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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 17

एक विद्यार्थी कहता है कि यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) है, तो \(p^2=3q^2\) से केवल \(p\) के 3 से विभाज्य होने का निष्कर्ष निकलता है; \(q\) के बारे में कुछ नहीं कहा जा सकता। विद्यार्थी की त्रुटि क्या है?

A student says that if \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), then \(p^2=3q^2\) only implies that \(p\) is divisible by 3; nothing can be concluded about \(q\). What is the student's error?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

B. \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, इसलिए \(q\) भी 3 से विभाज्य हैOn putting \(p=3k\), we get \(q^2=3k^2\), so \(q\) is also divisible by 3

Explanation

Simple Explanation

अभाज्य 3 यदि \(p^2\) को विभाजित करता है, तो \(p\) को भी विभाजित करेगा। \(p=3k\) रखने पर \(9k^2=3q^2\), अतः \(q^2=3k^2\) और \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सरलतम रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास के लिए अंश और हर में समान गुणनखंड दिखाइए। / Since the prime 3 divides \(p^2\), it must divide \(p\). Let \(p=3k\); then \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\), making \(q\) divisible by 3 too. This contradicts lowest terms. Exam tip: show a common factor in numerator and denominator.

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एक विद्यार्थी कहता है कि यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) है, तो \(p^2=3q^2\) से केवल \(p\) के 3 से विभाज्य होने का निष्कर्ष निकलता है; \(q\) के बारे में कुछ नहीं कहा जा सकता। विद्यार्थी की त्रुटि क्या है? / A student says that if \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), then \(p^2=3q^2\) only implies that \(p\) is divisible by 3; nothing can be concluded about \(q\). What is the student's error?

Correct Answer: B. \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, इसलिए \(q\) भी 3 से विभाज्य है / On putting \(p=3k\), we get \(q^2=3k^2\), so \(q\) is also divisible by 3. Explanation: अभाज्य 3 यदि \(p^2\) को विभाजित करता है, तो \(p\) को भी विभाजित करेगा। \(p=3k\) रखने पर \(9k^2=3q^2\), अतः \(q^2=3k^2\) और \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सरलतम रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास के लिए अंश और हर में समान गुणनखंड दिखाइए। / Since the prime 3 divides \(p^2\), it must divide \(p\). Let \(p=3k\); then \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\), making \(q\) divisible by 3 too. This contradicts lowest terms. Exam tip: show a common factor in numerator and denominator.