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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 17

एक विद्यार्थी मानता है कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। प्रमाण के दौरान उसे \(p^2=3q^2\) प्राप्त होता है। विरोधाभास स्थापित करने के लिए सही निष्कर्ष क्या है?

A student assumes that \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime positive integers. During the proof, the student obtains \(p^2=3q^2\). What is the correct conclusion needed to establish a contradiction?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

C. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैंBoth \(p\) and \(q\) are divisible by 3

Explanation

Simple Explanation

\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है, इसलिए \(p=3k\)। रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में दोनों चरण लिखें। / Since \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so \(p=3k\). Substituting gives \(q^2=3k^2\), hence \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. In exams, show both divisibility steps.

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एक विद्यार्थी मानता है कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। प्रमाण के दौरान उसे \(p^2=3q^2\) प्राप्त होता है। विरोधाभास स्थापित करने के लिए सही निष्कर्ष क्या है? / A student assumes that \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime positive integers. During the proof, the student obtains \(p^2=3q^2\). What is the correct conclusion needed to establish a contradiction?

Correct Answer: C. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं / Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3. Explanation: \(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है, इसलिए \(p=3k\)। रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में दोनों चरण लिखें। / Since \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so \(p=3k\). Substituting gives \(q^2=3k^2\), hence \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. In exams, show both divisibility steps.