A student says that \(0.101001000100001\ldots\) is a rational number because its decimal expansion is infinite. Is the student's statement correct or incorrect?एक विद्यार्थी संख्या \(0.101001000100001\ldots\) को परिमेय संख्या बताता है क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत है। उसका कथन सही है या गलत?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: गलत, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है।गलत, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है।
The student's statement is incorrect. In \(0.101001000100001\ldots\), the number of zeros between successive 1s keeps increasing, so no fixed block of digits repeats. Therefore, its decimal expansion is non-terminating and non-recurring, which makes the number irrational. Option A is wrong because only terminating or recurring decimals are rational. Exam tip: For an infinite decimal, always check whether a fixed digit pattern repeats.विद्यार्थी का कथन गलत है। \(0.101001000100001\ldots\) का दशमलव प्रसार अनंत है और इसमें 1 के बीच आने वाले शून्यों की संख्या लगातार बढ़ती जाती है, इसलिए कोई निश्चित अंक-समूह बार-बार नहीं दोहरता। अनंत और अनावर्ती दशमलव संख्या अपरिमेय होती है। विकल्प A गलत है, क्योंकि केवल अनंत आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। परीक्षा-युक्ति: अनंत दशमलव को परिमेय मानने से पहले जाँचें कि वह आवर्ती है या अनावर्ती।
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