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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 17

विरोधाभास विधि से \(\sqrt{3}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में, \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानने पर, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं, \(p^2=3q^2\) प्राप्त होता है। इससे कौन-सा निष्कर्ष अनिवार्य है?

In the proof by contradiction that \(\sqrt{3}\) is irrational, suppose \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime. From \(p^2=3q^2\), which conclusion is necessary?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

C. 3, \(p\) को विभाजित करता है3 divides \(p\)

Explanation

Simple Explanation

\(p^2=3q^2\) से 3, \(p^2\) को विभाजित करता है। 3 अभाज्य होने से वह \(p\) को भी विभाजित करेगा। फिर \(p=3k\) रखने पर 3, \(q\) को भी विभाजित करता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड वाले नियम को पहचानें। / Since \(p^2=3q^2\), 3 divides \(p^2\). As 3 is prime, it must divide \(p\). Putting \(p=3k\) then shows that 3 divides \(q\) too, contradicting coprimality. Exam tip: use the prime-divisor property for a square.

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विरोधाभास विधि से \(\sqrt{3}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में, \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानने पर, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं, \(p^2=3q^2\) प्राप्त होता है। इससे कौन-सा निष्कर्ष अनिवार्य है? / In the proof by contradiction that \(\sqrt{3}\) is irrational, suppose \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime. From \(p^2=3q^2\), which conclusion is necessary?

Correct Answer: C. 3, \(p\) को विभाजित करता है / 3 divides \(p\). Explanation: \(p^2=3q^2\) से 3, \(p^2\) को विभाजित करता है। 3 अभाज्य होने से वह \(p\) को भी विभाजित करेगा। फिर \(p=3k\) रखने पर 3, \(q\) को भी विभाजित करता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड वाले नियम को पहचानें। / Since \(p^2=3q^2\), 3 divides \(p^2\). As 3 is prime, it must divide \(p\). Putting \(p=3k\) then shows that 3 divides \(q\) too, contradicting coprimality. Exam tip: use the prime-divisor property for a square.