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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 17

एक विद्यार्थी \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए मानता है कि \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\), जहाँ \(m,n\) पूर्णांक हैं। बाद में वह पाता है कि \(m\) और \(n\) दोनों सम हैं और इसे विरोधाभास कहता है। उसके तर्क में कौन-सी आवश्यक शर्त छूट गई है?

A student assumes \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\), where \(m,n\) are integers, to prove that \(\sqrt{2}\) is irrational. Later, the student finds that both \(m\) and \(n\) are even and calls this a contradiction. Which essential condition is missing from the argument?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

B. \(m\) और \(n\) परस्पर सह-अभाज्य हों\(m\) and \(n\) are coprime

Explanation

Simple Explanation

विरोधाभास तभी मिलता है जब \(\frac{m}{n}\) को सबसे सरल रूप में लिया जाए, अर्थात \(m,n\) परस्पर सह-अभाज्य हों। दोनों का सम होना फिर असंभव है। परीक्षा में “lowest terms” शर्त अवश्य लिखें। / A contradiction arises only when \(\frac{m}{n}\) is assumed to be in lowest terms, so \(m,n\) are coprime. Otherwise, both may be even, as in \(\frac{6}{8}\). Exam tip: always state the lowest-terms condition first.

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एक विद्यार्थी \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए मानता है कि \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\), जहाँ \(m,n\) पूर्णांक हैं। बाद में वह पाता है कि \(m\) और \(n\) दोनों सम हैं और इसे विरोधाभास कहता है। उसके तर्क में कौन-सी आवश्यक शर्त छूट गई है? / A student assumes \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\), where \(m,n\) are integers, to prove that \(\sqrt{2}\) is irrational. Later, the student finds that both \(m\) and \(n\) are even and calls this a contradiction. Which essential condition is missing from the argument?

Correct Answer: B. \(m\) और \(n\) परस्पर सह-अभाज्य हों / \(m\) and \(n\) are coprime. Explanation: विरोधाभास तभी मिलता है जब \(\frac{m}{n}\) को सबसे सरल रूप में लिया जाए, अर्थात \(m,n\) परस्पर सह-अभाज्य हों। दोनों का सम होना फिर असंभव है। परीक्षा में “lowest terms” शर्त अवश्य लिखें। / A contradiction arises only when \(\frac{m}{n}\) is assumed to be in lowest terms, so \(m,n\) are coprime. Otherwise, both may be even, as in \(\frac{6}{8}\). Exam tip: always state the lowest-terms condition first.