The correct condition is \(0\le r<b\), because the remainder can also be zero.
Step 3
Exam Tip
Be careful with (0<r), because it excludes exact division. चरण 1: प्रमेय का मुख्य नियम है (a=bq+r)। चरण 2: शेषफल के लिए सही सीमा \(0\le r<b\) होती है, क्योंकि शेषफल शून्य भी हो सकता है। चरण 3: परीक्षा में (0<r) देखकर सावधान रहें, क्योंकि वह शून्य शेषफल को छोड़ देता है।
In (a=42q+41), the remainder is (41), one less than (42).
Step 2
Why this answer is correct
(a+1=42q+42=42(q+1)+0), so the remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
Adding (1) to a (b-1) remainder gives exact division. चरण 1: (a=42q+41) में शेषफल (41) है, जो (42) से एक कम है। चरण 2: (a+1=42q+42=42(q+1)+0), इसलिए शेषफल (0) होगा। चरण 3: (b-1) शेषफल में (1) जोड़ने पर पूर्ण विभाजन हो जाता है।
The number divides exactly, so the remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
Recognizing exact division makes the calculation faster. चरण 1: \(23 \times 23=529\) है। चरण 2: संख्या पूरी तरह विभाजित हो जाती है, इसलिए शेषफल (0) है। चरण 3: पूर्ण विभाजन पहचानने पर गणना जल्दी पूरी हो जाती है।
In exact division, the remainder is always (0). चरण 1: \(37 \times 27=999\) है। चरण 2: (999-999=0), इसलिए शेषफल (0) है। चरण 3: पूर्ण विभाजन में शेषफल हमेशा (0) होता है।
Adding (1) to a remainder that is one less than the divisor gives exact division. चरण 1: (a=6q+5) है। चरण 2: (a+1=6q+6=6(q+1)+0), इसलिए शेषफल (0) है। चरण 3: भाजक से एक कम शेषफल में (1) जोड़ने पर पूर्ण विभाजन हो जाता है।
A. (3) से पूर्णतः विभाज्य/Exactly divisible by (3)
Step 1
Concept
The original number is (3q+2).
Step 2
Why this answer is correct
Adding (1) gives (3q+3=3(q+1)).
Step 3
Exam Tip
Therefore, the new number is exactly divisible by (3). चरण 1: मूल संख्या (3q+2) है। चरण 2: (1) जोड़ने पर (3q+3=3(q+1)) बनती है। चरण 3: इसलिए नई संख्या (3) से पूर्णतः विभाज्य होगी।
It is a multiple of (7), so it is exactly divisible by (7).
Step 3
Exam Tip
Zero remainder means exact division. चरण 1: (7q+0) को सरल करने पर (7q) मिलता है। चरण 2: यह (7) का गुणज है, इसलिए (7) से पूर्णतः विभाज्य है। चरण 3: शून्य शेषफल का अर्थ पूर्ण विभाजन होता है।
A. (a), (9) से पूर्णतः विभाज्य है/(a) is exactly divisible by (9)
Step 1
Concept
In (a=9q+0), the remainder is (0).
Step 2
Why this answer is correct
A zero remainder means the number is exactly divisible by (9).
Step 3
Exam Tip
Treat zero remainder as a sign of exact division. चरण 1: (a=9q+0) में शेषफल (0) है। चरण 2: शेषफल (0) होने पर संख्या (9) से पूर्णतः विभाज्य होती है। चरण 3: शून्य शेषफल को पूर्ण विभाजन का संकेत मानें।
The number is exactly divisible, so the remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
In exact division, remember to write the remainder as (0). चरण 1: \(13\times7=91\) है। चरण 2: संख्या पूरी तरह विभाजित हो जाती है, इसलिए शेषफल (0) होगा। चरण 3: पूर्ण विभाजन में शेषफल (0) लिखना न भूलें।
When the product is exactly equal to the dividend, the remainder is (0). चरण 1: \(13 \times 7=91\) है। चरण 2: इसलिए \(91=13 \times 7+0\) होगा। चरण 3: जब गुणनफल बिल्कुल भाज्य के बराबर हो, शेषफल (0) होता है।
When a number is exactly divisible, the remainder is (0). चरण 1: \(8 \times 9=72\) है। चरण 2: इसलिए \(72=8 \times 9+0\) लिखा जाएगा। चरण 3: जब संख्या पूरी तरह विभाजित हो, शेषफल (0) होता है।
When the remainder is (0), the number is exactly divisible.
Step 2
Why this answer is correct
Euclid’s form becomes (a=9q+0).
Step 3
Exam Tip
So the number can be written as (9q). चरण 1: जब शेषफल (0) हो, संख्या पूर्ण रूप से विभाजित होती है। चरण 2: यूक्लिड रूप (a=9q+0) होगा। चरण 3: इसलिए ऐसी संख्या (9q) के रूप में लिखी जाती है।
