यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=3x-5) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=3x-5), which statement about (f) is correct?
#one-one function
#linear function
#class 12
#pyq pattern
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? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) सभी (x) पर स्थिर है / (f) is constant for all (x)
D (f) केवल धनात्मक संख्याओं पर एक-एक है / (f) is one-one only on positive numbers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
एक-एक फलन में अलग-अलग आगतों के प्रतिबिंब अलग होने चाहिए। / In a one-one function different inputs must give different images.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(3x_1-5=3x_2-5\), तो \(x_1=x_2\) मिलता है। / From \(3x_1-5=3x_2-5\), we get \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में (x) का गुणांक शून्य न हो तो वह एक-एक होता है। / A linear function with non-zero coefficient of (x) is one-one.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x-2 ) है, तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।
If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x-2 ), choose the correct statement for (f).
#restricted domain
#quadratic function
#one-one function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) परिभाषित नहीं है / (f) is not defined
D (f) का प्रत्येक मान ऋणात्मक है / Every value of (f) is negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
यहां प्रांत में केवल (0) और धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं। / The domain contains only (0) and positive real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(x_1^2=x_2^2\) और \(x_1,x_2\ge 0\), तो \(x_1=x_2\) होगा। / If \(x_1^2=x_2^2\) and \(x_1,x_2\ge 0\), then \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
प्रांत बदलने से एक ही नियम वाला फलन एक-एक बन सकता है। / Changing the domain can make the same rule one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=2x-3 +1) है, तो (f) का स्वभाव क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=2x-3 +1), what is the nature of (f)?
#cubic function
#one-one function
#real functions
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एक-एक / One-one
B एक-एक नहीं / Not one-one
C केवल सम संख्याओं पर परिभाषित / Defined only on even numbers
D स्थिर / Constant
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Correct Answer
A. एक-एक / One-one
Step 1
Concept
घन फलन वास्तविक संख्याओं पर क्रम बनाए रखता है। / The cube function preserves order on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(2x_1^3+1=2x_2^3+1\) से \(x_1^3=x_2^3\), इसलिए \(x_1=x_2\) मिलता है। / From \(2x_1^3+1=2x_2^3+1\), we get \(x_1^3=x_2^3\), so \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
विषम घात वाले सरल बढ़ते फलन अक्सर एक-एक होते हैं। / Simple increasing odd-power functions are often one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=|x-2|) है, तो (f) एक-एक है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|x-2|), is (f) one-one?
#absolute value
#one-one function
#counterexample
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A नहीं क्योंकि (f(1)=f(3)) / No because (f(1)=f(3))
B हाँ क्योंकि हर मान अलग है / Yes because every value is different
C हाँ क्योंकि परास धनात्मक है / Yes because the range is positive
D नहीं क्योंकि (f(2)) परिभाषित नहीं है / No because (f(2)) is not defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. नहीं क्योंकि (f(1)=f(3)) / No because (f(1)=f(3))
Step 1
Concept
निरपेक्ष मान वाले फलन में केंद्र से बराबर दूरी वाले आगत समान मान दे सकते हैं। / In an absolute value function inputs equally distant from the center can give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
\(1\neq 3\), लेकिन (f(1)=1) और (f(3)=1) है। / \(1\neq 3\), but (f(1)=1) and (f(3)=1).
Step 3
Exam Tip
समान प्रतिबिंब मिलते ही फलन एक-एक नहीं रहता। / One repeated image is enough to reject one-one nature.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) से \(B=\{a,b,c,d\}\) तक फलन (f) के लिए (f(1)=a), (f(2)=b), (f(3)=a) है। सही कथन चुनिए।
For a function (f) from \(A=\{1,2,3\}\) to \(B=\{a,b,c,d\}\), (f(1)=a), (f(2)=b), (f(3)=a). Choose the correct statement.
#finite function
#mapping
#one-one function
#class 12
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? Hint Small clue
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) फलन ही नहीं है / (f) is not a function
D (f) केवल (B) पर निर्भर है / (f) depends only on (B)
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Correct Answer
A. (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
Step 1
Concept
एक-एक फलन में (A) के दो अलग तत्व (B) के एक ही तत्व पर नहीं जा सकते। / In a one-one function two different elements of (A) cannot map to the same element of (B).
Step 2
Why this answer is correct
यहां \(1\neq 3\), लेकिन दोनों का प्रतिबिंब (a) है। / Here \(1\neq 3\), but both have image (a).
Step 3
Exam Tip
तालिका वाले प्रश्न में पहले दोहराया प्रतिबिंब खोजें। / In mapping-table questions first look for repeated images.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-3 -x) है, तो (f) के बारे में सही कारण सहित कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 -x), choose the correct statement with reason.
#cubic polynomial
#counterexample
#one-one function
#class 12
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? Hint Small clue
A यह एक-एक नहीं है क्योंकि (f(-1)=f(0)=f(1)) / It is not one-one because (f(-1)=f(0)=f(1))
B यह एक-एक है क्योंकि इसमें \(x^3\) है / It is one-one because it contains \(x^3\)
C यह स्थिर है / It is constant
D यह केवल (x=0) पर परिभाषित है / It is defined only at (x=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह एक-एक नहीं है क्योंकि (f(-1)=f(0)=f(1)) / It is not one-one because (f(-1)=f(0)=f(1))
Step 1
Concept
केवल घन पद देखकर निष्कर्ष नहीं निकालना चाहिए। / Do not decide only by seeing the cubic term.
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=0), (f(0)=0), और (f(1)=0) है। / (f(-1)=0), (f(0)=0), and (f(1)=0).
Step 3
Exam Tip
तीन अलग आगतों का समान मान मिलना एक-एक होने को तुरंत गलत कर देता है। / Same image for different inputs immediately disproves one-one nature.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) तथा (f(x)=2^x) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) and (f(x)=2^x), what is the correct statement about (f)?
#exponential function
#one-one function
#class 12
#hard
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? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) शून्य मान देता है / (f) gives zero value
D (f) ऋणात्मक मान देता है / (f) gives negative values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
\(2^x\) वास्तविक संख्याओं पर लगातार बढ़ता है। / \(2^x\) is strictly increasing on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(2^{x_1}=2^{x_2}\), तो \(x_1=x_2\) होता है। / If \(2^{x_1}=2^{x_2}\), then \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में आधार (1) से बड़ा हो तो वह एक-एक होता है। / An exponential function with base greater than (1) is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[-1,1]\) तथा (f(x)=\sin x) है, तो (f) एक-एक क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to[-1,1]\) and (f(x)=\sin x), why is (f) not one-one?
#trigonometric function
#sine
#one-one function
#class 12
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? Hint Small clue
A क्योंकि (f(0)=f\(\pi\)) / Because (f(0)=f\(\pi\))
B क्योंकि \(\sin x\) कभी शून्य नहीं होता / Because \(\sin x\) is never zero
C क्योंकि (f) केवल धनात्मक है / Because (f) is only positive
D क्योंकि (f) परिभाषित नहीं है / Because (f) is not defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (f(0)=f\(\pi\)) / Because (f(0)=f\(\pi\))
Step 1
Concept
त्रिकोणमितीय फलन पूरे वास्तविक प्रांत पर दोहराव वाला व्यवहार रखते हैं। / Trigonometric functions repeat values over the full real domain.
Step 2
Why this answer is correct
\(0\neq \pi\), लेकिन \(\sin 0=0\) और \(\sin \pi=0\) है। / \(0\neq \pi\), but \(\sin 0=0\) and \(\sin \pi=0\).
Step 3
Exam Tip
आवर्ती फलन अक्सर पूरे वास्तविक प्रांत पर एक-एक नहीं होते। / Periodic functions are usually not one-one on the whole real domain.
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यदि \(f:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to[-1,1]\) तथा (f(x)=\sin x) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to[-1,1]\) and (f(x)=\sin x), choose the correct statement about (f).
#restricted domain
#sine function
#one-one function
#class 12
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? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) केवल (0) पर परिभाषित है / (f) is defined only at (0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) लगातार बढ़ता है। / On the given interval \(\sin x\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए दो अलग (x) के लिए समान \(\sin x\) नहीं मिलता। / So two different (x)-values do not give the same sine value.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में प्रांत सीमित करना बहुत महत्वपूर्ण होता है। / Restricting the domain is very important for trigonometric functions.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\(0,\infty\)) तथा (f(x)=\frac{1}{x}) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If (f:\(0,\infty\)\to\(0,\infty\)) and (f(x)=\frac{1}{x}), what is the correct statement about (f)?
#reciprocal function
#one-one function
#domain
#class 12
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? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) हर जगह शून्य है / (f) is zero everywhere
D (f) (x=0) पर भी परिभाषित है / (f) is also defined at (x=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
\(\frac{1}{x}\) में समान मान मानकर जांच करें। / Test the function by assuming equal images.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}\), तो \(x_1=x_2\) मिलता है। / If \(\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}\), then \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
भिन्न वाले फलन में प्रांत देखकर ही निष्कर्ष निकालें। / For reciprocal functions always check the domain first.
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यदि \(f:\mathbb{R}-{0}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\frac{1}{x}) है, तो (f) एक-एक है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}-{0}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{1}{x}), is (f) one-one?
#reciprocal function
#real domain
#one-one function
#hard
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? Hint Small clue
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (x>0) के लिए / Only for (x>0)
D केवल (x<0) के लिए / Only for (x<0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
प्रांत में शून्य को हटाया गया है, इसलिए फलन ठीक से परिभाषित है। / Zero is removed from the domain, so the function is well-defined.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}\) से \(x_1=x_2\) मिलता है। / From \(\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}\), we get \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक और धनात्मक दोनों भाग मिलकर भी यहां एक-एकता नहीं बिगाड़ते। / Negative and positive parts together do not destroy injectivity here.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\frac{x}{1+x-2 }) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{x}{1+x-2 }), choose the correct statement about (f).
#rational function
#counterexample
#one-one function
#class 12
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A (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\)) / (f) is not one-one because (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) परिभाषित नहीं है / (f) is not defined
D (f) स्थिर है / (f) is constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\)) / (f) is not one-one because (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))
Step 1
Concept
समान प्रतिबिंब खोजकर एक-एकता की जांच की जा सकती है। / Injectivity can be checked by finding repeated images.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=\frac{2}{5}) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{2}{5}) है, जबकि \(2\neq \frac{1}{2}\)। / (f(2)=\frac{2}{5}) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{2}{5}), while \(2\neq \frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
भिन्न रूप देखकर तुरंत एक-एक न मानें। / Do not assume a rational expression is one-one without testing.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-5 +x) है, तो (f) एक-एक क्यों है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-5 +x), why is (f) one-one?
#increasing function
#polynomial
#one-one function
#class 12
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? Hint Small clue
A क्योंकि (x) बढ़ने पर \(x^5+x\) बढ़ता है / Because \(x^5+x\) increases as (x) increases
B क्योंकि (f(1)=f(-1)) / Because (f(1)=f(-1))
C क्योंकि फलन स्थिर है / Because the function is constant
D क्योंकि हर मान ऋणात्मक है / Because every value is negative
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Correct Answer
A. क्योंकि (x) बढ़ने पर \(x^5+x\) बढ़ता है / Because \(x^5+x\) increases as (x) increases
Step 1
Concept
\(x^5\) और (x) दोनों वास्तविक संख्याओं पर बढ़ते हैं। / Both \(x^5\) and (x) increase on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
इनका योग भी बढ़ने वाला फलन बनाता है, इसलिए अलग आगत अलग मान देंगे। / Their sum also increases, so different inputs give different values.
Step 3
Exam Tip
बढ़ते हुए फलन को एक-एक पहचानने में जल्दी मिलती है। / A strictly increasing function is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\) तथा (f(x)=\lfloor x\rfloor) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\) and (f(x)=\lfloor x\rfloor), what is the correct statement about (f)?
#greatest integer function
#one-one function
#counterexample
#class 12
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? Hint Small clue
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) सभी वास्तविक संख्याओं को अलग पूर्णांक देता है / (f) gives a different integer to every real number
D (f) परिभाषित नहीं है / (f) is not defined
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Correct Answer
A. (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
Step 1
Concept
महत्तम पूर्णांक फलन कई वास्तविक संख्याओं को एक ही पूर्णांक देता है। / The greatest integer function maps many real numbers to the same integer.
Step 2
Why this answer is correct
जैसे (f(1.2)=1) और (f(1.8)=1), जबकि \(1.2\neq 1.8\)। / For example (f(1.2)=1) and (f(1.8)=1), while \(1.2\neq 1.8\).
Step 3
Exam Tip
सीढ़ी जैसे फलन सामान्यतः एक-एक नहीं होते। / Step-like functions are generally not one-one.
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यदि (A) में (4) तत्व और (B) में (3) तत्व हैं, तो (A) से (B) तक एक-एक फलन की संभावना के बारे में सही कथन क्या है?
If (A) has (4) elements and (B) has (3) elements, what is the correct statement about the possibility of a one-one function from (A) to (B)?
#finite sets
#pigeonhole principle
#one-one function
#class 12
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? Hint Small clue
A ऐसा एक-एक फलन संभव नहीं है / Such a one-one function is not possible
B ठीक (12) फलन संभव हैं / Exactly (12) functions are possible
C ठीक (24) फलन संभव हैं / Exactly (24) functions are possible
D हर फलन एक-एक होगा / Every function will be one-one
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Correct Answer
A. ऐसा एक-एक फलन संभव नहीं है / Such a one-one function is not possible
Step 1
Concept
एक-एक फलन में (A) के अलग तत्वों को (B) के अलग तत्व चाहिए। / A one-one function needs distinct images in (B) for distinct elements of (A).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (4) तत्व हैं लेकिन (B) में केवल (3) तत्व हैं। / (A) has (4) elements but (B) has only (3) elements.
Step 3
Exam Tip
जब प्रांत बड़ा और सहप्रांत छोटा हो, तो एक-एक फलन असंभव हो सकता है। / If the domain is larger than the codomain, a one-one function may be impossible.
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यदि (|A|=3) और (|B|=5) है, तो (A) से (B) तक एक-एक फलनों की संख्या क्या होगी?
If (|A|=3) and (|B|=5), how many one-one functions are there from (A) to (B)?
#counting functions
#permutation
#one-one function
#class 12
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? Hint Small clue
A (60)
B (15)
C (125)
D (8)
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Step 1
Concept
एक-एक फलन में (A) के तीन तत्वों के लिए (B) से तीन अलग प्रतिबिंब चुनने होते हैं। / For a one-one function the three elements of (A) need three distinct images from (B).
Step 2
Why this answer is correct
संख्या \(^{5}P_{3}=5\cdot4\cdot3=60\) होगी। / The number is \(^{5}P_{3}=5\cdot4\cdot3=60\).
Step 3
Exam Tip
एक-एक फलन गिनते समय क्रमचय का प्रयोग करें। / Use permutations when counting one-one functions.
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यदि (|A|=4) और (|B|=4) है, तो (A) से (B) तक एक-एक फलनों की संख्या क्या है?
If (|A|=4) and (|B|=4), what is the number of one-one functions from (A) to (B)?
#finite sets
#bijection
#counting one-one functions
#class 12
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? Hint Small clue
A (24)
B (16)
C (256)
D (4)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
दोनों समुच्चयों में (4) तत्व हैं। / Both sets have (4) elements.
Step 2
Why this answer is correct
एक-एक फलन के लिए (B) के सभी (4) तत्व अलग-अलग ढंग से लगेंगे, इसलिए संख्या (4!=24) है। / For a one-one function all (4) elements of (B) are arranged distinctly, so the number is (4!=24).
Step 3
Exam Tip
बराबर आकार वाले सीमित समुच्चयों में एक-एक फलन साथ ही आच्छादक भी होता है। / Between finite sets of equal size a one-one function is also onto.
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यदि \(f:A\to B\) और \(g:B\to C\) दोनों एक-एक हैं, तो \(g\circ f\) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:A\to B\) and \(g:B\to C\) are both one-one, what is the correct statement about \(g\circ f\)?
#composition of functions
#injective function
#one-one function
#class 12
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? Hint Small clue
A \(g\circ f\) एक-एक है / \(g\circ f\) is one-one
B \(g\circ f\) कभी एक-एक नहीं होता / \(g\circ f\) is never one-one
C \(g\circ f\) फलन नहीं है / \(g\circ f\) is not a function
D इसका निर्णय असंभव है / It cannot be decided
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(g\circ f\) एक-एक है / \(g\circ f\) is one-one
Step 1
Concept
मान लें (\(g\circ f\)\(x_1\)=\(g\circ f\)\(x_2\))। / Assume (\(g\circ f\)\(x_1\)=\(g\circ f\)\(x_2\)).
Step 2
Why this answer is correct
(g) एक-एक है, इसलिए (f\(x_1\)=f\(x_2\)), और (f) एक-एक है, इसलिए \(x_1=x_2\)। / Since (g) is one-one, (f\(x_1\)=f\(x_2\)), and since (f) is one-one, \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
दो एक-एक फलनों का संयोजन भी एक-एक होता है। / The composition of two one-one functions is one-one.
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यदि \(g\circ f\) एक-एक है, तो निम्न में से कौन सा कथन निश्चित रूप से सही है?
If \(g\circ f\) is one-one, which of the following statements is definitely true?
#composition
#necessary condition
#one-one function
#class 12
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A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (g) एक-एक है / (g) is one-one
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (g) स्थिर है / (g) is constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
(\(g\circ f\)) की एक-एकता में पहला फलन (f) दो अलग आगतों को एक ही मान नहीं दे सकता। / If \(g\circ f\) is one-one, the first function (f) cannot send two different inputs to the same value.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (f\(x_1\)=f\(x_2\)), तो (\(g\circ f\)\(x_1\)=\(g\circ f\)\(x_2\)), इसलिए \(x_1=x_2\)। / If (f\(x_1\)=f\(x_2\)), then (\(g\circ f\)\(x_1\)=\(g\circ f\)\(x_2\)), so \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
\(g\circ f\) एक-एक हो तो (f) जरूर एक-एक होता है। / If \(g\circ f\) is one-one, then (f) must be one-one.
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यदि \(g\circ f\) एक-एक है, तो (g) के बारे में कौन सा कथन सही है?
If \(g\circ f\) is one-one, which statement about (g) is correct?
#composition
#injectivity
#one-one function
#conceptual
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (g) का एक-एक होना जरूरी नहीं है / (g) need not be one-one
B (g) हमेशा एक-एक होगा / (g) will always be one-one
C (g) हमेशा स्थिर होगा / (g) will always be constant
D (g) फलन नहीं हो सकता / (g) cannot be a function
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Correct Answer
A. (g) का एक-एक होना जरूरी नहीं है / (g) need not be one-one
Step 1
Concept
\(g\circ f\) केवल (f) के परास पर (g) के व्यवहार को देखता है। / \(g\circ f\) only uses the behavior of (g) on the range of (f).
Step 2
Why this answer is correct
(g) पूरे प्रांत पर एक-एक न हो, फिर भी (f) के परास पर अलग मान दे सकता है। / (g) may fail to be one-one on its full domain but still behave distinctly on the range of (f).
Step 3
Exam Tip
संयोजन वाले प्रश्नों में पूरे प्रांत और प्रयुक्त भाग में अंतर समझें। / In composition questions distinguish the whole domain from the used part.
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यदि कोई फलन \(f:A\to B\) एक-एक है, तो उसके प्रतिलोम संबंध के बारे में सही कथन क्या है?
If a function \(f:A\to B\) is one-one, what is the correct statement about its inverse relation?
#inverse relation
#invertible function
#one-one function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A प्रतिलोम संबंध (f(A)) से (A) तक फलन होता है / The inverse relation is a function from (f(A)) to (A)
B प्रतिलोम संबंध कभी फलन नहीं होता / The inverse relation is never a function
C प्रतिलोम संबंध केवल तब बनता है जब (A) रिक्त हो / The inverse relation exists only when (A) is empty
D प्रतिलोम संबंध हमेशा स्थिर होता है / The inverse relation is always constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. प्रतिलोम संबंध (f(A)) से (A) तक फलन होता है / The inverse relation is a function from (f(A)) to (A)
Step 1
Concept
एक-एक फलन में हर प्रतिबिंब का केवल एक मूल आगत होता है। / In a one-one function every image has only one original input.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए उल्टा करने पर (f(A)) के हर तत्व को (A) का एक ही तत्व मिलेगा। / So when reversed, each element of (f(A)) gets exactly one element of (A).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम फलन के लिए एक-एकता मुख्य शर्त है। / Injectivity is the key condition for an inverse to be a function.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=ax+b) है, तो (f) कब एक-एक होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=ax+b), when will (f) be one-one?
#linear function
#parameter
#one-one function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A जब \(a\neq0\) / When \(a\neq0\)
B जब (a=0) / When (a=0)
C जब (b=0) ही हो / Only when (b=0)
D कभी नहीं / Never
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Correct Answer
A. जब \(a\neq0\) / When \(a\neq0\)
Step 1
Concept
रैखिक फलन में (a) ही (x) के परिवर्तन को नियंत्रित करता है। / In a linear function (a) controls the change with (x).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a\neq0\), तो \(ax_1+b=ax_2+b\) से \(x_1=x_2\) मिलता है। / If \(a\neq0\), then \(ax_1+b=ax_2+b\) gives \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
(a=0) होने पर फलन स्थिर बन जाता है और एक-एक नहीं रहता। / If (a=0), the function becomes constant and is not one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-2 +2x+3) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 +2x+3), what is the correct statement about (f)?
#quadratic function
#parabola
#one-one function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह एक-एक नहीं है / It is not one-one
B यह एक-एक है / It is one-one
C यह केवल ऋणात्मक मान देता है / It gives only negative values
D यह परिभाषित नहीं है / It is not defined
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Correct Answer
A. यह एक-एक नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
(x-2 +2x+3=(x+1)2 +2) है, इसलिए रेखाचित्र एक परवलय है। / (x-2 +2x+3=(x+1)2 +2), so the graph is a parabola.
Step 2
Why this answer is correct
(-1) के दोनों ओर बराबर दूरी वाले आगत समान मान देते हैं। / Inputs equally distant from (-1) give the same value.
Step 3
Exam Tip
पूरे वास्तविक प्रांत पर परवलय सामान्यतः एक-एक नहीं होता। / A parabola is generally not one-one on the whole real domain.
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यदि \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x-2 -2x) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x-2 -2x), choose the correct statement about (f).
#restricted domain
#quadratic function
#one-one function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) हर जगह स्थिर है / (f) is constant everywhere
D (f) (x=1) पर परिभाषित नहीं है / (f) is not defined at (x=1)
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Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
(x-2 -2x=(x-1)2 -1) है। / (x-2 -2x=(x-1)2 -1).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए प्रांत \(x\ge1\) पर यह फलन बढ़ता है, इसलिए अलग आगत अलग मान देंगे। / On the domain \(x\ge1\), this function increases, so different inputs give different values.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन को शिखर के एक ओर सीमित करने पर वह एक-एक हो सकता है। / A quadratic can become one-one when restricted to one side of its vertex.
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यदि (f:\(-\infty,1]\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-2 -2x) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If (f:\(-\infty,1]\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 -2x), what is the correct statement about (f)?
#quadratic function
#restricted domain
#one-one function
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) केवल शून्य देता है / (f) gives only zero
D (f) का कोई मान नहीं है / (f) has no value
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
(x-2 -2x=(x-1)2 -1) का शिखर (x=1) पर है। / The vertex of (x-2 -2x=(x-1)2 -1) is at (x=1).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\le1\) पर यह फलन एक दिशा में घटता है, इसलिए एक ही मान दो बार नहीं आता। / On \(x\le1\), the function moves in one direction, so no value repeats.
Step 3
Exam Tip
शिखर के एक ही ओर लिया गया द्विघात फलन एक-एक होता है। / A quadratic restricted to one side of its vertex is one-one.
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यदि \(f:[-2,2]\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-2 ) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:[-2,2]\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 ), what is the correct statement about (f)?
#quadratic function
#symmetric domain
#counterexample
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) केवल (x=2) पर परिभाषित है / (f) is defined only at (x=2)
D (f) का परास रिक्त है / The range of (f) is empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
Step 1
Concept
इस प्रांत में धनात्मक और ऋणात्मक दोनों विपरीत संख्याएं शामिल हैं। / This domain contains both positive and negative opposite numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=4) और (f(-2)=4), जबकि \(2\neq -2\)। / (f(2)=4) and (f(-2)=4), while \(2\neq -2\).
Step 3
Exam Tip
सममित प्रांत पर \(x^2\) एक-एक नहीं रहता। / On a symmetric domain \(x^2\) is not one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=|x|+x) है, तो (f) एक-एक क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|x|+x), why is (f) not one-one?
#absolute value
#piecewise idea
#one-one function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि हर (x<0) के लिए (f(x)=0) / Because (f(x)=0) for every (x<0)
B क्योंकि हर (x>0) के लिए (f(x)=0) / Because (f(x)=0) for every (x>0)
C क्योंकि (f(0)) परिभाषित नहीं है / Because (f(0)) is not defined
D क्योंकि यह हमेशा ऋणात्मक है / Because it is always negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि हर (x<0) के लिए (f(x)=0) / Because (f(x)=0) for every (x<0)
Step 1
Concept
निरपेक्ष मान को भागों में देखें। / Read the absolute value expression piecewise.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (x<0), तो (|x|=-x), इसलिए (|x|+x=0) मिलता है। / If (x<0), then (|x|=-x), so (|x|+x=0).
Step 3
Exam Tip
कई अलग ऋणात्मक आगतों का समान मान (0) होने से फलन एक-एक नहीं है। / Many different negative inputs give the same value (0), so the function is not one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x+\sin x) है, तो (f) के बारे में उचित कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x+\sin x), what is the suitable statement about (f)?
#mixed function
#trigonometric function
#one-one function
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है क्योंकि यह आवर्ती है / (f) is not one-one because it is periodic
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) केवल पूर्णांकों पर परिभाषित है / (f) is defined only on integers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
केवल \(\sin x\) आवर्ती है, लेकिन \(x+\sin x\) आवर्ती नहीं है। / Only \(\sin x\) is periodic, but \(x+\sin x\) is not periodic.
Step 2
Why this answer is correct
(x) बढ़ने पर कुल मान पीछे नहीं लौटता, इसलिए समान मान दो अलग आगतों पर नहीं आता। / As (x) increases, the total value does not return to an earlier value, so different inputs do not share the same value.
Step 3
Exam Tip
मिश्रित फलन में पूरे नियम का व्यवहार देखें। / For mixed functions examine the complete rule.
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यदि (f:\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=\tan x) है, तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।
If (f:\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=\tan x), choose the correct statement about (f).
#tangent function
#restricted domain
#one-one function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) का परास केवल ({0}) है / The range of (f) is only ({0})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
दिए गए अंतराल पर \(\tan x\) लगातार बढ़ता है। / On the given interval \(\tan x\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(x_1\neq x_2\) होने पर \(\tan x_1\neq \tan x_2\) होगा। / So if \(x_1\neq x_2\), then \(\tan x_1\neq \tan x_2\).
Step 3
Exam Tip
\(\tan x\) को उसके मुख्य अंतराल पर लेने से वह एक-एक बनता है। / Taking \(\tan x\) on its principal interval makes it one-one.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=\ln x) है, तो (f) का स्वभाव क्या है?
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=\ln x), what is the nature of (f)?
#logarithmic function
#one-one function
#domain
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एक-एक / One-one
B एक-एक नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D अपरिभाषित / Undefined
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Correct Answer
A. एक-एक / One-one
Step 1
Concept
\(\ln x\) अपने प्रांत (\(0,\infty\)) पर बढ़ता है। / \(\ln x\) increases on its domain (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\ln x_1=\ln x_2\), तो \(x_1=x_2\) होता है। / If \(\ln x_1=\ln x_2\), then \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
लघुगणकीय फलन अपने सही प्रांत पर एक-एक होता है। / A logarithmic function is one-one on its proper domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-4 +1) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-4 +1), what is the correct statement about (f)?
#even power
#polynomial
#counterexample
#one-one function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) हर जगह घटता है / (f) is decreasing everywhere
D (f) का मान कभी (1) नहीं होता / The value of (f) is never (1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
Step 1
Concept
सम घात वाले फलन में विपरीत आगत समान घात मान दे सकते हैं। / Even-power functions can give the same power value for opposite inputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=2) और (f(-1)=2), जबकि \(1\neq -1\)। / (f(1)=2) and (f(-1)=2), while \(1\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
सम घात को पूरे वास्तविक प्रांत पर सावधानी से जांचें। / Check even powers carefully on the whole real domain.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[1,\infty)) तथा (f(x)=\sqrt{x+1}) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If \(f:[0,\infty\)\to[1,\infty)) and (f(x)=\sqrt{x+1}), what is the correct statement about (f)?
#square root function
#one-one function
#domain
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) हर जगह स्थिर है / (f) is constant everywhere
D (f) ऋणात्मक मान देता है / (f) gives negative values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
(x+1) बढ़ने पर \(\sqrt{x+1}\) भी बढ़ता है। / As (x+1) increases, \(\sqrt{x+1}\) also increases.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{x_1+1}=\sqrt{x_2+1}\) से \(x_1+1=x_2+1\), इसलिए \(x_1=x_2\)। / From \(\sqrt{x_1+1}=\sqrt{x_2+1}\), we get \(x_1+1=x_2+1\), hence \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल फलन अपने सही प्रांत पर एक-एक होता है। / A square-root function is one-one on its proper domain.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x) यदि (x<0) और (f(x)=x+1) यदि \(x\ge0\) से परिभाषित किया गया है। सही कथन चुनिए।
The function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x) if (x<0) and (f(x)=x+1) if \(x\ge0\). Choose the correct statement.
#piecewise function
#range check
#one-one function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) फलन नहीं है / (f) is not a function
D (f) हर जगह शून्य है / (f) is zero everywhere
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
(x<0) पर मान ऋणात्मक आते हैं। / For (x<0), the values are negative.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\ge0\) पर मान (1) या उससे बड़े आते हैं, इसलिए दोनों भागों के परास आपस में नहीं मिलते। / For \(x\ge0\), the values are (1) or more, so the ranges of the two parts do not overlap.
Step 3
Exam Tip
टुकड़ों में दिए फलन में हर भाग और उनके परास अलग-अलग जांचें। / For piecewise functions check each part and the overlap of their ranges.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-2 ) यदि (x<0) और (f(x)=x+1) यदि \(x\ge0\) से परिभाषित किया गया है। (f) के लिए सही कथन क्या है?
The function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x-2 ) if (x<0) and (f(x)=x+1) if \(x\ge0\). What is the correct statement about (f)?
#piecewise function
#counterexample
#one-one function
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) परिभाषित नहीं है / (f) is not defined
D (f) का परास रिक्त है / The range of (f) is empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
Step 1
Concept
दोनों भागों के परास में समान मान आ सकते हैं। / The ranges of the two parts can overlap.
Step 2
Why this answer is correct
(f(-2)=4) और (f(3)=4), जबकि \(-2\neq3\)। / (f(-2)=4) and (f(3)=4), while \(-2\neq3\).
Step 3
Exam Tip
टुकड़ों वाले फलन में अलग भागों से समान मान मिलना एक-एकता तोड़ देता है। / In a piecewise function same value from different pieces breaks injectivity.
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यदि \(f=\{(1,4),(2,5),(3,6)\}\) है, जहां \(f:{1,2,3}\to{4,5,6,7}\), तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f=\{(1,4),(2,5),(3,6)\}\), where \(f:{1,2,3}\to{4,5,6,7}\), what is the correct statement about (f)?
#ordered pairs
#finite function
#one-one function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) फलन नहीं है / (f) is not a function
D (f) में कोई प्रतिबिंब नहीं है / (f) has no image
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
प्रत्येक आगत का एक ही प्रतिबिंब है, इसलिए यह फलन है। / Each input has exactly one image, so it is a function.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिबिंब (4,5,6) सभी अलग हैं। / The images (4,5,6) are all distinct.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में प्रतिबिंबों की पुनरावृत्ति न हो तो फलन एक-एक होता है। / For finite sets a function is one-one when images do not repeat.
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यदि \(f=\{(1,4),(2,5),(3,5)\}\) है, जहां \(f:{1,2,3}\to{4,5,6}\), तो सही कथन चुनिए।
If \(f=\{(1,4),(2,5),(3,5)\}\), where \(f:{1,2,3}\to{4,5,6}\), choose the correct statement.
#ordered pairs
#finite sets
#counterexample
#one-one function
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) फलन नहीं है / (f) is not a function
D (f) का प्रांत रिक्त है / The domain of (f) is empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
Step 1
Concept
एक-एकता में प्रतिबिंबों की पुनरावृत्ति नहीं होनी चाहिए। / Injectivity requires no repetition among images.
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (3) दोनों का प्रतिबिंब (5) है। / Both (2) and (3) have image (5).
Step 3
Exam Tip
क्रमित युग्मों में दूसरे अवयवों को देखकर जल्दी जांच करें। / In ordered-pair questions quickly check the second components.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=3-2x) है, तो (f) कैसा फलन है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=3-2x), what type of function is (f)?
#linear function
#negative slope
#one-one function
#class 12
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एक-एक / One-one
B एक-एक नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D अपरिभाषित / Undefined
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Correct Answer
A. एक-एक / One-one
Step 1
Concept
यह रैखिक फलन है और (x) का गुणांक (-2) है। / This is a linear function and the coefficient of (x) is (-2).
Step 2
Why this answer is correct
\(-2\neq0\), इसलिए अलग-अलग (x) के लिए अलग-अलग मान मिलते हैं। / Since \(-2\neq0\), different (x)-values give different outputs.
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक ढाल वाला रैखिक फलन भी एक-एक हो सकता है। / A linear function with negative slope can also be one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=7) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=7), what is the correct statement about (f)?
#constant function
#counterexample
#one-one function
#class 12
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? Hint Small clue
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) (x=7) पर ही परिभाषित है / (f) is defined only at (x=7)
D (f) का कोई मान नहीं है / (f) has no value
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Correct Answer
A. (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
Step 1
Concept
स्थिर फलन हर आगत को एक ही मान देता है। / A constant function sends every input to the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=7) और (f(2)=7), जबकि \(1\neq2\)। / (f(1)=7) and (f(2)=7), while \(1\neq2\).
Step 3
Exam Tip
स्थिर फलन तभी एक-एक हो सकता है जब प्रांत में केवल एक तत्व हो। / A constant function can be one-one only when the domain has a single element.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-2 -4x+7) है, तो कौन सा विकल्प (f) के एक-एक न होने को दिखाता है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 -4x+7), which option shows that (f) is not one-one?
#quadratic function
#vertex
#counterexample
#one-one function
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? Hint Small clue
A (f(1)=f(3))
B (f(0)=f(1))
C (f(2)=f(4))
D (f(-1)=f(1))
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Correct Answer
A. (f(1)=f(3))
Step 1
Concept
(x-2 -4x+7=(x-2)2 +3) है। / (x-2 -4x+7=(x-2)2 +3).
Step 2
Why this answer is correct
(1) और (3), (2) से बराबर दूरी पर हैं, इसलिए (f(1)=4) और (f(3)=4)। / (1) and (3) are equally distant from (2), so (f(1)=4) and (f(3)=4).
Step 3
Exam Tip
शिखर के दोनों ओर समान दूरी वाले मान जांचना उपयोगी है। / For quadratics check points equally distant from the vertex.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=(k-2)x+5) है, तो (f) एक-एक कब होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=(k-2)x+5), when will (f) be one-one?
#parameter
#linear function
#one-one function
#class 12
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? Hint Small clue
A जब \(k\neq2\) / When \(k\neq2\)
B जब (k=2) / When (k=2)
C जब (k=0) ही हो / Only when (k=0)
D कभी नहीं / Never
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Correct Answer
A. जब \(k\neq2\) / When \(k\neq2\)
Step 1
Concept
यह रैखिक फलन है और (x) का गुणांक (k-2) है। / This is a linear function and the coefficient of (x) is (k-2).
Step 2
Why this answer is correct
एक-एक होने के लिए यह गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए। / For one-one nature this coefficient must not be zero.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(k-2\neq0\), अर्थात \(k\neq2\)। / Hence \(k-2\neq0\), so \(k\neq2\).
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यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) तथा (f(n)=n+2) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) and (f(n)=n+2), what is the correct statement about (f)?
#natural numbers
#shift function
#one-one function
#class 12
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? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f(1)=f(2))
D (f) स्थिर है / (f) is constant
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Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
(n+2) में अलग-अलग (n) अलग-अलग मान देते हैं। / In (n+2), different (n)-values give different values.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(n_1+2=n_2+2\), तो \(n_1=n_2\) होगा। / If \(n_1+2=n_2+2\), then \(n_1=n_2\).
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं पर सरल स्थानांतरण फलन एक-एक होता है। / A simple shift function on natural numbers is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) तथा (f(n)=n-2 ) है, तो (f) एक-एक क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=n-2 ), why is (f) not one-one?
#integer function
#square function
#counterexample
#class 12
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? Hint Small clue
A क्योंकि (f(2)=f(-2)) / Because (f(2)=f(-2))
B क्योंकि (f(2)\neq f(-2)) / Because (f(2)\neq f(-2))
C क्योंकि (f(0)) परिभाषित नहीं है / Because (f(0)) is not defined
D क्योंकि यह स्थिर है / Because it is constant
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(2)=f(-2)) / Because (f(2)=f(-2))
Step 1
Concept
पूर्णांकों में (2) और (-2) दोनों आते हैं। / Integers include both (2) and (-2).
Step 2
Why this answer is correct
\(2^2=4\) और ((-2)2 =4), जबकि \(2\neq-2\)। / \(2^2=4\) and ((-2)2 =4), while \(2\neq-2\).
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले नियम पूर्णांकों पर भी एक-एक नहीं होते। / Even-power rules are not one-one on integers either.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) तथा (f(n)=2n+1) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=2n+1), what is the correct statement about (f)?
#integer function
#linear rule
#one-one function
#class 12
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? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) हर (n) पर समान मान देता है / (f) gives the same value for every (n)
D (f) केवल सम मान देता है / (f) gives only even values
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Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
(2n+1) एक रैखिक नियम है। / (2n+1) is a linear rule.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(2n_1+1=2n_2+1\), तो \(n_1=n_2\) मिलता है। / If \(2n_1+1=2n_2+1\), then \(n_1=n_2\).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर भी शून्येतर गुणांक वाला रैखिक फलन एक-एक होता है। / A linear function with non-zero coefficient is one-one on integers too.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=|x+1|+|x-1|) है, तो (f) एक-एक है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|x+1|+|x-1|), is (f) one-one?
#absolute value
#sum function
#counterexample
#one-one function
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? Hint Small clue
A नहीं / No
B हाँ / Yes
C केवल (x=0) पर / Only at (x=0)
D फलन परिभाषित नहीं / Function not defined
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Correct Answer
A. नहीं / No
Step 1
Concept
\(-1\le x\le1\) पर यह योग स्थिर हो जाता है। / On \(-1\le x\le1\), this sum becomes constant.
Step 2
Why this answer is correct
उदाहरण के लिए (f(0)=2) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=2), जबकि \(0\neq \frac{1}{2}\)। / For example (f(0)=2) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=2), while \(0\neq \frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
निरपेक्ष मानों के योग में स्थिर भाग खोजें। / In sums of absolute values look for constant intervals.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-3 +3x-2 ) है, तो (f) के एक-एक न होने का सही प्रमाण कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 +3x-2 ), which is the correct proof that (f) is not one-one?
#polynomial
#counterexample
#one-one function
#class 12
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? Hint Small clue
A (f(0)=f(-3))
B (f(1)=f(2))
C (f(-1)=f(1))
D (f(2)=f(3))
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Correct Answer
A. (f(0)=f(-3))
Step 1
Concept
दो अलग आगतों का समान मान ढूंढना पर्याप्त है। / It is enough to find two different inputs with the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) और (f(-3)=-27+27=0), जबकि \(0\neq-3\)। / (f(0)=0) and (f(-3)=-27+27=0), while \(0\neq-3\).
Step 3
Exam Tip
बहुपद में गुणनखंड या खास मानों से जल्दी जांच करें। / For polynomials use factors or special values to test quickly.
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यदि \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x-2 -4x+5) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x-2 -4x+5), what is the correct statement about (f)?
#quadratic function
#vertex
#restricted domain
#one-one function
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? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f(1)=f(3)) इसलिए प्रांत में दोहराव है / (f(1)=f(3)) so repetition is in the domain
D (f) स्थिर है / (f) is constant
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Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
(x-2 -4x+5=(x-2)2 +1) है। / (x-2 -4x+5=(x-2)2 +1).
Step 2
Why this answer is correct
प्रांत \(x\ge2\) शिखर के दाईं ओर है, जहां फलन बढ़ता है। / The domain \(x\ge2\) is to the right of the vertex where the function increases.
Step 3
Exam Tip
शिखर से एक ओर सीमित द्विघात फलन एक-एक होता है। / A quadratic restricted to one side of the vertex is one-one.
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एक-एक फलन की पहचान के लिए रेखाचित्र से जुड़ा सही नियम कौन सा है?
Which graph-related rule correctly identifies a one-one function?
#horizontal line test
#graph
#one-one function
#class 12
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? Hint Small clue
A हर क्षैतिज रेखा रेखाचित्र को अधिकतम एक बिंदु पर काटे / Every horizontal line cuts the graph at at most one point
B हर ऊर्ध्वाधर रेखा रेखाचित्र को दो बिंदुओं पर काटे / Every vertical line cuts the graph at two points
C हर क्षैतिज रेखा रेखाचित्र को कम से कम दो बिंदुओं पर काटे / Every horizontal line cuts the graph at at least two points
D रेखाचित्र का परवलय होना जरूरी है / The graph must be a parabola
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Correct Answer
A. हर क्षैतिज रेखा रेखाचित्र को अधिकतम एक बिंदु पर काटे / Every horizontal line cuts the graph at at most one point
Step 1
Concept
एक-एकता में एक ही (y)-मान दो अलग (x)-मानों पर नहीं आना चाहिए। / Injectivity means the same (y)-value must not occur at two different (x)-values.
Step 2
Why this answer is correct
क्षैतिज रेखा समान (y)-मान को दिखाती है। / A horizontal line represents a fixed (y)-value.
Step 3
Exam Tip
इसलिए क्षैतिज रेखा परीक्षण एक-एकता जांचने का तेज तरीका है। / Hence the horizontal line test is a quick way to check one-one nature.
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यदि \(f:A\to B\) एक-एक है और \(A=\{p,q,r\}\), तो निम्न में से कौन सी छवि-सूची संभव नहीं है?
If \(f:A\to B\) is one-one and \(A=\{p,q,r\}\), which of the following image lists is not possible?
#finite mapping
#image list
#one-one function
#exam practice
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A (f(p)=2,\ f(q)=3,\ f(r)=2)
B (f(p)=2,\ f(q)=3,\ f(r)=4)
C (f(p)=5,\ f(q)=6,\ f(r)=7)
D (f(p)=1,\ f(q)=8,\ f(r)=9)
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Correct Answer
A. (f(p)=2,\ f(q)=3,\ f(r)=2)
Step 1
Concept
एक-एक फलन में तीन अलग आगतों के तीन अलग प्रतिबिंब होने चाहिए। / A one-one function needs three distinct images for three distinct inputs.
Step 2
Why this answer is correct
पहले विकल्प में (p) और (r) दोनों का प्रतिबिंब (2) है। / In the first option both (p) and (r) have image (2).
Step 3
Exam Tip
विकल्पों में दोहराया हुआ प्रतिबिंब खोजना सबसे तेज तरीका है। / In such options the fastest method is to look for repeated images.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\frac{2x+3}{5}) है, तो (f) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{2x+3}{5}), what is the correct conclusion about (f)?
#linear rational form
#one-one function
#class 12
#pyq pattern
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) केवल (x=5) पर परिभाषित है / (f) is defined only at (x=5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
यह रैखिक रूप का फलन है। / This function is in linear form.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{2x_1+3}{5}=\frac{2x_2+3}{5}\) से \(2x_1+3=2x_2+3\), इसलिए \(x_1=x_2\)। / From \(\frac{2x_1+3}{5}=\frac{2x_2+3}{5}\), we get \(2x_1+3=2x_2+3\), hence \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
अंश में (x) का गुणांक शून्य न हो तो ऐसा फलन एक-एक होता है। / Such a function is one-one when the coefficient of (x) in the numerator is non-zero.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-3 +kx) है, तो (f) के एक-एक होने के लिए (k) की कौन सी शर्त पर्याप्त है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 +kx), which condition on (k) is sufficient for (f) to be one-one?
#parameter
#polynomial function
#one-one function
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(k\ge0\)
B (k<0)
C (k=-3)
D (k) कोई भी वास्तविक संख्या हो / (k) may be any real number
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Correct Answer
A. \(k\ge0\)
Step 1
Concept
एक-एकता के लिए यह देखना उपयोगी है कि फलन लगातार एक ही दिशा में बढ़ रहा है या नहीं। / For injectivity it is useful to check whether the function keeps moving in one direction.
Step 2
Why this answer is correct
जब \(k\ge0\), तब \(x^3\) और (kx) दोनों बढ़ने वाले प्रभाव देते हैं, इसलिए अलग-अलग (x) के लिए अलग-अलग मान मिलते हैं। / When \(k\ge0\), both \(x^3\) and (kx) contribute an increasing effect, so different (x)-values give different outputs.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में पैरामीटर का मान फलन के बढ़ने या घटने को कैसे बदलता है, यह जरूर जांचें। / In parameter-based questions always check how the parameter changes increasing or decreasing behavior.
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