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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 17

\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के विरोधाभास-प्रमाण में, \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य लिए जाते हैं। \(p^2=3q^2\) से कौन-सा निष्कर्ष प्रमाण के लिए आवश्यक है?

In the proof by contradiction for the irrationality of \(\sqrt{3}\), assume \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime. Which conclusion from \(p^2=3q^2\) is essential for the proof?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. यदि \(p^2\) 3 से विभाज्य है, तो \(p\) भी 3 से विभाज्य हैIf \(p^2\) is divisible by 3, then \(p\) is also divisible by 3

Explanation

Simple Explanation

3 अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) मिलता है। \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य आता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा में अभाज्य गुणनखंड नियम याद रखें। / Since 3 is prime, \(3\mid p^2\) implies \(3\mid p\). Putting \(p=3k\) then shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: use the prime-factor rule for squares.

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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के विरोधाभास-प्रमाण में, \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य लिए जाते हैं। \(p^2=3q^2\) से कौन-सा निष्कर्ष प्रमाण के लिए आवश्यक है? / In the proof by contradiction for the irrationality of \(\sqrt{3}\), assume \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime. Which conclusion from \(p^2=3q^2\) is essential for the proof?

Correct Answer: A. यदि \(p^2\) 3 से विभाज्य है, तो \(p\) भी 3 से विभाज्य है / If \(p^2\) is divisible by 3, then \(p\) is also divisible by 3. Explanation: 3 अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) मिलता है। \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य आता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा में अभाज्य गुणनखंड नियम याद रखें। / Since 3 is prime, \(3\mid p^2\) implies \(3\mid p\). Putting \(p=3k\) then shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: use the prime-factor rule for squares.