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(|x-3|) शून्य (x=3) पर होता है और बाहर (2) जुड़ता है। इसलिए शीर्ष ((3,2)) है। / (|x-3|) becomes zero at (x=3), and (2) is added outside. So the vertex is ((3,2)).
((x+2)2\ge 0), इसलिए (-(x+2)2+5\le 5)। अधिकतम मान (5) तब मिलता है जब (x=-2)। / Since ((x+2)2\ge 0), (-(x+2)2+5\le 5). The maximum value (5) occurs when (x=-2).
वास्तविक वर्गमूल के लिए \(x-4\ge 0\) चाहिए। इसलिए डोमेन \(x\ge 4\) है। / For a real square root, \(x-4\ge 0\) is required. Hence the domain is \(x\ge 4\).
वास्तविक मान के लिए \(7-x\ge 0\), इसलिए \(x\le 7\)। वर्गमूल में अंदर की राशि ऋणात्मक नहीं होनी चाहिए। / For real values, \(7-x\ge 0\), so \(x\le 7\). The expression inside a square root must not be negative.
हर (x+3) शून्य होने पर फलन परिभाषित नहीं रहता। इसलिए ऊर्ध्व आसिम्प्टोट (x=-3) है। / The denominator (x+3) cannot be zero. Therefore the vertical asymptote is (x=-3).
बड़े (|x|) पर \(\frac{2}{x-1}\) (0) के पास जाता है। इसलिए क्षैतिज आसिम्प्टोट (y=4) है। / For large (|x|), \(\frac{2}{x-1}\) approaches (0). So the horizontal asymptote is (y=4).
मापांक का न्यूनतम मान (0) तब होता है जब अंदर की राशि (0) हो। (2x-6=0) से (x=3) मिलता है। / A modulus is minimum (0) when the inside expression is (0). From (2x-6=0), we get (x=3).
((x-4)2\ge 0), इसलिए (-(x-4)2-1\le -1)। अतः परिसर (\(-\infty,-1]\) है। / Since ((x-4)2\ge 0), (-(x-4)2-1\le -1). Therefore the range is (\(-\infty,-1]\).
गुणांक (3) हर (y)-मान को (3) गुना करता है। इसलिए आलेख ऊर्ध्व रूप से खिंचता है। / The coefficient (3) multiplies every (y)-value by (3). So the graph is vertically stretched.
गुणांक \(\frac{1}{2}\) हर (y)-मान को आधा करता है। इसलिए परवलय चौड़ा दिखता है। / The coefficient \(\frac{1}{2}\) halves every (y)-value. So the parabola looks wider.
A. (x)-अक्ष में प्रतिबिंब और ऊर्ध्व खिंचाव/Reflection in (x)-axis and vertical stretch
Explanation
Simple Explanation
ऋण चिह्न (x)-अक्ष में प्रतिबिंब देता है और (2) ऊर्ध्व खिंचाव देता है। इसलिए परवलय नीचे खुलता है और संकरा होता है। / The negative sign reflects in the (x)-axis, and (2) gives a vertical stretch. So the parabola opens downward and becomes narrower.
\(\sqrt{x+2}\) तब शुरू होता है जब (x+2=0), अर्थात (x=-2)। बाहर (-3) होने से प्रारंभिक बिंदु ((-2,-3)) है। / \(\sqrt{x+2}\) starts when (x+2=0), that is (x=-2). The outside (-3) makes the starting point ((-2,-3)).
\(\sqrt{x-1}\ge 0\), इसलिए \(2\sqrt{x-1}+3\ge 3\)। न्यूनतम मान (3) (x=1) पर मिलता है। / Since \(\sqrt{x-1}\ge 0\), \(2\sqrt{x-1}+3\ge 3\). The minimum value (3) occurs at (x=1).
\(\sqrt{5-x}\ge 0\), इसलिए (f(x)\ge 2)। (x) घटाने पर वर्गमूल बड़ा हो सकता है, इसलिए परिसर \([2,\infty\)) है। / Since \(\sqrt{5-x}\ge 0\), (f(x)\ge 2). The square root can grow as (x) decreases, so the range is \([2,\infty\)).
हर ((x-2)2) शून्य नहीं हो सकता। इसलिए (x=2) को डोमेन से हटाते हैं। / The denominator ((x-2)2) cannot be zero. Therefore (x=2) is removed from the domain.
(\frac{1}{(x+1)2}>0), इसलिए फलन (3) से बड़ा है लेकिन (3) के बराबर नहीं। अतः परिसर (\(3,\infty\)) है। / (\frac{1}{(x+1)2}>0), so the function is greater than (3) but never equal to (3). Hence the range is (\(3,\infty\)).
(\frac{1}{(x-3)2}) धनात्मक होता है, इसलिए उसका ऋणात्मक मान हमेशा (0) से कम है। यह कभी (0) नहीं बनता। / (\frac{1}{(x-3)2}) is positive, so its negative is always less than (0). It never becomes (0).
(x=5) पर (x-5=0), इसलिए (\operatorname{sgn}(0)=0)। साइनम में शून्य बिंदु अलग से जांचें। / At (x=5), (x-5=0), so (\operatorname{sgn}(0)=0). Check the zero point separately in signum.
(x+2=3.6) और \(\lfloor 3.6\rfloor=3\)। पहले अंदर का मान निकालें फिर ग्रेटेस्ट इंटीजर लगाएं। / Here (x+2=3.6) and \(\lfloor 3.6\rfloor=3\). First find the inside value and then apply the greatest integer function.
(2x=2.8) और \(\lfloor 2.8\rfloor=2\)। दशमलव के लिए सबसे बड़ी छोटी या बराबर पूर्णांक संख्या लें। / Here (2x=2.8), and \(\lfloor 2.8\rfloor=2\). For a decimal, take the greatest integer less than or equal to it.
हर \(x\in[3,4\)) के लिए \(\lfloor x\rfloor=3\)। इसलिए आलेख उस अंतराल पर (y=3) है। / For every \(x\in[3,4\)), \(\lfloor x\rfloor=3\). So the graph on that interval is (y=3).
\({x}=x-\lfloor x\rfloor\) और \(\lfloor -1.2\rfloor=-2\)। इसलिए ({-1.2}=-1.2-(-2)=0.8)। / \({x}=x-\lfloor x\rfloor\), and \(\lfloor -1.2\rfloor=-2\). Hence ({-1.2}=-1.2-(-2)=0.8).
(x+1=3.3) और ({3.3}=0.3)। भिन्नात्मक भाग पूर्णांक भाग हटाने से मिलता है। / Here (x+1=3.3), and ({3.3}=0.3). The fractional part is obtained by removing the integer part.
\(y=x^3\) का केंद्रीय बिंदु ((0,0)) है। ((x+3)3-1) इसे ((-3,-1)) पर खिसकाता है। / The central point of \(y=x^3\) is ((0,0)). The graph ((x+3)3-1) shifts it to ((-3,-1)).
मापांक शून्य तभी होता है जब अंदर की राशि शून्य हो। \(x^2-4=0\) से \(x=\pm 2\) मिलता है। / A modulus is zero only when the inside expression is zero. From \(x^2-4=0\), we get \(x=\pm 2\).
\(x=y^2\) में कई धनात्मक (x)-मानों के लिए दो (y)-मान मिलते हैं। इसलिए यह ऊर्ध्व रेखा परीक्षण में असफल है। / For \(x=y^2\), many positive (x)-values give two (y)-values. So it fails the vertical line test.
बाईं ओर (2) इकाई के लिए (x+2) और ऊपर (3) इकाई के लिए बाहर (+3) होता है। इसलिए सही रूप (y=(x+2)2+3) है। / For (2) units left, use (x+2), and for (3) units up, use outside (+3). Thus the correct form is (y=(x+2)2+3).
दाईं ओर (4) इकाई के लिए अंदर (x-4) और नीचे (1) इकाई के लिए बाहर (-1) होता है। इसलिए (y=|x-4|-1) सही है। / For (4) units right, use (x-4), and for (1) unit down, use outside (-1). So (y=|x-4|-1) is correct.
A. (g) का आलेख (3) इकाई ऊपर है/Graph of (g) is (3) units up
Explanation
Simple Explanation
(g(x)=f(x)+3), इसलिए हर (y)-मान (3) बढ़ता है। अतः आलेख (3) इकाई ऊपर खिसकता है। / Since (g(x)=f(x)+3), every (y)-value increases by (3). Hence the graph shifts (3) units up.
अंदर (x-2) होने से आलेख (2) इकाई दाईं ओर खिसकता है। इसलिए ऊर्ध्व आसिम्प्टोट (x=2) हो जाता है। / The inside term (x-2) shifts the graph (2) units right. Therefore the vertical asymptote becomes (x=2).
\(\frac{5.8-1}{2}=2.4\) और \(\lfloor2.4\rfloor=2\)। पहले अंदर का मान निकालकर ग्रेटेस्ट इंटीजर लगाएं। / \(\frac{5.8-1}{2}=2.4\) and \(\lfloor2.4\rfloor=2\). First find the inside value and then apply the greatest integer function.
(|x-5|) शून्य (x=5) पर होता है और बाहर (-2) जुड़ता है। इसलिए शीर्ष ((5,-2)) है। / (|x-5|) becomes zero at (x=5), and (-2) is added outside. So the vertex is ((5,-2)).
मापांक का न्यूनतम मान (0) होता है। इसलिए (|2x+4|+1) का न्यूनतम मान (1) है। / The minimum value of a modulus is (0). Therefore the minimum value of (|2x+4|+1) is (1).
क्योंकि \(|x-1|\ge 0\), इसलिए \(-|x-1|+4\le 4\)। अधिकतम मान (4) (x=1) पर मिलता है। / Since \(|x-1|\ge 0\), \(-|x-1|+4\le 4\). The maximum value (4) occurs at (x=1).
सममिति अक्ष \(x=-\frac{b}{2a}\) होता है। यहां (a=1) और (b=-10), इसलिए (x=5)। / The axis of symmetry is \(x=-\frac{b}{2a}\). Here (a=1) and (b=-10), so (x=5).
\(\sqrt{x+6}\) (x=-6) से शुरू होता है और बाहर (-2) जुड़ता है। इसलिए प्रारंभिक बिंदु ((-6,-2)) है। / \(\sqrt{x+6}\) starts at (x=-6), and (-2) is added outside. So the starting point is ((-6,-2)).
\(\sqrt{x-1}\ge 0\), इसलिए \(3-\sqrt{x-1}\le 3\)। अधिकतम मान (3) (x=1) पर मिलता है। / Since \(\sqrt{x-1}\ge 0\), \(3-\sqrt{x-1}\le 3\). The maximum value (3) occurs at (x=1).
\(\sqrt{x+1}\ge 0\), इसलिए \(2\sqrt{x+1}-5\ge -5\)। अतः परिसर \([-5,\infty\)) है। / Since \(\sqrt{x+1}\ge 0\), \(2\sqrt{x+1}-5\ge -5\). Hence the range is \([-5,\infty\)).
बड़े (|x|) पर \(\frac{3}{x+2}\) (0) के पास जाता है। इसलिए क्षैतिज आसिम्प्टोट (y=-1) है। / For large (|x|), \(\frac{3}{x+2}\) approaches (0). So the horizontal asymptote is (y=-1).
\(\frac{-2}{x-3}\) में गुणांक ऋणात्मक है। इसलिए इसकी शाखाएं मूल \(-\frac{1}{x}\) जैसी विपरीत चतुर्थांशों में होती हैं। / The coefficient in \(\frac{-2}{x-3}\) is negative. So its branches are like \(-\frac{1}{x}\) in opposite quadrants.
हर ((x+2)2) शून्य होने पर फलन परिभाषित नहीं रहता। इसलिए (x=-2) ऊर्ध्व आसिम्प्टोट है। / The function is not defined when ((x+2)2) is zero. So (x=-2) is the vertical asymptote.
(\frac{2}{(x-1)2}) हमेशा धनात्मक है लेकिन (0) नहीं होता। इसलिए फलन (-3) से बड़ा रहता है। / (\frac{2}{(x-1)2}) is always positive but never (0). Therefore the function remains greater than (-3).
(-\frac{3}{(x+1)2}) हमेशा ऋणात्मक होता है और (0) नहीं बनता। इसलिए (f(x)) हमेशा (2) से कम है। / (-\frac{3}{(x+1)2}) is always negative and never becomes (0). So (f(x)) is always less than (2).
साइनम फलन शून्य तब होता है जब अंदर की राशि शून्य हो। (x+7=0) से (x=-7) मिलता है। / The signum function is zero when the inside expression is zero. From (x+7=0), we get (x=-7).
(3x=-1.2) और \(\lfloor -1.2\rfloor=-2\)। ऋणात्मक दशमलव में नीचे की ओर पूर्णांक लें। / Here (3x=-1.2), and \(\lfloor -1.2\rfloor=-2\). For negative decimals, take the lower integer.
\(\frac{7.4+2}{3}=\frac{9.4}{3}\), जो (3) से बड़ा और (4) से छोटा है। इसलिए ग्रेटेस्ट इंटीजर (3) है। / \(\frac{7.4+2}{3}=\frac{9.4}{3}\), which is greater than (3) and less than (4). So the greatest integer is (3).
हर \(x\in[-3,-2\)) के लिए \(\lfloor x\rfloor=-3\)। इसलिए उस चरण पर (y=-3) है। / For every \(x\in[-3,-2\)), \(\lfloor x\rfloor=-3\). So on that step, (y=-3).
\({x}=x-\lfloor x\rfloor\) और \(\lfloor -2.3\rfloor=-3\)। इसलिए ({-2.3}=0.7) है। / \({x}=x-\lfloor x\rfloor\), and \(\lfloor -2.3\rfloor=-3\). Therefore ({-2.3}=0.7).
(2x=2.7) और ({2.7}=0.7)। भिन्नात्मक भाग पूर्णांक भाग हटाकर मिलता है। / Here (2x=2.7), and ({2.7}=0.7). The fractional part is obtained by removing the integer part.
(y)-अक्ष पर (x=0), इसलिए (2y=12) और (y=6)। प्रतिच्छेद के लिए दूसरे निर्देशांक को शून्य रखें। / On the (y)-axis, (x=0), so (2y=12) and (y=6). For intercepts, set the other coordinate to zero.
समांतर रेखाओं की ढाल समान होती है। इसलिए ढाल \(-\frac{3}{4}\) ही रहेगी। / Parallel lines have equal slopes. Therefore the slope remains \(-\frac{3}{4}\).
\(y=x^3\) का केंद्रीय बिंदु ((0,0)) है। यह आलेख (2) दाईं और (4) ऊपर खिसकता है। / The central point of \(y=x^3\) is ((0,0)). This graph shifts (2) right and (4) up.
गुणांक (2) हर (y)-मान को (2) गुना करता है। इसलिए आलेख ऊर्ध्व रूप से खिंचता है। / The coefficient (2) multiplies every (y)-value by (2). So the graph is vertically stretched.
\(y^2=x+1\) में कई (x)-मानों के लिए दो (y)-मान मिलते हैं। इसलिए यह फलन का आलेख नहीं है। / In \(y^2=x+1\), many (x)-values give two (y)-values. So it is not the graph of a function.
दाईं ओर (3) इकाई के लिए (x-3) और नीचे (2) इकाई के लिए बाहर (-2) होता है। इसलिए सही रूप (y=(x-3)2-2) है। / For (3) units right, use (x-3), and for (2) units down, use outside (-2). So the correct form is (y=(x-3)2-2).
बाईं ओर (4) इकाई के लिए अंदर (x+4) और ऊपर (5) इकाई के लिए बाहर (+5) होता है। / For (4) units left, use inside (x+4), and for (5) units up, use outside (+5).
A. (3) इकाई बाईं ओर और (4) इकाई नीचे/(3) units left and (4) units down
Explanation
Simple Explanation
अंदर (x+3) होने से (3) इकाई बाईं ओर और बाहर (-4) होने से (4) इकाई नीचे खिसकाव होता है। / The inside term (x+3) shifts the graph (3) units left, and outside (-4) shifts it (4) units down.
\(y=x^3\) का केंद्रीय बिंदु ((0,0)) होता है और यह (4) दाईं ओर तथा (2) ऊपर खिसकता है। ऋण चिह्न दिशा बदलता है लेकिन केंद्रीय बिंदु ((4,2)) ही रहता है। / The central point of \(y=x^3\) is ((0,0)) and it shifts (4) right and (2) up. The negative sign changes direction but the central point remains ((4,2)).
बड़े (|x|) पर (\frac{4}{(x-3)2}) (0) के पास जाता है। इसलिए क्षैतिज आसिम्प्टोट (y=1) है। / For large (|x|), (\frac{4}{(x-3)2}) approaches (0). So the horizontal asymptote is (y=1).
यदि \(x\in[2,3\)), तो \(x+1\in[3,4\))। इसलिए \(\left\lfloor x+1\right\rfloor=3\) है। / If \(x\in[2,3\)), then \(x+1\in[3,4\)). Hence \(\left\lfloor x+1\right\rfloor=3\).
(x-2=3.75) और ({3.75}=0.75)। भिन्नात्मक भाग पाने के लिए पूर्णांक भाग हटाएं। / Here (x-2=3.75) and ({3.75}=0.75). Remove the integer part to get the fractional part.
शीर्ष के लिए (2x-8=0) रखें जिससे (x=4) मिलता है। बाहर (+3) होने से शीर्ष ((4,3)) है। / For the vertex, set (2x-8=0), which gives (x=4). The outside (+3) makes the vertex ((4,3)).
वास्तविक वर्गमूल के लिए \(16-x^2\ge 0\) चाहिए। इससे \(x^2\le 16\) और डोमेन ([-4,4]) मिलता है। / For a real square root, \(16-x^2\ge 0\) is required. This gives \(x^2\le 16\) and the domain ([-4,4]).
(y=x) पर दोनों निर्देशांक बराबर होते हैं। परीक्षा में पहले (x) और (y) की तुलना करें। / On (y=x), both coordinates are equal. In exams, first compare (x) and (y).
साइनम फलन में ऋणात्मक (x) के लिए मान (-1) होता है। परीक्षा में (x<0), (x=0), (x>0) तीन स्थितियां अलग रखें। / In the signum function, the value is (-1) for negative (x). In exams, keep the three cases (x<0), (x=0), and (x>0) separate.
(f(-x)=f(x)) इसलिए ग्राफ (y)-अक्ष के प्रति सममित है। परीक्षा में सम फलन पहचानने के लिए (f(-x)) जांचें। / Since (f(-x)=f(x)), the graph is symmetric about the (y)-axis. In exams, check (f(-x)) to identify an even function.
\(\lfloor 2.7\rfloor=2\) क्योंकि यह (2.7) से छोटा या बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक है। परीक्षा में दशमलव को निकटतम पूर्णांक नहीं, नीचे वाले पूर्णांक में बदलें। / \(\lfloor 2.7\rfloor=2\) because it is the greatest integer less than or equal to (2.7). In exams, do not round; move down to the greatest integer.
\(x^3\) विषम फलन है क्योंकि (f(-x)=-f(x))। परीक्षा में मूल बिंदु सममिति के लिए विषम फलन देखें। / \(x^3\) is an odd function because (f(-x)=-f(x)). In exams, origin symmetry usually indicates an odd function.
हर \(x\in[1,2\)) के लिए \(\lfloor x\rfloor=1\) होता है। परीक्षा में इस ग्राफ को सीढ़ीनुमा ग्राफ के रूप में याद रखें। / For every \(x\in[1,2\)), \(\lfloor x\rfloor=1\). In exams, remember this graph as a step graph.
(|x|) हमेशा (0) या उससे बड़ा होता है और (x=0) पर (0) मिलता है। परीक्षा में मापांक ग्राफ का शीर्ष याद रखें। / (|x|) is always (0) or greater and equals (0) at (x=0). In exams, remember the vertex of the modulus graph.
वास्तविक \(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge 0\) होना चाहिए। परीक्षा में वर्गमूल के अंदर की राशि को अनऋणात्मक रखें। / For real \(\sqrt{x}\), we need \(x\ge 0\). In exams, keep the expression inside a square root non-negative.
\(\frac{1}{x}\) में (x=0) पर मान परिभाषित नहीं है। परीक्षा में (x=0) को लंबवत आसमापी समझें। / \(\frac{1}{x}\) is undefined at (x=0). In exams, treat (x=0) as a vertical asymptote.
A. (x)-अक्ष के समानांतर रेखा/line parallel to (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
(f(x)=3) में हर (x) के लिए (y=3) रहता है। परीक्षा में स्थिर फलन को क्षैतिज रेखा मानें। / In (f(x)=3), (y=3) for every (x). In exams, treat a constant function as a horizontal line.
(y=|x|) का सबसे छोटा मान (0) है जो (x=0) पर मिलता है। परीक्षा में इसका ग्राफ (V)-आकार का याद रखें। / The least value of (y=|x|) is (0) at (x=0). In exams, remember its (V)-shaped graph.
\(x^2\) का ग्राफ (2) इकाई ऊपर खिसकता है। परीक्षा में (+k) को ऊपर की ओर विस्थापन मानें। / The graph of \(x^2\) shifts (2) units upward. In exams, read (+k) as an upward shift.
((x-3)) का अर्थ ग्राफ को दाईं ओर (3) इकाई खिसकाना है। परीक्षा में (x-a) को दाईं ओर विस्थापन समझें। / ((x-3)) means shifting the graph (3) units to the right. In exams, read (x-a) as a right shift.
(|x+2|=0) तब होता है जब (x=-2)। परीक्षा में मापांक के अंदर को (0) रखकर शीर्ष निकालें। / (|x+2|=0) when (x=-2). In exams, set the inside of the modulus equal to (0) to find the vertex.
\(\sqrt{x-4}\) में सबसे छोटा (x=4) है और तब (y=0) है। परीक्षा में वर्गमूल ग्राफ की शुरुआत अंदर की राशि (0) से करें। / For \(\sqrt{x-4}\), the smallest (x) is (4) and then (y=0). In exams, start a square-root graph by making the inside expression (0).
हर (x-2) को (0) करने पर (x=2) मिलता है। परीक्षा में हर को (0) रखकर लंबवत आसमापी निकालें। / Setting the denominator (x-2) equal to (0) gives (x=2). In exams, set the denominator to (0) for a vertical asymptote.
\(\frac{1}{x}\) का क्षैतिज आसमापी (y=0) है और (+1) से वह (y=1) हो जाता है। परीक्षा में ऊर्ध्व विस्थापन आसमापी पर भी लागू करें। / The horizontal asymptote of \(\frac{1}{x}\) is (y=0), and (+1) shifts it to (y=1). In exams, apply vertical shifts to asymptotes too.
\(y=\frac{1}{x}\) में (x) और (y) का चिह्न समान होता है। परीक्षा में पारस्परिक फलन की शाखाएं चतुर्थांश (1) और (3) में याद रखें। / In \(y=\frac{1}{x}\), (x) and (y) have the same sign. In exams, remember that the reciprocal graph lies in quadrants (1) and (3).
\(y=x^2\) में \(y\ge 0\) होता है और ग्राफ (y)-अक्ष के दोनों ओर होता है। परीक्षा में परवलय को (U)-आकार से पहचानें। / For \(y=x^2\), \(y\ge 0\) and the graph lies on both sides of the (y)-axis. In exams, identify the parabola by its (U)-shape.
C. पूरे ( \(-\infty,\infty\) ) पर/on all ( \(-\infty,\infty\) )
Explanation
Simple Explanation
\(x^3\) का ग्राफ बाएं से दाएं लगातार ऊपर जाता है। परीक्षा में \(x^3\) को पूरे वास्तविक प्रांत में बढ़ता हुआ याद रखें। / The graph of \(x^3\) rises continuously from left to right. In exams, remember \(x^3\) is increasing on the whole real domain.
(|x|) का ग्राफ (x=0) तक नीचे आता है और फिर ऊपर जाता है। परीक्षा में (V)-ग्राफ का बायां भाग घटता हुआ देखें। / The graph of (|x|) decreases up to (x=0) and then increases. In exams, see the left arm of the (V)-graph as decreasing.
A. ( (-2,0) ) और ( (2,0) )/( (-2,0) ) and ( (2,0) )
Explanation
Simple Explanation
(x)-अक्ष पर (y=0) रखकर \(x^2-4=0\) मिलता है। परीक्षा में अवरोधों के लिए संबंधित निर्देशांक (0) रखें। / On the (x)-axis, set (y=0), giving \(x^2-4=0\). In exams, set the related coordinate to (0) for intercepts.
\(x^2+1\) हमेशा (1) या उससे बड़ा है इसलिए (y=0) नहीं हो सकता। परीक्षा में न्यूनतम मान से (x)-अवरोध जांचें। / \(x^2+1\) is always at least (1), so (y=0) is impossible. In exams, use the minimum value to check (x)-intercepts.
(y=-x) में (x=3) पर (y=-3) होता है। परीक्षा में दिए बिंदु को समीकरण में रखकर तुरंत जांचें। / In (y=-x), when (x=3), (y=-3). In exams, substitute the point into the equation quickly.
(2x) की ढाल (2) है जो (x) की ढाल (1) से अधिक है। परीक्षा में रैखिक फलन में (x) के गुणांक को ढाल मानें। / The slope of (2x) is (2), greater than the slope (1) of (x). In exams, treat the coefficient of (x) as the slope in a linear function.
(-|x|) हमेशा (0) या उससे कम होता है और (x=0) पर (0) मिलता है। परीक्षा में नीचे खुले (V)-ग्राफ का शीर्ष अधिकतम होता है। / (-|x|) is always (0) or less and equals (0) at (x=0). In exams, the vertex of a downward (V)-graph is the maximum.
\(y=\sqrt{x}\) में \(x\ge 0\) और \(y\ge 0\) होता है। परीक्षा में वर्गमूल ग्राफ को पहले चतुर्थांश से जोड़ें। / For \(y=\sqrt{x}\), \(x\ge 0\) and \(y\ge 0\). In exams, associate the square-root graph with the first quadrant.
समानता \(x^2=\sqrt{x}\) के लिए (x=0) और (x=1) सही हैं। परीक्षा में संभावित सरल बिंदुओं को पहले जांचें। / For \(x^2=\sqrt{x}\), (x=0) and (x=1) work. In exams, test simple possible points first.
(y)-अक्ष पर (x=0) होता है और (f(0)=5) केवल (x+5) में है। परीक्षा में (y)-अवरोध के लिए (x=0) रखें। / On the (y)-axis, (x=0), and only (x+5) gives (f(0)=5). In exams, set (x=0) for the (y)-intercept.
(|x-1|) का न्यूनतम (0) है इसलिए कुल न्यूनतम (2) है। परीक्षा में मापांक वाले भाग का न्यूनतम (0) मानें। / The minimum of (|x-1|) is (0), so the total minimum is (2). In exams, take the minimum of a modulus part as (0).
((x+1)2) ग्राफ को (1) इकाई बाईं ओर और (-3) नीचे ले जाता है। परीक्षा में (y=(x-h)2+k) का शीर्ष ((h,k)) लें। / ((x+1)2) shifts the graph (1) unit left and (-3) downward. In exams, for (y=(x-h)2+k), use vertex ((h,k)).
\(x^2\) सम फलन है क्योंकि (f(-x)=f(x))। परीक्षा में (y)-अक्ष सममिति के लिए सम फलन पहचानें। / \(x^2\) is an even function because (f(-x)=f(x)). In exams, identify even functions for (y)-axis symmetry.
\(x^3\) विषम फलन है इसलिए इसका ग्राफ मूल बिंदु के प्रति सममित है। परीक्षा में (f(-x)=-f(x)) जांचें। / \(x^3\) is an odd function, so its graph is symmetric about the origin. In exams, check (f(-x)=-f(x)).
\(\frac{1}{x^2}\) हमेशा धनात्मक होता है और \(x\ne 0\) होता है। परीक्षा में \(x^2\) हर में हो तो (y) धनात्मक याद रखें। / \(\frac{1}{x^2}\) is always positive and \(x\ne 0\). In exams, when \(x^2\) is in the denominator, remember (y) is positive.
(y=(-3)2=9) इसलिए बिंदु ((-3,9)) ग्राफ पर है। परीक्षा में वर्ग का मान हमेशा अनऋणात्मक रखें। / (y=(-3)2=9), so ((-3,9)) lies on the graph. In exams, remember a square is always non-negative.
\(\sqrt{16}=4\) इसलिए बिंदु ((16,4)) ग्राफ पर है। परीक्षा में पूर्ण वर्गों के वर्गमूल याद रखें। / \(\sqrt{16}=4\), so ((16,4)) lies on the graph. In exams, remember square roots of perfect squares.
(|x|=5) से (x=5) या (x=-5) मिलता है। परीक्षा में मापांक समीकरण में दोनों चिह्न लें। / (|x|=5) gives (x=5) or (x=-5). In exams, take both signs in a modulus equation.
\(x^2=25\) से \(x=\pm 5\) होता है। परीक्षा में वर्ग समीकरण से दोनों मूल लेना न भूलें। / \(x^2=25\) gives \(x=\pm 5\). In exams, do not forget both roots from a square equation.
\(y=\frac{1}{4}\) सीधे (x=4) रखने से मिलता है। परीक्षा में पारस्परिक फलन में (x) को हर में रखें। / \(y=\frac{1}{4}\) is obtained by substituting (x=4). In exams, put (x) in the denominator for a reciprocal function.
\(x^3\) हर वास्तविक (y)-मान ले सकता है। परीक्षा में घन फलन का परिसर पूरे वास्तविक संख्याओं का सेट मानें। / \(x^3\) can take every real (y)-value. In exams, take the range of the cubic function as all real numbers.
(y=|x|) का शीर्ष ((0,0)) है और (-3) से नीचे खिसकता है। परीक्षा में ऊर्ध्व विस्थापन सीधे (y)-निर्देशांक में जोड़ें। / The vertex of (y=|x|) is ((0,0)), and (-3) shifts it downward. In exams, add vertical shifts directly to the (y)-coordinate.
\(y=\frac{1}{x}\) अक्षों के पास जाता है लेकिन उन्हें आसमापी की तरह नहीं काटता। परीक्षा में पारस्परिक ग्राफ के दोनों आसमापी याद रखें। / The graph \(y=\frac{1}{x}\) approaches the axes as asymptotes. In exams, remember both asymptotes of the reciprocal graph.
ऊर्ध्व खिंचाव में पूरे फलन को (2) से गुणा करते हैं। परीक्षा में बाहरी गुणक को ऊर्ध्व खिंचाव मानें। / For vertical stretching, multiply the whole function by (2). In exams, treat an outside multiplier as vertical scaling.
\(\sqrt{x}\ge 0\) इसलिए \(\sqrt{x}+3\ge 3\)। परीक्षा में ऊर्ध्व विस्थापन से परिसर भी बदलें। / Since \(\sqrt{x}\ge 0\), \(\sqrt{x}+3\ge 3\). In exams, change the range after a vertical shift.
ऋणात्मक गुणांक के कारण परवलय नीचे खुलता है और शीर्ष का (y)-मान (4) अधिकतम है। परीक्षा में नीचे खुलने वाले परवलय में शीर्ष अधिकतम होता है। / Because the coefficient is negative, the parabola opens downward and the vertex (y)-value (4) is maximum. In exams, the vertex is maximum for a downward parabola.
\(y=x^3\) ऋणात्मक (x) पर ऋणात्मक और धनात्मक (x) पर धनात्मक होता है। परीक्षा में घन ग्राफ को (x)-अक्ष पार करते हुए याद रखें। / \(y=x^3\) is negative for negative (x) and positive for positive (x). In exams, remember the cubic graph crosses the (x)-axis.
(x)-अक्ष के लिए (|x+1|-2=0) से (|x+1|=2) मिलता है। परीक्षा में मापांक को खोलकर दोनों स्थितियां हल करें। / For the (x)-axis, (|x+1|-2=0) gives (|x+1|=2). In exams, open the modulus into both cases.
\(\sqrt{x+5}\) के लिए \(x+5\ge 0\) इसलिए \(x\ge -5\)। परीक्षा में वर्गमूल के अंदर की राशि को (0) या उससे बड़ा रखें। / For \(\sqrt{x+5}\), \(x+5\ge 0\), so \(x\ge -5\). In exams, keep the expression inside the square root at least (0).
स्थिर फलन में (y) हमेशा (2) रहता है। परीक्षा में स्थिर रेखा का परिसर केवल उसी (y)-मान का सेट होता है। / In a constant function, (y) is always (2). In exams, the range of a constant line is the set containing only that (y)-value.
B. यह (y)-अक्ष के प्रति सममित है/it is symmetric about the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
\(y=x^2\) का प्रांत सभी वास्तविक संख्याएं है और ग्राफ (y)-अक्ष के प्रति सममित है। परीक्षा में परवलय के प्रांत और परिसर अलग-अलग याद रखें। / The domain of \(y=x^2\) is all real numbers and its graph is symmetric about the (y)-axis. In exams, remember the domain and range of a parabola separately.
