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वास्तविक संख्या रेखा का प्रत्येक बिंदु एक वास्तविक संख्या को दर्शाता है। संख्या रेखा समझना तुलना में मदद करता है। / Each point on the real number line represents a real number. Understanding the number line helps in comparison.
\( \frac{6}{0} \) परिभाषित नहीं है क्योंकि हर शून्य है। वास्तविक संख्या हमेशा परिभाषित होनी चाहिए। / \( \frac{6}{0} \) is undefined because the denominator is zero. A real number must be defined.
\(81=9^2\), इसलिए \(\sqrt{81}=9\)। यहाँ वर्गमूल का अर्थ वह धनात्मक संख्या है जिसका वर्ग 81 हो। 8 का वर्ग 64 और 18 का वर्ग 324 है, इसलिए वे सही नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: 1 से 20 तक के पूर्ण वर्ग याद रखने से ऐसे प्रश्न शीघ्र हल होते हैं। / Since \(81=9^2\), \(\sqrt{81}=9\). The principal square root is the positive number whose square is 81. The squares of 8 and 18 are 64 and 324, respectively, so they are incorrect; 81 itself is the radicand, not its square root. Exam tip: Memorising common perfect squares helps solve such questions quickly.
B. इनका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती होता है/Their decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती होता है, इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प C परिमेय संख्याओं की विशेषता है, क्योंकि परिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जा सकता है। विकल्प A सांत दशमलव वाली परिमेय संख्याओं पर लागू होता है। परीक्षा में याद रखें: सांत या अनंत आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं, जबकि अनंत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होते हैं। / An irrational number has a decimal expansion that is non-terminating and non-repeating, so option B is correct. Option C describes rational numbers, which can be written as the ratio of two integers. Option A applies to rational numbers with terminating decimal expansions. Exam tip: terminating or non-terminating repeating decimals are rational, whereas non-terminating non-repeating decimals are irrational.
(0.125) समाप्त दशमलव है इसलिए यह परिमेय संख्या है। समाप्त दशमलव को भिन्न में बदला जा सकता है। / (0.125) is a terminating decimal, so it is rational. A terminating decimal can be changed into a fraction.
असमाप्त और अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। ऐसे दशमलव भी वास्तविक संख्या रेखा पर आते हैं। / A non-terminating and non-repeating decimal is irrational. Such decimals also lie on the real number line.
\( \frac{-11}{6} \) दो पूर्णांकों का अनुपात है और हर शून्य नहीं है। इसलिए यह परिमेय वास्तविक संख्या है। / \( \frac{-11}{6} \) is a ratio of two integers with non-zero denominator. So it is a rational real number.
\(17\) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{17}\) को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता और यह अपरिमेय संख्या है। यह वास्तविक संख्या भी है, क्योंकि हर धनात्मक संख्या का वर्गमूल वास्तविक होता है। विकल्प A और D परिमेय भिन्न या दशमलव हैं, जबकि विकल्प B एक पूर्णांक है; ये सभी परिमेय संख्याएँ हैं। परीक्षा-युक्ति: किसी ऐसी संख्या का वर्गमूल जो पूर्ण वर्ग नहीं है, सामान्यतः अपरिमेय होता है। / Since \(17\) is not a perfect square, \(\sqrt{17}\) cannot be expressed as the ratio of two integers, so it is irrational. It is also a real number because the square root of every positive number is real. Option A is a rational fraction, option B is an integer, and option D is a terminating decimal; all three are rational. Exam tip: The square root of a positive number that is not a perfect square is generally irrational.
\(32=16\times2\) और \(16\) एक पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=\sqrt{16}\times\sqrt{2}=4\sqrt{2}\)। अतः सही विकल्प C है। ध्यान रखें कि वर्गमूल को सरल करने के लिए उसके अंदर सबसे बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड को बाहर निकालें। / Since \(32=16\times2\) and \(16\) is a perfect square, \(\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=\sqrt{16}\times\sqrt{2}=4\sqrt{2}\). Therefore, option C is correct. Exam tip: To simplify a surd, factor the number using its largest perfect-square factor.
\(45=9\times5=3^2\times5\)। इसलिए \(\sqrt{45}=\sqrt{3^2\times5}=3\sqrt{5}\)। अतः सही उत्तर विकल्प A है। विकल्प B में 45 को \(5^2\times3\) मानने की गलती है, जबकि \(5^2\times3=75\) होता है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल को सरल करते समय संख्या के सबसे बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड को मूलचिह्न से बाहर निकालें। / \(45=9\times5=3^2\times5\). Therefore, \(\sqrt{45}=\sqrt{3^2\times5}=3\sqrt{5}\), so option A is correct. Option B results from incorrectly treating 45 as \(5^2\times3\), but \(5^2\times3=75\). Exam tip: factor the number into the largest perfect square multiplied by the remaining factor, then take the square root of the perfect square outside the radical.
\(75=25\times3\) और \(25\) एक पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=\sqrt{25}\times\sqrt{3}=5\sqrt{3}\)। विकल्प C में \(3\sqrt{5}\) प्राप्त करने के लिए गुणनखंडों को गलत ढंग से अलग किया गया है। परीक्षा-टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए सबसे बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड को बाहर निकालें। / Since \(75=25\times3\) and \(25\) is a perfect square, \(\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=\sqrt{25}\times\sqrt{3}=5\sqrt{3}\). Option C, \(3\sqrt{5}\), results from separating the factors incorrectly. Exam tip: take the largest perfect-square factor outside the square root.
\( \sqrt{2}\times\sqrt{18}=\sqrt{36}=6 \)। गुणा में वर्गमूल के अंदर की संख्याएँ गुणा करें। / \( \sqrt{2}\times\sqrt{18}=\sqrt{36}=6 \). In multiplication, multiply the numbers inside square roots.
\( \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}=\sqrt{16}=4 \)। वर्गमूल के भाग में अंदर की संख्याओं का भाग लें। / \( \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}=\sqrt{16}=4 \). In division of square roots, divide the numbers inside.
B. कथन गलत है, क्योंकि आवर्ती दशमलव परिमेय संख्या हो सकता है।/The statement is incorrect because a recurring decimal can be rational.
Explanation
Simple Explanation
विकल्प B सही है। \(0.272727\ldots\) में 27 बार-बार दोहराया जा रहा है, इसलिए यह एक आवर्ती दशमलव है और इसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है; अतः यह परिमेय संख्या है। विद्यार्थी की भूल यह है कि हर अनंत दशमलव को अपरिमेय मान लिया गया है—अनावर्ती अनंत दशमलव अपरिमेय होते हैं, जबकि आवर्ती दशमलव परिमेय हो सकते हैं। परीक्षा-युक्ति: दशमलव समाप्त हो या किसी अंक-समूह की पुनरावृत्ति हो, तो संख्या परिमेय होती है। / Option B is correct. In \(0.272727\ldots\), the block 27 repeats indefinitely, so it is a recurring decimal and can be expressed as a ratio of two integers; therefore, it is rational. The student's mistake is assuming that every non-terminating decimal is irrational. Non-terminating non-recurring decimals are irrational, whereas recurring decimals are rational. Exam tip: a terminating or recurring decimal represents a rational number.
वर्ग का विकर्ण पाइथागोरस प्रमेय से निकलेगा: \(d^2=6^2+6^2=72\), इसलिए \(d=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\) मीटर। अतः विकल्प C सही है। विकल्प A भुजा की लंबाई है और विकल्प B दो भुजाओं का योग है, विकर्ण नहीं। परीक्षा-युक्ति: वर्ग के लिए विकर्ण = भुजा \(\times\sqrt{2}\) याद रखें; इसलिए 6 मीटर की भुजा का विकर्ण \(6\sqrt{2}\) मीटर होगा, जो एक अपरिमेय वास्तविक संख्या है। / Using the Pythagorean theorem for the right triangle formed by two sides of the square, \(d^2=6^2+6^2=72\). Hence, \(d=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\) metres, so option C is correct. Option A is only the side length, while option B is the sum of two sides, not the diagonal. Exam tip: the diagonal of a square is side \(\times\sqrt{2}\); therefore, this diagonal is also an irrational real number.
\(27=9\times3\) और \(12=4\times3\), इसलिए \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) तथा \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)। अतः \(\sqrt{27}+\sqrt{12}=3\sqrt{3}+2\sqrt{3}=5\sqrt{3}\), इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प C में केवल \(\sqrt{27}\) का सरलीकरण लिया गया है, जबकि दोनों पदों को जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा में पहले पूर्ण वर्ग गुणनखंड को मूलचिह्न से बाहर निकालें। / Since \(27=9\times3\) and \(12=4\times3\), we get \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) and \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\). Therefore, \(\sqrt{27}+\sqrt{12}=3\sqrt{3}+2\sqrt{3}=5\sqrt{3}\), so option A is correct. Option C simplifies only \(\sqrt{27}\) and does not include the second term. In an exam, first factor out perfect-square factors from each radical, then combine like surds.
\( \sqrt{4}=2 \) और \( \sqrt{9}=3 \) इसलिए योग (5) है। वर्गमूलों को सीधे अंदर जोड़ना गलत है। / \( \sqrt{4}=2 \) and \( \sqrt{9}=3 \), so the sum is (5). Do not add square roots directly inside.
B. गलत, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है।
Explanation
Simple Explanation
विद्यार्थी का कथन गलत है। \(0.101001000100001\ldots\) का दशमलव प्रसार अनंत है और इसमें 1 के बीच आने वाले शून्यों की संख्या लगातार बढ़ती जाती है, इसलिए कोई निश्चित अंक-समूह बार-बार नहीं दोहरता। अनंत और अनावर्ती दशमलव संख्या अपरिमेय होती है। विकल्प A गलत है, क्योंकि केवल अनंत आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। परीक्षा-युक्ति: अनंत दशमलव को परिमेय मानने से पहले जाँचें कि वह आवर्ती है या अनावर्ती। / The student's statement is incorrect. In \(0.101001000100001\ldots\), the number of zeros between successive 1s keeps increasing, so no fixed block of digits repeats. Therefore, its decimal expansion is non-terminating and non-recurring, which makes the number irrational. Option A is wrong because only terminating or recurring decimals are rational. Exam tip: For an infinite decimal, always check whether a fixed digit pattern repeats.
\(3^2=9\) और \(4^2=16\) है इसलिए \( \sqrt{14} \) (3) और (4) के बीच है। निकटतम पूर्ण वर्ग देखें। / \(3^2=9\) and \(4^2=16\), so \( \sqrt{14} \) lies between (3) and (4). Check the nearest perfect squares.
क्योंकि 5 और 6 धनात्मक संख्याएँ हैं, इसलिए उनके वर्गों की तुलना करें: 5² = 25 और 6² = 36। 25 < 30 < 36 होने से 5 < \(\sqrt{30}\) < 6। अतः सही उत्तर विकल्प B है। ध्यान रखें कि किसी धनात्मक संख्या के वर्गमूल का अनुमान लगाने के लिए उसे निकटवर्ती पूर्ण वर्गों के बीच रखें। विकल्प A का वर्गमूल 5 से कम है, जबकि C और D के वर्गमूल 6 से अधिक हैं। / Since 5 and 6 are positive numbers, compare their squares: 5² = 25 and 6² = 36. Because 25 < 30 < 36, we get 5 < \(\sqrt{30}\) < 6. Therefore, option B is correct. Exam tip: to locate a square root, compare the number under the radical with the squares of the surrounding integers. \(\sqrt{24}\) is less than 5, while \(\sqrt{37}\) and \(\sqrt{50}\) are greater than 6.
\(\sqrt{9}=3\) होता है, क्योंकि वर्गमूल का मुख्य मान धनात्मक लिया जाता है। इसलिए बाहर लगा ऋण चिह्न परिणाम को \(-3\) बनाता है: \( -\sqrt{9}=-3 \)। विकल्प B में ऋण चिह्न की अनदेखी की गई है। परीक्षा-युक्ति: पहले वर्गमूल निकालें और फिर बाहर का चिह्न लगाएँ। / \(\sqrt{9}=3\) because the principal square root is taken as non-negative. The negative sign outside the radical then gives \( -\sqrt{9}=-3 \). Option B ignores the outside negative sign. Exam tip: evaluate the square root first, then apply any sign written outside the radical.
निरपेक्ष मान किसी संख्या की संख्या रेखा पर 0 से दूरी को दर्शाता है और यह हमेशा अशून्य संख्या के लिए धनात्मक होता है। इसलिए \( |-12|=12 \)। विकल्प A में ऋण चिह्न बनाए रखा गया है, जो निरपेक्ष मान की अवधारणा के विपरीत है। परीक्षा-युक्ति: निरपेक्ष मान निकालते समय संख्या का चिह्न हटा दें। / Absolute value represents a number’s distance from 0 on the number line, so it is positive for every non-zero number. Therefore, \( |-12|=12 \). Option A incorrectly retains the negative sign. Exam tip: when finding an absolute value, remove the sign of a negative number.
पहले कोष्ठक के अंदर घटाएँ: \(4-9=-5\)। निरपेक्ष मान संख्या की शून्य से दूरी दर्शाता है, इसलिए \(|-5|=5\)। विकल्प A में �-5� है, जो निरपेक्ष मान लगाने से पहले का मान है। परीक्षा-टिप: निरपेक्ष मान का परिणाम कभी ऋणात्मक नहीं होता। / First calculate the expression inside the absolute-value bars: \(4-9=-5\). Absolute value represents a number’s distance from zero, so \(|-5|=5\). Option A is the value before applying the absolute-value operation. Exam tip: The value of an absolute-value expression is never negative.
−0.6 एक ऋणात्मक संख्या है, इसलिए यह 0 के बाईं ओर स्थित होगी। इसका परिमाण 1 से कम है, इसलिए यह −1 के दाईं ओर होगी। अतः −0.6, −1 और 0 के बीच स्थित है। विकल्प A निकट लग सकता है, लेकिन वह धनात्मक संख्याओं का अंतराल है। परीक्षा टिप: −1 < −0.6 < 0 लिखकर स्थिति तुरंत जाँची जा सकती है। / −0.6 is negative, so it lies to the left of 0. Its absolute value is less than 1, so it lies to the right of −1. Therefore, −0.6 is between −1 and 0. Option A may seem close, but it represents an interval of positive numbers. Exam tip: Check the position by writing −1 < −0.6 < 0.
\(1.25=\frac{125}{100}=\frac{5}{4} \)। समाप्त दशमलव को (10) की घात वाले हर से लिखें। / \(1.25=\frac{125}{100}=\frac{5}{4} \). Write terminating decimals using denominators that are powers of (10).
\(2.75=\frac{275}{100}\)। अंश और हर को 25 से भाग देने पर \(\frac{275}{100}=\frac{11}{4}\) मिलता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B \(0.28\), विकल्प C लगभग \(2.27\) और विकल्प D लगभग \(0.36\) के बराबर हैं। परीक्षा में दशमलव के बाद दो अंक हों, तो पहले उसे 100 हर वाली भिन्न में बदलकर सरल करें। / \(2.75=\frac{275}{100}\). Dividing the numerator and denominator by 25 gives \(\frac{275}{100}=\frac{11}{4}\), so option A is correct. Option B equals \(0.28\), option C is approximately \(2.27\), and option D is approximately \(0.36\). Exam tip: a decimal with two digits after the decimal point can first be written over 100 and then simplified.
\(\frac{7}{8}\) को दशमलव में बदलने के लिए 7 को 8 से भाग दें। वैकल्पिक रूप से, अंश और हर को 125 से गुणा करने पर \(\frac{7}{8}=\frac{875}{1000}=0.875\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर A है। 0.78 में स्थान-मूल्य गलत है और 0.708 भी \(\frac{7}{8}\) के बराबर नहीं है। परीक्षा-युक्ति: भिन्न को 10, 100 या 1000 हर वाली भिन्न में बदलना सुविधाजनक होता है। / To convert \(\frac{7}{8}\) into a decimal, divide 7 by 8. Alternatively, multiplying the numerator and denominator by 125 gives \(\frac{7}{8}=\frac{875}{1000}=0.875\). Therefore, option A is correct. The value 0.78 has incorrect place values, and 0.708 is also not equal to \(\frac{7}{8}\). Exam tip: Convert a fraction to a denominator of 10, 100, or 1000 whenever possible.
\(9 \div 4 = 2.25\), इसलिए \(\frac{9}{4}\) का दशमलव रूप 2.25 है। हर 4, 2 की घात \(2^2\) है, इसलिए यह भिन्न समाप्त दशमलव देता है। विकल्प D में 1.25, \(\frac{5}{4}\) का मान है, \(\frac{9}{4}\) का नहीं। परीक्षा-युक्ति: भिन्न का दशमलव निकालने के लिए अंश को हर से भाग दें। / \(9 \div 4 = 2.25\), so the decimal form of \(\frac{9}{4}\) is 2.25. Since the denominator 4 is a power of 2, the fraction has a terminating decimal expansion. Option D, 1.25, is the value of \(\frac{5}{4}\), not \(\frac{9}{4}\). Exam tip: divide the numerator by the denominator to convert a fraction into decimal form.
\(0.\overline{12}\) आवर्ती दशमलव है इसलिए यह परिमेय है। हर परिमेय संख्या वास्तविक भी होती है। / \(0.\overline{12}\) is a repeating decimal, so it is rational. Every rational number is also real.
A. \( \sqrt{2} \) और \( \sqrt{8} \)/\( \sqrt{2} \) and \( \sqrt{8} \)
Explanation
Simple Explanation
\( \sqrt{2} \) और \( \sqrt{8}=2\sqrt{2} \) दोनों अपरिमेय हैं। पूर्ण वर्ग के वर्गमूल परिमेय हो सकते हैं। / \( \sqrt{2} \) and \( \sqrt{8}=2\sqrt{2} \) are both irrational. Square roots of perfect squares can be rational.
विकल्प B सही है क्योंकि −5 एक पूर्णांक है, और प्रत्येक पूर्णांक को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ \(q\neq 0\); इसलिए −5 परिमेय है। 0.4 एक समाप्त दशमलव है और \(0.4=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\), इसलिए यह भी परिमेय है। इसके विपरीत, \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{7}\) और \(\sqrt{11}\) अपरिमेय हैं तथा \(\pi\) भी अपरिमेय है। परीक्षा-युक्ति: समाप्त या आवर्ती दशमलव और सभी पूर्णांक परिमेय संख्याएँ होती हैं। / Option B is correct because −5 is an integer, and every integer can be written as \(\frac{p}{q}\) with \(q\neq 0\), so it is rational. Also, 0.4 is a terminating decimal: \(0.4=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\), so it is rational. In contrast, \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{7}\), and \(\sqrt{11}\) are irrational, and \(\pi\) is also irrational. Exam tip: Every integer and every terminating or recurring decimal is a rational number.
B. यह अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है।/It is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
संख्या 0.101001000100001… में 1 के बीच आने वाले शून्यों की संख्या लगातार बढ़ती जाती है, इसलिए इसके अंक किसी निश्चित आवर्ती क्रम में नहीं आते और दशमलव प्रसार अनंत है। अतः यह अपरिमेय संख्या है। केवल 0 और 1 अंकों का होना परिमेयता निर्धारित नहीं करता; परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार सांत या अनंत आवर्ती होता है। परीक्षा-युक्ति: अनंत और अनावर्ती दशमलव को अपरिमेय पहचानें। / In 0.101001000100001…, the number of zeros between successive 1s keeps increasing, so the digits do not follow a fixed repeating pattern and the decimal expansion is non-terminating. Therefore, the number is irrational. Merely using the digits 0 and 1 does not make a number rational; a rational number has a terminating or repeating decimal expansion. Exam tip: a non-terminating, non-repeating decimal is irrational.
\(\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\)। इसलिए \(\sqrt{50}-\sqrt{18}=5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=2\sqrt{2}\), अतः विकल्प A सही है। ध्यान रखें कि समान मूल वाले पदों को ही बीजीय पदों की तरह घटाया जा सकता है। / \(\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}\) and \(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\). Therefore, \(\sqrt{50}-\sqrt{18}=5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=2\sqrt{2}\), so option A is correct. Exam tip: only surds with the same radicand can be subtracted like algebraic terms.
अंश और हर को \( \sqrt{5} \) से गुणा करें। इससे \( \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5} \) मिलता है। / Multiply numerator and denominator by \( \sqrt{5} \). This gives \( \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5} \).
हर को परिमेय करने के लिए अंश और हर को \( \sqrt{3} \) से गुणा करें। उत्तर \( \frac{2\sqrt{3}}{3} \) है। / To rationalise the denominator, multiply numerator and denominator by \( \sqrt{3} \). The answer is \( \frac{2\sqrt{3}}{3} \).
धनात्मक संख्याओं में बड़ी संख्या का वर्गमूल बड़ा होता है। (3>2) इसलिए \( \sqrt{3}>\sqrt{2} \)। / For positive numbers, the square root of the greater number is greater. Since (3>2), \( \sqrt{3}>\sqrt{2} \).
क्योंकि दोनों संख्याएँ धनात्मक हैं, इसलिए उनके वर्गों की तुलना की जा सकती है। \(5^2=25\) और \((\sqrt{23})^2=23\)। चूँकि \(23<25\), इसलिए \(\sqrt{23}<5\), अतः सही उत्तर \(\sqrt{23}\) है। परीक्षा युक्ति: धनात्मक संख्याओं की तुलना करते समय वर्ग करना उपयोगी होता है। / Both numbers are positive, so we can compare their squares. We have \(5^2=25\) and \((\sqrt{23})^2=23\). Since \(23<25\), it follows that \(\sqrt{23}<5\). Therefore, \(\sqrt{23}\) is the smaller number. Exam tip: Squaring is a useful method for comparing positive numbers involving square roots.
\( \sqrt{5}\approx2.236 \) इसलिए \( -\sqrt{5}\approx -2.236 \) है। ( -2 ) शून्य के अधिक निकट है इसलिए बड़ी है। / \( \sqrt{5}\approx2.236 \), so \( -\sqrt{5}\approx -2.236 \). ( -2 ) is closer to zero, so it is greater.
sqrt{1}=1 , जबकि frac{3}{4}=0.75 होता है। क्योंकि 1>0.75 , इसलिए sqrt{1} बड़ी संख्या है। परीक्षा में वर्गमूल निकालकर या भिन्न को दशमलव में बदलकर तुलना करना उपयोगी रहता है। / sqrt{1}=1 , whereas frac{3}{4}=0.75 . Since 1>0.75 , sqrt{1} is the greater number. As an exam tip, simplify the square root and convert the fraction to a decimal when comparing such numbers.
दो अलग-अलग वास्तविक संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं। यह घनत्व गुण का सरल रूप है। / There are infinitely many rational numbers between two distinct real numbers. This is a simple form of the density property.
\(\sqrt{2}\) अपरिमेय संख्या है और \(1<\sqrt{2}<2\), क्योंकि \(1^2<2<2^2\)। इसलिए यह 1 और 2 के बीच स्थित है। \(\frac{3}{2}\) परिमेय है, जबकि 1 और 2 स्वयं सिरों की संख्याएँ हैं। परीक्षा-युक्ति: किसी संख्या के अपरिमेय होने के साथ-साथ दिए गए अंतराल में उसका स्थित होना भी जाँचें। / \(\sqrt{2}\) is irrational, and it lies between 1 and 2 because \(1^2<2<2^2\). Hence, it satisfies the required condition. \(\frac{3}{2}\) is rational, while 1 and 2 are the endpoints, not numbers strictly between them. Exam tip: Check both the type of number and its position in the given interval.
\(2^2<6<3^2\) इसलिए \( \sqrt{6} \) (2) और (3) के बीच है। (6) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। / Since \(2^2<6<3^2\), \( \sqrt{6} \) lies between (2) and (3). Since (6) is not a perfect square, it is irrational.
वर्गमूल वह संख्या है जिसका वर्ग दी गई संख्या के बराबर हो। क्योंकि \(0.2^2=0.04\), इसलिए \(\sqrt{0.04}=0.2\)। ध्यान रखें कि मुख्य वर्गमूल सदैव गैर-ऋणात्मक लिया जाता है; दशमलव स्थानों की जाँच करना उपयोगी है। / A square root is the number whose square equals the given number. Since \(0.2^2=0.04\), \(\sqrt{0.04}=0.2\). The principal square root is always non-negative; checking the decimal places helps avoid choosing 0.02 or 0.4.
क्योंकि \(0.5 \times 0.5 = 0.25\), इसलिए \(\sqrt{0.25}=0.5\)। वर्गमूल का मुख्य मान सदैव गैर-ऋणात्मक लिया जाता है, इसलिए \(-0.5\) उत्तर नहीं है। परीक्षा में दशमलव वर्गमूल जाँचने के लिए प्राप्त मान का वर्ग करें। / Since \(0.5 \times 0.5 = 0.25\), \(\sqrt{0.25}=0.5\). The principal square root is always non-negative, so \(-0.5\) is not taken as the answer. In an exam, verify a decimal square root by squaring the obtained value.
भिन्न के अंश और हर के वर्गमूल लेने पर \(\sqrt{\frac{49}{64}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64}}=\frac{7}{8}\) प्राप्त होता है। वर्गमूल का मुख्य मान धनात्मक लिया जाता है, इसलिए \(-\frac{7}{8}\) उत्तर नहीं होगा। परीक्षा में अंश और हर दोनों के वर्गमूल अलग-अलग सरल करना याद रखें। / Taking the square root of the numerator and denominator gives \(\sqrt{\frac{49}{64}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64}}=\frac{7}{8}\). The principal square root is taken as positive, so \(-\frac{7}{8}\) would not be the answer. In exams, simplify the numerator and denominator separately under the square root.
वर्गमूल के नियम के अनुसार, \(\sqrt{\frac{16}{81}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{81}}\) होता है। चूँकि \(\sqrt{16}=4\) और \(\sqrt{81}=9\), इसलिए मान \(\frac{4}{9}\) है। यहाँ मुख्य वर्गमूल धनात्मक लिया जाता है, इसलिए \(-\frac{4}{9}\) उत्तर नहीं होगा। परीक्षा-युक्ति: पूर्ण वर्गों के भिन्न का वर्गमूल अंश और हर के अलग-अलग वर्गमूल लेकर सरल करें। / Using the square-root property, \(\sqrt{\frac{16}{81}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{81}}\). Since \(\sqrt{16}=4\) and \(\sqrt{81}=9\), the value is \(\frac{4}{9}\). The principal square root is taken as positive, so \(-\frac{4}{9}\) is not the answer. Exam tip: For a fraction made of perfect squares, take the square root of the numerator and denominator separately.
परिमेय (2) में अपरिमेय \( \sqrt{3} \) जोड़ने पर अपरिमेय संख्या मिलती है। यह वास्तविक संख्या भी है। / Adding irrational \( \sqrt{3} \) to rational (2) gives an irrational number. It is also a real number.
परिमेय संख्या में अपरिमेय संख्या घटाने पर परिणाम अपरिमेय होता है। इसलिए \(5-\sqrt{2}\) अपरिमेय वास्तविक संख्या है। / Subtracting an irrational number from a rational number gives an irrational result. Thus \(5-\sqrt{2}\) is an irrational real number.
एक ही वर्गमूल को स्वयं से गुणा करने पर अंदर की संख्या मिलती है। इसलिए \( \sqrt{7}\times\sqrt{7}=7 \)। / Multiplying the same square root by itself gives the number inside. Therefore \( \sqrt{7}\times\sqrt{7}=7 \).
\(40=4\times10\) और \(4\) एक पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{40}=\sqrt{4\times10}=\sqrt{4}\times\sqrt{10}=2\sqrt{10}\)। विकल्प B में गुणांक अनावश्यक रूप से दोगुना हो जाता है। परीक्षा में करणी सरल करते समय radicand में से सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग बाहर निकालें। / Since \(40=4\times10\) and \(4\) is a perfect square, \(\sqrt{40}=\sqrt{4\times10}=\sqrt{4}\times\sqrt{10}=2\sqrt{10}\). In option B, the coefficient is incorrectly doubled. In an exam, factor out the largest perfect-square factor from the radicand.
