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A composite number has more than two positive factors.
Step 2
Why this answer is correct
\(91=7\times13\), so it is composite.
Step 3
Exam Tip
If a number can be written as a product of smaller primes, it is composite. चरण 1: संयुक्त संख्या के दो से अधिक धनात्मक भाजक होते हैं। चरण 2: \(91=7\times13\), इसलिए यह संयुक्त संख्या है। चरण 3: यदि कोई संख्या छोटी अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखी जा सके, तो वह संयुक्त है।
A composite number has more than two positive factors.
Step 2
Why this answer is correct
\(77=7\times11\), so it is composite.
Step 3
Exam Tip
If a number can be written as a product of two smaller primes, it is composite. चरण 1: संयुक्त संख्या के दो से अधिक धनात्मक भाजक होते हैं। चरण 2: \(77=7\times11\), इसलिए यह संयुक्त संख्या है। चरण 3: यदि कोई संख्या दो छोटी अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखी जा सके, तो वह संयुक्त है।
A composite number has more than two positive factors.
Step 2
Why this answer is correct
\(49=7\times7\), so it has a factor 7 besides 1 and 49.
Step 3
Exam Tip
Recognising perfect squares helps in finding composite numbers. चरण 1: संयुक्त संख्या के दो से अधिक धनात्मक भाजक होते हैं। चरण 2: \(49=7\times7\), इसलिए इसके भाजक 1 और 49 के अलावा 7 भी है। चरण 3: पूर्ण वर्गों को पहचानना संयुक्त संख्या ढूंढने में मदद करता है।
A. क्योंकि अंतिम रूप में केवल अभाज्य आधार रहने चाहिए/Because only prime bases should remain in the final form
Step 1
Concept
The aim of prime factorisation is to write the number using prime bases only.
Step 2
Why this answer is correct
If a base like (45) or (121) remains, it is composite and must be broken further.
Step 3
Exam Tip
Before writing the final answer, check whether every base is prime. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन का उद्देश्य संख्या को केवल अभाज्य आधारों में लिखना है। चरण 2: यदि (45) या (121) जैसा आधार बचा है, तो वह संयुक्त है और आगे टूटेगा। चरण 3: अंतिम उत्तर लिखने से पहले हर आधार की अभाज्यता जांचें।
A. क्योंकि अंतिम रूप में केवल अभाज्य आधार होने चाहिए/Because only prime bases should remain in the final form
Step 1
Concept
The final form of prime factorisation is based only on prime numbers.
Step 2
Why this answer is correct
If a base like (45) remains, it must be written as \(45=3^2\times5\).
Step 3
Exam Tip
In exams, check every base before writing the final answer. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन का अंतिम रूप केवल अभाज्य संख्याओं पर आधारित होता है। चरण 2: यदि (45) जैसा आधार बचा है, तो \(45=3^2\times5\) लिखना होगा। चरण 3: परीक्षा में अंतिम उत्तर लिखने से पहले हर आधार की जांच करें।
A. गुणनखंडन पूरा नहीं माना जाता/The factorisation is not considered complete
Step 1
Concept
In final prime factorisation, every base must be prime.
Step 2
Why this answer is correct
If a composite base like 12 or 21 remains, it must be broken further.
Step 3
Exam Tip
In exams, check every base before writing the final form. चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में हर आधार अभाज्य होना चाहिए। चरण 2: यदि 12 या 21 जैसा संयुक्त आधार बचा है, तो उसे आगे तोड़ना होगा। चरण 3: परीक्षा में अंतिम रूप देने से पहले हर आधार की जांच करें।
A. अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में/As a product of prime numbers
Step 1
Concept
This theorem is about prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
Every composite number can be written as a product of prime numbers.
Step 3
Exam Tip
In exams, remember this theorem through factorisation. चरण 1: यह प्रमेय अभाज्य गुणनखंडों के बारे में है। चरण 2: हर संयुक्त संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। चरण 3: परीक्षा में इस प्रमेय को गुणनखंडन से जोड़कर याद रखें।
47 is divisible only by 1 and 47, while 51, 57, and 63 are composite.
Step 3
Exam Tip
Check small numbers by 2, 3, 5, and 7. चरण 1: अभाज्य संख्या के केवल दो धनात्मक भाजक होते हैं। चरण 2: 47 केवल 1 और 47 से विभाजित होती है, जबकि 51, 57 और 63 संयुक्त हैं। चरण 3: छोटी संख्याओं को 2, 3, 5 और 7 से जांचें।
31 is divisible only by 1 and 31, while 27, 35, and 45 are composite.
Step 3
Exam Tip
For small numbers, checking divisibility by 2, 3, 5, and 7 is useful. चरण 1: अभाज्य संख्या के केवल दो धनात्मक भाजक होते हैं। चरण 2: 31 केवल 1 और 31 से विभाजित होती है, जबकि 27, 35 और 45 संयुक्त हैं। चरण 3: छोटी संख्याओं में 2, 3, 5 और 7 से जांच करना उपयोगी है।
A prime number has exactly two positive factors, 1 and itself.
Step 2
Why this answer is correct
29 is divisible only by 1 and 29, while the other numbers are composite.
Step 3
Exam Tip
For small numbers, checking divisibility by 2, 3, 5, and 7 is useful. चरण 1: अभाज्य संख्या के केवल दो धनात्मक भाजक होते हैं, 1 और स्वयं संख्या। चरण 2: 29 केवल 1 और 29 से विभाजित होती है, जबकि बाकी संख्याएं संयुक्त हैं। चरण 3: छोटी संख्याओं में 2, 3, 5, 7 से जांच करना उपयोगी है।
A. क्योंकि 18 संयुक्त संख्या है/Because 18 is composite
Step 1
Concept
In the final prime factorisation, bases must be prime.
Step 2
Why this answer is correct
\(18=2\times3^2\), so \(18^2\) must be changed into \(2^2\times3^4\).
Step 3
Exam Tip
Do not leave a composite base in the final answer. चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में आधार अभाज्य होने चाहिए। चरण 2: \(18=2\times3^2\), इसलिए \(18^2\) को \(2^2\times3^4\) में बदलना होगा। चरण 3: संयुक्त आधार को अंतिम उत्तर में न छोड़ें।
A. क्योंकि 36 संयुक्त संख्या है/Because 36 is composite
Step 1
Concept
In final prime factorisation, the bases should be prime.
Step 2
Why this answer is correct
\(36=2^2\times3^2\), so \(36^2\) must be changed into \(2^4\times3^4\).
Step 3
Exam Tip
Do not keep a composite base like 36 in the final answer. चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में आधार अभाज्य होने चाहिए। चरण 2: \(36=2^2\times3^2\), इसलिए \(36^2\) को \(2^4\times3^4\) में बदलना होगा। चरण 3: अंतिम उत्तर में 36 जैसा संयुक्त आधार न रखें।
\(98=2\times7^2\) and \(10=2\times5\), so \(980=2^2\times5\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
Composite factors like 98 and 10 should not remain in the final prime form. चरण 1: \(980=98\times10\) लिखें। चरण 2: \(98=2\times7^2\) और \(10=2\times5\), इसलिए \(980=2^2\times5\times7^2\)। चरण 3: अंतिम अभाज्य रूप में 98 और 10 जैसे संयुक्त गुणनखंड नहीं रहने चाहिए।
21 and 49 are composite, so do not keep them in the final form. चरण 1: \(147=3\times49\) लिखें। चरण 2: \(49=7^2\), इसलिए \(147=3\times7^2\)। चरण 3: 21 और 49 संयुक्त हैं, इसलिए उन्हें अंतिम रूप में न रखें।
9 and 33 are composite, so do not keep them in the final answer. चरण 1: \(99=9\times11\) लिखें। चरण 2: \(9=3^2\) और 11 अभाज्य है, इसलिए \(99=3^2\times11\)। चरण 3: 9 और 33 संयुक्त हैं, इसलिए अंतिम उत्तर में न रखें।
14 is composite, so \(7\times14\) is not the final prime factorisation. चरण 1: \(98=2\times49\) लिखें। चरण 2: \(49=7^2\), इसलिए \(98=2\times7^2\)। चरण 3: 14 संयुक्त है, इसलिए \(7\times14\) अंतिम अभाज्य गुणनखंडन नहीं है।
9 and 21 are composite, so do not keep them in the final form. चरण 1: \(63=9\times7\) लिखें। चरण 2: \(9=3^2\), इसलिए \(63=3^2\times7\)। चरण 3: 9 और 21 संयुक्त हैं, इसलिए उन्हें अंतिम रूप में न रखें।
\(63=9\times7=3^2\times7\), so \(126=2\times3^2\times7\).
Step 3
Exam Tip
6 and 21 are composite, so they are not final answers. चरण 1: \(126=2\times63\) लिखें। चरण 2: \(63=9\times7=3^2\times7\), इसलिए \(126=2\times3^2\times7\)। चरण 3: 6 और 21 संयुक्त हैं, इसलिए अंतिम उत्तर नहीं हैं।
15 and 25 are composite, so do not keep them in the final form. चरण 1: \(75=3\times25\) लिखें। चरण 2: \(25=5\times5=5^2\), इसलिए \(75=3\times5^2\)। चरण 3: 15 और 25 संयुक्त हैं, इसलिए उन्हें अंतिम रूप में न रखें।
Composite factors like 9 or 15 are not kept in final prime factorisation. चरण 1: \(45=9\times5\) और \(9=3\times3\)। चरण 2: इसलिए \(45=3^2\times5\)। चरण 3: 9 या 15 जैसे संयुक्त गुणनखंड अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में नहीं रखे जाते।
(9) is a perfect square and \(\sqrt{9}=3\), so it is rational.
Step 3
Exam Tip
In square root questions, first check whether the number inside is a perfect square. चरण 1: पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय संख्या होता है। चरण 2: (9) पूर्ण वर्ग है और \(\sqrt{9}=3\), इसलिए यह परिमेय है। चरण 3: वर्गमूल वाले प्रश्न में पहले देखें कि अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं।
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{7}\), and \(\pi\) are all irrational. Identify square roots of perfect squares and fractions separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{7}\), \(\pi\). \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{7}\), and \(\pi\) are all irrational. Identify square roots of perfect squares and fractions separately.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{7}\) और \(\pi\) सभी अपरिमेय हैं। पूर्ण वर्ग की जड़ और भिन्न को अलग पहचानें।
An irrational number cannot be written exactly in the form \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
(14) is not a perfect square, so \(\sqrt{14}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In square-root questions, first check whether the number inside is a perfect square. चरण 1: अपरिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में ठीक-ठीक नहीं लिखा जा सकता। चरण 2: (14) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{14}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल में अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं, पहले यही जांचें।
An irrational number cannot be written exactly as a fraction.
Step 2
Why this answer is correct
(15) is not a perfect square, so \(\sqrt{15}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
For square-root options, first check whether the number inside is a perfect square. चरण 1: अपरिमेय संख्या को ठीक-ठीक भिन्न रूप में नहीं लिखा जा सकता। चरण 2: (15) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{15}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल वाले विकल्पों में अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं, पहले यही देखें।
(10) is not a perfect square, so \(\sqrt{10}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Use nearby perfect squares to locate square roots. चरण 1: (9<10<16), इसलिए \(3<\sqrt{10}<4\)। चरण 2: (10) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{10}\) अपरिमेय है। चरण 3: दो पूर्ण वर्गों के बीच की संख्या का वर्गमूल अंतराल बताता है।
An irrational number cannot be written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{2}\) is not the square root of a perfect square, so it is irrational.
Step 3
Exam Tip
If the number under a square root is not a perfect square, it is usually irrational. चरण 1: अपरिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में नहीं लिखा जा सकता। चरण 2: \(\sqrt{2}\) पूर्ण वर्ग का वर्गमूल नहीं है, इसलिए यह अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल में संख्या पूर्ण वर्ग न हो तो वह अक्सर अपरिमेय होती है।
A. \(\sqrt{3}=-\frac{p}{q}\) होगा जो असंभव है/\(\sqrt{3}=-\frac{p}{q}\) would be true which is impossible
Step 1
Concept
\(-\frac{p}{q}\) is rational so it would make \(\sqrt{3}\) rational which is false. In exams recognize the contradiction method.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{3}=-\frac{p}{q}\) होगा जो असंभव है / \(\sqrt{3}=-\frac{p}{q}\) would be true which is impossible. \(-\frac{p}{q}\) is rational so it would make \(\sqrt{3}\) rational which is false. In exams recognize the contradiction method.
Step 3
Exam Tip
\(-\frac{p}{q}\) परिमेय है इसलिए इससे \(\sqrt{3}\) परिमेय हो जाएगा जो गलत है। परीक्षा में विरोधाभास विधि पहचानें।
A. \(\sqrt{2}=-\frac{p}{q}\), इसलिए \(\sqrt{2}\) परिमेय होगा जो असंभव है/\(\sqrt{2}=-\frac{p}{q}\), so \(\sqrt{2}\) would be rational which is impossible
Step 1
Concept
Since \(-\frac{p}{q}\) is rational, this would make \(\sqrt{2}\) rational which is false. In exams recognize the contradiction method.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}=-\frac{p}{q}\), इसलिए \(\sqrt{2}\) परिमेय होगा जो असंभव है / \(\sqrt{2}=-\frac{p}{q}\), so \(\sqrt{2}\) would be rational which is impossible. Since \(-\frac{p}{q}\) is rational, this would make \(\sqrt{2}\) rational which is false. In exams recognize the contradiction method.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि \(-\frac{p}{q}\) परिमेय है, इससे \(\sqrt{2}\) परिमेय मानना पड़ेगा जो गलत है। परीक्षा में विरोधाभास विधि को पहचानें।
Here \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so the difference is \(3\sqrt{2}\), irrational; no listed expression is rational, so this item must be checked carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\sqrt{50}-\sqrt{8}\). Here \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so the difference is \(3\sqrt{2}\), irrational; no listed expression is rational, so this item must be checked carefully.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए अंतर \(3\sqrt{2}\) अपरिमेय है; सही परिमेय विकल्प नहीं दिखता, अतः ध्यान दें कि \(\sqrt{7}\sqrt{14}=7\sqrt{2}\) भी अपरिमेय है।
A. गुणनफल परिमेय या अपरिमेय दोनों हो सकता है/The product can be rational or irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\) is rational but \(\sqrt{5}\times\sqrt{2}=\sqrt{10}\) is irrational. So it depends on the case.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. गुणनफल परिमेय या अपरिमेय दोनों हो सकता है / The product can be rational or irrational. \(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\) is rational but \(\sqrt{5}\times\sqrt{2}=\sqrt{10}\) is irrational. So it depends on the case.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\) परिमेय है पर \(\sqrt{5}\times\sqrt{2}=\sqrt{10}\) अपरिमेय है। इसलिए स्थिति पर निर्भर करता है।
A. योग परिमेय या अपरिमेय दोनों हो सकता है/The sum can be rational or irrational
Step 1
Concept
(\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) is rational but \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational. So there is no single fixed rule.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. योग परिमेय या अपरिमेय दोनों हो सकता है / The sum can be rational or irrational. (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) is rational but \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational. So there is no single fixed rule.
Step 3
Exam Tip
(\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) परिमेय है पर \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय है। इसलिए एक ही स्थायी नियम नहीं है।
\(\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{36}=6\). The product of two irrational numbers is not always irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{12}\times\sqrt{3}\). \(\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{36}=6\). The product of two irrational numbers is not always irrational.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{36}=6\) है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता।
\(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\), and \(\sqrt{12}\) are all irrational. Remove options with perfect squares and rational numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \({\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{12}}\). \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\), and \(\sqrt{12}\) are all irrational. Remove options with perfect squares and rational numbers.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{12}\) सभी अपरिमेय हैं। पूर्ण वर्ग और परिमेय संख्या वाले विकल्प हटाएँ।
All numbers in the first set can be written in \(\frac{p}{q}\) form. The other sets contain an irrational number.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \({2,-5,0.4,\frac{7}{8}}\). All numbers in the first set can be written in \(\frac{p}{q}\) form. The other sets contain an irrational number.
Step 3
Exam Tip
पहले समूह की सभी संख्याएँ \(\frac{p}{q}\) रूप में लिखी जा सकती हैं। बाकी समूहों में अपरिमेय संख्या है।
\(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\), which is irrational. Multiplying equal roots can often give a rational number.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\times\sqrt{5}\). \(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\), which is irrational. Multiplying equal roots can often give a rational number.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\) है जो अपरिमेय है। समान जड़ों का गुणन अक्सर परिमेय दे सकता है।
A. इनमें परिमेय और अपरिमेय दोनों शामिल हैं/They include both rational and irrational numbers
Step 1
Concept
Real numbers form the large set of rational and irrational numbers. They can be represented on the number line.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. इनमें परिमेय और अपरिमेय दोनों शामिल हैं / They include both rational and irrational numbers. Real numbers form the large set of rational and irrational numbers. They can be represented on the number line.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक संख्याएँ परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का बड़ा समुच्चय हैं। संख्या रेखा पर इन्हें दर्शाया जा सकता है।
Integers and terminating decimals are rational. Options containing irrational roots or \(\pi\) are not only rational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (4), (-2), (0.75). Integers and terminating decimals are rational. Options containing irrational roots or \(\pi\) are not only rational.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक और सांत दशमलव परिमेय होते हैं। जिन विकल्पों में अपरिमेय जड़ या \(\pi\) है वे केवल परिमेय नहीं हैं।
\(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) is rational but \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\) is irrational. So it is not always one type.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हमेशा निश्चित नहीं / Not always fixed. \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) is rational but \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\) is irrational. So it is not always one type.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) परिमेय है लेकिन \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\) अपरिमेय है। इसलिए हमेशा एक जैसा नहीं होता।
(\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) is rational but \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational. So there is no fixed always rule.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हमेशा निश्चित नहीं / Not always fixed. (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) is rational but \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational. So there is no fixed always rule.
Step 3
Exam Tip
(\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) परिमेय है लेकिन \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय है। इसलिए हमेशा एक जैसा नियम नहीं है।
Real numbers include both rational and irrational numbers. These are placed on the number line.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वास्तविक संख्याएँ / Real numbers. Real numbers include both rational and irrational numbers. These are placed on the number line.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक संख्याओं में परिमेय और अपरिमेय दोनों शामिल होते हैं। संख्या रेखा पर इन्हीं का स्थान होता है।
B. \(\sqrt{18}\) और \(\sqrt{2}\)/\(\sqrt{18}\) and \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{18}\) and \(\sqrt{2}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3\) which is rational.
Step 3
Exam Tip
In quotients check whether the ratio inside the radical becomes a perfect square. चरण 1: \(\sqrt{18}\) और \(\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: \(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3\) परिमेय है। चरण 3: भाग में मूल के अंदर अनुपात पूर्ण वर्ग बन रहा है या नहीं यह देखें।
\(\sqrt{5}\times\sqrt{20}=\sqrt{100}=10\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Check whether the product inside the square root becomes a perfect square. चरण 1: दोनों संख्याएँ अलग-अलग अपरिमेय हैं। चरण 2: \(\sqrt{5}\times\sqrt{20}=\sqrt{100}=10\), जो परिमेय है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में गुणन के बाद मूल के अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग बन रही है या नहीं, यह देखें।
After factoring out HCF (90), (r) and (s) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
LCM (=90rs=6930), so (rs=77).
Step 3
Exam Tip
In such questions, first divide the LCM by the HCF. चरण 1: महत्तम समापवर्तक (90) बाहर निकालने पर (r) और (s) सहाभाज्य होते हैं। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य (90rs=6930), इसलिए (rs=77) है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले लघुत्तम समापवर्त्य को महत्तम समापवर्तक से भाग दें।
After taking out HCF (84), (r) and (s) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
LCM (=84rs=5460), so (rs=65).
Step 3
Exam Tip
First divide the LCM by the HCF. चरण 1: महत्तम समापवर्तक (84) बाहर निकालने पर (r) और (s) सहाभाज्य होते हैं। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य (84rs=5460), इसलिए (rs=65) है। चरण 3: पहले लघुत्तम समापवर्त्य को महत्तम समापवर्तक से भाग दें।
After factoring out HCF (81), (r) and (s) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
LCM (=81rs=4617), so (rs=57).
Step 3
Exam Tip
In such questions, first divide the LCM by the HCF. चरण 1: महत्तम समापवर्तक (81) बाहर निकालने पर (r) और (s) सहाभाज्य होते हैं। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य (81rs=4617), इसलिए (rs=57) है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले लघुत्तम समापवर्त्य को महत्तम समापवर्तक से भाग दें।
After taking out HCF (72), (r) and (s) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
LCM (=72rs=4680), so (rs=65).
Step 3
Exam Tip
First divide the LCM by the HCF. चरण 1: महत्तम समापवर्तक (72) बाहर निकालने पर (r) और (s) सहाभाज्य होते हैं। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य (72rs=4680), इसलिए (rs=65) है। चरण 3: पहले लघुत्तम समापवर्त्य को महत्तम समापवर्तक से भाग दें।
After factoring out HCF (63), (r) and (s) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
LCM (=63rs=2079), so (rs=33).
Step 3
Exam Tip
In such questions, first divide the LCM by the HCF. चरण 1: महत्तम समापवर्तक (63) बाहर निकालने पर (r) और (s) सहाभाज्य होते हैं। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य (63rs=2079), इसलिए (rs=33) है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले लघुत्तम समापवर्त्य को महत्तम समापवर्तक से भाग दें।
After factoring out HCF (40), (r) and (s) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
LCM (=40rs=1680), so (rs=42).
Step 3
Exam Tip
Factor out the HCF to make the question shorter. चरण 1: महत्तम समापवर्तक (40) बाहर निकालने पर (r) और (s) सहाभाज्य होते हैं। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य (40rs=1680), इसलिए (rs=42) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक को बाहर निकालकर प्रश्न छोटा कर लें।
After taking out HCF (18), (r) and (s) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
LCM (=18rs=990), so (rs=55).
Step 3
Exam Tip
Divide by the HCF to simplify such questions. चरण 1: महत्तम समापवर्तक (18) बाहर निकालने पर (r) और (s) सहाभाज्य होते हैं। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य (18rs=990), इसलिए (rs=55) है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में महत्तम समापवर्तक से भाग देकर काम आसान करें।
After factoring out HCF (27), the remaining numbers are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
LCM (=27rs=1215), so (rs=45).
Step 3
Exam Tip
In such questions, divide by the given HCF to simplify. चरण 1: महत्तम समापवर्तक (27) बाहर निकालने पर शेष संख्याएँ सहाभाज्य होती हैं। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य (27rs=1215), इसलिए (rs=45) है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में दिए गए महत्तम समापवर्तक से भाग देकर सोचें।
(7) and (8) are coprime, so LCM \(=6\times7\times8=336\).
Step 3
Exam Tip
Factor out the HCF and check the remaining numbers. चरण 1: जब (r) और (s) सहाभाज्य हों, तो लघुत्तम समापवर्त्य (6rs) होगा। चरण 2: (7) और (8) सहाभाज्य हैं, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(6\times7\times8=336\) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक को बाहर निकालकर बची संख्याओं को देखें।
This form makes large-number questions easier. चरण 1: जब महत्तम समापवर्तक (12) हो, तो (m) और (n) सहाभाज्य होते हैं। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य (12mn=504), इसलिए (mn=42) है। चरण 3: इस रूप में प्रश्न हल करने पर बड़ी संख्याएँ छोटी हो जाती हैं।
A. (a) और (b) का गुणनफल (30) और वे सहाभाज्य होंगे/Product of (a) and (b) is (30) and they are coprime
Step 1
Concept
If HCF is (30), the numbers can be written as (30a) and (30b), where (a) and (b) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
LCM becomes (30ab=900), so (ab=30).
Step 3
Exam Tip
Factor out the HCF to simplify such problems. चरण 1: यदि महत्तम समापवर्तक (30) है, तो संख्याएँ (30a) और (30b) लिखी जा सकती हैं जहाँ (a) और (b) सहाभाज्य होते हैं। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य (30ab=900), इसलिए (ab=30)। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में महत्तम समापवर्तक को बाहर निकालकर सोचें।
A. ऐसा कोई जोड़ा संभव नहीं/No such pair is possible
Step 1
Concept
The HCF must divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
(420) is not exactly divisible by (12), so no such pair of whole numbers is possible.
Step 3
Exam Tip
Check this necessary condition before trying pairs. चरण 1: महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का भाजक होना चाहिए। चरण 2: (420) को (12) से भाग देने पर पूर्णांक नहीं मिलता, इसलिए ऐसी दो पूर्ण संख्याएँ संभव नहीं हैं। चरण 3: जोड़ा खोजने से पहले यह आवश्यक शर्त जाँचें।
\(\sqrt{17}\) and \(\sqrt{17}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their difference is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
The difference of equal irrational terms can be rational. चरण 1: \(\sqrt{17}\) और \(\sqrt{17}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका अंतर (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: समान अपरिमेय पदों का अंतर परिमेय हो सकता है।
\(\sqrt{11}\) and \(-\sqrt{11}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Opposite irrational terms can give a rational sum. चरण 1: \(\sqrt{11}\) और \(-\sqrt{11}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: विपरीत अपरिमेय पदों का योग परिमेय हो सकता है।
Terminating decimals, fractions, and recurring decimals are rational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\), and \(\sqrt{7}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Simplifying the square-root option is a good way to check it. चरण 1: समाप्त दशमलव, भिन्न और आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। चरण 2: \(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\), और \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल वाले विकल्प को सरल करके जांचना अच्छा तरीका है।
\(\sqrt{7}\) and \(\sqrt{7}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their difference is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
The difference of equal irrational terms can be rational. चरण 1: \(\sqrt{7}\) और \(\sqrt{7}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका अंतर (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: समान अपरिमेय पदों का अंतर परिमेय हो सकता है।
\(\sqrt{5}\) and \(-\sqrt{5}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Opposite irrational terms can give a rational sum. चरण 1: \(\sqrt{5}\) और \(-\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: विपरीत अपरिमेय पदों का योग परिमेय हो सकता है।
Terminating decimals, fractions, and recurring decimals are rational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Simplify the square root to identify its nature. चरण 1: समाप्त दशमलव, भिन्न और आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। चरण 2: \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल को सरल करके उसकी प्रकृति पहचानें।
\(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{5}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their difference is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
The difference of equal irrational terms can be rational. चरण 1: \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका अंतर (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: समान अपरिमेय पदों का अंतर परिमेय परिणाम दे सकता है।
\(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Opposite irrational numbers can give a rational sum. चरण 1: \(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग (0) है, जो परिमेय संख्या है। चरण 3: विपरीत अपरिमेय संख्याएँ जोड़ने पर परिमेय परिणाम आ सकता है।
The product of two irrational numbers is not always irrational. चरण 1: \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\), जो परिमेय है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता।
The product of two irrational numbers is not always irrational. चरण 1: \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(\sqrt{3}\times\sqrt{3}=3\), जो परिमेय है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता।
In \(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{7}\), the numbers inside the roots are not perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
Hence both are irrational.
Step 3
Exam Tip
In pair questions, check both numbers, not just one. चरण 1: \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{7}\) दोनों में अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: इसलिए दोनों अपरिमेय हैं। चरण 3: युग्म वाले प्रश्न में दोनों संख्याओं की जांच जरूरी है।
Divide the total product by the given number to get the other number.
Step 2
Why this answer is correct
\(15120\div 216=70\), so the other number is (70).
Step 3
Exam Tip
In such questions, find the quotient accurately before doing any extra work. चरण 1: दूसरी संख्या पाने के लिए कुल गुणनफल को दी गई संख्या से भाग दें। चरण 2: \(15120\div 216=70\), इसलिए दूसरी संख्या (70) है। चरण 3: ऐसे प्रश्न में अतिरिक्त गणना से पहले भागफल को सही निकालें।
For two numbers, product equals HCF multiplied by LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(9\times180=1620\).
Step 3
Exam Tip
In such questions, first apply this relation and then multiply carefully. चरण 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल बराबर महत्तम समापवर्तक गुणा लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: \(9\times180=1620\)। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले यह संबंध याद करें, फिर गुणा करें।
Apply this relation directly for two numbers. चरण 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: \(6\times72=432\)। चरण 3: यह संबंध दो संख्याओं पर सीधे लागू करें।
Use this relation directly for two numbers only. चरण 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: \(4\times84=336\)। चरण 3: यह संबंध दो संख्याओं के लिए ही सीधे प्रयोग करें।
Use this formula when the question is about two numbers. चरण 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: \(5\times60=300\)। चरण 3: इस सूत्र का प्रयोग तभी करें जब दो संख्याओं की बात हो।
C. \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\sqrt{\frac{1}{4}}\) जैसे अनेक बिंदु/Many points like \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\sqrt{\frac{1}{4}}\)
Step 1
Concept
Between (0) and (1), there are infinitely many rational and irrational numbers. Between any two real numbers, more numbers can be found.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\sqrt{\frac{1}{4}}\) जैसे अनेक बिंदु / Many points like \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\sqrt{\frac{1}{4}}\). Between (0) and (1), there are infinitely many rational and irrational numbers. Between any two real numbers, more numbers can be found.
Step 3
Exam Tip
(0) और (1) के बीच परिमेय और अपरिमेय दोनों प्रकार की अनंत संख्याएं होती हैं। किसी भी दो वास्तविक संख्याओं के बीच और संख्याएं मिलती हैं।
(\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=4-3=1) which is rational. In exams remember conjugate multiplication as a counterexample.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)). (\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=4-3=1) which is rational. In exams remember conjugate multiplication as a counterexample.
Step 3
Exam Tip
(\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=4-3=1) है जो परिमेय है। परीक्षा में संयुग्मी गुणन को प्रतिउदाहरण के रूप में याद रखें।
If \(q\ne0\), then \(q\sqrt{5}\) is irrational and the sum cannot be rational. In exams check the possibility of a zero coefficient.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (q=0). If \(q\ne0\), then \(q\sqrt{5}\) is irrational and the sum cannot be rational. In exams check the possibility of a zero coefficient.
Step 3
Exam Tip
यदि \(q\ne0\), तो \(q\sqrt{5}\) अपरिमेय होगा और योग परिमेय नहीं हो सकता। परीक्षा में शून्य गुणांक की संभावना देखें।
A. \(\sqrt{8}\) और \(-\sqrt{8}\)/\(\sqrt{8}\) and \(-\sqrt{8}\)
Step 1
Concept
(\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), which is rational. In exams one counterexample is enough to disprove a universal statement.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{8}\) और \(-\sqrt{8}\) / \(\sqrt{8}\) and \(-\sqrt{8}\). (\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), which is rational. In exams one counterexample is enough to disprove a universal statement.
Step 3
Exam Tip
(\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), जो परिमेय है। परीक्षा में गलत सार्वत्रिक कथन तोड़ने के लिए एक प्रतिउदाहरण काफी है।
A. \(\sqrt{2}\) और \(3\sqrt{2}\)/\(\sqrt{2}\) and \(3\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), which is rational. In exams remember counterexamples for products of irrational numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\) और \(3\sqrt{2}\) / \(\sqrt{2}\) and \(3\sqrt{2}\). \(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), which is rational. In exams remember counterexamples for products of irrational numbers.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), जो परिमेय है। परीक्षा में अपरिमेय संख्याओं के गुणनफल के लिए प्रतिउदाहरण याद रखें।
A. \(2+\sqrt{5}\) और \(2-\sqrt{5}\)/\(2+\sqrt{5}\) and \(2-\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
The sum is (\(2+\sqrt{5}\)+\(2-\sqrt{5}\)=4), which is rational. In exams remember conjugate pairs as counterexamples.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2+\sqrt{5}\) और \(2-\sqrt{5}\) / \(2+\sqrt{5}\) and \(2-\sqrt{5}\). The sum is (\(2+\sqrt{5}\)+\(2-\sqrt{5}\)=4), which is rational. In exams remember conjugate pairs as counterexamples.
Step 3
Exam Tip
योग (\(2+\sqrt{5}\)+\(2-\sqrt{5}\)=4) है, जो परिमेय है। परीक्षा में संयुग्मी जोड़ों को प्रतिउदाहरण के रूप में याद रखें।
A. \(8+2\sqrt{15}\), अपरिमेय/\(8+2\sqrt{15}\), irrational
Step 1
Concept
\(x^2=5+3+2\sqrt{15}=8+2\sqrt{15}\), so it is irrational. In exams use ((a+b)2) carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(8+2\sqrt{15}\), अपरिमेय / \(8+2\sqrt{15}\), irrational. \(x^2=5+3+2\sqrt{15}=8+2\sqrt{15}\), so it is irrational. In exams use ((a+b)2) carefully.
Step 3
Exam Tip
\(x^2=5+3+2\sqrt{15}=8+2\sqrt{15}\), इसलिए यह अपरिमेय है। परीक्षा में ((a+b)2) का प्रयोग सावधानी से करें।
Square roots of distinct primes are different irrationals and their sum cannot be rational. In exams do not assume independent radicals can combine to a rational number.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. यह असंभव है / This is impossible. Square roots of distinct primes are different irrationals and their sum cannot be rational. In exams do not assume independent radicals can combine to a rational number.
Step 3
Exam Tip
अलग अभाज्य संख्याओं के वर्गमूल अलग अपरिमेय होते हैं और उनका योग परिमेय नहीं हो सकता। परीक्षा में स्वतंत्र वर्गमूलों को जोड़कर परिमेय न मानें।
If (x) were rational then \(\sqrt{2}+x\) would be irrational. So (x) must be irrational; remember the sum rule for rational and irrational numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (x) अपरिमेय है / (x) is irrational. If (x) were rational then \(\sqrt{2}+x\) would be irrational. So (x) must be irrational; remember the sum rule for rational and irrational numbers.
Step 3
Exam Tip
यदि (x) परिमेय होता तो \(\sqrt{2}+x\) अपरिमेय होता। इसलिए (x) अपरिमेय होना चाहिए; परीक्षा में परिमेय और अपरिमेय के योग का नियम याद रखें।
(-8) can be written as \(\frac{-8}{1}\) so it is rational. Every integer is also real.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिमेय और वास्तविक / Rational and real. (-8) can be written as \(\frac{-8}{1}\) so it is rational. Every integer is also real.
Step 3
Exam Tip
\(-8=\frac{-8}{1}\) लिखा जा सकता है इसलिए यह परिमेय है। हर पूर्णांक वास्तविक भी होता है।
A non terminating and non recurring decimal is irrational. Do not decide only by seeing it is infinite.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अपरिमेय संख्या / Irrational number. A non terminating and non recurring decimal is irrational. Do not decide only by seeing it is infinite.
Step 3
Exam Tip
अनंत और अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। केवल अनंत देखकर निर्णय न लें।
\(\sqrt{15}\) is irrational because (15) is not a perfect square. Identifying perfect squares is very useful in exams.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{15}\). \(\sqrt{15}\) is irrational because (15) is not a perfect square. Identifying perfect squares is very useful in exams.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{15}\) में (15) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानना बहुत उपयोगी है।
A. वह परिमेय संख्या होती है/It is a rational number
Step 1
Concept
A terminating decimal can be written in \(\frac{p}{q}\) form. So it is rational and real.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वह परिमेय संख्या होती है / It is a rational number. A terminating decimal can be written in \(\frac{p}{q}\) form. So it is rational and real.
Step 3
Exam Tip
सांत दशमलव को \(\frac{p}{q}\) रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए वह परिमेय और वास्तविक होता है।
A. प्रत्येक अपरिमेय संख्या वास्तविक होती है/Every irrational number is real
Step 1
Concept
Irrational numbers are a part of real numbers. But all real numbers are not irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. प्रत्येक अपरिमेय संख्या वास्तविक होती है / Every irrational number is real. Irrational numbers are a part of real numbers. But all real numbers are not irrational.
Step 3
Exam Tip
अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का भाग हैं। लेकिन सभी वास्तविक संख्याएँ अपरिमेय नहीं होतीं।
The decimal expansion of \(\pi\) is non terminating and non repeating. So it is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अपरिमेय संख्या / Irrational number. The decimal expansion of \(\pi\) is non terminating and non repeating. So it is irrational.
Step 3
Exam Tip
\(\pi\) का दशमलव अनंत और अनावर्ती है। इसलिए यह अपरिमेय संख्या है।
\(\frac{99}{9900}\) reduces to \(\frac{1}{100}\) because \(9900\div 99=100\).
Step 2
Why this answer is correct
The reduced denominator is \(100=2^2\cdot 5^2\), so the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
With large numbers, check reduction carefully by division. चरण 1: \(\frac{99}{9900}=\frac{1}{100}\) नहीं है; सही सरल रूप \(\frac{1}{100}\) तब बनता है क्योंकि \(9900\div 99=100\)। चरण 2: सरलतम हर \(100=2^2\cdot 5^2\) है, इसलिए दशमलव सांत होगा। चरण 3: बड़ी संख्याओं में भाग देकर सरलता सावधानी से जाँचें।
