। / (A) is fixed and the (4) elements of (U-A) are optional, so \(2^4=16\). In exams, containing (A) means \(A\subseteq S\).
(A') से disjoint subsets केवल (A) के subsets होंगे, इसलिए संख्या \(2^4=16\) है। परीक्षा में disjoint from complement का अर्थ subset of original set समझें। / Subsets disjoint from (A') are exactly subsets of (A), so the number is \(2^4=16\). In exams, understand disjoint from complement as subset of the original set.
यहां (A') में (6) तत्व हैं, इसलिए (|\mathcal{P}(A')|=26=64)। परीक्षा में complement हमेशा (U) के सापेक्ष निकालें। / Here (A') has (6) elements, so (|\mathcal{P}(A')|=26=64). In exams, always find complement with respect to (U).
(|\mathcal{P}(A)|=256=28), इसलिए (|A|=8) और (|A'|=8)। non-empty subsets की संख्या \(2^8-1=255\) है। / Since (|\mathcal{P}(A)|=256=28), (|A|=8) and (|A'|=8). The number of non-empty subsets is \(2^8-1=255\).
दिया है \(|\mathcal{P}(A)|=64=2^6\). सामान्य सूत्र के अनुसार \(|\mathcal{P}(X)|=2^{|X|}\) है, अतः \(|A|=6\). चूँकि \(|U|=14\) और \(A\subseteq U\), इसलिए परिशिष्ट (complement) का कार्दिनेलिटी \(|A'|=14-6=8\). इस कारण \(|\mathcal{P}(A')|=2^{|A'|}=2^8\). निकटवर्ती विचलन: \(2^7\) तब गलत होगा जब कोई \(|A'|\) को 7 मान ले ले; ध्यान रखें कि परिशिष्ट का आकार = \(|U|-|A|\). परीक्षा सुझाव: पावर सेट का आकार तुरंत \(2^{|\cdot|}\) से निकालेँ — यह सबसे तेज़ रास्ता है। / Since \(|\mathcal{P}(A)|=64=2^6\) and generally \(|\mathcal{P}(X)|=2^{|X|}\), we get \(|A|=6\). With \(|U|=14\) and \(A\subseteq U\), the complement has size \(|A'|=14-6=8\). Therefore \(|\mathcal{P}(A')|=2^{|A'|}=2^8\). Closest distractor \(2^7\) would be wrong only if one incorrectly computed \(|A'|=7\). Exam tip: convert power-set sizes to the element count using \( |\mathcal{P}(X)|=2^{|X|} \) then use \(|A'|=|U|-|A|\).
\(A\cap B={4,10}\), इसलिए (\(A\cap B\)') में (9) तत्व हैं। अतः (|\mathcal{P}(\(A\cap B\)')|=29=512)। / \(A\cap B={4,10}\), so (\(A\cap B\)') has (9) elements. Hence (|\mathcal{P}(\(A\cap B\)')|=29=512).
समुच्चय (A) में (3) अलग-अलग तत्व हैं, इसलिए (|\mathcal{P}(A)|=23=8)। परीक्षा में \(\varnothing\), (1), और ({1}) को अलग मानें। / The set (A) has (3) distinct elements, so (|\mathcal{P}(A)|=23=8). In exams, treat \(\varnothing\), (1), and ({1}) as different.
(a) fixed है और (b) excluded है, इसलिए बाकी (3) तत्व (5) तत्वों से चुनने होंगे। संख्या \(\binom{5}{3}=10\) है। / (a) is fixed and (b) is excluded, so the remaining (3) elements must be chosen from (5) elements. The number is \(\binom{5}{3}=10\).
ऐसे subsets की संख्या \(\binom{4}{2}=6\) है। परीक्षा में fixed size subsets के लिए \(\binom{n}{r}\) लगाएं। / The number of such subsets is \(\binom{4}{2}=6\). In exams, use \(\binom{n}{r}\) for fixed-size subsets.
\(A\cup B={1,2,3,4,5}\), इसलिए complement में (3) तत्व हैं। अतः (|\mathcal{P}(\(A\cup B\)')|=23=8)। / \(A\cup B={1,2,3,4,5}\), so the complement has (3) elements. Hence (|\mathcal{P}(\(A\cup B\)')|=23=8).
क्योंकि \(A\in\mathcal{P}(A)\), इसलिए \(A\in\mathcal{P}(B)\) और \(A\subseteq B\)। इसी तरह \(B\subseteq A\), इसलिए (A=B)। / Since \(A\in\mathcal{P}(A)\), \(A\in\mathcal{P}(B)\) and \(A\subseteq B\). Similarly \(B\subseteq A\), so (A=B).
(|A|=9-4=5), इसलिए (A) के proper subsets \(2^5-1=31\) हैं। परीक्षा में proper subset के लिए पूरा set हटाएं। / (|A|=9-4=5), so proper subsets of (A) are \(2^5-1=31\). In exams, exclude the whole set for proper subsets.
(1) fixed है और (2) excluded है, इसलिए बाकी (3) तत्वों से \(2^3=8\) subsets बनेंगे। परीक्षा में compulsory और forbidden elements अलग करें। / (1) is fixed and (2) is excluded, so the remaining (3) elements give \(2^3=8\) subsets. In exams, separate compulsory and forbidden elements.
(p) और (q) हटाने पर (4) तत्व बचते हैं, इसलिए \(2^4=16\) subsets होंगे। परीक्षा में neither condition में दोनों तत्व हटाएं। / After removing (p) and (q), (4) elements remain, so there are \(2^4=16\) subsets. In exams, remove both elements for a neither condition.
जब \(|A|=n\geq1\), even cardinality subsets की संख्या \(2^{n-1}\) होती है। यहां \(2^6=64\) है। / When \(|A|=n\geq1\), the number of even cardinality subsets is \(2^{n-1}\). Here it is \(2^6=64\).
(6) fixed है, इसलिए बाकी (5) तत्वों में even संख्या चुननी होगी। ऐसे choices \(2^{5-1}=16\) हैं। / (6) is fixed, so an even number must be chosen from the remaining (5) elements. Such choices are \(2^{5-1}=16\).
({2,3}) स्वयं (A) का तत्व है, इसलिए ({{2,3}}) (A) का subset है। परीक्षा में nested element को एक object मानें। / ({2,3}) itself is an element of (A), so ({{2,3}}) is a subset of (A). In exams, treat a nested element as one object.
(\mathcal{P}(A)) में (1) सदस्य और (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) में (2) सदस्य हैं। इसलिए अगले power set में \(2^2=4\) सदस्य होंगे। / (\mathcal{P}(A)) has (1) member and (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) has (2) members. Hence the next power set has \(2^2=4\) members.
यदि \(|A|=n\) हो तो पहले पॉवर सेट का आकार \(|\mathcal{P}(A)|=2^n\) होगा और फिर उसके पॉवर सेट का आकार \(|\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))|=2^{2^n}\) होगा. दिया गया है \(2^{2^n}=256=2^8\), इसलिए \(2^n=8\) और \(n=3\). विकल्प C (4) तब होता है जब कोई छात्र भूलकर \(2^{2^n}\) को \(2^{2n}\) समझ लेता है: फिर \(2^{2n}=256\Rightarrow2n=8\Rightarrow n=4\), इसलिए C गलत है. परीक्षा टिप: पॉवर-सेट पर दो बार ऑपरेशन लगाने पर घात के अंदर फिर से घात बनता है — इसे कदम-दर-कदम लिखकर भूलने से बचें। / Let \(|A|=n\). Then \(|\mathcal{P}(A)|=2^n\) and \(|\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))|=2^{2^n}\). Given \(2^{2^n}=256=2^8\), so \(2^n=8\) and hence \(n=3\). A common mistake (leading to option C = 4) is to treat \(2^{2^n}\) as \(2^{2n}\); that yields \(2^{2n}=256\Rightarrow n=4\), which is incorrect. Exam tip: evaluate iterated power sets stepwise — first find \(2^n\), then raise 2 to that power.
क्योंकि \(\mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)\), इसलिए अंतर \(2^6-2^3=64-8=56\) है। परीक्षा में nested power sets में सीधे घटाएं। / Since \(\mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)\), the difference is \(2^6-2^3=64-8=56\). In exams, subtract directly for nested power sets.
(\mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B)=\mathcal{P}\(A\cap B\)), इसलिए संख्या \(2^4=16\) है। परीक्षा में common subsets की identity याद रखें। / (\mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B)=\mathcal{P}\(A\cap B\)), so the number is \(2^4=16\). In exams, remember the identity for common subsets.
दोनों power sets में common member केवल \(\varnothing\) है। इसलिए \(2^4+2^3-1=16+8-1=23\)। / The only common member of the two power sets is \(\varnothing\). Therefore \(2^4+2^3-1=16+8-1=23\).
पहला कदम है \(A-B\) निकालना: \(A-B=\{1,7,9\}\) क्योंकि \(3\) और \(5\) दोनों \(B\) में भी हैं। यहाँ ' (प्राइम) का अर्थ है मानक यूनिवर्सल सेट \(U\) के सापेक्ष समपूर्ण (complement)। अतः \((A-B)'=U-\{1,7,9\}=\{2,3,4,5,6,8\}\) — इसमें कुल 6 तत्व हैं। किसी सेट का power set में उपसामूहिकों की संख्या \(2^{n}\) होती है, जहाँ \(n\) उस सेट के तत्वों की संख्या है, इसलिए \(|\mathcal{P}((A-B)')|=2^{6}=64\)। ध्यान रहे कि एक सामान्य गलतियाँ: 32 (\(2^5\)) चुनना तब होता है जब कोई एक तत्व छूट जाए; 128 (\(2^7\)) तब जब गलत तरह से अतिरिक्त तत्व जोड़ लिए जाएँ। परीक्षा-टिप: प्राइम (') हमेशा यूनिवर्सल सेट के सापेक्ष है — पहले difference, फिर complement पर स्पष्ट रहें। / Compute \(A-B\) first: \(A-B=\{1,7,9\}\) since 3 and 5 are also in \(B\). The prime (') denotes complement with respect to the universal set \(U\), so \((A-B)'=U-\{1,7,9\}=\{2,3,4,5,6,8\}\), which has 6 elements. The power set has \(2^n\) subsets for an \(n\)-element set, so \(|\mathcal{P}((A-B)')|=2^{6}=64\). Common mistake: choosing 32 (\(2^5\)) comes from miscounting elements; 128 (\(2^7\)) comes from incorrectly adding elements. Exam tip: perform set operations in the correct order and always take complements relative to the given universal set.
कम से कम (6) तत्वों वाले subsets की संख्या \(\binom{7}{6}+\binom{7}{7}=7+1=8\) है। परीक्षा में at least का मतलब सभी बड़े sizes जोड़ना है। / The number of subsets with at least (6) elements is \(\binom{7}{6}+\binom{7}{7}=7+1=8\). In exams, at least means adding all larger sizes.
संख्या \(\binom{8}{0}+\binom{8}{1}+\binom{8}{2}=1+8+28=37\) है। परीक्षा में at most में (0) size वाला subset भी जोड़ें। / The number is \(\binom{8}{0}+\binom{8}{1}+\binom{8}{2}=1+8+28=37\). In exams, include the subset of size (0) in at most.
(a,b) में से ठीक एक चुनने के (2) तरीके हैं और बाकी (3) तत्व स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2\cdot2^3=16\)। / There are (2) ways to choose exactly one of (a,b), and the remaining (3) elements are free. Hence \(2\cdot2^3=16\).
(1) fixed और (6) excluded है, इसलिए (2) तत्व ({2,3,4,5}) से चुनेंगे। संख्या \(\binom{4}{2}=6\) है। / (1) is fixed and (6) is excluded, so choose (2) elements from ({2,3,4,5}). The number is \(\binom{4}{2}=6\).
Disjoint subsets केवल ({3,4,5}) से बनेंगे, इसलिए \(2^3=8\) हैं। परीक्षा में disjoint condition के लिए forbidden elements हटा दें। / Disjoint subsets are formed only from ({3,4,5}), so there are \(2^3=8\). In exams, remove forbidden elements for a disjoint condition.
किसी भी सदस्य को \(A\) को उपसमुच्चय रखने के लिए वह सदस्य रूप से \(A\cup S\) होना चाहिए जहाँ \(S\subseteq U\setminus A\)। \(U\) में कुल 8 तत्व हैं और \(A\) में 3 तत्व हैं, अतः \(U\setminus A\) में 5 तत्व बचते हैं। उन 5 तत्वों का कोई भी उपसमुच्चय चुना जा सकता है, अतः संभव विकल्पों की संख्या \(2^5=32\) है। निकटतम भ्रमित विकल्प \(16\) तब आएगा जब केवल 4 अतिरिक्त तत्व माने जाएँ (\(2^4=16\)) — यह यहाँ गलत है क्योंकि वास्तव में 5 अतिरिक्त तत्व हैं। परीक्षा टिप: "किसी सेट को उपसमुच्चय रखने वाले पावर-सेट के सदस्य = 2^{|U|-|A|}" फॉर्मूले का तुरंत प्रयोग करें। / Any subset of \(U\) that contains \(A\) has the form \(A\cup S\) where \(S\subseteq U\setminus A\). Since \(|U|=8\) and \(|A|=3\), the complement \(U\setminus A\) has 5 elements. Each of those 5 elements may be either present or absent in \(S\), giving \(2^5=32\) possibilities. The closest wrong option 16 would correspond to mistakenly treating only 4 optional elements (\(2^4=16\)), which is not the case here. Exam tip: use the formula number = \(2^{|U|-|A|}\) to answer quickly.
(A'={1,3,5,7}) में (4) तत्व हैं, इसलिए उसके subsets \(2^4=16\) हैं। परीक्षा में यह (\mathcal{P}(A')) की cardinality है। / (A'={1,3,5,7}) has (4) elements, so its subsets are \(2^4=16\). In exams, this is the cardinality of (\mathcal{P}(A')).
Singleton members ({1},{2},{3},{4}) हैं, इसलिए संख्या (4) है। परीक्षा में \(\varnothing\) singleton नहीं होता। / The singleton members are ({1},{2},{3},{4}), so the number is (4). In exams, \(\varnothing\) is not a singleton.
(\mathcal{P}(A)) में \(2^4=16\) सदस्य हैं, इसलिए उसके power set में (16) singleton members होंगे। परीक्षा में singleton members की संख्या base set की cardinality होती है। / (\mathcal{P}(A)) has \(2^4=16\) members, so its power set has (16) singleton members. In exams, the number of singleton members equals the cardinality of the base set.
क्योंकि \({1}\in\mathcal{P}(A)\) और \({2}\in\mathcal{P}(A)\), इसलिए दिया गया set (\mathcal{P}(A)) का subset है। परीक्षा में outer braces को ध्यान से पढ़ें। / Since \({1}\in\mathcal{P}(A)\) and \({2}\in\mathcal{P}(A)\), the given set is a subset of (\mathcal{P}(A)). In exams, read the outer braces carefully.
({1}) (A) का subset है, इसलिए \({1}\in\mathcal{P}(A)\) सत्य है। पर \({1}\subseteq\mathcal{P}(A)\) के लिए \(1\in\mathcal{P}(A)\) चाहिए, जो गलत है। / ({1}) is a subset of (A), so \({1}\in\mathcal{P}(A)\) is true. But \({1}\subseteq\mathcal{P}(A)\) would require \(1\in\mathcal{P}(A)\), which is false.
(1) से (15) तक (3) से विभाज्य (5) संख्याएं हैं, इसलिए (|A'|=10)। अतः (|\mathcal{P}(A')|=2^{10})। / There are (5) numbers divisible by (3) from (1) to (15), so (|A'|=10). Hence (|\mathcal{P}(A')|=2^{10}).
(1) से (20) तक primes (8) हैं, इसलिए (|A'|=12)। Non-empty subsets \(2^{12}-1=4095\) हैं। / There are (8) primes from (1) to (20), so (|A'|=12). The non-empty subsets are \(2^{12}-1=4095\).
समुच्चय \(A=\{-2,-1,0,1,2,3\}\) में कुल 6 तत्व हैं। किसी भी n-तत्वीय समुच्चय का शक्ति-समुच्चय \(|\mathcal{P}(A)|=2^n\) होता है, अतः \(|\mathcal{P}(A)|=2^6=64\)। विकल्प B (32) तब आता है जब गलती से तत्वों की संख्या 5 ली जाए; विकल्प D (128) तब गलत है जबा 7 तत्व गिने गए हों। परीक्षा युक्ति: पूर्णांकों के लिए सीमाओं को शामिल करके गिनें और शक्ति-समुच्चय के लिए हमेशा \(2^n\) लागू करें। / The set \(A=\{-2,-1,0,1,2,3\}\) contains 6 elements. For any set with n elements, the power set has size \(|\mathcal{P}(A)|=2^n\); therefore \(|\mathcal{P}(A)|=2^6=64\). Option B (32) would result from mistakenly counting 5 elements; option D (128) corresponds to counting 7 elements — both are incorrect counting errors. Exam tip: when integers are given with inequalities, count inclusive endpoints and then apply \(2^n\).
(A') में even numbers (6) हैं, इसलिए (3)-element subsets की संख्या \(\binom{6}{3}=20\) है। परीक्षा में पहले (A') की size निकालें। / (A') contains (6) even numbers, so the number of (3)-element subsets is \(\binom{6}{3}=20\). In exams, first find the size of (A').
किसी सेट A के सभी उपसमुच्चयों की कुल संख्या \(2^n\) होती है। Proper subsets वे होते हैं जो सेट A के बराबर नहीं होते, इसलिए proper subsets की संख्या \(2^n-1\) होगी। प्रश्नानुसार \(2^n-1=31\) देता है, अतः \(2^n=32\) और \(n=5\)। नज़दीकी विकर्षकों का परीक्षण: यदि \(n=4\) होता तो \(2^4-1=15\) मिलता (गलत), और \(n=6\) पर \(2^6-1=63\) मिलता (गलत)। परीक्षा-टिप: proper subsets गिनते समय पूरे सेट को शामिल न करें — कुल उपसमुच्चय \(2^n\) में से एक घटा कर रखें। / The total number of subsets of an n-element set is \(2^n\). Proper subsets exclude the set itself, so their count is \(2^n-1\). Given \(2^n-1=31\), we get \(2^n=32\) and hence \(n=5\). Checking distractors: for \(n=4\) we would have \(2^4-1=15\), and for \(n=6\) we would have \(2^6-1=63\), so those are incorrect. Quick exam tip: remember to subtract 1 from \(2^n\) when asked for proper subsets (exclude the set itself).
क्योंकि (|A'|=2m-m=m), इसलिए दोनों power sets की cardinality \(2^m\) होगी। परीक्षा में complement की size पहले निकालें। / Since (|A'|=2m-m=m), both power sets have cardinality \(2^m\). In exams, first find the size of the complement.
पावर सेट का आकार किसी सेट S के लिए \(|\mathcal{P}(S)|=2^{|S|}\) होता है। यहाँ \(|\mathcal{P}(A')|=1024=2^{10}\) से \(|A'|=10\)। चूँकि \(A'\) यूनिवर्सल सेट \(U\) का समपूरक है और \(|U|=18\), इसलिए \(|A|=|U|-|A'|=18-10=8\)। अतः \(|\mathcal{P}(A)|=2^{|A|}=2^8\). निकटतम ग़लत विकल्प: \(2^{10}\) उसी \(|\mathcal{P}(A')|\) को दर्शाता है न कि \(|\mathcal{P}(A)|\)। परीक्षा टिप: 1024 को तुरंत \(2^{10}\) समझें और समपूरक का नियम \(|A|=|U|-|A'|\) लागू करें। / For any set S, the power set size is \(|\mathcal{P}(S)|=2^{|S|}\). Given \(|\mathcal{P}(A')|=1024=2^{10}\), so \(|A'|=10\). Since \(A'\) is the complement in the universal set \(U\) with \(|U|=18\), we have \(|A|=|U|-|A'|=18-10=8\). Therefore \(|\mathcal{P}(A)|=2^{|A|}=2^8\). Closest distractor \(2^{10}\) corresponds to \(|\mathcal{P}(A')|\), not \(|\mathcal{P}(A)|\). Exam tip: convert 1024 to \(2^{10}\) quickly and use \(|A|=|U|-|A'|\).
यदि सेट A में 4 सदस्य हैं तो उसकी पावर-सेट \(\mathcal{P}(A)\) में कुल उपसंग्रहों की संख्या \(2^n\) के नियम से \(2^4=16\) होगी। इस कुल में A स्वयं भी एक उपसंग्रह है; इसलिए A को हटाने पर बचते हैं \(16-1=15\)। विकल्प C (16) गलत है क्योंकि वह पूरा पावर-सेट है — A को हटाने के बाद संख्या कम हो जाएगी। विकल्प A (14) गलत है क्योंकि वह दो सदस्यों की कमी मानता है; यहाँ केवल एक ही उपसंग्रह (A) हटाया गया है। परीक्षा टिप: किसी सेट के उपसंग्रहों की गिनती के लिए हमेशा \(2^{|A|}\) याद रखें और यदि कोई उपसंग्रह हटाना हो तो उससे 1 घटा दें। / If set A has 4 elements then the power set \(\mathcal{P}(A)\) contains \(2^n\) subsets, so \(2^4=16\). Since A itself is one of those subsets, excluding A leaves \(16-1=15\). Option C (16) is incorrect because it counts the whole power set including A; option A (14) is wrong as it subtracts two instead of one. Quick exam tip: use \(2^{|A|}\) to count subsets, then subtract 1 when excluding a specific subset.
Cardinality (2) से विभाज्य होने का अर्थ even cardinality है। (6)-element set के even subsets \(2^{6-1}=32\) होते हैं। / Cardinality divisible by (2) means even cardinality. A (6)-element set has \(2^{6-1}=32\) even subsets.
बुनियादी विचार: \(\{1,2\}\) को रखना अनिवार्य है और \(5\) निष्कासित है। बचते हुए तत्व हैं \(3\) और \(4\) — ये प्रत्येक शामिल या न शामिल हो सकते हैं। इसलिए संभावनाएँ = \(2^{2}=4\)। विकल्प C (8) तब आता है जब तीन तत्वों को वैकल्पिक माना जाए (उदाहरण के लिए अगर \(5\) को भी वैकल्पिक मान लिया गया हो), जो यहाँ सही नहीं है। परीक्षा-सूत्र: आवश्यक और निषिद्ध तत्वों को अलग कर दें; शेष तत्वों की संख्या पर \(2^{n}\) लागू करें। / Core idea: \(\{1,2\}\) must be present and \(5\) is excluded. The remaining elements are 3 and 4, each may be either included or excluded, giving \(2^{2}=4\) subsets. Option C (8) would be obtained if three elements were treated as optional (for example if 5 were also allowed), which is not the case. Exam tip: fix required/excluded elements first, then count subsets of the remaining elements as \(2^{\text{(number of optional elements)}}\).
कुल subsets \(2^5=32\) हैं और (a,b) दोनों न रखने वाले \(2^3=8\) हैं। इसलिए उत्तर (32-8=24) है। / Total subsets are \(2^5=32\), and subsets containing neither (a,b) are \(2^3=8\). Therefore the answer is (32-8=24).
(A'\cap B'=\(A\cup B\)') और \(A\cup B={1,2,3,4,5,6}\) है। complement में (2) तत्व हैं, इसलिए \(2^2=4\)। / (A'\cap B'=\(A\cup B\)') and \(A\cup B={1,2,3,4,5,6}\). The complement has (2) elements, so \(2^2=4\).
(A'\cup B'=\(A\cap B\)') और \(A\cap B={4,5}\) है। complement में (7) तत्व हैं, इसलिए \(2^7=128\)। / (A'\cup B'=\(A\cap B\)') and \(A\cap B={4,5}\). The complement has (7) elements, so \(2^7=128\).
यदि किसी समुच्चय के सदस्यों की संख्या \(|A|=n\) हो तो उसके शक्ति समुच्चय की कुल संख्या \(2^n\) होती है। यहाँ \(n=5\) है, इसलिए \(|\mathcal{P}(A)|=2^5=32\)। शक्ति समुच्चय में हमेशा \(A\) और \(\varnothing\) दोनों उपस्थित रहते हैं; इन्हें निकालने पर बचते हैं \(32-2=30\) सदस्य। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प \(31\) तब होता यदि केवल एक ही (या केवल शून्य) निकालना हो; \(32\) वह विकल्प है जिसमें कोई निकालना नहीं हुआ। परीक्षा सुझाव: शक्ति समुच्चय के आकार का सूत्र \(2^{|A|}\) याद रखें और हटाने से पहले कुल गिनती अवश्य लें। / For any set with \(|A|=n\), the power set has \(2^n\) elements. Here \(n=5\), so \(|\mathcal{P}(A)|=2^5=32\). The power set always contains both \(A\) and \(\varnothing\); removing them leaves \(32-2=30\) elements. The common distractor 31 would correspond to removing only one of them; 32 corresponds to removing none. Exam tip: first compute \(2^{|A|}\) then subtract the exact number of excluded subsets.
\(|A\cup B|=6\) और \(|A\cap B|=2\), इसलिए \(2^6-2^2=64-4=60\)। परीक्षा में पहले union और intersection की size निकालें। / \(|A\cup B|=6\) and \(|A\cap B|=2\), so \(2^6-2^2=64-4=60\). In exams, first find the sizes of union and intersection.
(|U|=|A|+|A'|=4+5=9), इसलिए (|\mathcal{P}(U)|=29=512)। परीक्षा में (A) और (A') मिलकर पूरा (U) बनाते हैं। / (|U|=|A|+|A'|=4+5=9), so (|\mathcal{P}(U)|=29=512). In exams, (A) and (A') together form the whole (U).
मान लें कि निश्चित 4-तत्वीय उपसमुच्चय के तत्व चुने नहीं जा सकते। शेष तत्वों की संख्या \(10-4=6\) है। प्रत्येक शेष तत्व के लिए उपसमुच्चय में शामिल करने या न करने के 2 विकल्प हैं, इसलिए ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या \(2^6=64\) होगी। विकल्प 32, \(2^5\), केवल 5 उपलब्ध तत्व मानने की गलती से मिलता है। परीक्षा-युक्ति: किसी निश्चित \(k\)-तत्वीय समुच्चय से असंपृक्त \(n\)-तत्वीय समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{n-k}\) होती है। / The 4 elements of the fixed subset cannot be included. Thus, only the remaining \(10-4=6\) elements are available. Each of these 6 elements may either be included or excluded, giving \(2^6=64\) subsets. The value 32, or \(2^5\), results from incorrectly counting only five available elements. Exam tip: the number of subsets disjoint from a fixed \(k\)-element subset of an \(n\)-element set is \(2^{n-k}\).
पहले पूरक निकालें: \(A'=U\setminus A=\{5,6\}\), इसलिए \(n(A')=2\). किसी भी समुच्चय S के लिए पॉवर सेट का क्रम \(n(P(S))=2^{n(S)}\) होता है। अतः \(n(P(A'))=2^{n(A')}=2^2=4\). विकल्प C (8) गलत है क्योंकि वह तब मिलेगा जब \(n(A')=3\) मान लिया जाए। परीक्षा टिप: पहले कॉम्प्लीमेंट का तत्वगणना निकालें और फिर पॉवर‑सेट के लिए \(2^{n(\cdot)}\) फार्मूला लगाएँ। / Find the complement first: \(A'=U\setminus A=\{5,6\}\), so \(n(A')=2\). For any set S, the power set has \(n(P(S))=2^{n(S)}\) elements. Therefore \(n(P(A'))=2^{2}=4\). Option C (8) would be obtained only if \(n(A')\) were 3, which is not the case. Exam tip: compute the complement's size, then apply the power‑set formula \(2^{n(\cdot)}\).
(A'={1,3,5,7,9}), इसलिए ठीक (2) अवयव वाले उपसमुच्चय \(\binom{5}{2}=10\) होंगे। पहले पूरक समुच्चय निकालें फिर संयोजन लगाएं। / (A'={1,3,5,7,9}), so the subsets with exactly (2) elements are \(\binom{5}{2}=10\). First find the complement set and then use combinations.
यदि (n(A)=m), तो (n(P(P(A)))=2^{2^m}=256=28), इसलिए \(2^m=8\) और (m=3)। घातों की तुलना सीधे करें। / If (n(A)=m), then (n(P(P(A)))=2^{2^m}=256=28), so \(2^m=8\) and (m=3). Compare powers directly.
(A'={1,3,5,7,9}) और (P(A')) में एकल समुच्चय (n(A')=5) होते हैं। एकल उपसमुच्चयों की संख्या मूल अवयवों जितनी होती है। / (A'={1,3,5,7,9}), and singleton sets in (P(A')) are (n(A')=5). The number of singleton subsets equals the number of elements.
(n(A')=5), इसलिए (n(P(A'))=25=32)। इसके उचित उपसमुच्चय \(2^{32}-1\) नहीं बल्कि (P(A')) के उपसमुच्चय हैं, अतः \(2^{32}-1\) होगा। / (n(A')=5), so (n(P(A'))=25=32). Proper subsets of (P(A')) are \(2^{32}-1\), so do not confuse elements with subsets.
किसी समुच्चय का पावर सेट उस समुच्चय को पूरी तरह निर्धारित करता है, इसलिए (A=B)। समान पावर सेट का मतलब समान मूल समुच्चय होता है। / A power set uniquely determines its original set, so (A=B). Equal power sets mean equal original sets.
(P\(\varnothing\)={\varnothing}), इसलिए (P(P(A))=P\({\varnothing}\)={\varnothing,{\varnothing}})। खाली समुच्चय का पावर सेट खाली नहीं होता। / (P\(\varnothing\)={\varnothing}), so (P(P(A))=P\({\varnothing}\)={\varnothing,{\varnothing}}). The power set of an empty set is not empty.
\(A\cup B={a,c,d}\) और (\(A\cup B\)'={b,e}), इसलिए पावर सेट में \(2^2=4\) अवयव हैं। पहले संघ निकालना सुरक्षित रहता है। / \(A\cup B={a,c,d}\) and (\(A\cup B\)'={b,e}), so the power set has \(2^2=4\) elements. Find the union first.
यदि \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(B=\{3,4,5,6\}\) हों, तो \(n(P(A'\cap B'))\) का मान क्या होगा? यहाँ \(P\) पावर समुच्चय को दर्शाता है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार, \(A'\cap B'=(A\cup B)'\)। यहाँ \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}\) है। इसलिए सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष इसका पूरक \(A'\cap B'=\{7,8\}\) होगा, जिसमें 2 तत्त्व हैं। 2 तत्त्वों वाले समुच्चय के पावर समुच्चय में \(2^2=4\) तत्त्व होते हैं। अतः सही उत्तर \(4\), अर्थात् विकल्प B है। विकल्प 2 केवल \(A'\cap B'\) की तत्त्व-संख्या बताता है, पावर समुच्चय की नहीं। परीक्षा-सुझाव: पहले पूरक समुच्चय के तत्त्वों की संख्या ज्ञात करें और फिर \(n(P(S))=2^{n(S)}\) का प्रयोग करें। / By De Morgan’s law, \(A'\cap B'=(A\cup B)'\). Here, \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}\), so its complement relative to the universal set \(U\) is \(A'\cap B'=\{7,8\}\), which has 2 elements. The power set of a set with 2 elements has \(2^2=4\) elements. Therefore, the correct answer is 4, option B. Option 2 gives only the cardinality of \(A'\cap B'\), not the cardinality of its power set. Exam tip: first count the elements in the required set, then apply \(n(P(S))=2^{n(S)}\).
(p) को स्थिर रखने पर बाकी (q,r) के \(2^2=4\) चयन होंगे। अनिवार्य अवयव को स्थिर मानें। / After fixing (p), the remaining (q,r) have \(2^2=4\) choices. Treat the compulsory element as fixed.
ठीक (3) अवयव वाले उपसमुच्चय \(\binom{5}{3}=10\) होते हैं। पावर सेट में आकार आधारित गिनती के लिए संयोजन लगाएं। / Subsets with exactly (3) elements are \(\binom{5}{3}=10\). Use combinations for size-based counting in a power set.
(1) स्थिर है और (4) हटाया गया है, इसलिए (2,3) के \(2^2=4\) चयन होंगे। शर्तों को पहले स्थिर करें। / (1) is fixed and (4) is excluded, so (2,3) have \(2^2=4\) choices. Fix the conditions first.
कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं और खाली उपसमुच्चय (1) है, इसलिए (15) गैर-रिक्त उपसमुच्चय हैं। गैर-रिक्त के लिए (1) घटाएं। / Total subsets are \(2^4=16\) and one subset is empty, so there are (15) non-empty subsets. Subtract (1) for non-empty subsets.
(P(A)) के अवयव (A) के सभी उपसमुच्चय हैं, जिनमें केवल (A) स्वयं उचित उपसमुच्चय नहीं है। उचित उपसमुच्चय में पूरा समुच्चय नहीं आता। / The elements of (P(A)) are all subsets of (A), and only (A) itself is not a proper subset. A proper subset excludes the whole set.
किसी (6) अवयव वाले समुच्चय में सम आकार के उपसमुच्चय \(2^{6-1}=32\) होते हैं। सम और विषम आकार वाले उपसमुच्चय बराबर होते हैं। / For a (6)-element set, even-sized subsets are \(2^{6-1}=32\). Even-sized and odd-sized subsets are equal in number.
किसी सेट के लिए विषम आकार वाले उपसमुच्चयों की संख्या का सामान्य सूत्र \(\sum_{k\ \,\text{odd}}\binom{n}{k}=2^{n-1}\) है। यह बाइनोमियल प्रमेय से निकाला जा सकता है या प्रत्येक उपसमुच्चय को उसके पूरक के साथ जोड़कर देखा जा सकता है — इससे विषम और सम आकार के उपसमुच्चयों की संख्या बराबर होती है जब \(n\ge1\)। यहाँ \(n=5\) पर संख्या \(2^{5-1}=2^{4}=16\). जांच के लिये: \(\binom{5}{1}+\binom{5}{3}+\binom{5}{5}=5+10+1=16\). निकटतम विकर्षक 15 गलत है क्योंकि वहाँ तत्वों के संयोजन का सही योग नहीं लिया गया; 32 तो कुल उपसमुच्चयों की संख्या (\(2^5\)) है, और 10 किसी विशेष एक या दो आकारों का मान है, पर समुच्चय में विषम आकारों का कुल योग नहीं। परीक्षा-सुझाव: इस पहचान \(2^{n-1}\) को याद रखें — यह प्रश्नों में तेजी से काम आता है। / For a set of size \(n\), the number of odd-cardinality subsets equals \(\sum_{k\ \text{odd}}\binom{n}{k}=2^{n-1}\). This follows from the binomial theorem or by pairing each subset with its complement, which shows odd and even counts are equal when \(n\ge1\). For \(n=5\) we get \(2^{5-1}=2^{4}=16\). Verifying: \(\binom{5}{1}+\binom{5}{3}+\binom{5}{5}=5+10+1=16\). Closest distractor 15 is incorrect due to a mis-summation of combination terms; 32 is the total number of all subsets (\(2^5\)), and 10 is just the count for a specific k-value, not the sum over odd k. Exam tip: memorize the identity \(\sum_{k\ \text{odd}}\binom{n}{k}=2^{n-1}\) or use complement pairing to answer quickly.
(P(A)) के अवयव (A) के उपसमुच्चय होते हैं, लेकिन ({{1}}) में अवयव ({1}) है जो (A) का अवयव नहीं है। ब्रेसेस की परतें ध्यान से देखें। / Elements of (P(A)) are subsets of (A), but ({{1}}) has element ({1}), which is not an element of (A). Watch the layers of braces carefully.
(A) में दो अवयव \(\varnothing\) और ({1}) हैं, इसलिए (n(P(A))=22=4)। खाली समुच्चय भी अवयव हो सकता है। / (A) has two elements, \(\varnothing\) and ({1}), so (n(P(A))=22=4). The empty set can also be an element.
हर समुच्चय स्वयं अपने पावर सेट का अवयव होता है, इसलिए \(A={\varnothing,{\varnothing}}\) शामिल है। पावर सेट में मूल समुच्चय भी आता है। / Every set is an element of its power set, so \(A={\varnothing,{\varnothing}}\) is included. The original set is also in its power set.
यहाँ \(U=\{-2,-1,0,1,2\}\) और \(A=\{-1,1\}\)। इसलिए सार्वभौमिक समुच्चय के सापेक्ष पूरक \(A'=\{-2,0,2\}\) है जिसकी परिमाण \(n(A')=3\) है। किसी भी समुच्चय S का पावर सेट \(P(S)\) में \(2^{n(S)}\) सदस्य होते हैं, अतः \(n(P(A'))=2^3=8\)। विकल्प 4 इसलिए गलत है क्योंकि वह \(2^2\) मानता है (गलत रूप से \(n(A')=2\) मान लेना)। परीक्षा-सूत्र: पहले यूनिवर्सल सेट से पूरक निकालें, फिर पावर सेट के लिए \(2^{n(\cdot)}\) सूत्र लागू करें। / Here \(U=\{-2,-1,0,1,2\}\) and \(A=\{-1,1\}\). Thus the complement relative to \(U\) is \(A'=\{-2,0,2\}\) with \(n(A')=3\). The power set of any set S has \(2^{n(S)}\) elements, so \(n(P(A'))=2^3=8\). Option 4 is incorrect because it corresponds to \(2^2\), i.e. mistakenly taking \(n(A')=2\). Quick exam tip: always determine the complement with respect to the given universal set first, then use \( |P(S)|=2^{|S|}\).
U में अभाज्य (prime) संख्याएँ \(2,3,5,7\) हैं, अत: \(A=\{2,3,5,7\}\). इसलिए पूरक \(A'=U\setminus A=\{1,4,6,8,9\}\) और \(n(A')=5\). शक्ति समूह (power set) का क्रम \(n(P(A'))=2^{n(A')}=2^5=32\). गलत विकल्पों का कारण समझें: 16 तब प्राप्त होता है जब कोई गलती से \(n(A')=4\) मान ले (अक्सर तत्वों की गिनती भूलने से), और 64 तब when mistakenly treated \(n(A')=6\) — दोनों गिनती की त्रुटियाँ हैं. परीक्षा-सुझाव: पहले सेट के तत्व गिनकर सुनिश्चित करें कि 1 को अभाज्य न माना गया हो, फिर ही \(2^n\) लागू करें। / The primes in U are \(2,3,5,7\), so \(A=\{2,3,5,7\}\). Hence the complement is \(A'=U\setminus A=\{1,4,6,8,9\}\) with \(n(A')=5\). The power set has \(2^{n(A')}=2^5=32\) elements, so 32 is correct. Why other options are wrong: 16 would arise if one incorrectly counted \(n(A')=4\) (a counting mistake), and 64 would come from wrongly assuming \(n(A')=6\). Exam tip: always count elements of the set or its complement first and remember that 1 is not a prime before applying \(2^n\).
(P(A)) में \(2^4=16\) अवयव हैं, इसलिए इसके (2)-अवयवी उपसमुच्चय \(\binom{16}{2}=120\) हैं। यहां (P(A)) को नया समुच्चय मानें। / (P(A)) has \(2^4=16\) elements, so its (2)-element subsets are \(\binom{16}{2}=120\). Treat (P(A)) as a new set here.
(2^{n(A)}=2^{n(B)}) से (n(A)=n(B)) मिलता है, पर समुच्चय समान होना जरूरी नहीं। कार्डिनैलिटी और समानता अलग बातें हैं। / From (2^{n(A)}=2^{n(B)}), we get (n(A)=n(B)), but the sets need not be equal. Cardinality and equality are different ideas.
दोनों पावर सेटों में खाली समुच्चय हमेशा होता है और कोई अन्य समान उपसमुच्चय नहीं है। असंबद्ध मूल समुच्चयों के लिए सामान्य अवयव \(\varnothing\) रहता है। / Both power sets always contain the empty set, and no other subset is common here. For disjoint original sets, the common element is \(\varnothing\).
जो समुच्चय (A) और (B) दोनों के उपसमुच्चय हैं, वे \(A\cap B\) के उपसमुच्चय होते हैं। इसलिए (P(A)\cap P(B)=P\(A\cap B\))। / Sets that are subsets of both (A) and (B) are subsets of \(A\cap B\). Hence (P(A)\cap P(B)=P\(A\cap B\)).
\(P(A)\cup P(B)\) में केवल (A) या (B) के अलग-अलग उपसमुच्चय होते हैं, जबकि (P\(A\cup B\)) में मिश्रित उपसमुच्चय भी हो सकते हैं। इस पहचान को बिना जांचे न लगाएं। / \(P(A)\cup P(B)\) contains subsets of (A) or subsets of (B), while (P\(A\cup B\)) may contain mixed subsets. Do not use this as an identity without checking.
(P(A)) और (P(B)) में \(\varnothing\) तथा ({2}) समान हैं, इसलिए कुल (4+4-2=6)। पावर सेटों के संघ में दोहराव हटाएं। / (P(A)) and (P(B)) have \(\varnothing\) and ({2}) in common, so the total is (4+4-2=6). Remove duplicates in the union of power sets.
(A) और (A') असंबद्ध हैं, इसलिए उनके पावर सेटों में केवल \(\varnothing\) समान होगा। पावर सेटों का प्रतिच्छेद एक समुच्चय के रूप में लिखें। / (A) and (A') are disjoint, so their power sets have only \(\varnothing\) in common. Write the intersection of power sets as a set.
A. क्योंकि (A) का हर उपसमुच्चय (U) का भी उपसमुच्चय है/Because every subset of (A) is also a subset of (U)
Explanation
Simple Explanation
सार्वत्रिक समुच्चय में (A) के सभी अवयव हैं, इसलिए (A) के उपसमुच्चय भी (U) के उपसमुच्चय हैं। यह पावर सेट का आधारभूत गुण है। / The universal set contains all elements of (A), so subsets of (A) are also subsets of (U). This is a basic property of power sets.
सूत्र है \(n(P(X))=2^{n(X)}\)। दिया है \(n(P(A))=16=2^4\), इसलिए \(n(A)=4\)। यूनिवर्सल सेट में कुल तत्व \(7\) हैं, अतः पूरक सेट का क्रम होगा \(n(A')=n(U)-n(A)=7-4=3\)। अत: \(n(P(A'))=2^{n(A')}=2^3=8\)।
नजदीकी विचलन: विकल्प (C) 16 यह भूल है कि 16 मूलतः \(P(A)\) का क्रम है न कि \(P(A')\)। विकल्प (A) 4 को \(n(A)\) के साथ गलती से उत्तर समझा जा सकता है।
परिक्षा टिप: पहले हमेशा पहचानें कि कौन-सा संख्या सेट का क्रम है और कौन-सा उसके पावर सेट का (यानी \(2^{n(\cdot)}\) लागू करें)। / Use the identity \(n(P(X))=2^{n(X)}\). Since \(n(P(A))=16=2^4\), we get \(n(A)=4\). With \(n(U)=7\), the complement has size \(n(A')=n(U)-n(A)=7-4=3\). Therefore \(n(P(A'))=2^{n(A')}=2^3=8\).
Why other options are wrong: (C) 16 is the size of \(P(A)\), not \(P(A')\). (A) 4 is \(n(A)\), not a power-set size here. (D) 32 would correspond to \(2^5\), which has no basis from the given data.
Exam tip: Compute \(n(A)\) from \(n(P(A))\) first using logarithms base 2, then get \(n(A')\) via \(n(U)-n(A)\).
समझने का सिद्धांत: किसी समुच्चय X के पावर सेट की संख्या \(n(P(X))=2^{n(X)}\) होती है। यहाँ \(n(P(A'))=64=2^6\) इसलिए \(n(A')=6\)। चूँकि \(A'\) सार्वभौमिक समुच्चय के सापेक्ष A का पूरक है, इसलिए \(n(A)=n(U)-n(A')=10-6=4\)। गलत विकल्पों का संक्षिप्त कारण: C (6) को अक्सर गलत समझकर उत्तर मान लेते हैं क्योंकि वह वास्तव में \(A'\) का आकार है न कि \(A\)। B (5) और D (8) गणना त्रुटियाँ हैं — 64 का आधार-2 लॉगरिदम 6 होता है, न कि 5 या 8। परीक्छा टिप: पावर-सेट की संख्या देखकर सीधे \(n=X\) निकालने के लिए \(n=\log_2(n(P(X)))\) का प्रयोग करें। / Core idea: for any set X, \(n(P(X))=2^{n(X)}\). Given \(n(P(A'))=64=2^6\), so \(n(A')=6\). Since A' is the complement of A in the universal set, \(n(A)=n(U)-n(A')=10-6=4\). Why other choices fail: C (6) is the size of A' not A — mixing complement with the set is a common mistake. B (5) and D (8) are simple calculation errors (log base 2 of 64 is 6). Exam tip: use \(n(X)=\log_2(n(P(X)))\) to invert the power-set count quickly.
पावर सेट बराबर हों तो मूल समुच्चय बराबर होते हैं, इसलिए (A'=A) चाहिए। सीमित (U) में यह तभी संभव है जब (A) अपने पूरक के बराबर हो। / If power sets are equal, the original sets are equal, so (A'=A) is required. In a finite (U), this means (A) equals its complement.
कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^6=64\) है। जिन उपसमुच्चयों में कम से कम 2 अवयव नहीं हैं वे हैं: खाली उपसमुच्चय (1) और एक-अवयवी उपसमुच्चय (कुल \(\binom{6}{1}=6\)) — कुल \(1+6=7\)। अतः कम से कम 2 अवयव वाले उपसमुच्चय = \(64-7=57\)।\nनज़दीकी विचलन: 56 इसलिए गलत है क्योंकि वह 8 घटाने की गलती का परिणाम होगा (कहीं एक और उपसमुच्चय गिन लिया गया)। 64 सभी उपसमुच्चयों को दर्शाता है और खाली/एक-अवयवी उपसमुच्चयों को अलग नहीं करता।\nपरीक्षा सुझाव: अक्सर पूरक विधि सरल रहती है — पहले \(2^n\) से आकार \(<2\) वाले उपसमुच्चयों की संख्या घटा दें, या सीधे \(\sum_{k=2}^{6}\binom{6}{k}\) की गणना करें। / Total number of subsets is \(2^6=64\). Subsets with fewer than 2 elements are the empty set (1) and the one-element subsets (\(\binom{6}{1}=6\)), total \(1+6=7\). Therefore subsets with at least 2 elements = \(64-7=57\).\nClosest distractor: 56 is wrong because it corresponds to subtracting 8 instead of 7 (a counting error). 64 is wrong because it includes size 0 and size 1 subsets.\nExam tip: Use the complement: compute \(2^n\) and subtract counts of sizes less than the required value, or evaluate \(\sum_{k=2}^{6}\binom{6}{k}\).
अधिकतम (2) अवयव वाले उपसमुच्चय \(\binom{5}{0}+\binom{5}{1}+\binom{5}{2}=1+5+10=16\) हैं। अधिकतम में सभी छोटे आकार जोड़ें। / Subsets with at most (2) elements are \(\binom{5}{0}+\binom{5}{1}+\binom{5}{2}=1+5+10=16\). For at most, add all smaller sizes.
(a,b) स्थिर हैं और शेष (3) अवयवों के \(2^3=8\) चयन हो सकते हैं। दोनों अनिवार्य हों तो उन्हें पहले रख लें। / (a,b) are fixed, and the remaining (3) elements have \(2^3=8\) choices. When both are compulsory, place them first.
कुल \(2^5=32\) उपसमुच्चय हैं और (a,b) दोनों न होने वाले \(2^3=8\) हैं। इसलिए (32-8=24)। / There are \(2^5=32\) total subsets, and \(2^3=8\) subsets contain neither (a) nor (b). Thus (32-8=24).
सम योग पाने के लिए विषम अवयवों (1,3) में से सम संख्या चुनी जाएगी और सम अवयव स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2\cdot 2^2=8\)। पैरिटी में विषम अवयवों पर ध्यान दें। / For an even sum, choose an even number of odd elements from (1,3), and even elements are free, so \(2\cdot 2^2=8\). In parity questions, focus on odd elements.
A का U के सापेक्ष पूरक \(A'=\{2,4,6,8\}\) है — इसमें कुल 4 तत्व हैं। किसी सेट के पावर सेट में उपसमुच्चयों की संख्या नियम के अनुसार \(2^n\) होती है, अतः \(P(A')\) में कुल \(2^4=16\) उपसमुच्चय होंगे। चूँकि मूल सेट \(A'\) में केवल सम संख्याएँ ही हैं, इसलिए ये सभी 16 उपसमुच्चय केवल सम संख्याएँ ही रखते हैं। निकटतम भ्रमित विकल्प 8 इस गलत धारणा से आता है कि केवल 3 स्वतंत्र तत्व हों (\(2^3\)), और 32 यह मानकर कि 5 तत्व हैं (\(2^5\)) — दोनों गलत हैं। परीक्षा सुझाव: पहले हमेशा पूरक निकालकर उसमें कितने तत्व हैं गिनें, फिर पावर सेट की गिनती \(2^n\) का प्रयोग करें। / The complement relative to U is \(A'=\{2,4,6,8\}\), which has 4 elements. The number of subsets of an n-element set is \(2^n\), so \(P(A')\) has \(2^4=16\) subsets. Because every element of \(A'\) is even, every subset contains only even numbers — hence 16. The closest wrong option 8 corresponds to mistakenly using \(2^3\); 32 would imply \(2^5\). Quick exam tip: always form the complement with respect to the given universal set, count its elements, then apply \(2^n\).
A. केवल \({1}\in P(A)\) सही है/Only \({1}\in P(A)\) is correct
Explanation
Simple Explanation
({1}) समुच्चय (A) का उपसमुच्चय है, इसलिए वह (P(A)) का अवयव है। लेकिन (1), (P(A)) का अवयव नहीं है, इसलिए \({1}\subseteq P(A)\) गलत है। / ({1}) is a subset of (A), so it is an element of (P(A)). But (1) is not an element of (P(A)), so \({1}\subseteq P(A)\) is false.
({2}) स्वयं (A) का अवयव है, इसलिए ({{2}}) (A) का उपसमुच्चय है और (P(A)) का अवयव है। परतों को गिनना जरूरी है। / ({2}) itself is an element of (A), so ({{2}}) is a subset of (A) and an element of (P(A)). Counting the layers is essential.
(P(A)) में (8) अवयव हैं और \(\varnothing\) तथा (A) हटाने पर (8-2=6) बचते हैं। ये गैर-रिक्त उचित उपसमुच्चय हैं। / (P(A)) has (8) elements, and removing \(\varnothing\) and (A) leaves (8-2=6). These are non-empty proper subsets.
पहला कदम यह है कि \(A\cap B=\{2\}\)। यहाँ ऊपर्युक्त समुच्चय का समपूरक (complement) युनिवर्सल सेट \(U\) के सापेक्ष होगा: \((A\cap B)'=U\setminus\{2\}=\{1,3,4,5\}\)। इस समुच्चय के अवयवों की संख्या \(n=4\) है। किसी सेट के पावर सेट के अवयवों की संख्या \(2^{n}\) होती है, अतः \(2^{4}=16\)। इसलिए सही उत्तर 16 है। निकटतम भ्रामक विकल्पों का कारण: 8 तब आएगा जब गलती से \(n=3\) मान लिया गया हो; 32 तब यदि पूरे युनिवर्स \(5\) के पावर सेट को माना गया हो; और 4 केवल समुच्चय के अवयवों की संख्या है न कि पावर सेट की। परीक्षा सलाह: पहले कटाक्ष (intersection) और फिर युनिवर्स के सापेक्ष complement निकालें, फिर ही \(2^{n}\) लागू करें। / Compute the intersection first: \(A\cap B=\{2\}\). The complement is taken with respect to the universal set \(U\), so \((A\cap B)'=U\setminus\{2\}=\{1,3,4,5\}\), which has cardinality \(n=4\). The power set of a set with \(n\) elements has \(2^{n}\) elements, hence \(2^{4}=16\). Thus 16 is correct. Why other choices are wrong: 8 would result from mistakenly using \(n=3\); 32 would be from (incorrectly) using the whole universe size \(5\) so \(2^{5}\); and 4 is just the size of the set, not the size of its power set. Exam tip: always find the complement relative to \(U\) and count its elements before applying \(2^{n}\).
(A'\cup B'=\(A\cap B\)'={1,2,4,5,6}), इसलिए (n(P\(A'\cup B'\))=25=32)। डी मॉर्गन नियम से गिनती आसान होती है। / (A'\cup B'=\(A\cap B\)'={1,2,4,5,6}), so (n(P\(A'\cup B'\))=25=32). De Morgan's law makes counting easier.
(n(P(A))=23=8), (n(P(P(A)))=28=256), इसलिए (n(P(P(P(A))))=2^{256})। हर पावर सेट पर नई घात लगती है। / (n(P(A))=23=8), (n(P(P(A)))=28=256), so (n(P(P(P(A))))=2^{256}). Each power set adds a new exponent.
(1) वाले उपसमुच्चय (8) हैं और आकार (2) वाले \(\binom{4}{2}=6\) हैं। दोनों में (1) और एक अन्य वाला \(\binom{3}{1}=3\) है, इसलिए (8+6-3=11)। / Subsets containing (1) are (8), and size (2) subsets are \(\binom{4}{2}=6\). Their overlap is \(\binom{3}{1}=3\), so (8+6-3=11).
(a) हटाने पर (3) अवयव बचते हैं और इनके विषम आकार के उपसमुच्चय \(2^{3-1}=4\) हैं। निष्कासन के बाद ही आकार गिनें। / After excluding (a), (3) elements remain, and their odd-sized subsets are \(2^{3-1}=4\). Count the size after exclusion.
(2) स्थिर है और (1) निषिद्ध है, इसलिए (3,4,5) के \(2^3=8\) चयन होंगे। अनिवार्य और निषिद्ध अवयव अलग-अलग संभालें। / (2) is fixed and (1) is forbidden, so (3,4,5) have \(2^3=8\) choices. Handle compulsory and forbidden elements separately.
(n(P(B))=32) और (n(P(A))=8), इसलिए अंतर में (32-8=24) अवयव हैं। \(A\subseteq B\) होने से \(P(A)\subseteq P(B)\) है। / (n(P(B))=32) and (n(P(A))=8), so the difference has (32-8=24) elements. Since \(A\subseteq B\), \(P(A)\subseteq P(B)\).
सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष \(A' = U\setminus A = \{1,3,5,7\}\)। \(P(A')\) के वे उपसमुच्चय गिनने हैं जिनमें 1 और 7 दोनों अनिवार्य रूप से हों। इसलिए 1 और 7 निश्चित हैं, जबकि 3 और 5 में से प्रत्येक को शामिल करने या न करने के 2-2 विकल्प हैं। अतः ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या \(2\times2=2^2=4\) है। विकल्प 16, \(A'\) के पूरे पावर सेट के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^4\) है, लेकिन उसमें 1 और 7 का शामिल होना अनिवार्य नहीं है। परीक्षा-टिप: अनिवार्य तत्वों को पहले निश्चित करके शेष तत्वों के लिए \(2^n\) का प्रयोग करें। / The complement is taken with respect to the universal set: \(A'=U\setminus A=\{1,3,5,7\}\). We need to count the subsets of \(A'\) that must contain both 1 and 7. These two elements are fixed, while 3 and 5 can each be either included or excluded. Therefore, the number of valid subsets is \(2\times2=2^2=4\). The value 16 is the size of the complete power set \(P(A')\), but it includes subsets that may not contain 1 and 7. Exam tip: fix the required elements first, then count the choices for the remaining elements using \(2^n\).
दो समुच्चय असंबद्ध तब होते हैं जब उनका परस्पर छेदन शून्य हो, अर्थात् उनका गुणनखंड (intersection) \(\varnothing\) हो। किसी भी उपसमुच्चय \(X\subseteq A\) के लिए \(X\cap A=X\) होता है (क्योंकि \(X\) के सभी तत्व \(A\) के भी तत्व हैं)। यह तभी \(\varnothing\) होगा जब \(X=\varnothing\) हो। इसलिए केवल खाली उपसमुच्चय \(\varnothing\) ही \(A\) से असंबद्ध है, इसलिए संख्या 1 है. नज़दीकी भ्रमित विकल्प: 4 उपसमुच्चय एक-तत्व वाले हैं पर उनका प्रत्येक एक तत्व \(A\) में है इसलिए वे असंबद्ध नहीं हैं। परीक्षा-सुझाव: असंबद्धता के लिए हमेशा समुच्चयों का अंतर/छेदन चेक करें — खाली समुच्चय ही किसी भी सेट से असंबद्ध हो सकता है। / Two sets are disjoint if their intersection is empty, i.e. equals \(\varnothing\). For any subset \(X\subseteq A\) we have \(X\cap A=X\), so the intersection can be \(\varnothing\) only when \(X=\varnothing\). Thus only the empty subset is disjoint from \(A\), giving 1. Closest distractor: 4 equals the number of singleton subsets, but each singleton contains an element of \(A\) so its intersection with \(A\) is not empty. Exam tip: test disjointness by computing intersection; remember \(|P(A)|=2^{|A|}=16\) but most subsets intersect \(A\) except \(\varnothing\).
कुल 70 विद्यार्थियों में से 45 विद्यार्थी हिंदी पढ़ते हैं, 40 अंग्रेजी पढ़ते हैं और 30 दोनों भाषाएँ पढ़ते हैं। तो कम से कम कितने विद्यार्थी कम से कम एक भाषा पढ़ते हैं?
दो समूहों के लिए समावेशन-अपवर्जन सूत्र लागू करें: \(|H\cup E|=|H|+|E|-|H\cap E|\). यहाँ \(|H|=45,|E|=40,|H\cap E|=30\) इसलिए \(|H\cup E|=45+40-30=55\)। विकल्प B (85) असंभव है क्योंकि कुल छात्र केवल 70 हैं; यह दोहराए हुए गणना का परिणाम होगा अगर आप प्रतिच्छेद घटाने से पहले जोड़ते रहें। विकल्प C (15) और D (25) गलत हैं क्योंकि वे प्रतिच्छेद को अधिक घटाने या गलत तरीके से गणना करने से कम मान दे रहे हैं। परीक्षा टिप: हमेशा inclusion–exclusion सूत्र याद रखें और अंतिम उत्तर को कुल छात्रों से पार न होने दें। / Use the inclusion–exclusion formula for two sets: \(|H\cup E|=|H|+|E|-|H\cap E|\). With \(|H|=45,|E|=40,|H\cap E|=30\) we get \(|H\cup E|=45+40-30=55\). Option B (85) is impossible because it exceeds the total of 70 students and results from not subtracting the intersection; options C (15) and D (25) are undercounts caused by subtracting incorrectly or double-counting errors. Exam tip: always apply the inclusion–exclusion formula and check your answer against the total population.
यदि \(n(A)=78\), \(n(B)=69\), \(n(C)=63\), \(n(A\cap B)=30\), \(n(B\cap C)=25\), \(n(C\cap A)=21\) और \(n(A\cap B\cap C)=9\) हो, तो केवल समुच्चय A में कितने तत्व हैं?
केवल A में आने वाले तत्वों के लिए inclusion–exclusion प्रयोग करें: केवल A = \(n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)\). क्योंकि तीनों में आने वाले तत्त्व दोनों जोड़-घटाव में दो बार घटे होते हैं इसलिए उन्हें एक बार वापस जोड़ा जाता है। यहाँ \(78-30-21+9=36\)। विकल्प (27) इसलिए गलत है क्योंकि वह त्रुटि से त्रिकूट (triple intersection) \(+9\) को जोड़ना भूल गया (\(78-30-21=27\))। अन्य विकल्प अधिक विचलित करने वाले हैं और गलत घटाव/जोड़ के परिणाम हैं। परीक्षा टिप: वेंस आरेख बनाकर प्रत्येक क्षेत्र को लेबल करें या केवल A का फार्मूला याद रखें। / Use inclusion–exclusion for the region only in A: Only A = \(n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)\). The triple-overlap was subtracted twice when removing pairwise intersections, so add it back once. Substituting gives \(78-30-21+9=36\). Answer 27 comes from forgetting to add the triple intersection (\(78-30-21=27\)), so that distractor is incorrect. The other choices result from other incorrect subtractions. Exam tip: draw the Venn diagram and label the seven regions or memorize the inclusion–exclusion expression for three sets.
किसी भी दो सेट के लिए \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। यहां हम सीधे \(n(A)\) और \(n(B)\) नहीं जानते, पर दोनों “केवल” क्षेत्रों का योग यानी \(n(A-B)+n(B-A)\) बराबर होता है \(n(A\cup B)-n(A\cap B)\)। इसलिए \(98-35=63\)। वैकल्पिक रूप से यह ही \(A\triangle B\) (symmetric difference) का आकार भी है। सबसे निकट भ्रमजनक विकल्प \(133\) है — वह \(n(A)+n(B)\) का मान होगा जिसे आप तब पाते हैं जब आप सम्मिलन सूत्र को \(n(A)+n(B)=n(A\cup B)+n(A\cap B)\) की तरह अव्यवस्थित रूप से समझ लें; पर प्रश्न सिर्फ केवल क्षेत्रों का योग पूछता है। परिक्षा-सुझाव: एक साधारण वेन चित्र बनाकर "केवल A", "केवल B" और "A∩B" को लेबल करें — इससे गणना तात्कालिक हो जाती है। / For two sets, \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). We do not need individual values of \(n(A)\) and \(n(B)\); the sum of the "only" regions \(n(A-B)+n(B-A)\) equals \(n(A\cup B)-n(A\cap B)\). Thus \(98-35=63\). This is also the size of the symmetric difference \(A\triangle B\). The closest distractor 133 corresponds to \(n(A)+n(B)\), which some may mistakenly choose by rearranging the union formula, but it is not the sum of only regions. Exam tip: draw a Venn diagram and label the three regions — union minus intersection gives the desired value immediately.
\(A'\cap B\) का अर्थ है वे तत्व जो B में हैं पर A में नहीं — यानी \(B\setminus A\). समीकरण के अनुसार \(n(B)=n(A\cap B)+n(A'\cap B)\)। अतः \(n(A'\cap B)=n(B)-n(A\cap B)=53-22=31\)। विकल्प (B) 42 दरअसल \(n(A)-n(A\cap B)=64-22\) है, जो A का वह भाग है जो B में नहीं है; यह प्रश्न में माँगा गया सेट नहीं है। विकल्प (D) 22 केवल इंटरसेक्शन \(A\cap B\) की संख्या है। विकल्प (C) 86 किसी गलत जोड़ का परिणाम हो सकता है (उदाहरण के लिए \(64+22\)) और प्रासंगिक नहीं है। परीक्षा सुझाव: दो-सेट Venn आरेख बनाकर B के भीतर के दो हिस्सों — \(A\cap B\) और \(A'\cap B\) — को चिन्हित करें और तुरंत \(n(B)=n(A\cap B)+n(A'\cap B)\) लागू करें। / \(A'\cap B\) means elements in B but not in A, i.e. \(B\setminus A\). Since \(n(B)=n(A\cap B)+n(A'\cap B)\), we get \(n(A'\cap B)=n(B)-n(A\cap B)=53-22=31\). Option B (42) equals \(n(A)-n(A\cap B)=64-22\), which is the part of A outside B, not the required set. Option D (22) is just the intersection \(A\cap B\). Option C (86) likely arises from an incorrect addition (for example \(64+22\)) and is not relevant. Exam tip: draw a two-set Venn diagram and label the three regions — \(A\cap B\), \(A\setminus B\), and \(B\setminus A\) — then use \(n(B)=n(A\cap B)+n(B\setminus A)\).
संबंध में \(x\in A\), \(y\in B\) और \(y=x+2\) होना आवश्यक है। \(x=1\) पर \(y=3\), तथा \(x=2\) पर \(y=4\) मिलता है, इसलिए क्रमित युग्म \((1,3)\) और \((2,4)\) हैं। \(x=3\) पर \(y=5\) मिलता है, लेकिन \(5\notin B\), इसलिए \((3,5)\) शामिल नहीं होगा। परीक्षा-युक्ति: संबंध में केवल वही क्रमित युग्म लें जो दिए गए कार्तीय गुणनफल \(A\times B\) में हों। / A pair belongs to the relation only if \(x\in A\), \(y\in B\), and \(y=x+2\). For \(x=1\), we get \(y=3\), and for \(x=2\), we get \(y=4\), giving the pairs \((1,3)\) and \((2,4)\). For \(x=3\), \(y=5\), but \(5\notin B\), so \((3,5)\) is excluded. Exam tip: In a relation defined as a subset of \(A\times B\), retain only those ordered pairs whose second component belongs to \(B\).
समीकरण \(x+y=1\) से \(y=1-x\) मिलता है। \(x\in A\) के लिए जाँच करने पर मान्य युग्म \((-1,2)\), \((0,1)\) और \((1,0)\) मिलते हैं। \(x=2\) रखने पर \(y=-1\) आता है, जो \(B\) में नहीं है; इसलिए उसे शामिल नहीं किया जाएगा। अतः कुल 3 युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: प्रत्येक \(x\) के लिए \(y=1-x\) निकालकर देखें कि वह \(B\) का सदस्य है या नहीं। / From \(x+y=1\), we get \(y=1-x\). Checking each \(x\in A\) gives the valid pairs \((-1,2)\), \((0,1)\), and \((1,0)\). For \(x=2\), \(y=-1\), but \(-1\notin B\), so that pair is excluded. Therefore, the total number of pairs is 3. Exam tip: for every \(x\), calculate \(y=1-x\) and verify that \(y\) belongs to \(B\).
मान लें \(n(B)=m\)। तब \(n(A)=m+2\) और कार्तीय गुणनफल के लिए \(n(A\times B)=n(A)n(B)\) होता है। इसलिए \(m(m+2)=24\), अर्थात् \(m^2+2m-24=0\)। इसके हल \(m=4\) और \(m=-6\) हैं, लेकिन समुच्चय की cardinality ऋणात्मक नहीं हो सकती। अतः \(n(A)=m+2=6\)। परीक्षा-युक्ति: कार्तीय गुणनफल में अवयवों की संख्या दोनों समुच्चयों की cardinalities के गुणनफल के बराबर होती है। / Let \(n(B)=m\). Then \(n(A)=m+2\), and the cardinality of a Cartesian product is given by \(n(A\times B)=n(A)n(B)\). Hence, \(m(m+2)=24\), or \(m^2+2m-24=0\). Its roots are \(m=4\) and \(m=-6\), but a set’s cardinality cannot be negative. Therefore, \(n(A)=m+2=6\). Exam tip: The number of ordered pairs in \(A\times B\) equals the product of the cardinalities of \(A\) and \(B\).
प्रत्येक \(x\) के लिए अनुमत \(y\) मान गिनें। \(x=1\) पर 4 मान, \(x=2\) पर 3 मान, \(x=3\) पर 2 मान और \(x=4\) पर 1 मान मिलता है। इसलिए कुल क्रमित युग्म \(4+3+2+1=10\) हैं। अतः सही विकल्प C है। ध्यान रखें कि \((x,y)\) क्रमित युग्म है, इसलिए क्रम और प्रत्येक \(x\) के लिए अनुमत \(y\) मान दोनों का ध्यान रखना आवश्यक है। / Count the allowed values of \(y\) for each value of \(x\). For \(x=1\), there are 4 choices; for \(x=2\), 3 choices; for \(x=3\), 2 choices; and for \(x=4\), 1 choice. Thus, the total number of ordered pairs is \(4+3+2+1=10\), so option C is correct. Remember that \((x,y)\) is an ordered pair, and the count must include every valid \(y\) for each fixed \(x\).
प्रत्येक \(x\in A\) के लिए \(y\in B\) जाँचते हैं। \(x=1\) पर चारों मान \(2,4,6,8\) उपयुक्त हैं और \(x=2\) पर भी चारों मान उपयुक्त हैं। \(x=3\) पर केवल \(y=6\) के लिए \(6/3=2\) पूर्णांक है। इसलिए कुल युग्म \(4+4+1=9\) हैं। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में प्रत्येक \(x\) के लिए उपयुक्त \(y\) की संख्या अलग-अलग गिनें। / Check the elements of \(B\) for each value of \(x\in A\). For \(x=1\), all four values \(2,4,6,8\) give an integer quotient, and for \(x=2\), all four do so as well. For \(x=3\), only \(y=6\) works because \(6/3=2\) is an integer. Hence, the total number of ordered pairs is \(4+4+1=9\). Exam tip: count the valid values of \(y\) separately for each \(x\).
कार्तीय गुणनफल में तत्वों की संख्या \(n(A\times B)=n(A)\times n(B)=3\times2=6\) होगी। यदि किसी समुच्चय में \(n\) तत्व हों, तो उसके घात समुच्चय \(\mathcal{P}\) में \(2^n\) तत्व होते हैं। इसलिए \(n(\mathcal{P}(A\times B))=2^6=64\)। विकल्प C में \(32=2^5\) है, जबकि यहाँ कार्तीय गुणनफल में 6 तत्व हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले \(A\times B\) की cardinality निकालें, फिर घात समुच्चय के लिए \(2^n\) लगाएँ। / The Cartesian product has \(n(A\times B)=n(A)\times n(B)=3\times2=6\) elements. A set with \(n\) elements has \(2^n\) elements in its power set. Therefore, \(n(\mathcal{P}(A\times B))=2^6=64\). Option C, \(32=2^5\), would apply to a five-element set, not to this Cartesian product. Exam tip: first find the cardinality of the Cartesian product, then apply \(2^n\) for its power set.
कार्तीय गुणनफल में क्रमित युग्मों की संख्या \(|A\times B|=|A|\cdot|B|=2\cdot3=6\) होगी। 6 अवयवों वाले किसी समुच्चय के उपसमुच्चयों की कुल संख्या \(2^6=64\) होती है, क्योंकि प्रत्येक अवयव के लिए उपसमुच्चय में शामिल होने या न होने के 2 विकल्प होते हैं। विकल्प A केवल \(A\times B\) के अवयवों की संख्या बताता है, उपसमुच्चयों की नहीं। परीक्षा-युक्ति: n अवयवों वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चय हमेशा \(2^n\) होते हैं। / The Cartesian product has \(|A\times B|=|A|\cdot|B|=2\cdot3=6\) ordered pairs. A set with 6 elements has \(2^6=64\) subsets, since each element has two choices: it may be included or excluded. Option A gives only the number of elements in \(A\times B\), not the number of its subsets. Exam tip: a set with n elements always has \(2^n\) total subsets.
