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2 वर्ग सेमी क्षेत्रफल वाले एक वर्ग के बारे में आरव कहता है, “क्षेत्रफल एक परिमेय संख्या है, इसलिए वर्ग का परिमाप भी परिमेय होगा।” आरव के कथन का सही मूल्यांकन कौन-सा है?
वर्ग की भुजा \(s=\sqrt{2}\) cm होगी, क्योंकि \(s^2=2\)। इसलिए परिमाप \(4s=4\sqrt{2}\) cm है, जो अपरिमेय है। \(2\sqrt{2}\) केवल दो भुजाओं का योग है। परीक्षा टिप: धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल तभी परिमेय होता है, जब वह पूर्ण वर्ग हो। / The side is \(s=\sqrt{2}\) cm because \(s^2=2\). Thus, the perimeter is \(4s=4\sqrt{2}\) cm, which is irrational. \(2\sqrt{2}\) represents only two sides. Exam tip: the square root of a positive integer is rational only when the integer is a perfect square.
A. अनंत और अनावर्ती/Non-terminating and non-repeating
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत या अनंत आवर्ती होता है। अतः \(\sqrt{2}\) के लिए अनंत अनावर्ती प्रसार जरूरी है। परीक्षा-टिप: केवल कई अंक दिखना प्रमाण नहीं। / A rational number has a terminating or repeating decimal expansion. Hence \(\sqrt{2}\) must be non-terminating and non-repeating. Exam tip: many displayed digits alone are not proof.
C. असांत अनावर्ती दशमलव प्रसार/Non-terminating non-recurring decimal expansion
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) अपरिमेय है, इसलिए इसका दशमलव प्रसार असांत और अनावर्ती होता है। सांत या आवर्ती दशमलव प्रसार सदैव परिमेय होते हैं। परीक्षा टिप: यही अपरिमेय संख्याओं की पहचान है। / \(\sqrt{3}\) is irrational, so its decimal expansion is non-terminating and non-recurring. Terminating or recurring decimals are always rational. Exam tip: use this decimal property to identify irrational numbers.
A. मान लें \(S=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) परिमेय है। तब \(2\sqrt{6}=S^2-5\), अतः \(\sqrt{6}\) परिमेय होगा, जो असंभव है।/Assume \(S=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is rational. Then \(2\sqrt{6}=S^2-5\), so \(\sqrt{6}\) would be rational, which is impossible.
Explanation
Simple Explanation
मान लें \(S=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) परिमेय है। तब \(S^2=5+2\sqrt{6}\), इसलिए \(\sqrt{6}=(S^2-5)/2\) परिमेय होगा, जबकि \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है। परीक्षा टिप: मूलों के योग को जाँचने के लिए उसका वर्ग करें। / Let \(S=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) be rational. Then \(S^2=5+2\sqrt{6}\), giving \(\sqrt{6}=(S^2-5)/2\) as rational, a contradiction. Exam tip: square a sum of surds to isolate the mixed radical.
A. यह सुनिश्चित करने के लिए कि भिन्न सरलतम रूप में है और \(p\) तथा \(q\) का कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है/To ensure that the fraction is in lowest terms and \(p\) and \(q\) have no common factor
Explanation
Simple Explanation
\(p\) और \(q\) को सह-अभाज्य मानने पर \(p^2=3q^2\) से 3, \(p\) को विभाजित करता है और फिर \(q\) को भी। यह उभयनिष्ठ गुणनखंड होने का विरोधाभास है। परीक्षा-टिप: ‘सरलतम रूप’ अवश्य लिखें। / If \(p^2=3q^2\), then 3 divides \(p\); substituting \(p=3k\) shows that 3 also divides \(q\). This contradicts coprimality. Exam tip: state that the fraction is in lowest terms.
आरव ने मान लिया कि \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\), जहाँ \(m\) और \(n\) सह-अभाज्य हैं। \(m^2=3n^2\) प्राप्त करने पर वह कहता है कि \(m^2\) का 3 से विभाज्य होना, \(m\) के 3 से विभाज्य होने को सिद्ध नहीं करता। आरव की त्रुटि को कौन-सा तथ्य ठीक करता है?
A. यदि कोई अभाज्य संख्या किसी पूर्णांक के वर्ग को विभाजित करती है, तो वह उस पूर्णांक को भी विभाजित करती है।/If a prime divides the square of an integer, it also divides that integer.
Explanation
Simple Explanation
\(m^2=3n^2\) से \(m^2\) 3 से विभाज्य है। 3 अभाज्य है, इसलिए \(m\) भी 3 से विभाज्य होगा; आगे \(n\) भी 3 से विभाज्य निकलता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड का नियम याद रखें। / From \(m^2=3n^2\), \(m^2\) is divisible by 3. Since 3 is prime, \(m\) must be divisible by 3; then \(n\) also becomes divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: use the prime-divides-a-square rule in such proofs.
a² = 3b² से 3, a² को विभाजित करता है। चूँकि 3 अभाज्य है, इसलिए 3, a को भी विभाजित करेगा। आगे b भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो सरलतम रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड का नियम याद रखें। / From a² = 3b², 3 divides a². Since 3 is prime, it must divide a. Then 3 also divides b, contradicting that a/b is in lowest terms. Exam tip: use the prime-divisibility rule for squares.
A. क्योंकि पहले (r) और फिर (s) दोनों सम सिद्ध होने चाहिए/Because first (r) and then (s) must both be proved even
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास सरलतम भिन्न से तभी बनता है जब अंश और हर दोनों में (2) सामान्य हो। केवल \(r^2\) सम होना मध्य चरण है। / The contradiction with lowest fraction forms only when numerator and denominator both have common factor (2). Only \(r^2\) being even is a middle step.
\(\sqrt{3}\) के अपरिमेय होने के विरोधाभास-प्रमाण में, \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) जहाँ \(\gcd(p,q)=1\), मानने पर \(p^2=3q^2\) प्राप्त होता है। \(3\mid p^2\) से कौन-सा सिद्धांत सही रूप से लागू होता है?
A. यदि कोई अभाज्य संख्या किसी पूर्ण वर्ग को विभाजित करती है, तो वह उसके आधार को भी विभाजित करती है/If a prime divides a perfect square, it also divides its base.
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(3\) अभाज्य है, \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) होता है। \(p=3k\) को \(p^2=3q^2\) में रखने पर \(3\mid q\) भी मिलता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य-विभाज्यता नियम लिखें। / Since \(3\) is prime, \(3\mid p^2\) implies \(3\mid p\). Put \(p=3k\) in \(p^2=3q^2\) to get \(3\mid q\), contradicting coprimality. Exam tip: explicitly cite the prime-divisibility rule.
C. (\gcd(r,s)=1) और (\gcd(r,s)\ge2) साथ नहीं हो सकते/(\gcd(r,s)=1) and (\gcd(r,s)\ge2) cannot both hold
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (2) सामान्य है, इसलिए महत्तम समापवर्तक कम से कम (2) होगा। यह सरलतम रूप से विरोधाभास है। / Both have common factor (2), so the HCF is at least (2). This contradicts lowest form.
\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय मानते हैं कि \(\sqrt{3}=p/q\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। \(p^2=3q^2\) से प्राप्त कौन-सा निष्कर्ष इस मान्यता का विरोध करता है?
A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं/Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से 3, \(p^2\) को विभाजित करता है; इसलिए 3, \(p\) को भी विभाजित करेगा। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, अतः 3, \(q\) को भी विभाजित करता है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या यदि वर्ग को विभाजित करे, तो आधार को भी विभाजित करती है। / From \(p^2=3q^2\), 3 divides \(p^2\), so 3 divides \(p\). Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), so 3 also divides \(q\). Thus they cannot be coprime. Exam tip: if a prime divides a square, it divides the number itself.
एक विद्यार्थी \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए मानता है कि \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\), जहाँ \(m,n\) पूर्णांक हैं। बाद में वह पाता है कि \(m\) और \(n\) दोनों सम हैं और इसे विरोधाभास कहता है। उसके तर्क में कौन-सी आवश्यक शर्त छूट गई है?
B. \(m\) और \(n\) परस्पर सह-अभाज्य हों/\(m\) and \(n\) are coprime
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास तभी मिलता है जब \(\frac{m}{n}\) को सबसे सरल रूप में लिया जाए, अर्थात \(m,n\) परस्पर सह-अभाज्य हों। दोनों का सम होना फिर असंभव है। परीक्षा में “lowest terms” शर्त अवश्य लिखें। / A contradiction arises only when \(\frac{m}{n}\) is assumed to be in lowest terms, so \(m,n\) are coprime. Otherwise, both may be even, as in \(\frac{6}{8}\). Exam tip: always state the lowest-terms condition first.
A. चूँकि \(a^2\) सम है, इसलिए \(a\) सम है; अतः \(a=2k\) लिखें, जहाँ \(k\) एक पूर्णांक है।/Since \(a^2\) is even, \(a\) is even; hence write \(a=2k\), where \(k\) is an integer.
Explanation
Simple Explanation
\(a^2=2b^2\) से \(a^2\) सम है, क्योंकि वह 2 का गुणज है। किसी पूर्णांक का वर्ग सम होने पर वह पूर्णांक भी सम होता है; इसलिए \(a=2k\), जहाँ \(k\) पूर्णांक है। सीधे \(a=2b\) लिखना गलत है, क्योंकि \(\sqrt{2b^2}=b\sqrt2\) होता है, \(2b\) नहीं। परीक्षा टिप: ऐसी अपरिमेयता-प्रमाण समस्याओं में पहले “वर्ग सम है, अतः संख्या सम है” वाला निष्कर्ष लिखें। / From \(a^2=2b^2\), \(a^2\) is even because it is a multiple of 2. If the square of an integer is even, then the integer itself is even; therefore, write \(a=2k\), where \(k\) is an integer. Writing \(a=2b\) directly is incorrect because \(\sqrt{2b^2}=b\sqrt2\), not \(2b\). Exam tip: In irrationality proofs, first state that an even square implies an even integer.
रीमा ने मान लिया कि \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), जहाँ \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। उसके प्रमाण में कौन-सा निष्कर्ष विरोधाभास स्थापित करता है?
A. \(a\) और \(b\) दोनों 3 से विभाज्य हैं/Both \(a\) and \(b\) are divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
\(a^2=3b^2\) से 3, \(a\) का गुणनखंड है। \(a=3k\) रखने पर \(b^2=3k^2\), इसलिए 3, \(b\) का भी गुणनखंड है। दोनों सह-अभाज्य नहीं रहेंगे। टिप: अभाज्य विभाजक नियम लागू करें। / From \(a^2=3b^2\), prime divisibility gives \(3\mid a\). Put \(a=3k\): then \(b^2=3k^2\), so \(3\mid b\) too. This contradicts coprimality. Exam tip: explicitly state the prime-divisor rule.
B. 3 p को विभाजित करता है, इसलिए p=3k (जहाँ k एक पूर्णांक है) लिखना चाहिए; फिर प्रतिस्थापन से q भी 3 से विभाज्य होगा
Explanation
Simple Explanation
चूँकि \(p^2=3q^2\) है, इसलिए \(p^2\) 3 से विभाज्य है। 3 अभाज्य संख्या है; अतः यदि \(p^2\) 3 से विभाज्य हो, तो \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। इसलिए \(p=3r\), जहाँ \(r\) एक पूर्णांक है। \(p=3q\) लिखना सही नहीं है, क्योंकि इससे \(p\) का सीधे \(q\) का तीन गुना होना अनिवार्य हो जाता है। परीक्षा टिप: \(a^2\) के किसी अभाज्य \(a\) से विभाज्य होने पर पहले \(a\mid p\) निष्कर्ष निकालें। / Since \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3. As 3 is prime, if \(p^2\) is divisible by 3, then \(p\) must also be divisible by 3. Hence, write \(p=3r\), where \(r\) is an integer. Writing \(p=3q\) is unjustified because it incorrectly makes \(p\) directly three times \(q\). Exam tip: when a square is divisible by a prime, first conclude that its base is divisible by that prime.
A. \(m^2=3n^2\Rightarrow m\) (3) से विभाज्य \(\Rightarrow m=3k\Rightarrow n^2=3k^2\)/\(m^2=3n^2\Rightarrow m\) divisible by \(3\Rightarrow m=3k\Rightarrow n^2=3k^2\)
Explanation
Simple Explanation
पहले (m) (3) से विभाज्य सिद्ध होता है। (m=3k) रखने के बाद ही (n) के लिए निष्कर्ष मिलता है। / First (m) is proved divisible by (3). Only after taking (m=3k), the conclusion for (n) is obtained.
B. \(\frac{a}{b}\) से (2) से घटाई जा सकने वाली छोटी भिन्न मिलती है/From \(\frac{a}{b}\), a smaller fraction reducible by (2) is obtained
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होने पर भिन्न को (2) से घटाया जा सकता है। यह सरलतम भिन्न की मान्यता के विरुद्ध है। / If both are even, the fraction can be reduced by (2). This opposes the lowest fraction assumption.
चूँकि \(3\mid p^2\) है और 3 अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\) होगा। फिर \(p=3k\) रखने पर \(3\mid q\) भी मिलता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य का वर्ग पर विभाजन देखें। / Since \(3\mid p^2\) and 3 is prime, \(3\mid p\). Putting \(p=3k\) then gives \(3\mid q\), contradicting coprimality. Exam tip: use the prime-divides-a-square property.
A. \(\frac{p}{q}\) से (3) से घटने वाली छोटी भिन्न बन सकती है/From \(\frac{p}{q}\), a smaller fraction reducible by (3) can be formed
Explanation
Simple Explanation
दोनों (3) से विभाज्य होने पर भिन्न घट सकती है। इसलिए माना गया सरलतम रूप असंभव है। / If both are divisible by (3), the fraction can be reduced. Therefore the assumed lowest form is impossible.
A. यदि \(5+\sqrt{3}\) परिमेय होता, तो उसमें से 5 घटाने पर \(\sqrt{3}\) परिमेय होता, जो असंभव है।/If \(5+\sqrt{3}\) were rational, subtracting 5 would make \(\sqrt{3}\) rational, which is impossible.
Explanation
Simple Explanation
मान लें \(5+\sqrt{3}=r\) परिमेय है। तब \(\sqrt{3}=r-5\) भी परिमेय होगा, जो विरोधाभास है। परिमेय 5 जोड़ने से संख्या परिमेय नहीं बनती। परीक्षा में घटाने का चरण लिखें। / Let \(5+\sqrt{3}=r\) be rational. Then \(\sqrt{3}=r-5\) is rational, a contradiction. Adding rational 5 cannot make it rational. Exam tip: state the subtraction step.
\(\sqrt{3}\) के अपरिमेय होने के विरोधाभास-प्रमाण में, इसे \(\frac{p}{q}\) मानने पर, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं, कौन-सा निष्कर्ष प्रारम्भिक मान्यता का विरोधाभास उत्पन्न करता है?
A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं/Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
मान्यता से \(p^2=3q^2\) मिलता है। इसलिए 3, \(p^2\) और फिर \(p\) को विभाजित करता है; इसी प्रकार 3, \(q\) को भी विभाजित करता है। यह सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा-युक्ति: अभाज्य गुणनखंड वाला नियम लिखें। / The assumption gives \(p^2=3q^2\). Thus 3 divides \(p^2\), so it divides \(p\); substituting back shows that 3 also divides \(q\). This contradicts coprimality. Exam tip: state the prime-divisor property clearly.
A. यह पूर्ण प्रमाण नहीं देता/It does not give a complete proof
Explanation
Simple Explanation
अनुमान केवल निकट मान देता है। प्रमाण के लिए (3) से विभाज्यता और विरोधाभास जरूरी है। / Approximation gives only a nearby value. Divisibility by (3) and contradiction are needed for proof.
A. \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ/where \(p,q\) सह-अभाज्य / coprime पूर्णांक / integers हैं और / and \(q\ne0\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}=p/q\) में \(p,q\) सह-अभाज्य लेते हैं। \(p^2=3q^2\) से दोनों 3 से विभाज्य निकलते हैं, जो विरोधाभास है। दोनों को पहले से गुणज मानना गलत है। टिप: न्यूनतम रूप चुनें। / Assume coprime \(p,q\) in \(\sqrt{3}=p/q\). Then \(p^2=3q^2\) makes both divisible by 3, a contradiction. Taking both as multiples of 3 initially is invalid. Tip: use lowest terms.
यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मान लिया जाए, जहाँ p और q पूर्णांक हैं, तो विरोधाभास द्वारा अपरिमेयता के प्रमाण में \(\frac{p}{q}\) को न्यूनतम रूप में लेना क्यों आवश्यक है?
A. p और q का कोई समान गुणनखंड न हो/p and q have no common factor
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से 3, p को विभाजित करता है। p को \(3k\) रखने पर 3, q को भी विभाजित करता है। यह p और q के सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। q का अभाज्य होना आवश्यक नहीं। परीक्षा टिप: पहले ‘न्यूनतम रूप’ अवश्य लिखें। / From \(p^2=3q^2\), 3 divides p. Put \(p=3k\); then 3 also divides q. This contradicts p and q being coprime. The denominator need not be prime. Exam tip: state that the fraction is in lowest terms before deriving the contradiction.
\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के विरोधाभास-प्रमाण में, \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य लिए जाते हैं। \(p^2=3q^2\) से कौन-सा निष्कर्ष प्रमाण के लिए आवश्यक है?
A. यदि \(p^2\) 3 से विभाज्य है, तो \(p\) भी 3 से विभाज्य है/If \(p^2\) is divisible by 3, then \(p\) is also divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
3 अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) मिलता है। \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य आता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा में अभाज्य गुणनखंड नियम याद रखें। / Since 3 is prime, \(3\mid p^2\) implies \(3\mid p\). Putting \(p=3k\) then shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: use the prime-factor rule for squares.
विरोधाभास विधि से \(\sqrt{2}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मानते हैं, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। कौन-सा निष्कर्ष इस मान्यता का विरोध करता है?
A. \(p\) और \(q\) दोनों सम हैं/Both \(p\) and \(q\) are even
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=2q^2\) से \(p^2\), इसलिए \(p\), सम है। \(p=2k\) रखने पर \(q\) भी सम मिलता है, जो सह-अभाज्य शर्त के विरुद्ध है। दोनों विषम होना विरोध नहीं है। टिप: भिन्न को पहले न्यूनतम रूप में लें। / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\), and hence \(p\), is even. Substituting \(p=2k\) shows that \(q\) is also even, contradicting coprimality. Both being odd gives no contradiction. Tip: always begin with lowest terms.
A. \(1.732\) को सटीक मान मानना गलत है; यह केवल सन्निकट मान है।/Treating \(1.732\) as an exact value is wrong; it is only an approximation.
Explanation
Simple Explanation
\(1.732^2=2.999824\ne3\), इसलिए 1.732 केवल सन्निकट मान है, सटीक नहीं। दशमलव बिंदु से संख्या अपरिमेय नहीं होती। परीक्षा में दावे को वर्ग करके जाँचें। / Because \(1.732^2=2.999824\ne3\), 1.732 is an approximation, not the exact value. A decimal point does not make a number irrational. Exam tip: square a claimed exact value.
एक विद्यार्थी कहता है कि यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) है, तो \(p^2=3q^2\) से केवल \(p\) के 3 से विभाज्य होने का निष्कर्ष निकलता है; \(q\) के बारे में कुछ नहीं कहा जा सकता। विद्यार्थी की त्रुटि क्या है?
B. \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, इसलिए \(q\) भी 3 से विभाज्य है/On putting \(p=3k\), we get \(q^2=3k^2\), so \(q\) is also divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य 3 यदि \(p^2\) को विभाजित करता है, तो \(p\) को भी विभाजित करेगा। \(p=3k\) रखने पर \(9k^2=3q^2\), अतः \(q^2=3k^2\) और \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सरलतम रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास के लिए अंश और हर में समान गुणनखंड दिखाइए। / Since the prime 3 divides \(p^2\), it must divide \(p\). Let \(p=3k\); then \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\), making \(q\) divisible by 3 too. This contradicts lowest terms. Exam tip: show a common factor in numerator and denominator.
एक विद्यार्थी ने मान लिया कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। वर्ग करने पर उसे \(p^2=2q^2\) मिला। वह कहता है कि \(q\) सम है, क्योंकि दायाँ पक्ष सम है। इस तर्क में पहला सही निष्कर्ष क्या होना चाहिए?
A. \(p^2\) सम है, इसलिए \(p\) सम है/\(p^2\) is even, so \(p\) is even
Explanation
Simple Explanation
चूँकि \(2q^2\) सम है, इसलिए \(p^2\) सम है। किसी पूर्णांक का वर्ग सम तभी होता है जब वह पूर्णांक सम हो; अतः \(p\) सम है। केवल \(2q^2\) के सम होने से \(q\) सम नहीं होता। परीक्षा टिप: वर्ग की सम-विषम प्रकृति पर ध्यान दें। / Since \(2q^2\) is even, \(p^2\) is even. The square of an integer is even only if the integer itself is even; hence \(p\) is even. An even value of \(2q^2\) does not directly imply that \(q\) is even. Exam tip: apply parity rules to the correct factor.
अभाज्य गुणनखंड के नियम के अनुसार, यदि अभाज्य संख्या 3, p² को विभाजित करती है, तो 3, p को भी विभाजित करेगी। √3 के प्रमाण में p² = 3q² से यही निष्कर्ष मिलता है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या के लिए यह नियम वर्ग पर भी लागू होता है। / By the prime-factor property, if the prime 3 divides p², then 3 must divide p. In the proof for √3, this follows from p² = 3q². Exam tip: remember that a prime divisor of a square is also a divisor of its base.
एक विद्यार्थी ने
मान लिया कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) पूर्णांक हैं तथा \(q\ne0\), और \(p^2=2q^2\) से निष्कर्ष निकाला कि \(p\) और \(q\) दोनों सम हैं। यदि उसने \(p\) और \(q\) को सह-अभाज्य नहीं माना था, तो यह निष्कर्ष अपने-आप विरोधाभास क्यों नहीं है?
A. क्योंकि दो सम पूर्णांक सह-अभाज्य नहीं होते; विरोधाभास तभी मिलता है जब भिन्न को पहले न्यूनतम रूप में माना गया हो।/Because two even integers are not coprime; a contradiction arises only when the fraction is assumed to be in lowest terms.
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=2q^2\) से \(p\) सम होता है। \(p=2k\) रखने पर \(q^2=2k^2\), इसलिए \(q\) भी सम है। विरोधाभास केवल सह-अभाज्य \(p,q\) के साथ बनता है। परीक्षा टिप: भिन्न को पहले न्यूनतम रूप में लें। / From \(p^2=2q^2\), \(p\) is even. Put \(p=2k\); then \(q^2=2k^2\), so \(q\) is also even. This contradicts only a coprime pair. Exam tip: always begin with a fraction in lowest terms.
विरोधाभास विधि से \(\sqrt{3}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में, \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानने पर, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं, \(p^2=3q^2\) प्राप्त होता है। इससे कौन-सा निष्कर्ष अनिवार्य है?
\(p^2=3q^2\) से 3, \(p^2\) को विभाजित करता है। 3 अभाज्य होने से वह \(p\) को भी विभाजित करेगा। फिर \(p=3k\) रखने पर 3, \(q\) को भी विभाजित करता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड वाले नियम को पहचानें। / Since \(p^2=3q^2\), 3 divides \(p^2\). As 3 is prime, it must divide \(p\). Putting \(p=3k\) then shows that 3 divides \(q\) too, contradicting coprimality. Exam tip: use the prime-divisor property for a square.
रिया
\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता का विरोधाभास द्वारा प्रमाण शुरू करते हुए मानती है कि \(\sqrt{2}=p/q\), जहाँ \(p\) और \(q\) पूर्णांक हैं। प्रमाण को वैध बनाने के लिए \(p\) और \(q\) के बारे में कौन-सी अतिरिक्त शर्त आवश्यक है?
A. \(p\) और \(q\) परस्पर अभाज्य हों/\(p\) and \(q\) are coprime
Explanation
Simple Explanation
भिन्न को न्यूनतम रूप में लेना जरूरी है। \(p^2=2q^2\) से \(p\) सम होता है; \(p=2k\) रखने पर \(q\) भी सम मिलता है, जो परस्पर अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में “न्यूनतम रूप” अवश्य लिखें। / The fraction must be in lowest terms. From \(p^2=2q^2\), \(p\) is even; putting \(p=2k\) shows that \(q\) is also even, contradicting coprimality. In exams, always state that the fraction is in lowest terms.
A. यदि \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) परिमेय हो, तो उसका वर्ग \(5+2\sqrt{6}\) परिमेय होगा; इससे \(\sqrt{6}\) परिमेय मानना पड़ेगा, जो असंभव है।
Explanation
Simple Explanation
मान लें \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) परिमेय है। वर्ग करने पर \(5+2\sqrt{6}\) परिमेय होगा, अतः \(\sqrt{6}\) भी परिमेय होना चाहिए। लेकिन 6 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है। परीक्षा टिप: दो मूलों के योग का वर्ग लेकर जाँच करें। / Assume that \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is rational. Squaring gives \(5+2\sqrt{6}\), so \(\sqrt{6}\) would have to be rational. But 6 is not a perfect square, hence \(\sqrt{6}\) is irrational. Exam tip: square a sum of surds to test such claims.
49 एक पूर्ण वर्ग है, क्योंकि \(49=7^2\); इसलिए \(\sqrt{49}=7\), जो परिमेय है। 12, 18 और 27 पूर्ण वर्ग नहीं हैं। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंडों की सभी घातें सम हों तो संख्या पूर्ण वर्ग होती है। / 49 is a perfect square because \(49=7^2\); hence \(\sqrt{49}=7\), a rational number. The numbers 12, 18, and 27 are not perfect squares. Exam tip: in prime factorisation, every exponent must be even for a perfect square.
एक विद्यार्थी विरोधाभास विधि में
\(\sqrt{3}=p/q\) मानता है, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। \(p^2=3q^2\) प्राप्त होने पर \(3\mid p\) निष्कर्ष निकालने के लिए कौन-सा कथन सही तर्क देता है?
A. यदि अभाज्य संख्या 3, \(p^2\) को विभाजित करती है, तो वह \(p\) को भी विभाजित करती है।/If the prime number 3 divides \(p^2\), then it also divides \(p\).
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। 3 अभाज्य है, इसलिए अभाज्य गुणनखंड के नियम से \(3\mid p\)। फिर \(p=3k\) रखने पर \(3\mid q\) भी मिलता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा में अभाज्य संख्या वाला नियम स्पष्ट लिखें। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\). Since 3 is prime, the prime-factor property gives \(3\mid p\). Putting \(p=3k\) then shows \(3\mid q\), contradicting coprimality. In exams, state the prime-factor property explicitly.
एक विद्यार्थी मानता है कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। प्रमाण के दौरान उसे \(p^2=3q^2\) प्राप्त होता है। विरोधाभास स्थापित करने के लिए सही निष्कर्ष क्या है?
C. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं/Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है, इसलिए \(p=3k\)। रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में दोनों चरण लिखें। / Since \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so \(p=3k\). Substituting gives \(q^2=3k^2\), hence \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. In exams, show both divisibility steps.
A. क्योंकि सही निष्कर्ष \(3\mid p\) है, (p=3q) नहीं/Because the correct conclusion is \(3\mid p\), not (p=3q)
Explanation
Simple Explanation
\(p^2\) में (3) का गुणनखंड देखकर (p) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध होता है। इससे (p=3q) जरूरी नहीं है। / Seeing factor (3) in \(p^2\) proves (p) is divisible by (3). It does not force (p=3q).
एक विद्यार्थी मानता है कि
\(\sqrt{3}\) परिमेय है और उसे सबसे सरल रूप में \(\frac{p}{q}\) लिखता है, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। \(p^2=3q^2\) से कौन-सा निष्कर्ष सही है?
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है, इसलिए \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: वर्ग पर विभाज्यता से मूल संख्या की विभाज्यता जाँचें। / Since \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so \(p\) is divisible by 3. Put \(p=3k\): then \(q^2=3k^2\), hence \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. Exam tip: use prime divisibility of a square carefully.
A. p और q दोनों सम होंगे/Both p and q will be even
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है, इसलिए \(p\) सम होगा। \(p=2k\) रखने पर \(q^2=2k^2\) मिलता है, अतः \(q\) भी सम है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में भिन्न का सबसे सरल रूप अवश्य लिखें। / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even, so \(p\) is even. Put \(p=2k\); then \(q^2=2k^2\), making \(q\) even too. This contradicts coprimality. Exam tip: state that the fraction is in lowest terms.
A. पूर्ण वर्ग में (2) की घात सम होनी चाहिए/In a perfect square, the exponent of (2) must be even
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में अभाज्य घातें सम होती हैं। यही \(2y^2\) में अतिरिक्त (2) से विरोध को समझाता है। / In a perfect square, prime exponents are even. This explains the conflict from the extra (2) in \(2y^2\).
B. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए/In a perfect square, the exponent of (3) must be even
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में सभी अभाज्य घातें सम होती हैं। \(3n^2\) में अतिरिक्त (3) घात को विषम बनाता है। / In a perfect square, all prime exponents are even. The extra (3) in \(3n^2\) makes the exponent odd.
A. \(n\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है, विरोधाभास (\gcd(m,n)=1) से आता है/\(n\neq0\) keeps the fraction defined, contradiction comes from (\gcd(m,n)=1)
Explanation
Simple Explanation
हर शून्य न होना भिन्न की शर्त है। दोनों (3) से विभाज्य होने पर सहभाज्य शर्त टूटती है। / Non-zero denominator is a condition for fraction. The coprime condition breaks when both are divisible by (3).
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास परिमेय मान्यता को अस्वीकार करता है। इसलिए विपरीत कथन अपरिमेयता सही है। / The contradiction rejects the rational assumption. Therefore the opposite statement, irrationality, is true.
A. यह सटीक विरोधाभास देता है/It gives an exact contradiction
Explanation
Simple Explanation
दशमलव अनुमान प्रमाण नहीं है। सहभाज्य भिन्न वाला तर्क अपरिमेयता को निश्चित रूप से सिद्ध करता है। / Decimal approximation is not a proof. The coprime fraction argument proves irrationality exactly.
A. क्योंकि विभाज्यता तर्क पूर्ण प्रमाण देता है/Because divisibility reasoning gives a complete proof
Explanation
Simple Explanation
अनुमान केवल निकट मान देता है। (3) से विभाज्यता और सहभाज्य विरोधाभास सही प्रमाण हैं। / Approximation gives only a nearby value. Divisibility by (3) and coprime contradiction form the correct proof.
A. दोनों में परिमेय मान्यता से सरलतम भिन्न के विरुद्ध सामान्य अभाज्य गुणनखंड मिलता है/In both, rational assumption gives a common prime factor against lowest fraction
Explanation
Simple Explanation
दोनों प्रमाण विरोधाभास विधि पर आधारित हैं। फर्क केवल सामान्य बनने वाला अभाज्य (2) या (3) है। / Both proofs are based on contradiction. The only difference is the common prime (2) or (3).
एक विद्यार्थी दावा करता है कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) है, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। \(p^2=3q^2\) से \(p\) के बारे में कौन-सा निष्कर्ष अनिवार्य है?
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\), 3 से विभाज्य है। क्योंकि 3 अभाज्य है, यदि उसका वर्ग किसी संख्या के वर्ग को विभाजित करे तो वह संख्या स्वयं 3 से विभाज्य होती है; अतः \(p=3k\)। फिर रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य निकलता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड वाले वर्ग पर यह नियम तुरंत लगाएँ। / Since \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3. As 3 is prime, divisibility of \(p^2\) by 3 implies that \(p\) itself is divisible by 3; write \(p=3k\). Substitution then makes \(q\) divisible by 3 too, contradicting coprimality. Exam tip: use the prime-divides-a-square rule in such proofs.
एक विद्यार्थी मानता है कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। वर्ग करने पर उसे \(p^2=2q^2\) मिलता है। निम्नलिखित में से कौन-सा अगला निष्कर्ष वैध है?
A. \(p\) सम है, अतः किसी पूर्णांक \(k\) के लिए \(p=2k\)।/\(p\) is even, so \(p=2k\) for some integer \(k\).
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है। किसी पूर्णांक का वर्ग सम हो तो वह पूर्णांक भी सम होता है, इसलिए \(p=2k\)। इसे रखने पर \(q\) भी सम निकलता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा में ‘वर्ग सम ⇒ संख्या सम’ नियम याद रखें। / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even. If the square of an integer is even, the integer itself is even; hence \(p=2k\). Substitution then makes \(q\) even too, contradicting coprimality. Exam tip: remember “even square implies even integer.”
A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं/Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है, इसलिए \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सरलतम रूप के विरुद्ध है। परीक्षा-टिप: अभाज्य संख्या के लिए \(p^2\) की विभाज्यता से \(p\) की विभाज्यता लिखें। / Since \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so \(p\) is divisible by 3. Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), so \(q\) is also divisible by 3. This contradicts lowest terms. Exam tip: use prime divisibility from \(p^2\) to \(p\).
