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A. शांति स्थापना सामान्यतः सहमति और निगरानी पर आधारित होती है जबकि प्रवर्तन बलपूर्वक कदम भी हो सकता है/Peacekeeping is generally based on consent and monitoring while enforcement may include coercive action
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Simple Explanation
शांति स्थापना में पक्षों की सहमति और निष्पक्षता महत्वपूर्ण होती है। परीक्षा में इन शब्दों को एक जैसा न मानें। / Consent and impartiality are important in peacekeeping. Exam tip: do not treat these terms as identical.
A. क्योंकि वे व्यवहार में विकसित शांति प्रबंधन का साधन बने/Because they developed in practice as a tool of peace management
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Simple Explanation
शांति स्थापना संयुक्त राष्ट्र की व्यावहारिक भूमिका से विकसित हुई। परीक्षा में इसे चार्टर की शांति भावना से जोड़ें। / Peacekeeping developed from the practical role of the UN. Exam tip: connect it with the peace spirit of the Charter.
A. संयुक्त राष्ट्र शांति सैनिकों से/United Nations peacekeepers
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Simple Explanation
नीले हेलमेट संयुक्त राष्ट्र शांति सैनिकों की पहचान हैं। परीक्षा में इन्हें शांति स्थापना से जोड़ें। / Blue helmets identify UN peacekeepers. For exams connect them with peacekeeping.
A. शांति स्थापना संघर्ष रोकने और स्थिरता में सहायता करती है विजय नहीं चाहती/Peacekeeping helps stop conflict and support stability not conquest
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संयुक्त राष्ट्र शांति सैनिक शांति प्रक्रिया और नागरिक सुरक्षा में सहायता करते हैं। परीक्षा में उन्हें नीली टोपी से याद करें। / UN peacekeepers support peace processes and civilian protection. Exam tip: remember them by blue helmets.
A. यह लंबी दूरी के बमवर्षकों के लिए सहायक और आपात अड्डा बना/It became a support and emergency base for long-range bombers
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इवो जीमा जापान के निकट वायु युद्ध में रणनीतिक अड्डा था। परीक्षा में द्वीपों का उपयोग सैन्य अड्डों के रूप में समझें। / Iwo Jima was a strategic base for air war near Japan. For exams understand islands as military bases.
A. यदि जमीनी सेना जल्दी न पहुंचे तो हवाई सैनिक अलग पड़ सकते हैं/Airborne troops can become isolated if ground forces do not arrive quickly
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मार्केट गार्डन में पुलों और संकरे मार्गों पर निर्भरता जोखिम बनी। परीक्षा में साहसिक योजना और जमीन की वास्तविकता दोनों पढ़ें। / In Market Garden dependence on bridges and narrow routes became risky. For exams study both bold plan and ground reality.
A. यह जापान के निकट आपात और सहायक वायु अड्डे के रूप में उपयोगी था/It was useful as an emergency and support air base near Japan
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इवो जीमा जापान के निकट वायु अभियानों में सामरिक महत्व रखता था। परीक्षा में द्वीपों को केवल भूमि नहीं बल्कि अड्डों के रूप में देखें। / Iwo Jima had strategic value for air operations near Japan. For exams see islands not only as land but as bases.
\( \sqrt{225}=15 \), इसलिए \( \frac{15-6}{9}=1 \)। संचालन का क्रम सही रखें। / \( \sqrt{225}=15 \), so \( \frac{15-6}{9}=1 \). Keep the order of operations correct.
\( \sqrt{121}=11 \), इसलिए \( \frac{11-4}{7}=1 \)। संचालन का क्रम सही रखें। / \( \sqrt{121}=11 \), so \( \frac{11-4}{7}=1 \). Keep the order of operations correct.
\( \sqrt{64}=8 \), इसलिए \( \frac{8-3}{5}=1 \)। संचालन का क्रम सही रखें। / \( \sqrt{64}=8 \), so \( \frac{8-3}{5}=1 \). Keep the order of operations correct.
अंतिम बिंदु (0+2.25-0.5=1.75) है। दाईं ओर जोड़ें और बाईं ओर घटाएं। / The final point is (0+2.25-0.5=1.75). Add for right movement and subtract for left movement.
अभिव्यक्ति \(9x^{-4}y^{6}\cdot\frac{1}{9}x^{-4}y=x^{-8}y^{7}\) है। इसलिए (c=1), (r=-8), (s=7), और (c+r+s=0) होता है। / The expression is \(9x^{-4}y^{6}\cdot\frac{1}{9}x^{-4}y=x^{-8}y^{7}\). Thus (c=1), (r=-8), (s=7), and (c+r+s=0).
दोनों पक्षों को \(\sqrt{m}+\sqrt{n}\) से गुणा करने पर (1=m-n) मिलता है। परीक्षा में संयुग्म गुणनफल सीधे लगाएं। / Multiplying both sides by \(\sqrt{m}+\sqrt{n}\) gives (1=m-n). In exams, apply the conjugate product directly.
\(\sqrt{363}=11\sqrt{3}\), \(2\sqrt{147}=14\sqrt{3}\), और \(3\sqrt{75}=15\sqrt{3}\)। अंश \(12\sqrt{3}\) है, इसलिए मान (12) होना चाहिए। / Here \(\sqrt{363}=11\sqrt{3}\), \(2\sqrt{147}=14\sqrt{3}\), and \(3\sqrt{75}=15\sqrt{3}\). The numerator is \(12\sqrt{3}\), so the value should be (12).
बाएँ पक्ष \(7^{2x}\cdot7^{x-1}=7^{3x-1}\) है और \(16807=7^{5}\)। इसलिए (3x-1=5) और (x=2)। / The left side is \(7^{2x}\cdot7^{x-1}=7^{3x-1}\), and \(16807=7^{5}\). Hence (3x-1=5), so (x=2).
(\left\(\frac{5}{8}\right\)^{-2}=\frac{64}{25}) और (\left\(\frac{8}{5}\right\)^{-2}=\frac{25}{64})। योग \(\frac{4096+625}{1600}=\frac{4721}{1600}\) है। / Here (\left\(\frac{5}{8}\right\)^{-2}=\frac{64}{25}) and (\left\(\frac{8}{5}\right\)^{-2}=\frac{25}{64}). The sum is \(\frac{4096+625}{1600}=\frac{4721}{1600}\).
\(\sqrt{x}=5\sqrt{2}\) से (x=50), और \(x^{\frac{3}{2}}=x\sqrt{x}=50\cdot5\sqrt{2}=250\sqrt{2}\)। परीक्षा में \(x^{\frac{3}{2}}\) को \(x\sqrt{x}\) लिखें। / From \(\sqrt{x}=5\sqrt{2}\), (x=50), and \(x^{\frac{3}{2}}=x\sqrt{x}=50\cdot5\sqrt{2}=250\sqrt{2}\). In exams, write \(x^{\frac{3}{2}}\) as \(x\sqrt{x}\).
ऊपर \(6b^{-3}+9b^{-3}=15b^{-3}\) है। \(\frac{15b^{-3}}{3b^{-5}}=5b^{2}\) मिलता है। / The numerator is \(6b^{-3}+9b^{-3}=15b^{-3}\). Thus \(\frac{15b^{-3}}{3b^{-5}}=5b^{2}\).
(x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=\left\(x-\frac{1}{x}\right\)\left\(x+\frac{1}{x}\right\)) है। इसलिए (60=6\left\(x+\frac{1}{x}\right\)) और मान (10) है। / We use (x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=\left\(x-\frac{1}{x}\right\)\left\(x+\frac{1}{x}\right\)). Thus (60=6\left\(x+\frac{1}{x}\right\)), so the value is (10).
(\left\(\frac{125x^{-9}}{64y^{12}}\right\)^{\frac{1}{3}}=\frac{5x^{-3}}{4y^{4}})। \(-\frac{1}{3}\) घात लेने पर व्युत्क्रम \(\frac{4x^{3}y^{4}}{5}\) मिलता है। / We get (\left\(\frac{125x^{-9}}{64y^{12}}\right\)^{\frac{1}{3}}=\frac{5x^{-3}}{4y^{4}}). The power \(-\frac{1}{3}\) gives the reciprocal \(\frac{4x^{3}y^{4}}{5}\).
\(\frac{1}{s}=\sqrt{17}-4\), इसलिए \(s-\frac{1}{s}=8\) और \(s+\frac{1}{s}=2\sqrt{17}\)। अतः \(s^{2}-\frac{1}{s^{2}}=16\sqrt{17}\)। / Here \(\frac{1}{s}=\sqrt{17}-4\), so \(s-\frac{1}{s}=8\) and \(s+\frac{1}{s}=2\sqrt{17}\). Thus \(s^{2}-\frac{1}{s^{2}}=16\sqrt{17}\).
(24^{3}=\(2^{3}\cdot3\)^{3}=2^{9}\cdot3^{3})। भाग देने पर \(2^{3}\cdot3=24\) मिलता है, इसलिए विकल्पों में सही मान नहीं है। / Since (24^{3}=\(2^{3}\cdot3\)^{3}=2^{9}\cdot3^{3}), division leaves \(2^{3}\cdot3=24\), so the correct value is not among the options.
\(1024=2^{10}\), \(16^{x}=2^{4x}\) से \(x=\frac{5}{2}\), और \(32^{y}=2^{5y}\) से (y=2)। इसलिए योग \(\frac{9}{2}\) है। / Since \(1024=2^{10}\), \(16^{x}=2^{4x}\) gives \(x=\frac{5}{2}\), and \(32^{y}=2^{5y}\) gives (y=2). Hence the sum is \(\frac{9}{2}\).
अंदर \(\frac{9r^{-4}s^{3}}{81r^{2}s^{-5}}=\frac{1}{9}r^{-6}s^{8}\) है। (-1) घात लेने पर \(9r^{6}s^{-8}\) मिलता है। / Inside, \(\frac{9r^{-4}s^{3}}{81r^{2}s^{-5}}=\frac{1}{9}r^{-6}s^{8}\). Raising to (-1) gives \(9r^{6}s^{-8}\).
\(5^{-2}+5^{-3}=\frac{1}{25}+\frac{1}{125}=\frac{6}{125}\) और \(5^{-4}=\frac{1}{625}\)। भाग देने पर (30) मिलता है। / Here \(5^{-2}+5^{-3}=\frac{1}{25}+\frac{1}{125}=\frac{6}{125}\), and \(5^{-4}=\frac{1}{625}\). Division gives (30).
\(\frac{1}{8-\sqrt{63}}=8+\sqrt{63}\), क्योंकि (64-63=1) है। इसलिए \(\frac{1}{p}-p=2\sqrt{63}\)। / Since \(\frac{1}{8-\sqrt{63}}=8+\sqrt{63}\), because (64-63=1). Therefore, \(\frac{1}{p}-p=2\sqrt{63}\).
(x^{12}-4096=\(x^{6}\)^{2}-64^{2}=\(x^{6}-64\)\(x^{6}+64\))। समान गुणनखंड कटने पर \(x^{6}+64\) मिलता है। / Since (x^{12}-4096=\(x^{6}\)^{2}-64^{2}=\(x^{6}-64\)\(x^{6}+64\)), cancelling the common factor gives \(x^{6}+64\).
\(\sqrt[3]{343}=7\), \(\sqrt[3]{a^{15}}=a^{5}\), और \(\sqrt[3]{b^{12}}=b^{4}\)। परीक्षा में घनमूल में घातों को (3) से भाग दें। / We have \(\sqrt[3]{343}=7\), \(\sqrt[3]{a^{15}}=a^{5}\), and \(\sqrt[3]{b^{12}}=b^{4}\). In exams, divide exponents by (3) under a cube root.
बाएँ पक्ष में घातें (4k) और (-3k) हैं। (4k=16) और (-3k=-12) दोनों से (k=4) मिलता है। / The left side has exponents (4k) and (-3k). Both (4k=16) and (-3k=-12) give (k=4).
(125^{\frac{2}{3}}=(5)^{2}=25) और (25^{-\frac{3}{2}}=(5)^{-3}=\frac{1}{125})। गुणनफल \(\frac{1}{5}\) है। / Here (125^{\frac{2}{3}}=(5)^{2}=25) and (25^{-\frac{3}{2}}=(5)^{-3}=\frac{1}{125}). The product is \(\frac{1}{5}\).
अंदर \(\frac{x^{-4}y^{5}}{z^{-2}}=x^{-4}y^{5}z^{2}\), इसलिए उल्टा \(x^{4}y^{-5}z^{-2}\) है। \(\frac{y^{3}}{x^{2}z^{4}}\) से गुणा करने पर \(\frac{x^{2}}{y^{2}z^{6}}\) मिलता है। / Inside, \(\frac{x^{-4}y^{5}}{z^{-2}}=x^{-4}y^{5}z^{2}\), so its reciprocal is \(x^{4}y^{-5}z^{-2}\). Multiplying by \(\frac{y^{3}}{x^{2}z^{4}}\) gives \(\frac{x^{2}}{y^{2}z^{6}}\).
\(\frac{1}{7+4\sqrt{3}}=7-4\sqrt{3}\), क्योंकि (49-48=1) है। योग (14) मिलता है। / We have \(\frac{1}{7+4\sqrt{3}}=7-4\sqrt{3}\), because (49-48=1). The sum is (14).
\(\sqrt{300}=10\sqrt{3}\), \(\sqrt{192}=8\sqrt{3}\), और \(\sqrt{108}=6\sqrt{3}\)। अंश \(12\sqrt{3}\) है, इसलिए मान (12) है। / Here \(\sqrt{300}=10\sqrt{3}\), \(\sqrt{192}=8\sqrt{3}\), and \(\sqrt{108}=6\sqrt{3}\). The numerator is \(12\sqrt{3}\), so the value is (12).
\(100^{3}=10^{6}\) और \(1000^{2}=10^{6}\), इसलिए बाएँ पक्ष की घात (k+6-6=k) है। (k=5) मिलता है। / Since \(100^{3}=10^{6}\) and \(1000^{2}=10^{6}\), the exponent on the left is (k+6-6=k). Hence (k=5).
अंश \(25x^{-4}\cdot4x^{8}=100x^{4}\) है। \(\frac{100x^{4}}{20x^{4}}=5\) मिलता है। / The numerator is \(25x^{-4}\cdot4x^{8}=100x^{4}\). Thus \(\frac{100x^{4}}{20x^{4}}=5\).
(a=4) और \(9^{b}=3^{2b}=3^{6}\) से (b=3) है। इसलिए \(a^{b}-b^{a}=4^{3}-3^{4}=64-81=-17\), अतः विकल्पों में यह मान नहीं है। / We get (a=4), and \(9^{b}=3^{2b}=3^{6}\) gives (b=3). Thus \(a^{b}-b^{a}=4^{3}-3^{4}=64-81=-17\), which is not among the options.
(\(4\sqrt{3}\)^{2}=48), (\(3\sqrt{5}\)^{2}=45), और मध्य पद \(24\sqrt{15}\) है। इसलिए विस्तार \(93-24\sqrt{15}\) है। / Here (\(4\sqrt{3}\)^{2}=48), (\(3\sqrt{5}\)^{2}=45), and the middle term is \(24\sqrt{15}\). Therefore, the expansion is \(93-24\sqrt{15}\).
(\left\(\frac{25}{49}\right\)^{\frac{1}{2}}=\frac{5}{7}), इसलिए (\left\(\frac{25}{49}\right\)^{-\frac{3}{2}}=\left\(\frac{5}{7}\right\)^{-3}=\frac{343}{125})। परीक्षा में पहले वर्गमूल निकालें। / Since (\left\(\frac{25}{49}\right\)^{\frac{1}{2}}=\frac{5}{7}), (\left\(\frac{25}{49}\right\)^{-\frac{3}{2}}=\left\(\frac{5}{7}\right\)^{-3}=\frac{343}{125}). In exams, take the square root first.
(x^{15}=\(x^{5}\)^{3}=27) और (x^{10}=\(x^{5}\)^{2}=9)। इसलिए योग (36) है। / Here (x^{15}=\(x^{5}\)^{3}=27) and (x^{10}=\(x^{5}\)^{2}=9). Therefore, the sum is (36).
हरों का गुणनफल (26-25=1) है और अंश (\(\sqrt{26}+5\)+\(\sqrt{26}-5\)=2\sqrt{26}) है। परीक्षा में संयुग्म भिन्नों को साथ जोड़ें। / The product of denominators is (26-25=1), and the numerator is (\(\sqrt{26}+5\)+\(\sqrt{26}-5\)=2\sqrt{26}). In exams, add conjugate fractions together.
(x^{10}-1024=\(x^{5}\)^{2}-32^{2}=\(x^{5}-32\)\(x^{5}+32\))। समान गुणनखंड कटने पर \(x^{5}+32\) बचता है। / We use (x^{10}-1024=\(x^{5}\)^{2}-32^{2}=\(x^{5}-32\)\(x^{5}+32\)). Cancelling the common factor leaves \(x^{5}+32\).
(25^{\frac{3}{2}}=\(5^{2}\)^{\frac{3}{2}}=5^{3}) और (125^{-\frac{2}{3}}=\(5^{3}\)^{-\frac{2}{3}}=5^{-2})। गुणनफल (5) है। / Here (25^{\frac{3}{2}}=\(5^{2}\)^{\frac{3}{2}}=5^{3}) and (125^{-\frac{2}{3}}=\(5^{3}\)^{-\frac{2}{3}}=5^{-2}). The product is (5).
सामान्य पद \(4^{x}\) लेने पर (4^{x}(1+4+16)=336) मिलता है। इसलिए \(21\cdot4^{x}=336\), \(4^{x}=16\), और (x=2)। / Factoring \(4^{x}\), we get (4^{x}(1+4+16)=336). Thus \(21\cdot4^{x}=336\), \(4^{x}=16\), and (x=2).
अंदर \(\frac{8x^{-3}y^{2}}{2x^{5}y^{-4}}=4x^{-8}y^{6}\), इसका वर्ग \(16x^{-16}y^{12}\) है। फिर \(\frac{x^{16}}{16y^{12}}\) से गुणा करने पर (1) मिलता है। / Inside, \(\frac{8x^{-3}y^{2}}{2x^{5}y^{-4}}=4x^{-8}y^{6}\), and its square is \(16x^{-16}y^{12}\). Multiplying by \(\frac{x^{16}}{16y^{12}}\) gives (1).
क्योंकि (\(3+\sqrt{10}\)^{2}=9+10+6\sqrt{10}=19+6\sqrt{10}), इसलिए \(\sqrt{A}=3+\sqrt{10}\)। परीक्षा में पूर्ण वर्ग करणी पहचानें। / Because (\(3+\sqrt{10}\)^{2}=9+10+6\sqrt{10}=19+6\sqrt{10}), \(\sqrt{A}=3+\sqrt{10}\). In exams, identify perfect-square surd forms.
मान लें \(A=x^{-2}\) और \(B=y^{-2}\), तो \(\frac{A^{2}-B^{2}}{A-B}=A+B\)। इसलिए उत्तर \(x^{-2}+y^{-2}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}y^{2}}\) है। / Let \(A=x^{-2}\) and \(B=y^{-2}\). Then \(\frac{A^{2}-B^{2}}{A-B}=A+B\), so the answer is \(x^{-2}+y^{-2}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}y^{2}}\).
\(27^{x-1}=3^{3x-3}\), इसलिए कुल घात (x+3x-3=4x-3) है। \(243=3^{5}\), इसलिए (4x-3=5) और (x=2)। / Since \(27^{x-1}=3^{3x-3}\), the total exponent is (x+3x-3=4x-3). Since \(243=3^{5}\), (4x-3=5), so (x=2).
\(\sqrt{242}=11\sqrt{2}\), \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\), \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), और \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\)। कुल \(4\sqrt{2}\) मिलता है। / We have \(\sqrt{242}=11\sqrt{2}\), \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\), \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), and \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\). The total is \(4\sqrt{2}\).
\(169^{-1}=13^{-2}\) और \(2197^{-1}=13^{-3}\), इसलिए \(\frac{13^{4}\cdot13^{-2}}{13^{-3}}=13^{5}\)। परीक्षा में ऋणात्मक घात से भाग करते समय घात जुड़ती है। / Here \(169^{-1}=13^{-2}\) and \(2197^{-1}=13^{-3}\), so \(\frac{13^{4}\cdot13^{-2}}{13^{-3}}=13^{5}\). In exams, division by a negative power adds the exponent.
(\left\(x+\frac{1}{x}\right\)^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2) होता है। इसलिए \(49=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2\) और मान (47) है। / We use (\left\(x+\frac{1}{x}\right\)^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2). Thus \(49=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2\), so the value is (47).
(\left\(\frac{81}{256}\right\)^{\frac{1}{4}}=\frac{3}{4}), इसलिए (\left\(\frac{81}{256}\right\)^{-\frac{3}{4}}=\left\(\frac{3}{4}\right\)^{-3}=\frac{64}{27})। परीक्षा में पहले चौथा मूल निकालें। / Since (\left\(\frac{81}{256}\right\)^{\frac{1}{4}}=\frac{3}{4}), (\left\(\frac{81}{256}\right\)^{-\frac{3}{4}}=\left\(\frac{3}{4}\right\)^{-3}=\frac{64}{27}). In exams, take the fourth root first.
अंदर (p^{-5-(-1)}q^{4-(-2)}=p^{-4}q^{6}) है। (-2) घात देने पर \(p^{8}q^{-12}\) मिलता है। / Inside, (p^{-5-(-1)}q^{4-(-2)}=p^{-4}q^{6}). Raising to (-2) gives \(p^{8}q^{-12}\).
\(6^{x+1}-6^{x}=6\cdot6^{x}-6^{x}=5\cdot6^{x}=900\), इसलिए \(6^{x}=180\) नहीं बनता। इसलिए दिए विकल्पों में कोई भी सही नहीं है। / Here \(6^{x+1}-6^{x}=5\cdot6^{x}=900\), so \(6^{x}=180\), which is not a listed integral power. Therefore none of the listed options is correct.
हरों का गुणनफल (25-24=1) है और अंश \(2\sqrt{24}\) बनता है। परीक्षा में संयुग्म हरों का गुणनफल पहले निकालें। / The product of the denominators is (25-24=1), and the numerator becomes \(2\sqrt{24}\). In exams, first find the product of conjugate denominators.
(u^{2}-v^{2}=(u-v)(u+v)=2\sqrt{8}\cdot2\sqrt{17}=8\sqrt{34}) और (uv=9) है। इसलिए मान \(\frac{8\sqrt{34}}{9}\) है। / Here (u^{2}-v^{2}=(u-v)(u+v)=2\sqrt{8}\cdot2\sqrt{17}=8\sqrt{34}), and (uv=9). Hence the value is \(\frac{8\sqrt{34}}{9}\).
\(25^{-2}=5^{-4}\) और \(125=5^{3}\), इसलिए कुल घात (9-4+3-4=4) है। परीक्षा में सभी पदों को समान आधार में बदलें। / Since \(25^{-2}=5^{-4}\) and \(125=5^{3}\), the total exponent is (9-4+3-4=4). In exams, convert all terms to the same base.
\(\frac{4x^{-2}}{x^{3}}=4x^{-5}\), इसलिए व्युत्क्रम \(\frac{x^{5}}{4}\) है और \(x^{-4}\) से गुणा करने पर \(\frac{x}{4}\) मिलता है। परीक्षा में पहले कोष्ठक को सरल करें। / Here \(\frac{4x^{-2}}{x^{3}}=4x^{-5}\), so its reciprocal is \(\frac{x^{5}}{4}\), and multiplying by \(x^{-4}\) gives \(\frac{x}{4}\). In exams, simplify the bracket first.
\(x^{2}=7+2\sqrt{10}\), इसलिए \(x^{3}=17\sqrt{2}+11\sqrt{5}\) और \(x^{3}-7x=10\sqrt{2}+4\sqrt{5}\)। परीक्षा में पहले \(x^{2}\) निकालकर फिर (x) से गुणा करें। / Here \(x^{2}=7+2\sqrt{10}\), so \(x^{3}=17\sqrt{2}+11\sqrt{5}\) and \(x^{3}-7x=10\sqrt{2}+4\sqrt{5}\). In exams, first find \(x^{2}\) and then multiply by (x).
अभिव्यक्ति \(8x^{-3}y^{6}\cdot\frac{1}{4}x^{-2}y=;2x^{-5}y^{7}\) है। इसलिए (c+r+s=2-5+7=4) है। / The expression is \(8x^{-3}y^{6}\cdot\frac{1}{4}x^{-2}y=2x^{-5}y^{7}\). Hence (c+r+s=2-5+7=4).
\(\sqrt{192}=8\sqrt{3}\), \(2\sqrt{48}=8\sqrt{3}\), और \(3\sqrt{12}=6\sqrt{3}\)। अंश \(6\sqrt{3}\) है, इसलिए मान (6) है। / Here \(\sqrt{192}=8\sqrt{3}\), \(2\sqrt{48}=8\sqrt{3}\), and \(3\sqrt{12}=6\sqrt{3}\). The numerator is \(6\sqrt{3}\), so the value is (6).
बाएँ पक्ष \(5^{2x}\cdot5^{x-2}=5^{3x-2}\) है और \(3125=5^{5}\)। इसलिए (3x-2=5) और \(x=\frac{7}{3}\)। / The left side is \(5^{2x}\cdot5^{x-2}=5^{3x-2}\), and \(3125=5^{5}\). Hence (3x-2=5), so \(x=\frac{7}{3}\).
(\left\(\frac{4}{7}\right\)^{-2}=\frac{49}{16}) और (\left\(\frac{7}{4}\right\)^{-2}=\frac{16}{49})। योग \(\frac{2401+256}{784}=\frac{2657}{784}\) है। / Here (\left\(\frac{4}{7}\right\)^{-2}=\frac{49}{16}) and (\left\(\frac{7}{4}\right\)^{-2}=\frac{16}{49}). The sum is \(\frac{2401+256}{784}=\frac{2657}{784}\).
\(\sqrt{x}=4\sqrt{3}\) से (x=48), और \(x^{\frac{3}{2}}=x\sqrt{x}=48\cdot4\sqrt{3}=192\sqrt{3}\)। परीक्षा में \(x^{\frac{3}{2}}\) को \(x\sqrt{x}\) लिखें। / From \(\sqrt{x}=4\sqrt{3}\), (x=48), and \(x^{\frac{3}{2}}=x\sqrt{x}=48\cdot4\sqrt{3}=192\sqrt{3}\). In exams, write \(x^{\frac{3}{2}}\) as \(x\sqrt{x}\).
ऊपर \(4b^{-2}+6b^{-2}=10b^{-2}\) है। \(\frac{10b^{-2}}{5b^{-3}}=2b\) मिलता है। / The numerator is \(4b^{-2}+6b^{-2}=10b^{-2}\). Thus \(\frac{10b^{-2}}{5b^{-3}}=2b\).
(x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=\left\(x-\frac{1}{x}\right\)\left\(x+\frac{1}{x}\right\)) है। इसलिए (40=5\left\(x+\frac{1}{x}\right\)), और मान (8) है। / We use (x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=\left\(x-\frac{1}{x}\right\)\left\(x+\frac{1}{x}\right\)). Thus (40=5\left\(x+\frac{1}{x}\right\)), so the value is (8).
(\left\(\frac{64x^{-6}}{27y^{9}}\right\)^{\frac{1}{3}}=\frac{4x^{-2}}{3y^{3}})। \(-\frac{1}{3}\) घात लेने पर व्युत्क्रम \(\frac{3x^{2}y^{3}}{4}\) मिलता है। / We get (\left\(\frac{64x^{-6}}{27y^{9}}\right\)^{\frac{1}{3}}=\frac{4x^{-2}}{3y^{3}}). The power \(-\frac{1}{3}\) gives the reciprocal \(\frac{3x^{2}y^{3}}{4}\).
\(\frac{1}{s}=\sqrt{10}-3\), इसलिए \(s-\frac{1}{s}=6\) और \(s+\frac{1}{s}=2\sqrt{10}\)। अतः \(s^{2}-\frac{1}{s^{2}}=12\sqrt{10}\)। / Here \(\frac{1}{s}=\sqrt{10}-3\), so \(s-\frac{1}{s}=6\) and \(s+\frac{1}{s}=2\sqrt{10}\). Thus \(s^{2}-\frac{1}{s^{2}}=12\sqrt{10}\).
(18^{3}=\(2\cdot3^{2}\)^{3}=2^{3}\cdot3^{6})। भाग देने पर \(2^{1}\cdot3^{1}=6\) मिलता है। / Since (18^{3}=\(2\cdot3^{2}\)^{3}=2^{3}\cdot3^{6}), division leaves \(2^{1}\cdot3^{1}=6\).
संयुग्म गुणनफल (17-8=9) है और \(\sqrt{81}=9\)। इसलिए अंतर (0) है। / The conjugate product is (17-8=9), and \(\sqrt{81}=9\). Hence the difference is (0).
\(729=3^{6}\), \(9^{x}=3^{2x}\) से (x=3), और \(27^{y}=3^{3y}\) से (y=2)। इसलिए (x+y=5)। / Since \(729=3^{6}\), \(9^{x}=3^{2x}\) gives (x=3), and \(27^{y}=3^{3y}\) gives (y=2). Therefore, (x+y=5).
अंदर \(\frac{7r^{-3}s^{2}}{49r^{2}s^{-4}}=\frac{1}{7}r^{-5}s^{6}\) है। (-1) घात लेने पर \(7r^{5}s^{-6}\) मिलता है। / Inside, \(\frac{7r^{-3}s^{2}}{49r^{2}s^{-4}}=\frac{1}{7}r^{-5}s^{6}\). Raising to (-1) gives \(7r^{5}s^{-6}\).
\(3^{-2}+3^{-4}=\frac{1}{9}+\frac{1}{81}=\frac{10}{81}\) और \(3^{-3}=\frac{1}{27}\)। भाग देने पर \(\frac{10}{3}\) मिलता है। / Here \(3^{-2}+3^{-4}=\frac{1}{9}+\frac{1}{81}=\frac{10}{81}\), and \(3^{-3}=\frac{1}{27}\). Division gives \(\frac{10}{3}\).
\(\frac{1}{6-\sqrt{35}}=6+\sqrt{35}\), क्योंकि (36-35=1)। इसलिए \(\frac{1}{p}-p=2\sqrt{35}\)। / Since \(\frac{1}{6-\sqrt{35}}=6+\sqrt{35}\), because (36-35=1). Therefore, \(\frac{1}{p}-p=2\sqrt{35}\).
(x^{8}-81=\(x^{4}\)^{2}-9^{2}=\(x^{4}-9\)\(x^{4}+9\))। समान गुणनखंड कटने पर \(x^{4}+9\) मिलता है। / Since (x^{8}-81=\(x^{4}\)^{2}-9^{2}=\(x^{4}-9\)\(x^{4}+9\)), cancelling the common factor gives \(x^{4}+9\).
\(\sqrt[3]{216}=6\), \(\sqrt[3]{a^{12}}=a^{4}\), और \(\sqrt[3]{b^{9}}=b^{3}\)। परीक्षा में घनमूल में घातों को (3) से भाग दें। / We have \(\sqrt[3]{216}=6\), \(\sqrt[3]{a^{12}}=a^{4}\), and \(\sqrt[3]{b^{9}}=b^{3}\). In exams, divide exponents by (3) under a cube root.
बाएँ पक्ष में घातें (-3k) और (2k) हैं। (-3k=-12) और (2k=8) दोनों से (k=4) मिलता है। / The left side has exponents (-3k) and (2k). Both (-3k=-12) and (2k=8) give (k=4).
(64^{\frac{2}{3}}=(4)^{2}=16) और (8^{-\frac{4}{3}}=(2)^{-4}=\frac{1}{16})। गुणनफल (1) है। / Here (64^{\frac{2}{3}}=(4)^{2}=16) and (8^{-\frac{4}{3}}=(2)^{-4}=\frac{1}{16}). The product is (1).
अंदर \(\frac{x^{-2}y^{4}}{z^{-3}}=x^{-2}y^{4}z^{3}\), इसलिए उल्टा \(x^{2}y^{-4}z^{-3}\) है। \(\frac{y^{2}}{x^{3}z^{2}}\) से गुणा करने पर \(\frac{1}{xy^{2}z^{5}}\) मिलता है। / Inside, \(\frac{x^{-2}y^{4}}{z^{-3}}=x^{-2}y^{4}z^{3}\), so its reciprocal is \(x^{2}y^{-4}z^{-3}\). Multiplying by \(\frac{y^{2}}{x^{3}z^{2}}\) gives \(\frac{1}{xy^{2}z^{5}}\).
\(\frac{1}{5+2\sqrt{6}}=5-2\sqrt{6}\), क्योंकि गुणनफल (25-24=1) है। योग (10) मिलता है। / We have \(\frac{1}{5+2\sqrt{6}}=5-2\sqrt{6}\), because the product is (25-24=1). The sum is (10).
\(\sqrt{108}=6\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), और \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)। अंश \(9\sqrt{3}\) है, इसलिए मान (9) है। / Here \(\sqrt{108}=6\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), and \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\). The numerator is \(9\sqrt{3}\), so the value is (9).
\(1000^{2}=10^{6}\) और \(100=10^{2}\), इसलिए बाएँ पक्ष की घात (k+6-2=k+4) है। (k+4=9) से (k=5)। / Since \(1000^{2}=10^{6}\) and \(100=10^{2}\), the exponent on the left is (k+6-2=k+4). From (k+4=9), (k=5).
अंश \(16x^{-2}\cdot9x^{6}=144x^{4}\) है। \(\frac{144x^{4}}{12x^{4}}=12\) मिलता है। / The numerator is \(16x^{-2}\cdot9x^{6}=144x^{4}\). Thus \(\frac{144x^{4}}{12x^{4}}=12\).
(a=5) और \(8^{b}=2^{3b}=2^{6}\) से (b=2)। इसलिए \(a^{b}-b^{a}=25-32=-7\), अतः सही मान (-7) है। / We get (a=5), and from \(8^{b}=2^{3b}=2^{6}\), (b=2). Thus \(a^{b}-b^{a}=25-32=-7\), so the correct value is (-7).
(\(3\sqrt{5}\)^{2}=45), (\(2\sqrt{7}\)^{2}=28), और मध्य पद \(12\sqrt{35}\) है। इसलिए विस्तार \(73-12\sqrt{35}\) है। / Here (\(3\sqrt{5}\)^{2}=45), (\(2\sqrt{7}\)^{2}=28), and the middle term is \(12\sqrt{35}\). Therefore, the expansion is \(73-12\sqrt{35}\).
(\left\(\frac{16}{81}\right\)^{\frac{1}{4}}=\frac{2}{3}), इसलिए (\left\(\frac{16}{81}\right\)^{-\frac{3}{4}}=\left\(\frac{2}{3}\right\)^{-3}=\frac{27}{8})। परीक्षा में चौथा मूल पहले निकालें। / Since (\left\(\frac{16}{81}\right\)^{\frac{1}{4}}=\frac{2}{3}), (\left\(\frac{16}{81}\right\)^{-\frac{3}{4}}=\left\(\frac{2}{3}\right\)^{-3}=\frac{27}{8}). In exams, take the fourth root first.
(x^{12}=\(x^{4}\)^{3}=125) और (x^{8}=\(x^{4}\)^{2}=25)। इसलिए अंतर (100) है। / Here (x^{12}=\(x^{4}\)^{3}=125) and (x^{8}=\(x^{4}\)^{2}=25). Therefore, the difference is (100).
हरों का गुणनफल (10-9=1) है और अंश (\(\sqrt{10}+3\)-\(\sqrt{10}-3\)=6) है। परीक्षा में संयुग्म हरों का गुणनफल पहले निकालें। / The product of denominators is (10-9=1), and the numerator is (\(\sqrt{10}+3\)-\(\sqrt{10}-3\)=6). In exams, find the product of conjugate denominators first.
(x^{6}-64=\(x^{3}\)^{2}-8^{2}=\(x^{3}-8\)\(x^{3}+8\))। समान गुणनखंड कटने पर \(x^{3}+8\) बचता है। / We use (x^{6}-64=\(x^{3}\)^{2}-8^{2}=\(x^{3}-8\)\(x^{3}+8\)). Cancelling the common factor leaves \(x^{3}+8\).
(49^{\frac{3}{2}}=\(7^{2}\)^{\frac{3}{2}}=7^{3}) और (343^{-\frac{2}{3}}=\(7^{3}\)^{-\frac{2}{3}}=7^{-2})। गुणनफल \(7^{1}=7\) है। / Here (49^{\frac{3}{2}}=\(7^{2}\)^{\frac{3}{2}}=7^{3}) and (343^{-\frac{2}{3}}=\(7^{3}\)^{-\frac{2}{3}}=7^{-2}). The product is \(7^{1}=7\).
सामान्य पद \(3^{x}\) लेने पर (3^{x}(1+3+9)=117) मिलता है। इसलिए \(13\cdot3^{x}=117\), \(3^{x}=9\), और (x=2)। / Factoring \(3^{x}\), we get (3^{x}(1+3+9)=117). Thus \(13\cdot3^{x}=117\), \(3^{x}=9\), and (x=2).
अंदर \(\frac{6x^{-2}y^{3}}{3x^{4}y^{-1}}=2x^{-6}y^{4}\), इसका वर्ग \(4x^{-12}y^{8}\) है। फिर \(\frac{x^{12}}{4y^{8}}\) से गुणा करने पर (1) मिलता है। / Inside, \(\frac{6x^{-2}y^{3}}{3x^{4}y^{-1}}=2x^{-6}y^{4}\), and its square is \(4x^{-12}y^{8}\). Multiplying by \(\frac{x^{12}}{4y^{8}}\) gives (1).
क्योंकि (\(3+\sqrt{5}\)^{2}=9+5+6\sqrt{5}=14+6\sqrt{5}), इसलिए \(\sqrt{A}=3+\sqrt{5}\)। परीक्षा में पूर्ण वर्ग करणी पहचानें। / Because (\(3+\sqrt{5}\)^{2}=9+5+6\sqrt{5}=14+6\sqrt{5}), \(\sqrt{A}=3+\sqrt{5}\). In exams, identify perfect-square surd forms.
अंश \(\frac{y^{3}-x^{3}}{x^{3}y^{3}}\) और हर \(\frac{y-x}{xy}\) है। भाग देने पर \(\frac{x^{2}+xy+y^{2}}{x^{2}y^{2}}\) मिलता है। / The numerator is \(\frac{y^{3}-x^{3}}{x^{3}y^{3}}\), and the denominator is \(\frac{y-x}{xy}\). Division gives \(\frac{x^{2}+xy+y^{2}}{x^{2}y^{2}}\).
\(8^{x-2}=2^{3x-6}\), इसलिए कुल घात (x+3x-6=4x-6) है। \(64=2^{6}\) से (4x-6=6) और (x=3)। / Since \(8^{x-2}=2^{3x-6}\), the total exponent is (x+3x-6=4x-6). From \(64=2^{6}\), (4x-6=6), so (x=3).
