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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 17

\(\sqrt{3}\) के अपरिमेय होने के विरोधाभास-प्रमाण में, इसे \(\frac{p}{q}\) मानने पर, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं, कौन-सा निष्कर्ष प्रारम्भिक मान्यता का विरोधाभास उत्पन्न करता है?

In a proof by contradiction that \(\sqrt{3}\) is irrational, it is assumed to be \(\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime. Which conclusion contradicts the initial assumption?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैंBoth \(p\) and \(q\) are divisible by 3

Explanation

Simple Explanation

मान्यता से \(p^2=3q^2\) मिलता है। इसलिए 3, \(p^2\) और फिर \(p\) को विभाजित करता है; इसी प्रकार 3, \(q\) को भी विभाजित करता है। यह सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा-युक्ति: अभाज्य गुणनखंड वाला नियम लिखें। / The assumption gives \(p^2=3q^2\). Thus 3 divides \(p^2\), so it divides \(p\); substituting back shows that 3 also divides \(q\). This contradicts coprimality. Exam tip: state the prime-divisor property clearly.

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\(\sqrt{3}\) के अपरिमेय होने के विरोधाभास-प्रमाण में, इसे \(\frac{p}{q}\) मानने पर, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं, कौन-सा निष्कर्ष प्रारम्भिक मान्यता का विरोधाभास उत्पन्न करता है? / In a proof by contradiction that \(\sqrt{3}\) is irrational, it is assumed to be \(\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime. Which conclusion contradicts the initial assumption?

Correct Answer: A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं / Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3. Explanation: मान्यता से \(p^2=3q^2\) मिलता है। इसलिए 3, \(p^2\) और फिर \(p\) को विभाजित करता है; इसी प्रकार 3, \(q\) को भी विभाजित करता है। यह सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा-युक्ति: अभाज्य गुणनखंड वाला नियम लिखें। / The assumption gives \(p^2=3q^2\). Thus 3 divides \(p^2\), so it divides \(p\); substituting back shows that 3 also divides \(q\). This contradicts coprimality. Exam tip: state the prime-divisor property clearly.