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Aarav assumes that \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\), where \(m\) and \(n\) are coprime. After obtaining \(m^2=3n^2\), he says that divisibility of \(m^2\) by 3 does not prove that \(m\) is divisible by 3. Which fact corrects Aarav’s error?आरव ने मान लिया कि \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\), जहाँ \(m\) और \(n\) सह-अभाज्य हैं। \(m^2=3n^2\) प्राप्त करने पर वह कहता है कि \(m^2\) का 3 से विभाज्य होना, \(m\) के 3 से विभाज्य होने को सिद्ध नहीं करता। आरव की त्रुटि को कौन-सा तथ्य ठीक करता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: If a prime divides the square of an integer, it also divides that integer.यदि कोई अभाज्य संख्या किसी पूर्णांक के वर्ग को विभाजित करती है, तो वह उस पूर्णांक को भी विभाजित करती है।
From \(m^2=3n^2\), \(m^2\) is divisible by 3. Since 3 is prime, \(m\) must be divisible by 3; then \(n\) also becomes divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: use the prime-divides-a-square rule in such proofs.\(m^2=3n^2\) से \(m^2\) 3 से विभाज्य है। 3 अभाज्य है, इसलिए \(m\) भी 3 से विभाज्य होगा; आगे \(n\) भी 3 से विभाज्य निकलता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड का नियम याद रखें।
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