Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
Code में order बदलने से code बदल जाता है। परीक्षा में code या password में सामान्यतः permutation relation लगाएं। / Changing order changes the code. In exams usually use permutation relation for codes or passwords.
पहले चयन और फिर क्रम दोनों चाहिए इसलिए \(^{7}P_3=^{7}C_3\cdot3!\)। परीक्षा में order matters हो तो permutation लें। / Both selection and order are needed so \(^{7}P_3=^{7}C_3\cdot3!\). In exams use permutation when order matters.
संबंध \(^{n}P_r=^{n}C_r\times r!\) है, इसलिए यहाँ factor (4!) होगा। परीक्षा में (C) से (P) जाने पर चुनी वस्तुओं की arrangements जोड़ें। / The relation is \(^{n}P_r=^{n}C_r\times r!\), so here the factor is (4!). In exams add the arrangements of selected objects when going from (C) to (P).
क्रमचय recurrence में नया गुणक (r)वें स्थान के विकल्प (n-r+1) होता है। परीक्षा में multiplier को next position से जोड़ें। / In the permutation recurrence, the new factor is the choices for the (r)th position, (n-r+1). In exams connect the multiplier with the next position.
संबंध \(^{n}P_r=^{n}C_r r!\) है और (4!=24) नहीं बल्कि (20) किसी (r!) के बराबर नहीं है। दिए गए विकल्पों में कोई सटीक नहीं है इसलिए यह प्रश्न अमान्य होता यदि विकल्प यही हों। / The relation is \(^{n}P_r=^{n}C_r r!\), and (20) is not equal to any (r!) for these options. With these options the question would be invalid.
फैक्टोरियल रूपों का अनुपात लेने पर \(^{n}C_{r+1}=^{n}C_r\frac{n-r}{r+1}\) मिलता है। परीक्षा में adjacent terms पर ratio method उपयोग करें। / Taking the ratio of factorial forms gives \(^{n}C_{r+1}=^{n}C_r\frac{n-r}{r+1}\). In exams use ratio method for adjacent terms.
\(^{n}P_r=^{n}C_r\times r!\) है इसलिए यहाँ गुणक (4!) है। परीक्षा में चुनी वस्तुओं की व्यवस्था अलग से गिनें। / \(^{n}P_r=^{n}C_r\times r!\), so the multiplier here is (4!). In exams count the arrangement of chosen objects separately.
(r+1)वें स्थान के लिए (n-r) विकल्प बचते हैं। परीक्षा में अगला गुणनखंड ध्यान से पहचानें। / For the ((r+1))th position (n-r) choices remain. In exams identify the next factor carefully.
B. Adjacent combination ratio से/From adjacent combination ratio
Explanation
Simple Explanation
यह \(^{n}C_r\) और \(^{n}C_{r-1}\) के अनुपात को सरल करके मिलता है। परीक्षा में consecutive (C) terms पर ratio लगाएँ। / It is obtained by simplifying the ratio of \(^{n}C_r\) and \(^{n}C_{r-1}\). In exams use ratio for consecutive (C) terms.
B. \(\frac{^{n}C_r}{^{n}C_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}\)
Explanation
Simple Explanation
Factorial formula से सरल करने पर अनुपात \(\frac{n-r+1}{r}\) मिलता है। परीक्षा में adjacent combinations में ratio method उपयोगी है। / Simplifying the factorial formula gives the ratio \(\frac{n-r+1}{r}\). In exams ratio method is useful for adjacent combinations.
(r-1) रखने पर हर ((n-r+1)!) बनता है। परीक्षा में substitution करते समय signs ध्यान से देखें। / Putting (r-1) makes the denominator ((n-r+1)!). In exams watch signs carefully while substituting.
उपसमुच्चय में क्रम नहीं होता इसलिए \(^{n}C_r\) सही है। परीक्षा में subset को unordered selection मानें। / A subset has no order so \(^{n}C_r\) is correct. In exams treat a subset as unordered selection.
D. क्योंकि कुल \(2^n\) selections में से खाली selection हटता है/Because the empty selection is removed from total \(2^n\) selections
Explanation
Simple Explanation
सभी selections में खाली selection भी शामिल होता है। परीक्षा में at least one आने पर empty case घटाएँ। / All selections include the empty selection too. In exams subtract the empty case when at least one appears.
