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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 17

मान लें कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। विरोधाभास द्वारा प्रमाण में कौन-सा निष्कर्ष असंगति उत्पन्न करता है?

Suppose \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. Which conclusion creates the contradiction in the proof by contradiction?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. p और q दोनों सम होंगेBoth p and q will be even

Explanation

Simple Explanation

\(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है, इसलिए \(p\) सम होगा। \(p=2k\) रखने पर \(q^2=2k^2\) मिलता है, अतः \(q\) भी सम है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में भिन्न का सबसे सरल रूप अवश्य लिखें। / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even, so \(p\) is even. Put \(p=2k\); then \(q^2=2k^2\), making \(q\) even too. This contradicts coprimality. Exam tip: state that the fraction is in lowest terms.

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मान लें कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। विरोधाभास द्वारा प्रमाण में कौन-सा निष्कर्ष असंगति उत्पन्न करता है? / Suppose \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. Which conclusion creates the contradiction in the proof by contradiction?

Correct Answer: A. p और q दोनों सम होंगे / Both p and q will be even. Explanation: \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है, इसलिए \(p\) सम होगा। \(p=2k\) रखने पर \(q^2=2k^2\) मिलता है, अतः \(q\) भी सम है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में भिन्न का सबसे सरल रूप अवश्य लिखें। / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even, so \(p\) is even. Put \(p=2k\); then \(q^2=2k^2\), making \(q\) even too. This contradicts coprimality. Exam tip: state that the fraction is in lowest terms.