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मूल फलन \(y=|x|\) का शीर्ष \((0,0)\) होता है। \(|x-5|\) आलेख को 5 इकाई दाईं ओर और बाहर का \(-2\) उसे 2 इकाई नीचे खिसकाता है। इसलिए नया शीर्ष \((5,-2)\) है। परीक्षा-युक्ति: \(y=|x-h|+k\) में शीर्ष \((h,k)\) होता है। / The basic function \(y=|x|\) has vertex \((0,0)\). In \(y=|x-5|-2\), the graph shifts 5 units to the right and 2 units downward, so the vertex is \((5,-2)\). Exam tip: for \(y=|x-h|+k\), the vertex is \((h,k)\).
किसी भी वास्तविक संख्या का मापांक हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, इसलिए \(|2x+4|\geq 0\)। यह न्यूनतम मान तब प्राप्त करता है जब \(2x+4=0\), अर्थात् \(x=-2\)। अतः \(f(x)=0+1=1\) का न्यूनतम मान है। परीक्षा-युक्ति: \(|g(x)|+c\) का न्यूनतम मान सामान्यतः \(c\) होता है, यदि \(g(x)=0\) का कोई वास्तविक हल हो। / The modulus of any real number is non-negative, so \(|2x+4|\geq 0\). It attains its minimum value when \(2x+4=0\), giving \(x=-2\). Therefore, \(f(x)=0+1=1\). Hence, option A is correct; 0 is only the minimum value of the modulus term, not of the whole function. Exam tip: For an expression of the form \(|g(x)|+c\), check whether \(g(x)=0\) has a real solution; if it does, the minimum is \(c\).
मॉड्यूलस फलन \(f(x)=|ax+b|\) का शीर्ष उस बिंदु पर होता है जहाँ मॉड्यूलस के अंदर का व्यंजक शून्य हो जाता है। इसलिए \(3x-9=0\), जिससे \(x=3\) प्राप्त होता है और शीर्ष \((3,0)\) है। \(x=9\) लेना केवल स्थिर पद को देखकर किया गया भ्रम है। परीक्षा-युक्ति: मॉड्यूलस के अंदर के रैखिक व्यंजक को शून्य करके शीर्ष का \(x\)-निर्देशांक ज्ञात करें। / For a modulus function \(f(x)=|ax+b|\), the vertex occurs where the expression inside the modulus is zero. Thus, \(3x-9=0\), giving \(x=3\), and the vertex is \((3,0)\). The choice \(x=9\) results from confusing the constant term with the required value of \(x\). Exam tip: Set the linear expression inside the modulus equal to zero to find the vertex's \(x\)-coordinate.
\(x\)-अक्ष पर किसी बिंदु के लिए \(f(x)=0\) होता है। इसलिए \(2|x+2|-6=0\), जिससे \(|x+2|=3\) मिलता है। अतः \(x+2=3\) या \(x+2=-3\), इसलिए \(x=1\) या \(x=-5\)। इस प्रकार प्रतिच्छेद बिंदु \((1,0)\) और \((-5,0)\) हैं। परीक्षा में \(x\)-अक्ष के प्रतिच्छेद के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / At an \(x\)-intercept, the function value is zero. Thus, \(2|x+2|-6=0\), giving \(|x+2|=3\). Therefore, \(x+2=3\) or \(x+2=-3\), so \(x=1\) or \(x=-5\). Hence, the intercepts are \((1,0)\) and \((-5,0)\). For an \(x\)-intercept, remember to set \(y=f(x)=0\).
क्योंकि \(|x-1|\ge 0\), इसलिए \(-|x-1|\le 0\) और \(f(x)=-|x-1|+4\le 4\)। जब \(x=1\) होता है, तब \(|x-1|=0\) और \(f(1)=4\), इसलिए अधिकतम मान 4 है। विकल्प 1 केवल \(x=1\) से भ्रमित होकर चुना जा सकता है; वह फलन का मान नहीं, बल्कि अधिकतम मान प्राप्त होने वाला \(x\)-मान है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक मापांक वाले फलन में शीर्ष बिंदु पर अधिकतम मान मिलता है। / Since \(|x-1|\ge 0\), we have \(-|x-1|\le 0\), so \(f(x)=-|x-1|+4\le 4\). At \(x=1\), \(|x-1|=0\) and \(f(1)=4\); hence the maximum value is 4. Option 1 may result from confusing the \(x\)-value at which the maximum occurs with the function's maximum value. Exam tip: a negative coefficient of the modulus gives an inverted V-shaped graph, whose vertex represents the maximum.
\(x=4\) रखने पर \(f(4)=|4-2|+|4-6|=|2|+|-2|=2+2=4\)। इसलिए सही उत्तर 4 है। विकल्प B में केवल एक मापांक का मान लिया गया है, जबकि दोनों पदों का योग करना आवश्यक है। परीक्षा-टिप: मापांक के अंदर ऋणात्मक संख्या हो, तो उसका मापांक धनात्मक लिया जाता है। / Substituting \(x=4\), we get \(f(4)=|4-2|+|4-6|=|2|+|-2|=2+2=4\). Hence, 4 is correct. Option B results from considering only one modulus term, whereas both terms must be added. Exam tip: The modulus of a negative number is its positive magnitude.
\(x=-1\) रखने पर \(f(-1)=|-1+4|-|-1-2|=|3|-|-3|=3-3=0\)। इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प 6 तब मिल सकता है जब दोनों मापांकों का घटाने के बजाय जोड़ दिया जाए। परीक्षा में पहले प्रत्येक मापांक का धनात्मक मान निकालकर दिए गए चिह्न के अनुसार गणना करें। / Substituting \(x=-1\), we get \(f(-1)=|-1+4|-|-1-2|=|3|-|-3|=3-3=0\). Hence, option A is correct. The value 6 may result from adding the two modulus values instead of subtracting them. In such questions, evaluate each modulus first and then apply the indicated operation.
x-अक्ष पर प्रतिच्छेद के लिए \(f(x)=0\) रखें: \(3(x-1)^2-12=0\)। इससे \((x-1)^2=4\), अतः \(x-1=\pm2\) और \(x=-1,3\) प्राप्त होते हैं। इसलिए प्रतिच्छेद बिंदु \((-1,0)\) और \((3,0)\) हैं। विकल्प B में \(x=1\) शीर्ष का x-निर्देशांक है, प्रतिच्छेद नहीं। परीक्षा-युक्ति: x-अक्ष के प्रतिच्छेद ज्ञात करने के लिए हमेशा \(y=f(x)=0\) रखें। / For an x-intercept, set \(f(x)=0\): \(3(x-1)^2-12=0\). Thus \((x-1)^2=4\), so \(x-1=\pm2\), giving \(x=-1\) and \(x=3\). Therefore, the intercept points are \((-1,0)\) and \((3,0)\). Option B includes \(x=1\), which is the x-coordinate of the vertex, not an x-intercept. Exam tip: To find x-intercepts, always set \(y=f(x)=0\).
शून्यक ज्ञात करने के लिए \(f(x)=0\) रखें: \(x^2+8x+15=(x+3)(x+5)=0\)। अतः \(x=-3\) या \(x=-5\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में चिह्न गलत हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात बहुपद के गुणनखंडों को शून्य के बराबर रखकर उसके शून्यक शीघ्रता से ज्ञात किए जा सकते हैं। / To find the zeros, set \(f(x)=0\): \(x^2+8x+15=(x+3)(x+5)=0\). Hence, \(x=-3\) or \(x=-5\), so option A is correct. In option B, the signs of both zeros are incorrect. Exam tip: For a factorised quadratic, set each linear factor equal to zero to find its zeros quickly.
द्विघात फलन \(f(x)=ax^2+bx+c\) के ग्राफ का सममिति-अक्ष \(x=-\frac{b}{2a}\) होता है। यहाँ \(a=1\) और \(b=-10\), इसलिए \(x=-\frac{-10}{2(1)}=5\)। अतः सही उत्तर \(x=5\) है। \(x=-5\) चिन्ह की गलती से प्राप्त होता है, जबकि \(y=5\) सममिति-अक्ष का सही रूप नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2\) का गुणांक और \(x\) का गुणांक पहचानकर सीधे \(-\frac{b}{2a}\) लगाएँ। / For a quadratic function \(f(x)=ax^2+bx+c\), the axis of symmetry is \(x=-\frac{b}{2a}\). Here, \(a=1\) and \(b=-10\), so \(x=-\frac{-10}{2(1)}=5\). Therefore, the correct axis is \(x=5\). The option \(x=-5\) results from a sign error, while \(y=5\) is not the correct form of the axis for this graph. Exam tip: Identify the coefficients of \(x^2\) and \(x\), then apply \(-\frac{b}{2a}\) directly.
द्विघात फलन \(f(x)=ax^2+bx+c\) के आलेख का सममिति-अक्ष \(x=-\frac{b}{2a}\) होता है। यहाँ \(a=2\) और \(b=-8\), इसलिए \(x=-\frac{-8}{2\cdot2}=2\)। अतः सही उत्तर \(x=2\) है। ध्यान रखें कि सममिति-अक्ष ऊर्ध्वाधर रेखा है; इसलिए \(y=2\) इस प्रश्न का सही उत्तर नहीं हो सकता। / For a quadratic function \(f(x)=ax^2+bx+c\), the axis of symmetry is \(x=-\frac{b}{2a}\). Here, \(a=2\) and \(b=-8\), so \(x=-\frac{-8}{2\cdot2}=2\). Therefore, the correct answer is \(x=2\). Remember that the axis of symmetry is a vertical line, so \(y=2\) cannot be correct here.
वर्ग पूर्ण करने पर \(f(x)=x^2+2x+5=(x+1)^2+4\) मिलता है। चूँकि \((x+1)^2\geq 0\), इसका सबसे छोटा मान 0 होगा, जो \(x=-1\) पर प्राप्त होता है। अतः फलन का न्यूनतम मान 4 है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात फलन को \((x-h)^2+k\) के रूप में लिखने पर न्यूनतम मान सीधे k होता है। / Completing the square gives \(f(x)=x^2+2x+5=(x+1)^2+4\). Since \((x+1)^2\geq 0\), its least value is 0, attained at \(x=-1\). Therefore, the minimum value of the function is 4. Exam tip: For a quadratic written as \((x-h)^2+k\), the minimum value is directly k.
वर्ग पूर्ण करने पर \(f(x)=-(x-3)^2+4\) प्राप्त होता है। चूँकि \((x-3)^2\geq 0\), इसलिए \(-(x-3)^2\leq 0\), और फलन का अधिकतम मान 4 है, जो \(x=3\) पर प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: नीचे की ओर खुलने वाले द्विघात फलन का शीर्ष अधिकतम मान देता है। / Completing the square gives \(f(x)=-(x-3)^2+4\). Since \((x-3)^2\geq 0\), we have \(-(x-3)^2\leq 0\), so the maximum value of the function is 4, attained at \(x=3\). Exam tip: For a downward-opening quadratic, the vertex gives the maximum value.
\(\sqrt{x+6}\) (x=-6) से शुरू होता है और बाहर (-2) जुड़ता है। इसलिए प्रारंभिक बिंदु ((-6,-2)) है। / \(\sqrt{x+6}\) starts at (x=-6), and (-2) is added outside. So the starting point is ((-6,-2)).
वर्गमूल की परिभाषा के कारण \(x\ge 1\) और \(\sqrt{x-1}\ge 0\)। इसलिए \(f(x)=3-\sqrt{x-1}\le 3\)। जब \(x=1\), तब \(\sqrt{x-1}=0\) और \(f(1)=3\), अतः अधिकतम मान 3 है। विकल्प 1 केवल किसी अन्य मान पर फलन का मान हो सकता है, अधिकतम नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(a-\sqrt{g(x)}\) के अधिकतम मान के लिए वर्गमूल को उसके न्यूनतम मान, सामान्यतः 0, पर रखें। / Because the square root is defined for \(x\ge 1\), we have \(\sqrt{x-1}\ge 0\). Hence \(f(x)=3-\sqrt{x-1}\le 3\). At \(x=1\), \(\sqrt{x-1}=0\), so \(f(1)=3\); therefore, the maximum value is 3. The value 1 may occur for another input, but it is not the maximum. Exam tip: For an expression of the form \(a-\sqrt{g(x)}\), find its maximum by making the square-root term as small as possible, usually 0.
वर्गमूल के लिए \\(x+1\\ge 0\\) और \\(\\sqrt{x+1}\\ge 0\\) होता है। इसलिए \\(2\\sqrt{x+1}\\ge 0\\), अतः \\(f(x)=2\\sqrt{x+1}-5\\ge -5\\)। जब \\(x=-1\\), तब \\(f(x)=-5\\), और \\(x\\) बढ़ने पर फलन के मान अनंत तक बढ़ते हैं। इसलिए परास \\([-5,\\infty)\\) है। विकल्प C केवल वर्गमूल के मूल पर प्रभाव को दर्शाता है और \\(-5\\) के स्थानांतरण को अनदेखा करता है। परीक्षा-सुझाव: वर्गमूल वाले फलन का न्यूनतम मान पहले ज्ञात करें, फिर ऊर्ध्व स्थानांतरण लागू करें। / For the square root to be defined, \\(x+1\\ge 0\\), and \\(\\sqrt{x+1}\\ge 0\\). Thus, \\(2\\sqrt{x+1}\\ge 0\\), so \\(f(x)=2\\sqrt{x+1}-5\\ge -5\\). At \\(x=-1\\), the function equals \\(-5\\), and as \\(x\\) increases, the function values grow without bound. Therefore, the range is \\([-5,\\infty)\\). Option C ignores the downward shift by \\(-5\\). Exam tip: Find the minimum value of the square-root part first, then account for any vertical translation.
ऊर्ध्वाधर आसिम्प्टोट उस मान पर निर्धारित होता है जहाँ फलन का हर शून्य हो जाता है। यहाँ \(x-5=0\), इसलिए \(x=5\) ऊर्ध्वाधर आसिम्प्टोट है। \(y=2\) क्षैतिज आसिम्प्टोट है, इसलिए वह सही उत्तर नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(\frac{1}{x-a}+b\) के लिए ऊर्ध्वाधर आसिम्प्टोट \(x=a\) और क्षैतिज आसिम्प्टोट \(y=b\) होता है। / A vertical asymptote occurs where the denominator becomes zero. Here, \(x-5=0\), so the vertical asymptote is \(x=5\). The line \(y=2\) is the horizontal asymptote, not the vertical one. Exam tip: for \(\frac{1}{x-a}+b\), the vertical asymptote is \(x=a\) and the horizontal asymptote is \(y=b\).
जब \(|x|\) बहुत बड़ा होता है, तब \(\frac{3}{x+2}\) का मान 0 के निकट पहुँचता है। इसलिए \(f(x)\) का मान \(-1\) के निकट पहुँचता है और क्षैतिज आसिम्प्टोट \(y=-1\) होती है। \(x=-2\) ऊर्ध्वाधर आसिम्प्टोट है, क्योंकि वहाँ हर शून्य हो जाता है। परीक्षा टिप: \(\frac{a}{x-h}+k\) के लिए क्षैतिज आसिम्प्टोट सीधे \(y=k\) होती है। / As \(|x|\) becomes very large, \(\frac{3}{x+2}\) approaches 0. Therefore, \(f(x)\) approaches \(-1\), so the horizontal asymptote is \(y=-1\). The line \(x=-2\) is the vertical asymptote because the denominator becomes zero there. Exam tip: For a function of the form \(\frac{a}{x-h}+k\), the horizontal asymptote is directly \(y=k\).
यहाँ \\(x\\neq -4\\) और \\(f(x)-6=\\frac{1}{x+4}\\) है। \\(\\frac{1}{x+4}\\) कभी शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \\(f(x)\\) का मान कभी 6 नहीं होगा। दूसरी ओर, 6 को छोड़कर प्रत्येक वास्तविक मान प्राप्त किया जा सकता है; अतः परिसर \\((- infty,6)\\cup(6,\\infty)\\) है। परीक्षा टिप: \\(\\frac{1}{x-a}+b\\) का परिसर हमेशा \\(y\\neq b\\) होता है। / Here, \\(x\\neq -4\\) and \\(f(x)-6=\\frac{1}{x+4}\\). Since \\(\\frac{1}{x+4}\\) can never be zero, \\(f(x)\\) can never equal 6. Every other real value is attainable, so the range is \\((- infty,6)\\cup(6,\\infty)\\). The distractor \\((- infty,\\infty)\\) is incorrect because it includes the excluded value 6. Exam tip: the range of \\(\\frac{1}{x-a}+b\\) is \\(y\\neq b\\).
\(\frac{-2}{x-3}\) में गुणांक ऋणात्मक है। इसलिए इसकी शाखाएं मूल \(-\frac{1}{x}\) जैसी विपरीत चतुर्थांशों में होती हैं। / The coefficient in \(\frac{-2}{x-3}\) is negative. So its branches are like \(-\frac{1}{x}\) in opposite quadrants.
फलन का हर \((x+2)^2\), \(x=-2\) पर शून्य हो जाता है, इसलिए उस बिंदु पर फलन अपरिभाषित है। जब \(x\), \(-2\) के पास जाता है, तब \(f(x)\) का मान अनंत की ओर बढ़ता है; अतः \(x=-2\) ऊर्ध्वाधर आसिम्प्टोट है। \(x=2\) चिन्ह की गलती से प्राप्त हो सकता है, जबकि \(y=0\) इस फलन का क्षैतिज आसिम्प्टोट है। परीक्षा-युक्ति: भिन्नात्मक फलन में हर को शून्य रखकर ऊर्ध्वाधर आसिम्प्टोट खोजें। / The denominator \((x+2)^2\) becomes zero at \(x=-2\), so the function is undefined there. As \(x\) approaches \(-2\), the value of \(f(x)\) increases without bound; therefore, \(x=-2\) is the vertical asymptote. The option \(x=2\) results from a sign error, while \(y=0\) is the horizontal asymptote. Exam tip: For a reciprocal function, set the denominator equal to zero to find the vertical asymptote.
(\frac{2}{(x-1)2}) हमेशा धनात्मक है लेकिन (0) नहीं होता। इसलिए फलन (-3) से बड़ा रहता है। / (\frac{2}{(x-1)2}) is always positive but never (0). Therefore the function remains greater than (-3).
(-\frac{3}{(x+1)2}) हमेशा ऋणात्मक होता है और (0) नहीं बनता। इसलिए (f(x)) हमेशा (2) से कम है। / (-\frac{3}{(x+1)2}) is always negative and never becomes (0). So (f(x)) is always less than (2).
क्योंकि \(x>4\), इसलिए \(3x-12=3(x-4)>0\)। साइनम फलन में किसी धनात्मक संख्या का मान \(1\) होता है, अतः \(f(x)=1\)। ध्यान रखें कि \(x=4\) पर मान \(0\) होता, लेकिन यहाँ \(x>4\) दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: पहले साइनम के अंदर के व्यंजक का चिह्न निर्धारित करें। / Since \(x>4\), we have \(3x-12=3(x-4)>0\). The signum of a positive number is \(1\), so \(f(x)=1\). Note that the value would be \(0\) at \(x=4\), but that point is excluded by \(x>4\). Exam tip: first determine the sign of the expression inside the signum function.
जब \(x>2\), तब \(2-x<0\) होता है। साइनम फलन में किसी ऋणात्मक संख्या का मान \(-1\) होता है, इसलिए \(f(x)=\operatorname{sgn}(2-x)=-1\)। ध्यान रखें: \(\operatorname{sgn}(y)\) का मान \(y<0\) पर \(-1\), \(y=0\) पर \(0\), और \(y>0\) पर \(1\) होता है। / When \(x>2\), we have \(2-x<0\). The signum function has value \(-1\) for a negative argument; therefore, \(f(x)=\operatorname{sgn}(2-x)=-1\). Exam tip: \(\operatorname{sgn}(y)\) equals \(-1\) for \(y<0\), \(0\) for \(y=0\), and \(1\) for \(y>0\).
साइनम फलन \(\operatorname{sgn}(u)\) का मान शून्य तभी होता है जब \(u=0\) हो। यहाँ \(u=x+7\), इसलिए \(x+7=0\) रखने पर \(x=-7\) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: \(\operatorname{sgn}(g(x))=0\) के लिए सीधे \(g(x)=0\) हल करें। / The signum function \(\operatorname{sgn}(u)\) equals zero only when \(u=0\). Here, \(u=x+7\), so solving \(x+7=0\) gives \(x=-7\). Therefore, option A is correct. Exam tip: To find where \(\operatorname{sgn}(g(x))=0\), set the inner expression \(g(x)\) equal to zero.
\(x=5.9\) रखने पर \(x-3=5.9-3=2.9\) प्राप्त होता है। महत्तम पूर्णांक फलन \(\lfloor y\rfloor\), \(y\) से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक होता है; इसलिए \(\lfloor 2.9\rfloor=2\)। विकल्प 2.9 गलत है क्योंकि वह अंदर का मान है, फलन का अंतिम मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: दशमलव संख्या के लिए floor मान हमेशा उससे छोटा या बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक लें। / Substituting \(x=5.9\) gives \(x-3=5.9-3=2.9\). The greatest-integer function \(\lfloor y\rfloor\) gives the greatest integer less than or equal to \(y\), so \(\lfloor 2.9\rfloor=2\). The value 2.9 is only the intermediate expression, not the final function value. Exam tip: for a decimal input, take the greatest integer that is less than or equal to it.
दिए गए \(x=-0.4\) को फलन में रखने पर \(3x=3(-0.4)=-1.2\) प्राप्त होता है। \(\lfloor y\rfloor\) उस सबसे बड़े पूर्णांक को दर्शाता है जो \(y\) से छोटा या उसके बराबर हो। इसलिए \(\lfloor -1.2\rfloor=-2\), अतः सही उत्तर -2 है। ध्यान रखें कि ऋणात्मक दशमलव के लिए केवल दशमलव हटाना पर्याप्त नहीं होता; संख्या से छोटा या बराबर पूर्णांक लेना होता है। / Substituting \(x=-0.4\) gives \(3x=3(-0.4)=-1.2\). The floor function \(\lfloor y\rfloor\) gives the greatest integer less than or equal to \(y\). Therefore, \(\lfloor -1.2\rfloor=-2\), so the correct answer is -2. Exam tip: for a negative decimal, the floor is the next lower integer, not the integer obtained by simply dropping the decimal part.
\(\frac{7.4+2}{3}=\frac{9.4}{3}\), जो (3) से बड़ा और (4) से छोटा है। इसलिए ग्रेटेस्ट इंटीजर (3) है। / \(\frac{7.4+2}{3}=\frac{9.4}{3}\), which is greater than (3) and less than (4). So the greatest integer is (3).
महत्तम पूर्णांक फलन \(\lfloor x\rfloor\) किसी संख्या से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक देता है। \([-3,-2)\) में प्रत्येक \(x\) के लिए \(-3\le x<-2\), इसलिए \(\lfloor x\rfloor=-3\) और \(y=-3\) होगा। ध्यान दें कि \(x=-2\) इस अंतराल में शामिल नहीं है; वहाँ फलन का मान \(-2\) होता। / The greatest integer function \(\lfloor x\rfloor\) gives the greatest integer less than or equal to \(x\). For every \(x\) in \([-3,-2)\), we have \(-3\le x<-2\), so \(\lfloor x\rfloor=-3\) and hence \(y=-3\). Note that \(x=-2\) is excluded from the interval; at \(x=-2\), the function value would be \(-2\).
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए भिन्नात्मक भाग \(\{x\}=x-\lfloor x\rfloor\) हमेशा \(0\) से कम नहीं और \(1\) से कम होता है। इसलिए इसका परिसर \([0,1)\) है। \(0\) प्राप्त होता है जब \(x\) पूर्णांक हो, लेकिन \(1\) कभी प्राप्त नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: भिन्नात्मक भाग फलन का परिसर \([0,1)\) याद रखें। / For every real \(x\), the fractional part \(\{x\}=x-\lfloor x\rfloor\) is always at least \(0\) and strictly less than \(1\). Hence, its range is \([0,1)\). The value \(0\) occurs when \(x\) is an integer, but the value \(1\) is never attained. Exam tip: remember that the range of the fractional part function is \([0,1)\).
\(x=1.35\) रखने पर \(2x=2(1.35)=2.7\) मिलता है। 2.7 का भिन्नात्मक भाग पूर्णांक भाग 2 हटाने पर \(0.7\) है, इसलिए \(f(1.35)=0.7\)। विकल्प B \(2.7\) पूरा मान है, भिन्नात्मक भाग नहीं। परीक्षा में \(\{y\}=y-\lfloor y\rfloor\) का उपयोग करके शीघ्रता से मान निकालें। / Substituting \(x=1.35\) gives \(2x=2(1.35)=2.7\). Removing the integer part 2 leaves the fractional part \(0.7\), so \(f(1.35)=0.7\). Option B, \(2.7\), is the value of \(2x\) before taking its fractional part. In an exam, use \(\{y\}=y-\lfloor y\rfloor\) to evaluate such functions quickly.
(y)-अक्ष पर (x=0), इसलिए (2y=12) और (y=6)। प्रतिच्छेद के लिए दूसरे निर्देशांक को शून्य रखें। / On the (y)-axis, (x=0), so (2y=12) and (y=6). For intercepts, set the other coordinate to zero.
समीकरण \(5x-y=10\) को ढाल-अवरोध रूप में लिखने पर \(y=5x-10\) मिलता है। इस रूप में \(x\) का गुणांक ढाल होता है, इसलिए ढाल \(5\) है। \(-5\) लेना चिन्ह की गलती है, क्योंकि \(-y\) को दूसरी ओर ले जाने पर वह \(+y\) बन जाता है। परीक्षा-युक्ति: \(y=mx+c\) में \(m\) ही ढाल होती है। / Rearranging \(5x-y=10\) into slope-intercept form gives \(y=5x-10\). The coefficient of \(x\) is the slope, so the slope is \(5\). Choosing \(-5\) results from missing the sign change when \(-y\) is moved to the other side. Exam tip: in \(y=mx+c\), \(m\) is the slope.
x-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु के लिए \\(y=0\\) होता है। अतः समीकरण में रखने पर \\(2x-3(0)=9\\), यानी \\(2x=9\\) और \\(x=\\frac{9}{2}\\) प्राप्त होता है। इसलिए प्रतिच्छेद-बिंदु \\(\\left(\\frac{9}{2},0\\right)\\) है। परीक्षा-युक्ति: x-अक्षीय प्रतिच्छेद निकालने के लिए हमेशा \\(y=0\\) रखें; y-अक्षीय प्रतिच्छेद के लिए \\(x=0\\) रखें। / Every point on the x-axis has \\(y=0\\). Substituting this in the equation gives \\(2x-3(0)=9\\), so \\(2x=9\\) and \\(x=\\frac{9}{2}\\). Therefore, the intercept point is \\(\\left(\\frac{9}{2},0\\right)\\). Exam tip: set \\(y=0\\) to find an x-intercept and set \\(x=0\\) to find a y-intercept.
रेखा \(y=mx+c\) के रूप में लिखी है, जहाँ \(m\) ढाल होती है। इसलिए दी गई रेखा की ढाल \(-\frac{3}{4}\) है। समांतर रेखाओं की ढाल समान होती है, अतः सही उत्तर \(-\frac{3}{4}\) है। \(\frac{4}{3}\) इसका ऋणात्मक प्रतिलोम है, जो लम्बवत रेखाओं से संबंधित होता है, समांतर रेखाओं से नहीं। परीक्षा-युक्ति: समांतर रेखाओं के लिए ढाल समान और लम्बवत रेखाओं के लिए ढालों का गुणनफल \(-1\) होता है। / The equation is in the slope-intercept form \(y=mx+c\), where \(m\) is the slope. Thus, the given line has slope \(-\frac{3}{4}\). Parallel lines have equal slopes, so the correct answer is \(-\frac{3}{4}\). The value \(\frac{4}{3}\) is the negative reciprocal and is associated with a perpendicular line, not a parallel line. Exam tip: parallel lines have equal slopes, while the product of the slopes of perpendicular lines is \(-1\).
\(y\)-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु के लिए \(x=0\) होता है। इसलिए \(f(0)=0^3+3=3\), अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((0,3)\) है और उसका \(y\)-निर्देशांक 3 है। विकल्प B में दिया गया 0 \(x\)-निर्देशांक है, \(y\)-निर्देशांक नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(y\)-अक्ष प्रतिच्छेद ज्ञात करने के लिए हमेशा \(x=0\) रखें। / Every point on the y-axis has \(x=0\). Thus, \(f(0)=0^3+3=3\), so the intercept point is \((0,3)\) and its y-coordinate is 3. Option B, 0, is the x-coordinate of the intercept, not its y-coordinate. Exam tip: To find a y-intercept, substitute \(x=0\).
मूल फलन \(y=x^3\) का केंद्रीय बिंदु या बिंदु-विकृति \((0,0)\) होता है। फलन \(y=(x-2)^3+4\) में ग्राफ 2 इकाई दाईं ओर और 4 इकाई ऊपर खिसकता है, इसलिए केंद्रीय बिंदु \((2,4)\) होगा। परीक्षा में \((x-a)^3+b\) के लिए केंद्रीय बिंदु सीधे \((a,b)\) पहचानें। / The basic cubic function \(y=x^3\) has its central point, or point of inflection, at \((0,0)\). In \(y=(x-2)^3+4\), the graph shifts 2 units right and 4 units upward, so the central point becomes \((2,4)\). For an exam shortcut, identify the central point of \(y=(x-a)^3+b\) as \((a,b)\).
\(x\)-अक्ष पर किसी भी बिंदु का \(y\)-निर्देशांक 0 होता है। इसलिए \(f(x)=0\), अर्थात \(x^3+27=0\)। इससे \(x^3=-27\) और \(x=-3\) प्राप्त होता है। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((-3,0)\) है। ध्यान रखें कि \(x\)-अक्ष का प्रतिच्छेद केवल \(x\)-मान नहीं, बल्कि क्रमित युग्म के रूप में लिखा जाता है। / At every point on the \(x\)-axis, the \(y\)-coordinate is 0. Therefore, set \(f(x)=0\): \(x^3+27=0\), so \(x^3=-27\) and \(x=-3\). Hence, the intercept point is \((-3,0)\). Remember that an \(x\)-intercept is written as an ordered pair, not just as the \(x\)-value.
A. ऊर्ध्वाधर रूप से खिंचा हुआ/Vertically stretched
Explanation
Simple Explanation
\(f(x)=2x^3\) में प्रत्येक समान \(x\) के लिए \(y=x^3\) का y-मान 2 से गुणा हो जाता है। इसलिए आलेख y-दिशा में 2 के गुणक से ऊर्ध्वाधर रूप से खिंचता है। यह ऊर्ध्वाधर संकुचन नहीं है, क्योंकि संकुचन तब होता है जब गुणांक 0 और 1 के बीच हो। परीक्षा-युक्ति: \(y=af(x)\) में \(|a|>1\) होने पर ऊर्ध्वाधर खिंचाव और \(0<|a|<1\) होने पर ऊर्ध्वाधर संकुचन होता है। / In \(f(x)=2x^3\), the y-value of \(y=x^3\) is multiplied by 2 for every fixed \(x\). Thus, the graph is vertically stretched by a factor of 2. It is not vertically compressed, since compression occurs when the multiplying coefficient lies between 0 and 1. Exam tip: In \(y=af(x)\), \(|a|>1\) causes a vertical stretch, while \(0<|a|<1\) causes a vertical compression.
समीकरण \(y^2=x+1\) को \(y=\pm\sqrt{x+1}\) लिखा जा सकता है। इसलिए प्रत्येक \(x>-1\) के लिए दो \(y\)-मान मिलते हैं और कोई ऊर्ध्वाधर रेखा आलेख को दो बिंदुओं पर काट सकती है। अतः यह ऊर्ध्वाधर रेखा परीक्षण में असफल होता है। इसके विपरीत, विकल्प B, C और D में प्रत्येक अनुमत \(x\) के लिए केवल एक \(y\)-मान मिलता है। परीक्षा-युक्ति: यदि किसी ऊर्ध्वाधर रेखा का आलेख से एक से अधिक प्रतिच्छेद हो, तो वह संबंध \(y\) का फलन नहीं होता। / The equation \(y^2=x+1\) can be rewritten as \(y=\pm\sqrt{x+1}\). Thus, for every \(x>-1\), there are two corresponding values of \(y\), so a vertical line can intersect the graph at two points. Therefore, it fails the vertical line test. In options B, C, and D, each allowed \(x\)-value gives exactly one \(y\)-value. Exam tip: a relation represents a function of \(x\) only if every vertical line intersects its graph at most once.
दाईं ओर (3) इकाई के लिए (x-3) और नीचे (2) इकाई के लिए बाहर (-2) होता है। इसलिए सही रूप (y=(x-3)2-2) है। / For (3) units right, use (x-3), and for (2) units down, use outside (-2). So the correct form is (y=(x-3)2-2).
ग्राफ को 4 इकाई बाईं ओर खिसकाने के लिए मूल फलन में \(x\) के स्थान पर \(x+4\) रखा जाता है, जबकि 5 इकाई ऊपर खिसकाने के लिए पूरे फलन में \(+5\) जोड़ा जाता है। इसलिए नया फलन \(y=\sqrt{x+4}+5\) है। विकल्प B में \(x-4\) होने के कारण ग्राफ दाईं ओर खिसकता है। परीक्षा-युक्ति: अंदर का \(+c\) क्षैतिज स्थानांतरण को विपरीत दिशा में और बाहर का \(+c\) ऊर्ध्वाधर स्थानांतरण को उसी दिशा में दर्शाता है। / To shift the graph 4 units left, replace \(x\) by \(x+4\) inside the function. To shift it 5 units upward, add \(5\) outside the function. Thus, the required function is \(y=\sqrt{x+4}+5\). In option B, \(x-4\) shifts the graph 4 units right instead. Exam tip: a change inside the function acts in the opposite horizontal direction, while a change outside acts in the same vertical direction.
A. (3) इकाई बाईं ओर और (4) इकाई नीचे/(3) units left and (4) units down
Explanation
Simple Explanation
अंदर (x+3) होने से (3) इकाई बाईं ओर और बाहर (-4) होने से (4) इकाई नीचे खिसकाव होता है। / The inside term (x+3) shifts the graph (3) units left, and outside (-4) shifts it (4) units down.
\(y=x^3\) का केंद्रीय बिंदु ((0,0)) होता है और यह (4) दाईं ओर तथा (2) ऊपर खिसकता है। ऋण चिह्न दिशा बदलता है लेकिन केंद्रीय बिंदु ((4,2)) ही रहता है। / The central point of \(y=x^3\) is ((0,0)) and it shifts (4) right and (2) up. The negative sign changes direction but the central point remains ((4,2)).
जब \(|x|\) बहुत बड़ा होता है, तब \(\frac{4}{(x-3)^2}\) का मान 0 के निकट पहुँचता है। इसलिए \(f(x)\) का मान 1 के निकट पहुँचता है और क्षैतिज आसिम्प्टोट \(y=1\) है। \(x=3\) ऊर्ध्वाधर आसिम्प्टोट है, क्षैतिज नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(\frac{a}{(x-h)^2}+k\) के लिए क्षैतिज आसिम्प्टोट सामान्यतः \(y=k\) होता है। / As \(|x|\) becomes very large, \(\frac{4}{(x-3)^2}\) approaches 0. Hence, \(f(x)\) approaches 1, so the horizontal asymptote is \(y=1\). The line \(x=3\) is the vertical asymptote, not the horizontal one. Exam tip: For a function of the form \(\frac{a}{(x-h)^2}+k\), the horizontal asymptote is generally \(y=k\).
जब \(x\in[2,3)\), तब \(x+1\in[3,4)\) होगा। इस पूरे अंतराल में सबसे बड़ा पूर्णांक फलन \(\left\lfloor x+1\right\rfloor=3\) रहता है, इसलिए \(y=3\)। विकल्प 4 गलत है क्योंकि \(x=3\) इस अंतराल में शामिल नहीं है। परीक्षा-टिप: \([a,b)\) में बायाँ सिरा शामिल और दायाँ सिरा बहिष्कृत होता है। / For \(x\in[2,3)\), we have \(x+1\in[3,4)\). The greatest integer less than or equal to every value of \(x+1\) in this interval is 3, so \(y=3\). Option 4 is incorrect because \(x=3\) is excluded from the interval. Exam tip: in \([a,b)\), the left endpoint is included and the right endpoint is excluded.
\(x=5.75\) रखने पर \(x-2=5.75-2=3.75\) प्राप्त होता है। \(3.75\) का भिन्नात्मक भाग \(0.75\) है, इसलिए \(f(5.75)=0.75\)। विकल्प B \(3.75\) मध्यवर्ती मान है, अंतिम फलन-मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: भिन्नात्मक भाग निकालने के लिए संख्या से उसका पूर्णांक भाग घटाएँ। / Substituting \(x=5.75\) gives \(x-2=5.75-2=3.75\). The fractional part of \(3.75\) is \(0.75\), so \(f(5.75)=0.75\). Option B, \(3.75\), is only the intermediate value before taking its fractional part. Exam tip: subtract the integer part from a number to obtain its fractional part.
मॉड्यूलस फलन का शीर्ष उस बिंदु पर होता है जहाँ अंदर का व्यंजक शून्य हो जाता है। इसलिए \(2x-8=0\) से \(x=4\) मिलता है। तब \(f(4)=|0|+3=3\), अतः शीर्षबिंदु \((4,3)\) है। विकल्प C में \(x=8\) लेने की भूल है, जबकि बाहर का \(+3\) ग्राफ को 3 इकाई ऊपर खिसकाता है। परीक्षा टिप: \(a|x-h|+k\) का शीर्ष \((h,k)\) होता है। / The vertex of an absolute-value function occurs where the expression inside the modulus becomes zero. Thus, \(2x-8=0\) gives \(x=4\). Then \(f(4)=|0|+3=3\), so the vertex is \((4,3)\). Option C results from incorrectly taking \(x=8\), while the outside \(+3\) shifts the graph 3 units upward. Exam tip: Rewrite the function in the form \(a|x-h|+k\); its vertex is \((h,k)\).
वास्तविक वर्गमूल के लिए \(16-x^2\ge 0\) चाहिए। इससे \(x^2\le 16\) और डोमेन ([-4,4]) मिलता है। / For a real square root, \(16-x^2\ge 0\) is required. This gives \(x^2\le 16\) and the domain ([-4,4]).
