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चयन के हर समूह को (r!) तरीकों से सजाया जा सकता है। परीक्षा में permutation को selection के बाद arrangement समझें। / Each selected group can be arranged in (r!) ways. In exams treat permutation as selection followed by arrangement.
A. क्योंकि प्रत्येक वस्तु के लिए चुनना या न चुनना दो विकल्प हैं और खाली चयन हटाया जाता है/Because each object has two choices, select or not select, and the empty selection is removed
Explanation
Simple Explanation
हर वस्तु के लिए दो स्वतंत्र विकल्प होने से कुल subsets \(2^n\) होते हैं, और कम से कम (1) के लिए empty set हटता है। परीक्षा में at least condition में total minus unwanted सोचें। / Each object has two independent choices, so total subsets are \(2^n\), and for at least (1) the empty set is removed. In exams use total minus unwanted for at least conditions.
A. क्योंकि (r) वस्तुओं की व्यवस्था नहीं गिनी जाती/Because arrangements of (r) objects are not counted
Explanation
Simple Explanation
Combination में क्रम का महत्व नहीं होता इसलिए (r!) duplicate arrangements हटाए जाते हैं। परीक्षा में order ignored हो तो division याद रखें। / In combinations order is not important so (r!) duplicate arrangements are removed. In exams divide when order is ignored.
घटते हुए (r) गुणकों के बाद बचे ((n-r)!) से factorial पूरा होता है। परीक्षा में missing tail को denominator बनाएं। / After (r) decreasing factors the remaining tail is ((n-r)!). In exams put the missing tail in the denominator.
B. (r) चुनना और (n-r) छोड़ना समान निर्णय हैं/Choosing (r) and leaving (n-r) are equivalent decisions
Explanation
Simple Explanation
(r) वस्तुएं चुनना उतना ही है जितना (n-r) वस्तुएं न चुनना। परीक्षा में complement selection से symmetry पहचानें। / Choosing (r) objects is equivalent to not choosing (n-r) objects. In exams use complement selection to identify symmetry.
A. एक fixed वस्तु शामिल है या शामिल नहीं है/A fixed object is included or not included
Explanation
Simple Explanation
किसी fixed वस्तु पर case बनाएं: उसे लें या न लें। परीक्षा में ऐसी identities को inclusion case से derive करें। / Make cases on one fixed object: include it or exclude it. In exams derive such identities by inclusion cases.
B. \(\frac{^{n}C_{r+1}}{^{n}C_r}=\frac{n-r}{r+1}\)
Explanation
Simple Explanation
Factorial form लिखकर common terms cancel करने से ratio मिलता है। परीक्षा में consecutive combinations में ratio method तेज होता है। / Writing factorial forms and canceling common terms gives the ratio. In exams ratio method is fast for consecutive combinations.
Permutation में हर combination के (r!) orders शामिल होते हैं। परीक्षा में unordered count पाने के लिए ordered count को (r!) से divide करें। / A permutation includes (r!) orders for each combination. In exams divide ordered count by (r!) to get unordered count.
B. क्योंकि (E) दो बार आया है/Because (E) appears twice
Explanation
Simple Explanation
समान (E) की आपसी अदला-बदली नई arrangement नहीं देती। परीक्षा में repeated identical items के factorial से divide करें। / Interchanging identical (E)'s does not give a new arrangement. In exams divide by factorials of repeated identical items.
पहले चयन और फिर क्रम दोनों चाहिए इसलिए \(^{7}P_3=^{7}C_3\cdot3!\)। परीक्षा में order matters हो तो permutation लें। / Both selection and order are needed so \(^{7}P_3=^{7}C_3\cdot3!\). In exams use permutation when order matters.
A. क्योंकि दोनों पद अलग हैं/Because the two posts are different
Explanation
Simple Explanation
Captain और vice-captain बदलने से outcome बदलता है। परीक्षा में roles अलग हों तो order important मानें। / Switching captain and vice-captain changes the outcome. In exams treat different roles as order important.
C. क्योंकि केवल समूह चाहिए/Because only a group is needed
Explanation
Simple Explanation
Committee में केवल सदस्यता गिनी जाती है, क्रम नहीं। परीक्षा में group बिना पद के हो तो combination लगाएं। / Only membership is counted in a committee, not order. In exams use combination for a group without posts.
B. पहले स्थान पर (n), फिर (n-1), फिर घटती choices मिलती हैं/Choices are (n), then (n-1), then decreasing
Explanation
Simple Explanation
हर चुने गए object के बाद available choices कम होती जाती हैं। परीक्षा में distinct arrangement में decreasing product लिखें। / After each chosen object available choices decrease. In exams write decreasing products for distinct arrangements.
यह (r) चुनने और (n-r) छोड़ने की symmetry है। परीक्षा में opposite indices का sum (n) हो तो यह relation लगाएं। / This is the symmetry of choosing (r) and leaving (n-r). In exams use this relation when opposite indices sum to (n).
हर pair को (2!) orders में लिखा जा सकता है। परीक्षा में \(^{n}P_r=^{n}C_r r!\) तुरंत लगाएं। / Each pair can be written in (2!) orders. In exams apply \(^{n}P_r=^{n}C_r r!\) directly.
A. किसी भी वस्तु को न चुनने का एक तरीका है/There is one way to choose no object
Explanation
Simple Explanation
Empty selection भी एक valid selection है। परीक्षा में (0!) और empty choice दोनों का मान (1) याद रखें। / The empty selection is also a valid selection. In exams remember both (0!) and empty choice as (1).
A. (n) वस्तुओं में से सभी (n) चुनने का केवल एक तरीका है/There is exactly one way to choose all (n) objects
Explanation
Simple Explanation
सभी वस्तुएं चुनने पर selection fixed हो जाता है। परीक्षा में extreme cases \(^{n}C_0\) और \(^{n}C_n\) को जल्दी पहचानें। / When all objects are chosen the selection is fixed. In exams quickly identify extreme cases \(^{n}C_0\) and \(^{n}C_n\).
A. सभी (n) वस्तुओं को क्रम में लगाने पर (n!) arrangements मिलती हैं/Arranging all (n) objects gives (n!) arrangements
Explanation
Simple Explanation
जब सभी objects arrange होते हैं तो \(^{n}P_n=\frac{n!}{0!}=n!\)। परीक्षा में (0!=1) जरूर लगाएं। / When all objects are arranged \(^{n}P_n=\frac{n!}{0!}=n!\). In exams use (0!=1).
(4) चुनी गई वस्तुओं को (4!) तरीकों से arrange किया जाता है। परीक्षा में (x=r!) लिखें। / The (4) selected objects are arranged in (4!) ways. In exams write (x=r!).
Code में order बदलने से code बदल जाता है। परीक्षा में code या password में सामान्यतः permutation relation लगाएं। / Changing order changes the code. In exams usually use permutation relation for codes or passwords.
A. एक वस्तु चुनने के लिए (n) independent choices हैं/There are (n) independent choices for selecting one object
Explanation
Simple Explanation
Single selection में order का प्रश्न नहीं आता और choices (n) हैं। परीक्षा में \(^{n}C_1\) और \(^{n}P_1\) दोनों (n) होते हैं। / In single selection order does not arise and choices are (n). In exams both \(^{n}C_1\) and \(^{n}P_1\) equal (n).
A. क्योंकि (1) object का order अलग परिणाम नहीं बनाता/Because the order of (1) object creates no different result
Explanation
Simple Explanation
एक वस्तु को arrange करने का (1!) तरीका है। परीक्षा में (r=1) पर permutation और combination समान मान दें। / One object can be arranged in (1!) way. In exams permutation and combination give the same value for (r=1).
A. क्योंकि ordered pairs को unordered pairs में बदलने के लिए (2!) से भाग देते हैं/Because ordered pairs are divided by (2!) to become unordered pairs
Explanation
Simple Explanation
(AB) और (BA) same pair हैं इसलिए दोहराव हटता है। परीक्षा में pairs के लिए अक्सर (\frac{n(n-1)}{2}) उपयोगी है। / (AB) and (BA) are the same pair so repetition is removed. In exams (\frac{n(n-1)}{2}) is often useful for pairs.
यह Pascal identity का shifted रूप है। परीक्षा में adjacent lower-row combinations जोड़कर upper-row combination बनाएं। / This is a shifted form of Pascal identity. In exams add adjacent lower-row combinations to form the upper-row combination.
Pascal identity में \(^{n}C_{r-1}+^{n}C_r=^{n+1}C_r\) होता है। परीक्षा में adjacent indices देखें। / Pascal identity gives \(^{n}C_{r-1}+^{n}C_r=^{n+1}C_r\). In exams look for adjacent indices.
Symmetry से (m=13-4=9)। परीक्षा में equal combinations में indices का sum (n) भी हो सकता है। / By symmetry (m=13-4=9). In exams equal combinations may have indices summing to (n).
Equal complementary indices के लिए (r+(r+4)=14)। परीक्षा में symmetry equation बनाकर solve करें। / For equal complementary indices (r+(r+4)=14). In exams form and solve the symmetry equation.
पहले (3) वस्तुएं चुनकर उन्हें (3!) ways में arrange करते हैं। परीक्षा में \(^{n}P_3=^{n}C_3\cdot3!\) याद रखें। / First choose (3) objects and arrange them in (3!) ways. In exams remember \(^{n}P_3=^{n}C_3\cdot3!\).
Combination पाने के लिए (3!) arrangements हटाए जाते हैं। परीक्षा में ordered triple से unordered triple में divide by (3!) करें। / To get combinations (3!) arrangements are removed. In exams divide ordered triples by (3!) to get unordered triples.
A. एक object को fixed मानकर rotation duplicates हटाए जाते हैं/One object is fixed to remove rotational duplicates
Explanation
Simple Explanation
Circle में rotations same माने जाते हैं इसलिए एक position fixed करते हैं। परीक्षा में circular permutation में linear (n!) को (n) से divide करें। / Rotations in a circle are considered the same so one position is fixed. In exams divide linear (n!) by (n) for circular permutation.
Reflection भी same होने पर हर circular arrangement दो बार गिनी जाती है। परीक्षा में necklace type में (\frac{(n-1)!}{2}) याद रखें। / When reflection is also same each circular arrangement is counted twice. In exams remember (\frac{(n-1)!}{2}) for necklace type.
A. जब repetition allowed हो और order important हो/When repetition is allowed and order is important
Explanation
Simple Explanation
हर (r) स्थान पर (n) choices स्वतंत्र रूप से रहती हैं। परीक्षा में repetition allowed हो तो decreasing product नहीं लिखें। / Each of the (r) positions has (n) independent choices. In exams do not write a decreasing product when repetition is allowed.
A. क्योंकि चुनी गई वस्तु दोबारा नहीं चुनी जाती/Because a chosen object is not selected again
Explanation
Simple Explanation
Without repetition में एक choice use होने के बाद available count कम होता है। परीक्षा में no repetition को falling product से जोड़ें। / Without repetition the available count decreases after one choice is used. In exams connect no repetition with a falling product.
A. क्योंकि factorial (n!) में चुनी न गई वस्तुओं की arrangements भी शामिल होती हैं/Because (n!) includes arrangements of unselected objects too
Explanation
Simple Explanation
Formula में (n!) से unwanted tail ((n-r)!) और order (r!) दोनों हटते हैं। परीक्षा में combination denominator के दोनों भाग समझें। / In the formula (n!) loses both unwanted tail ((n-r)!) and order (r!). In exams understand both parts of the combination denominator.
Maximum के पास \(\frac{^{n}C_{r+1}}{^{n}C_r}\) (1) के आसपास होता है। परीक्षा में increasing से decreasing transition ratio से पहचानें। / Near the maximum \(\frac{^{n}C_{r+1}}{^{n}C_r}\) is around (1). In exams use the ratio to identify transition from increasing to decreasing.
A. (7+9=16) इसलिए complementary selection है/(7+9=16), so it is complementary selection
Explanation
Simple Explanation
Indices का sum (n) होने पर \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\)। परीक्षा में sum check सबसे तेज तरीका है। / When indices sum to (n), \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\). In exams checking the sum is the fastest method.
Falling product \(9\cdot8\cdot7\cdot6\) में बाकी tail (5!) हटता है। परीक्षा में last chosen factor के बाद denominator tail लिखें। / In the falling product \(9\cdot8\cdot7\cdot6\), the remaining tail (5!) is removed. In exams write the denominator tail after the last chosen factor.
\(^{10}P_4\) ordered count है और \(^{10}C_4\) unordered count है। परीक्षा में order हटाने के लिए (r!) से divide करें। / \(^{10}P_4\) is an ordered count and \(^{10}C_4\) is unordered. In exams divide by (r!) to remove order.
Ordered pair से unordered pair पाने के लिए (2!) orders हटते हैं। परीक्षा में pair selection में यह connection बहुत उपयोगी है। / To get unordered pairs from ordered pairs (2!) orders are removed. This connection is very useful in pair selection exams.
पहले (p) चुनने पर बाकी (q) तय हो जाते हैं, इसलिए \(\frac{n!}{p!q!}\)। परीक्षा में group sizes fixed हों तो factorial division सोचें। / After choosing (p), the remaining (q) are fixed, so \(\frac{n!}{p!q!}\). In exams use factorial division for fixed group sizes.
A. Identical letters की internal permutations same result देती हैं/Internal permutations of identical letters give the same result
Explanation
Simple Explanation
समान letters की आपसी अदला-बदली नई arrangement नहीं बनाती। परीक्षा में repeated counts के factorials से divide करें। / Interchanging identical letters does not create a new arrangement. In exams divide by factorials of repeated counts.
यह \(^{n}C_r\) और \(^{n}C_{r-1}\) का ratio लेकर मिलता है। परीक्षा में adjacent combinations को factorial ratio से simplify करें। / It is obtained by taking the ratio of \(^{n}C_r\) and \(^{n}C_{r-1}\). In exams simplify adjacent combinations using factorial ratios.
Pair formula में denominator (2!) ही होता है और (2!=2)। परीक्षा में pair simplification मानसिक रूप से करें। / The denominator in the pair formula is (2!), and (2!=2). In exams simplify pair formulas mentally.
A. \(\frac{20!}{3!17!}\) में (17!) cancel होता है/(17!) cancels in \(\frac{20!}{3!17!}\)
Explanation
Simple Explanation
(20!) को \(20\cdot19\cdot18\cdot17!\) लिखकर (17!) cancel करें। परीक्षा में large factorials expand पूरा न करें। / Write (20!) as \(20\cdot19\cdot18\cdot17!\) and cancel (17!). In exams do not expand large factorials fully.
A. Permutation में complement symmetry सामान्यतः नहीं होती/Complement symmetry generally does not hold in permutations
Explanation
Simple Explanation
Complement symmetry combination की property है, permutation की नहीं। परीक्षा में \(^{n}C_r\) और \(^{n}P_r\) की identities अलग रखें। / Complement symmetry is a property of combinations, not permutations. In exams keep identities of \(^{n}C_r\) and \(^{n}P_r\) separate.
A. Combination में chosen और not chosen sets complement होते हैं, permutation में ordered length बदल जाती है/In combinations chosen and not chosen sets are complements, while in permutations ordered length changes
Explanation
Simple Explanation
Combination सिर्फ selection गिनता है इसलिए complement works करता है। परीक्षा में ordered slots दिखें तो complement symmetry न लगाएं। / Combination counts only selection so complement works. In exams do not use complement symmetry when ordered slots appear.
At least (1) girl का complement no girl है। परीक्षा में at least condition में total minus unwanted तेज होता है। / The complement of at least (1) girl is no girl. In exams total minus unwanted is fast for at least conditions.
Exactly (2) women के साथ बाकी (2) men चुनने होंगे। परीक्षा में exactly condition में cases या direct product of combinations लगाएं। / With exactly (2) women the remaining (2) must be men. In exams use cases or direct product of combinations for exactly conditions.
A. Block को एक object मानकर \(7!\cdot2!\)/Treat the block as one object and use \(7!\cdot2!\)
Explanation
Simple Explanation
दो साथ लोगों को एक block मानने से (7) objects arrange होते हैं और block के अंदर (2!) ways हैं। परीक्षा में together condition में block method लगाएं। / Treating two together people as one block gives (7) objects to arrange and (2!) ways inside the block. In exams use block method for together conditions.
A. क्योंकि कोई भी (3) points एक unique triangle बनाते हैं और order important नहीं है/Because any (3) points form one unique triangle and order is not important
Explanation
Simple Explanation
Triangle केवल vertices के set से तय होता है, उनके order से नहीं। परीक्षा में geometric selection में combination लगाएं। / A triangle is determined by the set of vertices, not their order. In exams use combinations for geometric selection.
A. क्योंकि (r) brackets से (x) और बाकी से (1) चुनते हैं/Because (x) is chosen from (r) brackets and (1) from the rest
Explanation
Simple Explanation
\(x^r\) बनाने के लिए (n) brackets में से (r) brackets चुनते हैं। परीक्षा में coefficient को selection से जोड़ें। / To form \(x^r\), choose (r) brackets from (n) brackets. In exams connect coefficients with selection.
B. हर वस्तु को चुनना या न चुनना/Selecting or not selecting each object
Explanation
Simple Explanation
Left side all possible selection sizes को जोड़ता है और right side हर object के two choices देता है। परीक्षा में subset counting से यह identity याद रखें। / The left side adds all selection sizes and the right side gives two choices for each object. In exams remember this identity through subset counting.
(x=-1) रखने पर ((1-1)^n=0) मिलता है। परीक्षा में alternating binomial sum में (x=-1) सोचें। / Putting (x=-1) gives ((1-1)^n=0). In exams think of (x=-1) for alternating binomial sums.
B. दो groups से कुल (r) चुनने में (k) पहले group से लेना/Taking (k) from the first group while selecting total (r) from two groups
Explanation
Simple Explanation
कुल (r) selection में first group का count (k) बदलता है। परीक्षा में two-source selection को Vandermonde identity से जोड़ें। / In total (r) selections, the count from the first group varies as (k). In exams connect two-source selection with Vandermonde identity.
A. पहले एक marked member चुनें और फिर बाकी (r-1) चुनें/First choose one marked member and then choose remaining (r-1)
Explanation
Simple Explanation
Marked member को (n) ways में चुनकर (r) possible marks के overcount को हटाते हैं। परीक्षा में member marking से ऐसी identities समझें। / Choose the marked member in (n) ways and remove overcount of (r) possible marks. In exams understand such identities by member marking.
B. \(\frac{{}^{n}C_{r-1}}{{}^{n}C_r}=\frac{r}{n-r+1}\)
Explanation
Simple Explanation
Consecutive combinations में factorial cancel करने पर \(\frac{r}{n-r+1}\) मिलता है। परीक्षा में ratio questions में full values न निकालें। / Canceling factorials in consecutive combinations gives \(\frac{r}{n-r+1}\). In exams do not calculate full values in ratio questions.
A. \(\frac{{}^{n}C_{r+1}}{{}^{n}C_r}=\frac{n-r}{r+1}\)
Explanation
Simple Explanation
Largest term के पास consecutive ratio (1) के आसपास बदलता है। परीक्षा में increasing और decreasing transition देखें। / Near the largest term, the consecutive ratio changes around (1). In exams check the transition from increasing to decreasing.
Stars and bars में (n) stars और (r-1) bars arrange होते हैं। परीक्षा में identical distribution में bars method लगाएं। / In stars and bars, (n) stars and (r-1) bars are arranged. In exams use the bars method for identical distribution.
हर box को पहले (1) ball दें, फिर बाकी (n-r) balls distribute करें। परीक्षा में non-empty condition में पहले minimum allot करें। / Give (1) ball to each box first, then distribute the remaining (n-r) balls. In exams allot the minimum first for non-empty conditions.
दोनों lower indices का sum (n+r-1) है। परीक्षा में stars and bars answers में complementary forms accept करें। / The two lower indices sum to (n+r-1). In exams accept complementary forms in stars and bars answers.
पहले seats चुनना और फिर students arrange करना \(^{10}C_4\cdot4!=^{10}P_4\) है। परीक्षा में seat-position और arrangement दोनों गिनें। / Choosing seats first and then arranging students gives \(^{10}C_4\cdot4!=^{10}P_4\). In exams count both positions and arrangements.
A. पहले group चुनते हैं फिर उस group को order देते हैं/First choose the group then order that group
Explanation
Simple Explanation
Queue में selected people की order meaningful होती है। परीक्षा में ordered selection को combination times factorial से derive करें। / Order of selected people is meaningful in a queue. In exams derive ordered selection as combination times factorial.
Labelled groups में group names fixed होते हैं इसलिए सिर्फ internal order हटता है। परीक्षा में fixed group sizes के factorial denominator लगाएं। / For labelled groups, group names are fixed so only internal order is removed. In exams use factorial denominators for fixed group sizes.
दो groups का size (3) समान है इसलिए उन groups की अदला-बदली same distribution देती है। परीक्षा में equal-sized unlabelled groups के factorial से extra divide करें। / Two groups have equal size (3), so interchanging those groups gives the same distribution. In exams divide extra by factorial of equal-sized unlabelled groups.
हर distinct object के लिए (r) independent choices हैं। परीक्षा में distinct objects और distinct boxes में power rule लगाएं। / Each distinct object has (r) independent choices. In exams use the power rule for distinct objects and distinct boxes.
Empty boxes को exclude करने के लिए inclusion-exclusion used होता है। परीक्षा में onto शब्द दिखे तो खाली boxes घटाने की सोचें। / Inclusion-exclusion is used to exclude empty boxes. In exams think of removing empty boxes when the word onto appears.
A. क्योंकि हर person के लिए (r) room choices independent हैं/Because each person has (r) independent room choices
Explanation
Simple Explanation
Distinct persons के independent choices multiply होते हैं। परीक्षा में व्यक्ति distinct हों तो balls-and-boxes को power से जोड़ें। / Independent choices of distinct people multiply. In exams connect distinct-person box problems with powers.
B. किसी बच्चे को zero coin मिल सकता है/A child may get zero coins
Explanation
Simple Explanation
Zero allowed हो तो (n) stars और (r-1) bars रखे जाते हैं। परीक्षा में \({}^{n+r-1}C_n\) और \({}^{n+r-1}C_{r-1}\) same मानें। / When zero is allowed, place (n) stars and (r-1) bars. In exams treat \({}^{n+r-1}C_n\) and \({}^{n+r-1}C_{r-1}\) as the same.
Non-negative solutions stars and bars से \({}^{12+3-1}C_{3-1}\) होते हैं। परीक्षा में equation solutions को distribution problem बनाएं। / Non-negative solutions by stars and bars are \({}^{12+3-1}C_{3-1}\). In exams convert equation solutions into distribution problems.
पहले हर variable को (1) दें, फिर (11) बचते हैं। परीक्षा में positive solutions में total से variables की संख्या घटाएं। / Give (1) to each variable first, then (11) remain. In exams subtract the number of variables for positive solutions.
A. \(^{a}C_s\cdot{}^{n-a}C_{r-s}\) जहां special objects (a) हैं/\(^{a}C_s\cdot{}^{n-a}C_{r-s}\) where there are (a) special objects
Explanation
Simple Explanation
Special group से (s) और non-special group से (r-s) objects चुनते हैं। परीक्षा में exactly condition को product of choices में तोड़ें। / Choose (s) objects from the special group and (r-s) from the non-special group. In exams split exactly conditions into product of choices.
At least one special का complement no special है। परीक्षा में at least के लिए total minus none तेज होता है। / The complement of at least one special is no special. In exams total minus none is fast for at least conditions.
Case (1): दोनों fixed लें, case (2): दोनों fixed न लें। परीक्षा में paired restrictions में cases साफ रखें। / Case (1): take both fixed books, case (2): take neither. In exams keep cases clear for paired restrictions.
Total selections से दोनों particular people वाले selections घटाएं। परीक्षा में not together in selection को complement से हल करें। / Subtract selections containing both particular people from total selections. In exams solve not-together selection using complement.
Total arrangements से (A) और (B) together block arrangements घटते हैं। परीक्षा में not together permutation में complement आसान है। / Subtract block arrangements where (A) and (B) are together from total arrangements. In exams complement is easy for not-together permutations.
B. पहले boys arrange करें और फिर (7) gaps में (4) girls रखें/Arrange boys first and place (4) girls in (7) gaps
Explanation
Simple Explanation
Boys arrange करने पर (7) gaps बनते हैं जिनमें girls बैठती हैं। परीक्षा में no two together के लिए gap method लगाएं। / Arranging boys creates (7) gaps where girls can be placed. In exams use the gap method for no two together.
(7) consonants के arrangement के बाद (8) gaps बनते हैं और (5) vowels arrange होते हैं। परीक्षा में gaps चुनकर vowels permute करें। / After arranging (7) consonants, (8) gaps are formed and (5) vowels are arranged. In exams choose gaps and permute vowels.
A. (n) objects में (p) एक प्रकार के और (q) दूसरे प्रकार के identical हों/Among (n) objects, (p) of one type and (q) of another type are identical
Explanation
Simple Explanation
Same-type objects की internal permutations नई arrangement नहीं देतीं। परीक्षा में repeated letters की count को factorial division से derive करें। / Internal permutations of same-type objects do not create new arrangements. In exams derive repeated-letter counts using factorial division.
A. क्योंकि (A) तीन बार और (N) दो बार आता है/Because (A) appears three times and (N) appears twice
Explanation
Simple Explanation
समान letters की अदला-बदली same word देती है। परीक्षा में repeated counts को denominator factorials बनाएं। / Interchanging identical letters gives the same word. In exams make repeated counts into denominator factorials.
A. Rotation और reflection दोनों same माने जाते हैं/Both rotation and reflection are considered the same
Explanation
Simple Explanation
Circular duplicates हटाने के बाद mirror images भी same हैं। परीक्षा में bracelet में necklace की तरह reflection by (2) divide करें। / After removing circular duplicates, mirror images are also the same. In exams divide by (2) for reflection in bracelet problems.
A. Circular seating में rotations same मानी जाती हैं/Rotations are considered the same in circular seating
Explanation
Simple Explanation
Circle में एक व्यक्ति को fixed मानकर rotational overcount हटता है। परीक्षा में round table में one fixed method अपनाएं। / In a circle, fixing one person removes rotational overcount. In exams use the one-fixed method for round tables.
(A) और (B) को one block मानने पर circular objects (n-1) होते हैं। परीक्षा में circular block count में ((n-2)!) याद रखें। / Treating (A) and (B) as one block gives (n-1) circular objects. In exams remember ((n-2)!) in circular block counts.
Positions ordered होते हैं और objects repeat नहीं होते, इसलिए falling choices मिलती हैं। परीक्षा में positions distinct हों तो permutation सोचें। / Positions are ordered and objects are not repeated, so falling choices arise. In exams think of permutations when positions are distinct.
A. हर position पर (6) choices independent हैं/Each position has (6) independent choices
Explanation
Simple Explanation
Repetition allowed होने से choices कम नहीं होतीं। परीक्षा में allowed repetition में power formula use करें। / Choices do not decrease when repetition is allowed. In exams use the power formula when repetition is allowed.
A. क्योंकि first digit (0) होने पर number (4)-digit नहीं रहेगा/Because if the first digit is (0), the number will not remain (4)-digit
Explanation
Simple Explanation
Leading zero valid (4)-digit number नहीं बनाता। परीक्षा में digit arrangement में first place condition पहले देखें। / A leading zero does not form a valid (4)-digit number. In exams check the first-place condition first in digit arrangements.
A. जब repetition not allowed हो और order important हो/When repetition is not allowed and order is important
Explanation
Simple Explanation
Without repetition में choices घटती हैं, इसलिए \(^{n}P_r\) चाहिए। परीक्षा में repetition condition पढ़े बिना power न लगाएं। / Without repetition, choices decrease, so \(^{n}P_r\) is needed. In exams do not apply powers without reading the repetition condition.
हर different prize के लिए (10) independent student choices हैं। परीक्षा में distinct prizes with repetition allowed को power rule से करें। / Each distinct prize has (10) independent student choices. In exams use the power rule for distinct prizes with repetition allowed.
Prizes different हैं और recipients repeat नहीं हो सकते इसलिए ordered assignment है। परीक्षा में distinct prizes without repetition को permutation समझें। / Prizes are different and recipients cannot repeat, so it is an ordered assignment. In exams treat distinct prizes without repetition as permutation.
Identical prizes distribution stars and bars है, (4) stars और (9) bars। परीक्षा में identical prizes को combinations with repetition से जोड़ें। / Identical prize distribution is stars and bars, with (4) stars and (9) bars. In exams connect identical prizes with combinations with repetition.
Prizes identical हैं और सिर्फ (5) students choose करने हैं। परीक्षा में at most one with identical prizes को simple selection मानें। / Prizes are identical and only (5) students need to be chosen. In exams treat at most one with identical prizes as simple selection.
A. क्योंकि consecutive ratio पहले (1) से बड़ा और बाद में (1) से छोटा होता है/Because the consecutive ratio is first greater than (1) and later less than (1)
Explanation
Simple Explanation
Ratio \(\frac{n-r}{r+1}\) transition दिखाता है। परीक्षा में binomial coefficient trend ratio से check करें। / The ratio \(\frac{n-r}{r+1}\) shows the transition. In exams check the trend of binomial coefficients by ratios.
Even (n) में binomial coefficients middle पर peak करते हैं। परीक्षा में symmetry और ratio दोनों से middle term पहचानें। / For even (n), binomial coefficients peak at the middle. In exams identify the middle term using symmetry and ratio.
B. \({}^{n}C_{\frac{n-1}{2}}\) और \({}^{n}C_{\frac{n+1}{2}}\)/\({}^{n}C_{\frac{n-1}{2}}\) and \({}^{n}C_{\frac{n+1}{2}}\)
Explanation
Simple Explanation
Odd (n) में two middle indices complementary और equal होते हैं। परीक्षा में odd case में दो largest terms याद रखें। / For odd (n), the two middle indices are complementary and equal. In exams remember two largest terms for the odd case.
Combination symmetry में unequal equal-values complementary indices से आते हैं। परीक्षा में equal combinations में sum (n) check करें। / In combination symmetry, unequal equal-values come from complementary indices. In exams check sum (n) for equal combinations.
A. क्योंकि \(^{n}P_r\) usually (r) बढ़ने पर extra positive factors से बदलता है/Because \(^{n}P_r\) usually changes by extra positive factors as (r) increases
Explanation
Simple Explanation
Permutation में complement symmetry नहीं होती और length बदलने से count बदलता है। परीक्षा में combination symmetry को permutation पर न लगाएं। / Permutations do not have complement symmetry, and changing length changes the count. In exams do not apply combination symmetry to permutations.
A. Permutation count को (r!) से divide करके combination मिलता है/Combination is obtained by dividing permutation count by (r!)
Explanation
Simple Explanation
Numerator \(^{n}P_r\) है और denominator order हटाता है। परीक्षा में इस form से numerical cancellation जल्दी करें। / The numerator is \(^{n}P_r\) and the denominator removes order. In exams use this form for quick numerical cancellation.
A. क्योंकि \(r!\geq1\) होता है/Because \(r!\geq1\)
Explanation
Simple Explanation
Permutation हर selected group के all orders गिनता है। परीक्षा में (r=0) या (r=1) पर equality भी संभव है। / Permutation counts all orders of each selected group. In exams equality is also possible for (r=0) or (r=1).
Adjacent lower indices (r) और (r+1) मिलकर next row का (r+1) term देते हैं। परीक्षा में Pascal pattern तुरंत पहचानें। / Adjacent lower indices (r) and (r+1) give the (r+1) term of the next row. In exams identify Pascal pattern quickly.
Pascal identity से same upper index और adjacent lower indices combine होते हैं। परीक्षा में पहले adjacent pair को combine करें। / By Pascal identity, the same upper index with adjacent lower indices combines. In exams first combine the adjacent pair.
A. ((1+1)^n) और ((1-1)^n) को जोड़ने से/By adding ((1+1)^n) and ((1-1)^n)
Explanation
Simple Explanation
Even-index coefficients को अलग करने के लिए two binomial substitutions जोड़े जाते हैं। परीक्षा में even-odd sums के लिए (x=1) और (x=-1) use करें। / To separate even-index coefficients, two binomial substitutions are added. In exams use (x=1) and (x=-1) for even-odd sums.
एक और स्थान भरने पर उपलब्ध विकल्प (n-r+1) होते हैं। परीक्षा में क्रमचय के अगले पद में नया अंतिम factor देखें। / Filling one more position gives (n-r+1) choices. In exams identify the new last factor in the next permutation term.
A. एक चुने हुए सदस्य को चिह्नित करके गिनना/Counting by marking one selected member
Explanation
Simple Explanation
पहले चिह्नित सदस्य चुनने पर (n) विकल्प आते हैं और हर समूह (r) बार गिना जाता है। परीक्षा में (r) वाला denominator overcount समझें। / Choosing the marked member first gives (n) choices and each group is counted (r) times. In exams treat the denominator (r) as overcount.
C. \(\frac{{}^{n}C_r}{{}^{n-1}C_{r-1}}=\frac{n}{r}\)
Explanation
Simple Explanation
Factorial रूप cancel करने पर \(\frac{n}{r}\) मिलता है। परीक्षा में adjacent upper और lower indices में ratio method उपयोग करें। / Canceling factorial forms gives \(\frac{n}{r}\). In exams use the ratio method for adjacent upper and lower indices.
एक ही पंक्ति के adjacent terms अगली पंक्ति का बीच वाला term देते हैं। परीक्षा में (r) और (r-1) साथ दिखें तो Pascal identity लगाएं। / Adjacent terms of the same row give the middle term in the next row. In exams apply Pascal identity when (r) and (r-1) appear together.
Unequal equal-combination indices complementary होते हैं, इसलिए (r+r+3=15)। परीक्षा में lower indices का sum upper index के बराबर रखें। / Unequal equal-combination indices are complementary, so (r+r+3=15). In exams set the sum of lower indices equal to the upper index.
Complementary condition से (2r+r+3=18), इसलिए (r=5)। परीक्षा में equality के दो cases सोचें: same index या complementary index। / The complementary condition gives (2r+r+3=18), so (r=5). In exams consider two cases for equality: same index or complementary index.
समान मान वाले अलग indices complementary होते हैं। परीक्षा में ऐसे सवालों में indices जोड़कर (n) से मिलाएं। / Different indices with equal values are complementary. In exams add the indices and match them with (n).
A. चुनी गई (r) वस्तुओं के सभी क्रम/All orders of the selected (r) objects
Explanation
Simple Explanation
Combination केवल समूह देता है और (r!) उस समूह के arrangements जोड़ता है। परीक्षा में permutation को selection plus arrangement समझें। / Combination gives only the group and (r!) adds arrangements of that group. In exams treat permutation as selection plus arrangement.
A. Permutation में order counted होता है और combination में नहीं/Order is counted in permutation but not in combination
Explanation
Simple Explanation
Ordered count से unordered count पाने के लिए (r!) orders हटाए जाते हैं। परीक्षा में order ignored हो तो divide करें। / To get unordered count from ordered count, (r!) orders are removed. In exams divide when order is ignored.
सभी subsets में से (0), (1), और (2) selections घटाते हैं। परीक्षा में at least को total minus small unwanted cases से करें। / Subtract selections of (0), (1), and (2) from all subsets. In exams handle at least by total minus small unwanted cases.
At most (3) में (0), (1), (2), और (3) selections शामिल होते हैं। परीक्षा में upper limit हो तो सभी allowed cases जोड़ें। / At most (3) includes selections of (0), (1), (2), and (3). In exams add all allowed cases when there is an upper limit.
Stars and bars में (18) stars और (3) bars arrange होते हैं। परीक्षा में अऋणात्मक हलों के लिए \(^{n+r-1}C_{r-1}\) लगाएं। / In stars and bars, (18) stars and (3) bars are arranged. In exams use \(^{n+r-1}C_{r-1}\) for non-negative solutions.
हर variable को पहले (3) देने पर (12) बचता है, फिर अऋणात्मक हल गिनते हैं। परीक्षा में minimum condition को shift करें। / Giving (3) first to each variable leaves (12), then count non-negative solutions. In exams shift the minimum condition.
Identical pens और distinct students के लिए (9) stars तथा (3) bars लगते हैं। परीक्षा में zero allowed distribution में stars and bars याद रखें। / For identical pens and distinct students, use (9) stars and (3) bars. In exams remember stars and bars for zero-allowed distribution.
हर box को (1) ball देने के बाद (6) balls बचती हैं। परीक्षा में positive distribution में पहले minimum allot करें। / After giving (1) ball to each box, (6) balls remain. In exams allot the minimum first in positive distribution.
पहले empty person चुनें, फिर बाकी (3) persons में positive distribution करें। परीक्षा में exactly empty condition में choose empty plus positive stars-bars लगाएं। / First choose the empty person, then distribute positively among the remaining (3) persons. In exams use choose empty plus positive stars and bars for exactly empty conditions.
A. जब हर object independently किसी भी box में जा सकता है/When each object can independently go to any box
Explanation
Simple Explanation
हर distinct object के पास (r) independent choices होते हैं। परीक्षा में distinct objects और unrestricted boxes में power rule लगाएं। / Each distinct object has (r) independent choices. In exams use the power rule for distinct objects and unrestricted boxes.
हर prize के लिए (10) independent choices हैं। परीक्षा में distinct prizes और repeated recipients allowed हों तो power formula लें। / Each prize has (10) independent choices. In exams use the power formula when distinct prizes and repeated recipients are allowed.
Prizes अलग हैं और recipients repeat नहीं हो सकते, इसलिए ordered assignment बनता है। परीक्षा में distinct prizes without repetition को permutation समझें। / Prizes are distinct and recipients cannot repeat, so it becomes an ordered assignment. In exams treat distinct prizes without repetition as permutation.
Identical prizes distribution में (6) stars और (9) bars लगते हैं। परीक्षा में identical items और distinct receivers में stars and bars लगाएं। / In identical prize distribution, use (6) stars and (9) bars. In exams apply stars and bars for identical items and distinct receivers.
तीनों पद अलग हैं, इसलिए order of selection meaningful है। परीक्षा में different posts हों तो permutation लगाएं। / The three posts are different, so the order of selection is meaningful. In exams use permutation for different posts.
A. क्योंकि committee में क्रम का महत्व नहीं है/Because order has no importance in a committee
Explanation
Simple Explanation
बिना पद वाली committee में केवल group गिना जाता है। परीक्षा में पद न हों तो combination उपयोग करें। / A committee without posts counts only the group. In exams use combination when there are no posts.
कोई भी (3) points एक triangle बनाते हैं और order important नहीं है। परीक्षा में geometry selection में combination लगाएं। / Any (3) points form a triangle and order is not important. In exams use combination in geometry selection.
Total (3)-point selections से collinear (3)-point selections हटते हैं। परीक्षा में invalid selections घटाएं। / Subtract collinear (3)-point selections from total (3)-point selections. In exams subtract invalid selections.
चार vertices का selection एक quadrilateral तय करता है। परीक्षा में polygon से shapes बनें तो vertices का combination लें। / A selection of four vertices determines a quadrilateral. In exams use combinations of vertices when shapes are formed from polygons.
A. क्योंकि handshake में pair unordered होता है/Because a handshake pair is unordered
Explanation
Simple Explanation
(A) का (B) से handshake और (B) का (A) से handshake same है। परीक्षा में mutual relation को combination मानें। / A handshake of (A) with (B) and (B) with (A) is the same. In exams treat mutual relations as combinations.
एक match दो teams के unordered pair से तय होता है। परीक्षा में one-to-one pair events में \(^{n}C_2\) लगाएं। / A match is determined by an unordered pair of two teams. In exams use \(^{n}C_2\) for one-to-one pair events.
(3) special books को one block मानने पर (5) objects arrange होते हैं। परीक्षा में block के अंदर (3!) arrangements भी गिनें। / Treating the (3) special books as one block gives (5) objects to arrange. In exams also count (3!) arrangements inside the block.
Total arrangements से (A) और (B) together block arrangements घटते हैं। परीक्षा में not together को complement से करना आसान है। / Subtract the arrangements where (A) and (B) are together as a block from total arrangements. In exams use complement for not together.
(6) boys के बाद (7) gaps बनते हैं, जिनमें (5) girls arrange होती हैं। परीक्षा में no two together में gap method लगाएं। / After (6) boys, (7) gaps are formed, and (5) girls are arranged in them. In exams use the gap method for no two together.
Starting gender के (2) patterns होते हैं और दोनों groups अपने-अपने (5!) ways में arrange होते हैं। परीक्षा में equal alternate groups में (2) pattern न भूलें। / There are (2) patterns for the starting gender and both groups arrange in (5!) ways. In exams do not forget the (2) patterns for equal alternate groups.
Circular rotations हटाने से (7!) आता है और reflection same होने पर (2) से divide करते हैं। परीक्षा में necklace में mirror image condition पढ़ें। / Removing circular rotations gives (7!), and divide by (2) when reflection is the same. In exams read the mirror-image condition in necklace problems.
A. एक व्यक्ति fix करके rotations हटाए जाते हैं/One person is fixed to remove rotations
Explanation
Simple Explanation
Round table में rotations same arrangements देते हैं। परीक्षा में circular seating में ((n-1)!) लिखें। / Rotations give the same arrangements at a round table. In exams write ((n-1)!) for circular seating.
(5) couple-blocks की circular arrangement (4!) है और हर block में (2) internal orders हैं। परीक्षा में circular blocks में one less factorial लें। / The circular arrangement of (5) couple-blocks is (4!) and each block has (2) internal orders. In exams use one less factorial for circular blocks.
A. क्योंकि (A) और (R) दो-दो बार आते हैं/Because (A) and (R) appear twice each
Explanation
Simple Explanation
समान letters की आपसी अदला-बदली नई arrangement नहीं देती। परीक्षा में repeated letters के factorials denominator में रखें। / Interchanging identical letters does not create a new arrangement. In exams put factorials of repeated letters in the denominator.
(S) तीन बार, (T) तीन बार और (I) दो बार आता है। परीक्षा में word arrangement से पहले letter frequencies गिनें। / (S) appears three times, (T) appears three times, and (I) appears twice. In exams count letter frequencies before word arrangement.
उन (3) books की (3!) possible relative orders में केवल (1) allowed है। परीक्षा में fixed relative order में total को (k!) से divide करें। / Only (1) of the (3!) possible relative orders of those (3) books is allowed. In exams divide total by (k!) for fixed relative order.
इन (3) लोगों के (3!) relative orders में केवल एक valid है। परीक्षा में fixed order restriction को symmetry division से करें। / Only one of the (3!) relative orders of these (3) people is valid. In exams handle fixed order restriction by symmetry division.
Odd number के लिए last digit odd होनी चाहिए। परीक्षा में digit problems में unit place condition पहले तय करें। / For an odd number, the last digit must be odd. In exams decide the unit-place condition first in digit problems.
First digit (0) नहीं हो सकती, बाकी दो places पर (6) choices हैं। परीक्षा में leading zero restriction अलग रखें। / The first digit cannot be (0), and the remaining two places have (6) choices. In exams handle the leading-zero restriction separately.
A. हर स्थान पर (7) independent choices हैं/Each position has (7) independent choices
Explanation
Simple Explanation
Repetition allowed होने पर selected symbol फिर उपलब्ध रहता है। परीक्षा में independent positions में power rule लगाएं। / When repetition is allowed, a selected symbol remains available again. In exams use the power rule for independent positions.
Password में order important है और repetition नहीं है। परीक्षा में without repetition ordered slots में permutation लगाएं। / Order matters in passwords and repetition is not allowed. In exams use permutation for ordered slots without repetition.
A. क्योंकि (r) brackets से (b) चुनते हैं/Because (b) is chosen from (r) brackets
Explanation
Simple Explanation
\(b^r\) बनाने के लिए (n) brackets में से (r) brackets चुनते हैं। परीक्षा में binomial coefficient को bracket selection से जोड़ें। / To form \(b^r\), choose (r) brackets from (n) brackets. In exams connect binomial coefficients with bracket selection.
(10) brackets में से (4) brackets से (x) चुनना होता है। परीक्षा में coefficient के लिए order नहीं गिनें। / Choose (x) from (4) of the (10) brackets. In exams do not count order for coefficients.
A. सभी possible subset sizes को जोड़ना/Adding all possible subset sizes
Explanation
Simple Explanation
Left side हर size के subsets को जोड़ता है और right side प्रत्येक object के choose or not choose choices देता है। परीक्षा में subset identity को दो तरीकों से गिनें। / The left side adds subsets of every size and the right side gives choose-or-not choices for each object. In exams count subset identities in two ways.
(x=-1) रखने पर ((1-1)^n=0) मिलता है। परीक्षा में alternating sum में (x=-1) याद रखें। / Putting (x=-1) gives ((1-1)^n=0). In exams remember (x=-1) for alternating sums.
A. एक selected सदस्य को mark करना/Marking one selected member
Explanation
Simple Explanation
पहले subset चुनकर उसमें एक member mark करें या पहले marked member चुनकर बाकी freely चुनें। परीक्षा में (r) factor को marked choice समझें। / Choose a subset and mark one member, or first choose the marked member and freely choose the rest. In exams treat the factor (r) as a marked choice.
पहले marked pair चुनें, फिर बाकी (n-2) objects freely choose करें। परीक्षा में nested combination sums में marked objects पहले चुनें। / First choose the marked pair, then freely choose from the remaining (n-2) objects. In exams choose marked objects first in nested combination sums.
दो groups से कुल (r) objects चुनने में first group से (k) objects लिए जाते हैं। परीक्षा में two-group selection में Vandermonde पहचानें। / When choosing (r) objects from two groups, (k) objects are taken from the first group. In exams identify Vandermonde in two-group selection.
पहले (a) objects और फिर बचे हुए से (b) objects चुनना labelled grouping जैसा है। परीक्षा में sequential selections को factorial division में बदलें। / Choosing (a) objects first and then (b) from the remaining objects is like labelled grouping. In exams convert sequential selections into factorial division.
