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पहले दो समान समूहों के लिए \(3\cdot3\) विकल्प और अंतिम असमान जोड़े के लिए \(3\cdot2\) विकल्प हैं। कुल \(3\cdot3\cdot3\cdot2=54\) फलन हैं। / There are \(3\cdot3\) choices for the two equal groups and \(3\cdot2\) choices for the unequal last pair. Total functions are \(3\cdot3\cdot3\cdot2=54\).
संबंध \(R=\{(x,y):y^2=x-1,\ x\in{2,5,10},\ y\in{-3,-2,-1,1,2,3}\}\) को \(X=\{2,5,10\}\) से \(Y=\{-3,-2,-1,1,2,3\}\) में माना गया है। सही निष्कर्ष क्या है?
B. यह फलन नहीं है क्योंकि (2) की दो छवियां हैं/It is not a function because (2) has two images
Explanation
Simple Explanation
(x=2) पर (y=1) और (y=-1) दोनों मिलते हैं। एक इनपुट की दो छवियां फलन की शर्त तोड़ देती हैं। / At (x=2), both (y=1) and (y=-1) occur. Two images for one input break the condition for a function.
फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\sqrt{a x-2-6a+9}) से परिभाषित करना है। पूरे \(\mathbb{R}\) पर फलन बनने के लिए (a) की कौन सी शर्त पर्याप्त और आवश्यक है?
यदि (a<0) हो तो बड़े (|x|) पर भीतर की राशि ऋणात्मक हो सकती है और यदि \(a\ge0\) हो तो न्यूनतम (9-6a) है। इसलिए \(9-6a\ge0\) से \(0\le a\le\frac{3}{2}\) मिलता है। / If (a<0), the radicand can become negative for large (|x|), and if \(a\ge0\), its minimum is (9-6a). Thus \(9-6a\ge0\) gives \(0\le a\le\frac{3}{2}\).
मान केवल (1,3,4) से लेने हैं और तीनों आने चाहिए। संख्या \(3^4-3\cdot2^4+3=36\) है। / Values must be taken only from (1,3,4), and all three must appear. The count is \(3^4-3\cdot2^4+3=36\).
B. यह फलन है क्योंकि \(n^5-n\) हमेशा (5) से विभाज्य होता है/It is a function because \(n^5-n\) is always divisible by (5)
Explanation
Simple Explanation
पूर्णांक (n) के लिए \(n^5-n\) हमेशा (5) से विभाज्य होता है। इसलिए हर मान \(\mathbb{Z}\) में आता है। / For an integer (n), \(n^5-n\) is always divisible by (5). Therefore every value lies in \(\mathbb{Z}\).
A. यह फलन है और परिसर ({4,6,8,10}) है/It is a function and range is ({4,6,8,10})
Explanation
Simple Explanation
हर (x) के लिए (y=12-2x) अद्वितीय है और दिए गए सहप्रांत में आता है। सीमित समुच्चय में सभी छवियां लिखना सुरक्षित तरीका है। / For every (x), (y=12-2x) is unique and lies in the given codomain. Listing all images is a safe method for finite sets.
दिए गए प्रांत पर (f(x)=x+2) है लेकिन (x=-2) हटने से मान (0) नहीं मिलता। सरलीकरण के बाद हटे इनपुट की छवि ध्यान रखें। / On the given domain (f(x)=x+2), but removing (x=-2) removes the value (0). After simplification, note the image of the excluded input.
त्रिक ((f(1),f(2),f(3))) के लिए (10) विकल्प मिलते हैं और (f(4)=f(5)) के लिए (4) विकल्प हैं। कुल \(10\cdot4=40\) है। / There are (10) choices for the triple ((f(1),f(2),f(3))) and (4) choices for (f(4)=f(5)). Total is \(10\cdot4=40\).
विकल्प (C) में (4) की दो छवियां (r) और (q) हैं। फलन में हर इनपुट की ठीक एक छवि होनी चाहिए। / In option (C), (4) has two images (r) and (q). In a function each input must have exactly one image.
\(-2\le x\le4\) पर मान (6) है और सिरों (x=-3,5) पर मान (8) है। मापांक के ब्रेक-पॉइंट और अंतराल के सिरों को जांचें। / For \(-2\le x\le4\), the value is (6), and at endpoints (x=-3,5), it is (8). Check modulus breakpoints and interval endpoints.
रिक्त प्रांत से एक खाली फलन होता है, लेकिन उसके ग्राफ में कोई ordered pair नहीं होता। संख्या और ग्राफ-आकार को अलग रखें। / There is one empty function from the empty domain, but its graph has no ordered pair. Keep the count and graph size separate.
(C) के सभी अवयव (A) में हैं और उनकी छवियां सहप्रांत (B) में होती हैं। इसलिए \(f(C)\subseteq B\) हमेशा सत्य है। / All elements of (C) lie in (A), and their images lie in the codomain (B). Hence \(f(C)\subseteq B\) is always true.
A. क्योंकि (x=0) की दो छवियां हैं/Because (x=0) has two images
Explanation
Simple Explanation
(x=0) पर (y=3) और (y=-3) दोनों संभव हैं। वृत्तीय संबंध में एक ही (x) के लिए दो (y) आ सकते हैं। / At (x=0), both (y=3) and (y=-3) are possible. In a circular relation, one (x) may give two (y)-values.
यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{1}{x-2+ax+9}) से परिभाषित करना हो, तो पूरे \(\mathbb{R}\) पर फलन बनने के लिए (a) की कौन सी शर्त सही है?
हर कभी शून्य नहीं होना चाहिए, इसलिए विविक्तिका \(a^2-36<0\) चाहिए। अतः (|a|<6) सही है। / The denominator must never be zero, so the discriminant must satisfy \(a^2-36<0\). Hence (|a|<6) is correct.
सात अवयवों में से उन 4 अवयवों को चुनना है जिनकी छवि 1 होगी। यह \(\binom{7}{4}=35\) तरीकों से किया जा सकता है। चुने गए 4 अवयवों की छवि 1 और शेष 3 अवयवों की छवि अनिवार्य रूप से 0 होगी, इसलिए उनके लिए अलग विकल्प नहीं बचता। परीक्षा-युक्ति: जब किसी द्विआधारी फलन में ठीक \(r\) अवयवों की छवि 1 हो, तो फलनों की संख्या \(\binom{n}{r}\) होती है। / We must choose the 4 elements of the 7-element domain that will be mapped to 1. This can be done in \(\binom{7}{4}=35\) ways. The remaining 3 elements must be mapped to 0, so they introduce no additional choices. Hence the number of functions is 35. Exam tip: For a function from an \(n\)-element set to \(\{0,1\}\), if exactly \(r\) domain elements map to 1, the count is \(\binom{n}{r}\).
A. \(f^{-1}\) फलन है और \(f^{-1}=f\)/\(f^{-1}\) is a function and \(f^{-1}=f\)
Explanation
Simple Explanation
नियम (x) को (7-x) पर भेजता है और वही नियम फिर लगाने पर (x) वापस आता है। इसलिए उल्टा संबंध भी वही फलन है। / The rule sends (x) to (7-x), and applying the same rule again returns (x). Therefore the inverse relation is the same function.
वर्ग पूरा करने पर \\(f(x)=2x^2-8x+11=2(x-2)^2+3\\) मिलता है। चूँकि \\((x-2)^2\\ge 0\\), इसलिए \\(f(x)\\ge 3\\), और \\(x=2\\) पर न्यूनतम मान \\(3\\) प्राप्त होता है। अतः परिसर \\([3,\infty)\\) है। विकल्प B में \\(f(0)=11\\) को न्यूनतम मान मान लिया गया है, जो गलत है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक अग्रणी गुणांक वाले द्विघात फलन का न्यूनतम मान शीर्ष (vertex) पर मिलता है। / Completing the square gives \\(f(x)=2x^2-8x+11=2(x-2)^2+3\\). Since \\((x-2)^2\\ge 0\\), we have \\(f(x)\\ge 3\\), with the minimum value \\(3\\) attained at \\(x=2\\). Therefore, the range is \\([3,\infty)\\). Option B incorrectly treats \\(f(0)=11\\) as the minimum value. Exam tip: For a quadratic with a positive leading coefficient, the minimum occurs at its vertex.
A. क्योंकि (x=1) की छवियां (2) और (4) हैं/Because (x=1) has images (2) and (4)
Explanation
Simple Explanation
(x=1) के लिए (y=2) और (y=4) दोनों से योग विषम है। एक इनपुट के कई आउटपुट फलन नहीं बनाते। / For (x=1), both (y=2) and (y=4) make the sum odd. Multiple outputs for one input do not define a function.
x = 0,1,2,3,4,5 के लिए 4x को 6 से भाग देने पर शेषफल क्रमशः 0, 4, 2, 0, 4, 2 मिलते हैं। इसलिए f के सभी भिन्न प्राप्त मान {0,2,4} हैं, जो इसका परास है। विकल्प B सह-परिसर है, परंतु f के सभी मान उसमें प्राप्त नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: परास ज्ञात करने के लिए फलन के सभी इनपुट मानों पर आउटपुट निकालकर केवल अलग-अलग मान लिखें। / For x = 0,1,2,3,4,5, the remainders obtained on dividing 4x by 6 are 0, 4, 2, 0, 4, 2, respectively. Thus, the distinct output values are {0,2,4}, which is the range of f. Option B is the codomain, not the set of values actually attained by the function. Exam tip: To find the range of a finite function, evaluate every domain element and list the distinct outputs.
दिए गए प्रांत पर (f(x)=x+5) है, लेकिन (x=5) हटने से मान (10) नहीं मिलता। हटे इनपुट की छवि परिसर से हट जाती है। / On the given domain (f(x)=x+5), but removing (x=5) removes the value (10). The image of the excluded input is removed from the range.
A. जब (1,2,3,4,5) प्रत्येक प्रथम घटक के रूप में ठीक एक बार आए/When each of (1,2,3,4,5) appears exactly once as a first component
Explanation
Simple Explanation
ठीक (5) युग्मों में फलन बनने के लिए (A) के हर अवयव की एक-एक छवि चाहिए। द्वितीय घटकों का दोहराव स्वीकार्य है। / With exactly (5) pairs, a function needs one image for every element of (A). Repetition of second components is allowed.
सममिति से अधिकतम (x=8) पर मिलता है और मान \(2\sqrt{8}=4\sqrt{2}\) है। वर्गमूल योग में संतुलित बिंदु जांचें। / By symmetry the maximum occurs at (x=8), and the value is \(2\sqrt{8}=4\sqrt{2}\). For sums of square roots, check the balanced point.
कुल संबंध \(2^{|A||B|}=2^{12}\) और कुल फलन \(|B|^{|A|}=3^4\) होते हैं। संबंध और फलन के सूत्र अलग हैं। / Total relations are \(2^{|A||B|}=2^{12}\), and total functions are \(|B|^{|A|}=3^4\). The formulas for relations and functions are different.
दिए गए इनपुटों पर मान \(\frac{7}{2},5,-1,\frac{1}{2}\) मिलते हैं। सीमित प्रांत में प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन सबसे तेज है। / At the given inputs, the values are \(\frac{7}{2},5,-1,\frac{1}{2}\). For a finite domain, direct substitution is fastest.
(x=4) दूसरे भाग में आता है, इसलिए (f(4)=42-10=6) है। सीमा चिह्न देखकर सही नियम चुनें। / The input (x=4) belongs to the second part, so (f(4)=42-10=6). Choose the correct rule by reading the boundary sign.
कुल \(2^6=64\) फलन हैं और विपरीत स्थिति (f(2)=b), (f(5)=a) में \(2^4=16\) फलन हैं। अतः (64-16=48) है। / There are \(2^6=64\) total functions, and the opposite case (f(2)=b), (f(5)=a) gives \(2^4=16\) functions. Hence (64-16=48).
\(-5\le x\le2\) पर मान (7) है और बाहर मान बढ़ता है। इसलिए न्यूनतम (7) और परिसर \([7,\infty\)) है। / For \(-5\le x\le2\), the value is (7), and outside this interval the value increases. Hence the minimum is (7) and the range is \([7,\infty\)).
हर दिए गए (x) का वास्तविक सप्तममूल अद्वितीय है और (Y) में है। विषम घात का उल्टा वास्तविक संख्याओं में एकमात्र होता है। / Each given (x) has a unique real seventh root in (Y). The inverse of an odd power is unique over real numbers.
B. नहीं, क्योंकि \(f(4)=6\notin{0,1,2,3,4}\)/No, because \(f(4)=6\notin{0,1,2,3,4}\)
Explanation
Simple Explanation
(f(4)=16-12+2=6) है, जो सहप्रांत में नहीं है। सीमित प्रांत में हर मान को सहप्रांत से मिलाएं। / Here (f(4)=16-12+2=6), which is not in the codomain. For a finite domain, match every value with the codomain.
A. क्योंकि (x=2) की दो छवियां हैं/Because (x=2) has two images
Explanation
Simple Explanation
(x=2) पर (|2-2y|=2) से (y=0) और (y=2) दोनों मिलते हैं। एक इनपुट पर दो आउटपुट फलन नहीं बनाते। / At (x=2), (|2-2y|=2) gives both (y=0) and (y=2). Two outputs for one input do not define a function.
(f(x)=1+\frac{6}{x-2+3}), इसलिए अधिकतम (3) है और (1) कभी नहीं मिलता। परिसर ((1,3]) है। / Since (f(x)=1+\frac{6}{x-2+3}), the maximum is (3), and (1) is never reached. The range is ((1,3]).
पाँचों छवियाँ अलग-अलग होने का अर्थ है कि फलन एकैकी (injective) होना चाहिए। पहले अवयव की छवि के लिए 6 विकल्प, फिर क्रमशः 5, 4, 3 और 2 विकल्प बचते हैं। इसलिए कुल फलनों की संख्या \(6\times5\times4\times3\times2={}^6P_5=720\) है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में क्रम का महत्त्व होने के कारण क्रमचय का प्रयोग करें, संयोजन का नहीं। / Having distinct images for all five elements means that the function must be injective. There are 6 choices for the image of the first element, followed by 5, 4, 3 and 2 choices. Hence, the total number of functions is \(6\times5\times4\times3\times2={}^6P_5=720\). Since the assignment of images to the elements matters, use a permutation rather than a combination.
यदि फलन \(f:\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\to\{0,1\}\) इस प्रकार परिभाषित है कि \(f(n)=1\) जब \(n\), \(3\) से विभाज्य हो और अन्यथा \(f(n)=0\), तो \(f^{-1}(\{1\})\) क्या है?
किसी समुच्चय की पूर्वछवि उन सभी डोमेन अवयवों का समुच्चय होती है जिनकी छवि उस समुच्चय में आती है। यहाँ \(f(n)=1\) ठीक उन्हीं मानों के लिए है जो \(3\) से विभाज्य हैं। दिए गए डोमेन में ऐसे मान \(3,6,9\) हैं, इसलिए \(f^{-1}(\{1\})=\{3,6,9\}\)। विकल्प A में \(3\) से अविभाज्य संख्याएँ हैं, जबकि विकल्प D में \(0\) शामिल है, जो डोमेन का सदस्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पूर्वछवि निकालते समय पहले लक्ष्य समुच्चय के मान की जाँच करें और केवल डोमेन के अवयव चुनें। / The preimage of a set consists of all elements of the domain whose images belong to that set. Here, \(f(n)=1\) exactly when \(n\) is divisible by \(3\). Among the given domain elements, these are \(3,6,9\), so \(f^{-1}(\{1\})=\{3,6,9\}\). Option A contains numbers not divisible by \(3\), while option D incorrectly includes \(0\), which is not in the domain. Exam tip: To find a preimage, check which domain elements map to the specified target value or set.
विकल्प (B) में हर इनपुट की एक छवि है, इसलिए (R) फलन है। उल्टे संबंध में (5) की दो छवियां (1) और (2) होंगी। / In option (B), every input has one image, so (R) is a function. In the inverse relation, (5) has two images (1) and (2).
(x=-1) पहले भाग में आता है, इसलिए (f(-1)=(-1)2+1=2) है। सीमा चिह्न से सही भाग चुनें। / The input (x=-1) belongs to the first part, so (f(-1)=(-1)2+1=2). Use the boundary sign to choose the correct part.
मान (5,4,3,2,1,1) दिखते हैं लेकिन (5) सहप्रांत में नहीं है, इसलिए यह वैध फलन नहीं है। सही जांच में पहले सहप्रांत की सदस्यता देखनी चाहिए। / The values look like (5,4,3,2,1,1), but (5) is not in the codomain, so it is not a valid function. The correct check must first test codomain membership.
हर शून्य न हो, इसलिए \(|2x-1|\ne5\) चाहिए। इससे (2x-1=5) या (2x-1=-5), यानी (x=3,-2) हटते हैं। / The denominator must be non-zero, so \(|2x-1|\ne5\). This gives (2x-1=5) or (2x-1=-5), so (x=3,-2) are excluded.
कुल \(2^6=64\) फलन हैं। (0,1,2) बार (1) आने वाले (1+6+15=22) हटाने पर (42) बचते हैं। / There are \(2^6=64\) total functions. Excluding cases with (0,1,2) occurrences of (1), namely (1+6+15=22), leaves (42).
B. यह फलन नहीं है क्योंकि (x=-2) पर मान परिभाषित नहीं है/It is not a function because the value at (x=-2) is undefined
Explanation
Simple Explanation
प्रांत में (-2) शामिल है, लेकिन \(\frac{3}{-2+2}\) परिभाषित नहीं है। फलन के लिए हर प्रांत-अवयव पर मान होना चाहिए। / The domain includes (-2), but \(\frac{3}{-2+2}\) is undefined. A function needs a value at every domain element.
क्योंकि (a>0), परवलय ऊपर की ओर खुलता है और (x=2) पर इसका न्यूनतम मान (b) होता है। इसलिए परास ([5,infty)) होने के लिए (b=5) तथा (a>0) आवश्यक हैं। विकल्प A में (a=3) और (b=5) हैं, इसलिए यह संभव है। विकल्प B में न्यूनतम मान 3 होगा, जबकि C में (a<0) होने से परास ऊपर से सीमित होगा और D में फलन नियत होगा। परीक्षा-युक्ति: (a(x-h)2+b) के लिए (a>0) होने पर परास ([b,infty)) होता है। / Since (a>0), the parabola opens upward, and its minimum value is (b) at (x=2). Therefore, for the range to be ([5,infty)), we must have (b=5) and (a>0). Option A satisfies these conditions with (a=3) and (b=5). In option B, the minimum value is 3; option C has (a<0), so its range is bounded above; and option D gives a constant function. Exam tip: For (a(x-h)2+b), the range is ([b,infty)) when (a>0).
कुल उपसमुच्चय \(2^{12}=4096\) हैं और फलन \(4^3=64\) हैं। इसलिए फलन न होने वाले उपसमुच्चय (4096-64=4032) हैं। / There are \(2^{12}=4096\) total subsets and \(4^3=64\) functions. Thus the non-function subsets are (4096-64=4032).
भीतर (x-2-10x+29=(x-5)2+4) है, इसलिए न्यूनतम भीतर (4) है। अतः परिसर \([2,\infty\)) है। / Inside the root, (x-2-10x+29=(x-5)2+4), so the minimum inside is (4). Hence the range is \([2,\infty\)).
A. हर (x) के लिए (|3x-2|) का ठीक एक मान है/For every (x), (|3x-2|) has exactly one value
Explanation
Simple Explanation
मापांक अभिव्यक्ति हर इनपुट को एकमात्र अऋण मान देती है। फलन-परीक्षा में इनपुट से आउटपुट की अद्वितीयता देखें। / An absolute value expression assigns one non-negative value to each input. In a function test, check uniqueness from input to output.
विषम (x) पर (7-x) सम मान देता है और सम (x) पर (x) ही मिलता है। इसलिए प्राप्त मान केवल ({2,4,6}) हैं। / For odd (x), (7-x) gives even values, and for even (x), (x) itself is obtained. Hence the obtained values are only ({2,4,6}).
फलन के ग्राफ में प्रांत के हर अवयव के लिए ठीक एक ordered pair होता है। इसलिए युग्मों की संख्या (|A|=7) है। / The graph of a function has exactly one ordered pair for each element of the domain. Therefore the number of pairs is (|A|=7).
A. यह फलन है और परिसर ({0,1,2,3}) है/It is a function and range is ({0,1,2,3})
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{x+4}\) प्रधान अऋण वर्गमूल देता है, इसलिए हर दिए गए (x) की एक छवि है। प्राप्त मान ({0,1,2,3}) हैं। / The expression \(\sqrt{x+4}\) gives the principal non-negative square root, so each given (x) has one image. The obtained values are ({0,1,2,3}).
A. क्योंकि (x=2) पर दो अलग मान (6) और (3) मिलते हैं/Because at (x=2), two different values (6) and (3) occur
Explanation
Simple Explanation
(x=2) दोनों भागों में आता है और मान (6) तथा (3) अलग हैं। एक ही इनपुट पर दो अलग आउटपुट फलन नहीं बनाते। / The input (x=2) belongs to both parts and gives different values (6) and (3). Two different outputs for one input do not define a function.
A. यह फलन है क्योंकि (x=2) पर दोनों नियम (3) देते हैं/It is a function because both rules give (3) at (x=2)
Explanation
Simple Explanation
(x=2) पर \(4\cdot2-5=3\) और (2+1=3) हैं, इसलिए कोई विरोध नहीं है। ओवरलैप तब मान्य है जब दोनों मान समान हों। / At (x=2), \(4\cdot2-5=3\) and (2+1=3), so there is no conflict. Overlap is valid when both values agree.
पहले (B) से (2) मान चुनने के लिए \(\binom{3}{2}=3\) विकल्प हैं और चुने गए दोनों मान आने चाहिए, इसलिए \(2^4-2=14\) नहीं बल्कि हर जोड़ी के लिए (14) होता है। कुल \(3\cdot14=42\) नहीं, सही गणना में विकल्पों से मेल नहीं है। / First choose (2) values from (B) in \(\binom{3}{2}=3\) ways, and both chosen values must occur, so each pair gives \(2^4-2=14\). The total is \(3\cdot14=42\), which is not in the options.
(x-2+2x+2=(x+1)2+1) और (f(x)=1+\frac{3}{(x+1)2+1}) है। अधिकतम \(\frac{5}{2}\) मिलता है और (1) कभी नहीं मिलता। / Here (x-2+2x+2=(x+1)2+1) and (f(x)=1+\frac{3}{(x+1)2+1}). The maximum is \(\frac{5}{2}\), and (1) is never attained.
