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यह विषम घात का बहुपद है जिसका अग्र गुणांक धनात्मक है। / This is an odd-degree polynomial with positive leading coefficient.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है इसलिए हर वास्तविक लक्ष्य मान मिल जाता है। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\), so every real target value is obtained.
Step 3
Exam Tip
कठिन प्रश्नों में भी विषम घात बहुपद का अंत व्यवहार जल्दी पहचानें। / In hard questions, first check the end behavior of odd-degree polynomials.
इसका परास \([-4,\infty\)) है और वही सहक्षेत्र दिया गया है। / Its range is \([-4,\infty\)), exactly the given codomain.
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता में सूत्र से अधिक महत्वपूर्ण परास और सहक्षेत्र की बराबरी है। / For onto, the equality of range and codomain is more important than the formula alone.
\(x+\sin x\) सतत फलन है। / \(x+\sin x\) is continuous.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर यह \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है क्योंकि (x) वाला भाग प्रमुख है। / As \(x\to\infty\), it goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\), because the (x)-term dominates.
Step 3
Exam Tip
सीमित त्रिकोणमितीय भाग के साथ (x) जुड़ा हो तो अंत व्यवहार देखें। / When a bounded trigonometric term is added to (x), check end behavior.
\(\cos x\) सीमित है और (x) असीम दिशा में बढ़ता या घटता है। / \(\cos x\) is bounded, while (x) grows without bound in both directions.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(x-\cos x\) का मान भी दोनों दिशाओं में असीम जाता है और फलन सतत है। / Hence \(x-\cos x\) also goes without bound in both directions and is continuous.
Step 3
Exam Tip
सततता और अंत व्यवहार मिलकर आच्छादकता सिद्ध कर सकते हैं। / Continuity plus end behavior can prove onto.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि परास \([2,\infty\)) है/Not onto because range is \([2,\infty\))
Step 1
Concept
(x>0) के लिए \(x+\frac{1}{x}\ge 2\) होता है। / For (x>0), \(x+\frac{1}{x}\ge 2\).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में (1) और ऋणात्मक संख्याएँ हैं जो नहीं मिलतीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (1) and negative numbers, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
\(x+\frac{1}{x}\) में न्यूनतम मान पहचानना परीक्षा में बहुत उपयोगी है। / Identifying the minimum of \(x+\frac{1}{x}\) is very useful in exams.
\(x+\frac{1}{x}\) का न्यूनतम मान (2) है जो (x=1) पर मिलता है। / The minimum value of \(x+\frac{1}{x}\) is (2), attained at (x=1).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to0^+\) या \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर जाता है इसलिए \([2,\infty\)) पूरा मिलता है। / As \(x\to0^+\) or \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), so all of \([2,\infty\)) is obtained.
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम मान मिलने के बाद सहक्षेत्र से तुलना करें। / After finding the minimum, compare it with the codomain.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि (1) नहीं मिलता/Not onto because (1) is not obtained
Step 1
Concept
\(\frac{x+1}{x+2}=1\) मानने पर (x+1=x+2) मिलता है जो असंभव है। / If \(\frac{x+1}{x+2}=1\), then (x+1=x+2), which is impossible.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (1) परास में नहीं है जबकि सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) है। / Thus (1) is not in the range, while the codomain is \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
रैखिक भिन्न फलन में क्षैतिज सीमा अक्सर छूटा हुआ मान बताती है। / In linear fractional functions, the horizontal limiting value often indicates the missing value.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि परास \(\left[\frac{1}{2},1\right\)) है/Not onto because range is \(\left[\frac{1}{2},1\right\))
Step 1
Concept
(x=0) पर मान \(\frac{1}{2}\) मिलता है। / At (x=0), the value is \(\frac{1}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
(x) बड़ा होने पर मान (1) के पास जाता है पर (1) नहीं बनता। / As (x) becomes large, the value approaches (1) but never becomes (1).
Step 3
Exam Tip
भिन्न में सीमा और वास्तविक प्राप्त मान दोनों अलग-अलग जाँचें। / In rational expressions, check both the limiting value and the actually attained values.
\(t=x^2\ge0\) रखने पर फलन \(\frac{t+1}{t+2}\) बनता है। / Put \(t=x^2\ge0\), so the function becomes \(\frac{t+1}{t+2}\).
Step 2
Why this answer is correct
(t=0) पर \(\frac{1}{2}\) और \(t\to\infty\) पर मान (1) के पास जाता है पर (1) नहीं आता। / At (t=0), the value is \(\frac{1}{2}\), and as \(t\to\infty\), it approaches (1) without reaching it.
Step 3
Exam Tip
\(x^2\) को (t) मानकर कठिन परास प्रश्न सरल हो जाते हैं। / Replacing \(x^2\) by (t) simplifies hard range questions.
B. किसी भी वास्तविक (a) के लिए आच्छादक नहीं है/Not onto for any real (a)
Step 1
Concept
(a=0) पर फलन स्थिर है। / If (a=0), the function is constant.
Step 2
Why this answer is correct
(a>0) पर परास \([1,\infty\)) और (a<0) पर परास (\(-\infty,1]\) होता है। / If (a>0), the range is \([1,\infty\)), and if (a<0), the range is (\(-\infty,1]\).
Step 3
Exam Tip
इनमें से कोई भी परास पूरे \(\mathbb{R}\) के बराबर नहीं है। / None of these ranges equals all of \(\mathbb{R}\).
\(x^3+a x\) विषम घात का बहुपद है। / \(x^3+a x\) is an odd-degree polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
अग्र पद \(x^3\) होने से \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) जाता है। / Since the leading term is \(x^3\), the value goes to \(\infty\) as \(x\to\infty\) and to \(-\infty\) as \(x\to-\infty\).
Step 3
Exam Tip
सतत विषम घात बहुपद \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक होता है। / A continuous odd-degree polynomial from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is onto.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि परास \([1,\infty\)) है/Not onto because range is \([1,\infty\))
Step 1
Concept
\(x^2\ge0\) इसलिए \(e^{x^2}\ge1\)। / Since \(x^2\ge0\), \(e^{x^2}\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक मान हैं जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative values that are not obtained.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में घात का न्यूनतम मान परास तय करता है। / For exponential functions, the minimum of the exponent decides the range.
C. आच्छादक है क्योंकि हर धनात्मक लक्ष्य (y) के लिए \(x=e^y\) है/Onto because for every positive target (y), \(x=e^y\) works
Step 1
Concept
सहक्षेत्र केवल (\(0,\infty\)) है इसलिए धनात्मक लक्ष्य मान ही जाँचने हैं। / The codomain is only (\(0,\infty\)), so only positive target values must be checked.
Step 2
Why this answer is correct
हर (y>0) के लिए \(x=e^y>0\) और \(\ln x=y\) होता है। / For every (y>0), \(x=e^y>0\) and \(\ln x=y\).
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता में सहक्षेत्र के बाहर के मानों की चिंता नहीं की जाती। / For onto, values outside the codomain do not matter.
यह फलन हमेशा (0) और (1) के बीच मान देता है। / This function always gives a value between (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\in(0,1)\) के लिए (x=\ln\left\(\frac{y}{1-y}\right\)) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\in(0,1)\), taking (x=\ln\left\(\frac{y}{1-y}\right\)) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
कठिन आच्छादकता में लक्ष्य (y) से (x) निकालना बहुत उपयोगी है। / In hard onto questions, solving for (x) from target (y) is very useful.
कुल फलन \(2^5=32\) हैं। / Total functions are \(2^5=32\).
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादक नहीं होने वाले फलन वे हैं जिनमें सभी (5) सदस्य एक ही लक्ष्य पर जाएँ ऐसे (2) फलन हैं। / Non-onto functions send all (5) elements to just one target; there are (2) such functions.
Step 3
Exam Tip
इसलिए आच्छादक फलन (32-2=30) हैं। / Therefore onto functions are (32-2=30).
(C) के किसी भी (c) के लिए (g) आच्छादक होने से कोई \(b\in B\) है जिससे (g(b)=c)। / For any \(c\in C\), since (g) is onto, there is \(b\in B\) such that (g(b)=c).
Step 2
Why this answer is correct
(f) आच्छादक होने से उस (b) के लिए कोई \(a\in A\) है जिससे (f(a)=b)। / Since (f) is onto, for that (b), there is \(a\in A\) such that (f(a)=b).
Step 3
Exam Tip
तब (g(f(a))=c) इसलिए संयोजन आच्छादक है। / Then (g(f(a))=c), so the composition is onto.
\(g\circ f\) आच्छादक है तो हर \(c\in C\) के लिए कोई \(a\in A\) है जिससे (g(f(a))=c)। / If \(g\circ f\) is onto, then for every \(c\in C\), there is \(a\in A\) such that (g(f(a))=c).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (f(a)) कोई (B) का सदस्य है इसलिए (g) से (c) मिल रहा है। / Here (f(a)) is an element of (B), so (g) produces (c).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (C) का हर सदस्य (g) के परास में है और (g) आच्छादक है। / Hence every element of (C) is in the range of (g), so (g) is onto.
\(g\circ f\) आच्छादक होने से (g) का पर्याप्त भाग (C) को ढकता है। / If \(g\circ f\) is onto, a sufficient part of (g)'s domain covers (C).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (f) का पूरा (B) ढकना जरूरी नहीं सिद्ध होता। / This does not prove that (f) covers the whole of (B).
Step 3
Exam Tip
संयोजन के उल्टे निष्कर्षों में केवल वही बात मानें जो तर्क से अनिवार्य हो। / In reverse conclusions about composition, accept only what is logically forced.
यह सतत विषम घात का बहुपद है। / This is a continuous odd-degree polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
इसका अवकलज \(5x^4+3x^2+1>0\) है इसलिए यह लगातार बढ़ता है और दोनों अनंत दिशाएँ ढकता है। / Its derivative \(5x^4+3x^2+1>0\), so it is strictly increasing and covers both infinite directions.
Step 3
Exam Tip
बढ़ते हुए बहुपद में परास पहचानना आसान हो जाता है। / For increasing polynomials, identifying the range becomes easier.
\(x^5-x\) सतत विषम घात बहुपद है। / \(x^5-x\) is a continuous odd-degree polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) जाता है। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
बीच में मोड़ हों तो भी सततता और अंत व्यवहार पूरे \(\mathbb{R}\) को ढक सकते हैं। / Even with turning points, continuity and end behavior can cover all of \(\mathbb{R}\).
\(x^3\) ([-1,1]) पर लगातार बढ़ता है। / \(x^3\) is continuously increasing on ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
(x=-1) पर (-1) और (x=1) पर (1) मिलता है इसलिए बीच के सभी मान भी मिलते हैं। / At (x=-1), it gives (-1), and at (x=1), it gives (1), so all intermediate values are obtained.
Step 3
Exam Tip
बंद अंतराल पर सतत बढ़ते फलन का परास सिरों से मिल जाता है। / For a continuous increasing function on a closed interval, the range comes from endpoint values.
C. आच्छादक है क्योंकि हर \(y\in[0,1]\) के लिए \(x=\sqrt[3]{y}\) है/Onto because for every \(y\in[0,1]\), \(x=\sqrt[3]{y}\) works
Step 1
Concept
सहक्षेत्र ([0,1]) है इसलिए केवल (0) से (1) तक के लक्ष्य मान जाँचने हैं। / The codomain is ([0,1]), so only target values from (0) to (1) must be checked.
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\in[0,1]\) के लिए \(x=\sqrt[3]{y}\) भी ([-1,1]) में है। / For every \(y\in[0,1]\), \(x=\sqrt[3]{y}\) also lies in ([-1,1]).
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता सहक्षेत्र पर जाँची जाती है पूरे संभावित परास पर नहीं। / Onto is checked against the codomain, not against extra values outside it.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि हर अरिणात्मक पूर्णांक वर्ग नहीं होता/Not onto because every non-negative integer is not a square
Step 1
Concept
\(n^2\) केवल पूर्ण वर्ग देता है जैसे (0,1,4,9)। / \(n^2\) gives only perfect squares such as (0,1,4,9).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र में (2) और (3) जैसे अरिणात्मक पूर्णांक हैं जो पूर्ण वर्ग नहीं हैं। / The codomain contains non-negative integers like (2) and (3), which are not perfect squares.
Step 3
Exam Tip
सहक्षेत्र अरिणात्मक होने पर भी सभी मान मिलें यह जरूरी नहीं। / Even with a non-negative codomain, not every value must be obtained.
\(\lceil x\rceil\) हर (x) के लिए कोई पूर्णांक देता है। / \(\lceil x\rceil\) gives an integer for every (x).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k) लेने पर \(\lceil x\rceil=k\) मिलता है। / For any \(k\in\mathbb{Z}\), taking (x=k) gives \(\lceil x\rceil=k\).
Step 3
Exam Tip
छत फलन का सहक्षेत्र \(\mathbb{Z}\) हो तो हर पूर्णांक प्राप्त होता है। / When the codomain of the ceiling function is \(\mathbb{Z}\), every integer is obtained.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि केवल पूर्णांक मान मिलते हैं/Not onto because only integer values are obtained
Step 1
Concept
\(\lceil x\rceil\) का मान हमेशा पूर्णांक होता है। / \(\lceil x\rceil\) is always an integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{2}\) जैसे मान हैं जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains values like \(\frac{1}{2}\), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
मंजिल या छत फलन में सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) हो तो आच्छादकता सावधानी से देखें। / For floor or ceiling functions with codomain \(\mathbb{R}\), check onto carefully.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि परास \([4,\infty\)) है/Not onto because range is \([4,\infty\))
Step 1
Concept
दो बिंदुओं (-2) और (2) से दूरी का योग कम से कम (4) होता है। / The sum of distances from (-2) and (2) is at least (4).
Step 2
Why this answer is correct
([-2,2]) के बीच मान (4) और बाहर जाने पर इससे बड़े मान मिलते हैं। / Between (-2) and (2), the value is (4), and outside this interval larger values are obtained.
Step 3
Exam Tip
मापांक योग में दूरी का अर्थ समझना परास निकालने में मदद करता है। / Interpreting modulus as distance helps find the range.
इस मापांक योग का न्यूनतम मान (4) है। / The minimum value of this modulus sum is (4).
Step 2
Why this answer is correct
(|x|) बड़ा होने पर मान अनंत तक बढ़ सकता है इसलिए (4) से ऊपर के सभी मान मिलते हैं। / As (|x|) becomes large, the value can grow without bound, so all values above (4) are obtained.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक परास सहक्षेत्र के बराबर हो तो फलन आच्छादक है। / If the actual range equals the codomain, the function is onto.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि परास \([1,\infty\)) है/Not onto because range is \([1,\infty\))
Step 1
Concept
\(x^2+1\ge1\) इसलिए \(\sqrt{x^2+1}\ge1\)। / Since \(x^2+1\ge1\), \(\sqrt{x^2+1}\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक मान हैं जो प्राप्त नहीं होते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative values, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल फलन में अंदर की न्यूनतम मात्रा परास तय करती है। / For square-root functions, the minimum of the inside expression determines the range.
\(x\ge1\) होने पर \(x-1\ge0\) और हर \(y\ge0\) के लिए \(x=1+\sqrt{y}\) लिया जा सकता है। / Since \(x\ge1\), \(x-1\ge0\), and for every \(y\ge0\), take \(x=1+\sqrt{y}\).
Step 3
Exam Tip
प्रांत की सीमा को ध्यान में रखकर पूर्वप्रतिबिंब चुनें। / Choose the preimage while respecting the domain restriction.
हर \(y\ge0\) के लिए \(x=1-\sqrt{y}\) लेने पर \(x\le1\) और (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge0\), taking \(x=1-\sqrt{y}\) gives \(x\le1\) and (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन की अलग शाखा भी सही सहक्षेत्र पर आच्छादक हो सकती है। / A different branch of a quadratic can also be onto for a suitable codomain.
\(x\to-\infty\) पर \(x^3\) के कारण मान \(-\infty\) की ओर जाता है और \(x\to\infty\) पर दोनों पद मिलकर \(\infty\) की ओर जाते हैं। / As \(x\to-\infty\), the \(x^3\) term makes the value go to \(-\infty\), and as \(x\to\infty\), both terms make it go to \(\infty\).
Step 3
Exam Tip
जब सतत फलन दोनों दिशाओं में असीम जाता है तो वह \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक होता है। / When a continuous function goes unbounded in both directions, it is onto \(\mathbb{R}\).
\(x\ge0\) पर \(x^2\) से सभी अरिणात्मक वास्तविक मान मिलते हैं। / For \(x\ge0\), \(x^2\) gives all non-negative real values.
Step 2
Why this answer is correct
(x<0) पर \(-x^2\) से सभी ऋणात्मक वास्तविक मान मिलते हैं और (0) पहले भाग से मिल जाता है। / For (x<0), \(-x^2\) gives all negative real values, and (0) is obtained from the first part.
Step 3
Exam Tip
खंडों में दिए फलन में हर खंड का परास अलग निकालकर उनका सम्मिलित परास देखें। / For a piecewise function, find the range of each part and then take their union.
