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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 17

\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के विरोधाभास-विधि वाले प्रमाण में \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानते समय \(p\) और \(q\) को सह-अभाज्य क्यों चुना जाता है?

In the proof by contradiction for the irrationality of \(\sqrt{3}\), why are \(p\) and \(q\) chosen to be coprime when assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. यह सुनिश्चित करने के लिए कि भिन्न सरलतम रूप में है और \(p\) तथा \(q\) का कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं हैTo ensure that the fraction is in lowest terms and \(p\) and \(q\) have no common factor

Explanation

Simple Explanation

\(p\) और \(q\) को सह-अभाज्य मानने पर \(p^2=3q^2\) से 3, \(p\) को विभाजित करता है और फिर \(q\) को भी। यह उभयनिष्ठ गुणनखंड होने का विरोधाभास है। परीक्षा-टिप: ‘सरलतम रूप’ अवश्य लिखें। / If \(p^2=3q^2\), then 3 divides \(p\); substituting \(p=3k\) shows that 3 also divides \(q\). This contradicts coprimality. Exam tip: state that the fraction is in lowest terms.

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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के विरोधाभास-विधि वाले प्रमाण में \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानते समय \(p\) और \(q\) को सह-अभाज्य क्यों चुना जाता है? / In the proof by contradiction for the irrationality of \(\sqrt{3}\), why are \(p\) and \(q\) chosen to be coprime when assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\)?

Correct Answer: A. यह सुनिश्चित करने के लिए कि भिन्न सरलतम रूप में है और \(p\) तथा \(q\) का कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है / To ensure that the fraction is in lowest terms and \(p\) and \(q\) have no common factor. Explanation: \(p\) और \(q\) को सह-अभाज्य मानने पर \(p^2=3q^2\) से 3, \(p\) को विभाजित करता है और फिर \(q\) को भी। यह उभयनिष्ठ गुणनखंड होने का विरोधाभास है। परीक्षा-टिप: ‘सरलतम रूप’ अवश्य लिखें। / If \(p^2=3q^2\), then 3 divides \(p\); substituting \(p=3k\) shows that 3 also divides \(q\). This contradicts coprimality. Exam tip: state that the fraction is in lowest terms.