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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 17

यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मान लिया जाए, जहाँ p और q पूर्णांक हैं, तो विरोधाभास द्वारा अपरिमेयता के प्रमाण में \(\frac{p}{q}\) को न्यूनतम रूप में लेना क्यों आवश्यक है?

If \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) is assumed, where p and q are integers, why must \(\frac{p}{q}\) be taken in lowest terms in the proof by contradiction of its irrationality?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. p और q का कोई समान गुणनखंड न होp and q have no common factor

Explanation

Simple Explanation

\(p^2=3q^2\) से 3, p को विभाजित करता है। p को \(3k\) रखने पर 3, q को भी विभाजित करता है। यह p और q के सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। q का अभाज्य होना आवश्यक नहीं। परीक्षा टिप: पहले ‘न्यूनतम रूप’ अवश्य लिखें। / From \(p^2=3q^2\), 3 divides p. Put \(p=3k\); then 3 also divides q. This contradicts p and q being coprime. The denominator need not be prime. Exam tip: state that the fraction is in lowest terms before deriving the contradiction.

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यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मान लिया जाए, जहाँ p और q पूर्णांक हैं, तो विरोधाभास द्वारा अपरिमेयता के प्रमाण में \(\frac{p}{q}\) को न्यूनतम रूप में लेना क्यों आवश्यक है? / If \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) is assumed, where p and q are integers, why must \(\frac{p}{q}\) be taken in lowest terms in the proof by contradiction of its irrationality?

Correct Answer: A. p और q का कोई समान गुणनखंड न हो / p and q have no common factor. Explanation: \(p^2=3q^2\) से 3, p को विभाजित करता है। p को \(3k\) रखने पर 3, q को भी विभाजित करता है। यह p और q के सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। q का अभाज्य होना आवश्यक नहीं। परीक्षा टिप: पहले ‘न्यूनतम रूप’ अवश्य लिखें। / From \(p^2=3q^2\), 3 divides p. Put \(p=3k\); then 3 also divides q. This contradicts p and q being coprime. The denominator need not be prime. Exam tip: state that the fraction is in lowest terms before deriving the contradiction.