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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 17

रिया \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता का विरोधाभास द्वारा प्रमाण शुरू करते हुए मानती है कि \(\sqrt{2}=p/q\), जहाँ \(p\) और \(q\) पूर्णांक हैं। प्रमाण को वैध बनाने के लिए \(p\) और \(q\) के बारे में कौन-सी अतिरिक्त शर्त आवश्यक है?

While starting a proof by contradiction for the irrationality of \(\sqrt{2}\), Riya assumes that \(\sqrt{2}=p/q\), where \(p\) and \(q\) are integers. Which additional condition on \(p\) and \(q\) is necessary to make the proof valid?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(p\) और \(q\) परस्पर अभाज्य हों\(p\) and \(q\) are coprime

Explanation

Simple Explanation

भिन्न को न्यूनतम रूप में लेना जरूरी है। \(p^2=2q^2\) से \(p\) सम होता है; \(p=2k\) रखने पर \(q\) भी सम मिलता है, जो परस्पर अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में “न्यूनतम रूप” अवश्य लिखें। / The fraction must be in lowest terms. From \(p^2=2q^2\), \(p\) is even; putting \(p=2k\) shows that \(q\) is also even, contradicting coprimality. In exams, always state that the fraction is in lowest terms.

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रिया \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता का विरोधाभास द्वारा प्रमाण शुरू करते हुए मानती है कि \(\sqrt{2}=p/q\), जहाँ \(p\) और \(q\) पूर्णांक हैं। प्रमाण को वैध बनाने के लिए \(p\) और \(q\) के बारे में कौन-सी अतिरिक्त शर्त आवश्यक है? / While starting a proof by contradiction for the irrationality of \(\sqrt{2}\), Riya assumes that \(\sqrt{2}=p/q\), where \(p\) and \(q\) are integers. Which additional condition on \(p\) and \(q\) is necessary to make the proof valid?

Correct Answer: A. \(p\) और \(q\) परस्पर अभाज्य हों / \(p\) and \(q\) are coprime. Explanation: भिन्न को न्यूनतम रूप में लेना जरूरी है। \(p^2=2q^2\) से \(p\) सम होता है; \(p=2k\) रखने पर \(q\) भी सम मिलता है, जो परस्पर अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में “न्यूनतम रूप” अवश्य लिखें। / The fraction must be in lowest terms. From \(p^2=2q^2\), \(p\) is even; putting \(p=2k\) shows that \(q\) is also even, contradicting coprimality. In exams, always state that the fraction is in lowest terms.