A student says that \(0.272727\ldots\) is an irrational number because its decimal expansion does not terminate. Which evaluation of the statement is correct?एक विद्यार्थी कहता है कि \(0.272727\ldots\) अपरिमेय संख्या है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार समाप्त नहीं होता। उसके कथन का सही मूल्यांकन क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: The statement is incorrect because a recurring decimal can be rational.कथन गलत है, क्योंकि आवर्ती दशमलव परिमेय संख्या हो सकता है।
Option B is correct. In \(0.272727\ldots\), the block 27 repeats indefinitely, so it is a recurring decimal and can be expressed as a ratio of two integers; therefore, it is rational. The student's mistake is assuming that every non-terminating decimal is irrational. Non-terminating non-recurring decimals are irrational, whereas recurring decimals are rational. Exam tip: a terminating or recurring decimal represents a rational number.विकल्प B सही है। \(0.272727\ldots\) में 27 बार-बार दोहराया जा रहा है, इसलिए यह एक आवर्ती दशमलव है और इसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है; अतः यह परिमेय संख्या है। विद्यार्थी की भूल यह है कि हर अनंत दशमलव को अपरिमेय मान लिया गया है—अनावर्ती अनंत दशमलव अपरिमेय होते हैं, जबकि आवर्ती दशमलव परिमेय हो सकते हैं। परीक्षा-युक्ति: दशमलव समाप्त हो या किसी अंक-समूह की पुनरावृत्ति हो, तो संख्या परिमेय होती है।
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