There are \(3\cdot3\) choices for the two equal groups and \(3\cdot2\) choices for the unequal last pair. Total functions are \(3\cdot3\cdot3\cdot2=54\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (54). There are \(3\cdot3\) choices for the two equal groups and \(3\cdot2\) choices for the unequal last pair. Total functions are \(3\cdot3\cdot3\cdot2=54\).
Step 3
Exam Tip
पहले दो समान समूहों के लिए \(3\cdot3\) विकल्प और अंतिम असमान जोड़े के लिए \(3\cdot2\) विकल्प हैं। कुल \(3\cdot3\cdot3\cdot2=54\) फलन हैं।
संबंध \(R=\{(x,y):y^2=x-1,\ x\in{2,5,10},\ y\in{-3,-2,-1,1,2,3}\}\) को \(X=\{2,5,10\}\) से \(Y=\{-3,-2,-1,1,2,3\}\) में माना गया है। सही निष्कर्ष क्या है?
B. यह फलन नहीं है क्योंकि (2) की दो छवियां हैं/It is not a function because (2) has two images
Step 1
Concept
At (x=2), both (y=1) and (y=-1) occur. Two images for one input break the condition for a function.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. यह फलन नहीं है क्योंकि (2) की दो छवियां हैं / It is not a function because (2) has two images. At (x=2), both (y=1) and (y=-1) occur. Two images for one input break the condition for a function.
Step 3
Exam Tip
(x=2) पर (y=1) और (y=-1) दोनों मिलते हैं। एक इनपुट की दो छवियां फलन की शर्त तोड़ देती हैं।
फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\sqrt{a x-2-6a+9}) से परिभाषित करना है। पूरे \(\mathbb{R}\) पर फलन बनने के लिए (a) की कौन सी शर्त पर्याप्त और आवश्यक है?
If (a<0), the radicand can become negative for large (|x|), and if \(a\ge0\), its minimum is (9-6a). Thus \(9-6a\ge0\) gives \(0\le a\le\frac{3}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\ 0\le a\le\frac{3}{2}\). If (a<0), the radicand can become negative for large (|x|), and if \(a\ge0\), its minimum is (9-6a). Thus \(9-6a\ge0\) gives \(0\le a\le\frac{3}{2}\).
Step 3
Exam Tip
यदि (a<0) हो तो बड़े (|x|) पर भीतर की राशि ऋणात्मक हो सकती है और यदि \(a\ge0\) हो तो न्यूनतम (9-6a) है। इसलिए \(9-6a\ge0\) से \(0\le a\le\frac{3}{2}\) मिलता है।
B. यह फलन है क्योंकि \(n^5-n\) हमेशा (5) से विभाज्य होता है/It is a function because \(n^5-n\) is always divisible by (5)
Step 1
Concept
For an integer (n), \(n^5-n\) is always divisible by (5). Therefore every value lies in \(\mathbb{Z}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. यह फलन है क्योंकि \(n^5-n\) हमेशा (5) से विभाज्य होता है / It is a function because \(n^5-n\) is always divisible by (5). For an integer (n), \(n^5-n\) is always divisible by (5). Therefore every value lies in \(\mathbb{Z}\).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक (n) के लिए \(n^5-n\) हमेशा (5) से विभाज्य होता है। इसलिए हर मान \(\mathbb{Z}\) में आता है।
A. यह फलन है और परिसर ({4,6,8,10}) है/It is a function and range is ({4,6,8,10})
Step 1
Concept
For every (x), (y=12-2x) is unique and lies in the given codomain. Listing all images is a safe method for finite sets.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह फलन है और परिसर ({4,6,8,10}) है / It is a function and range is ({4,6,8,10}). For every (x), (y=12-2x) is unique and lies in the given codomain. Listing all images is a safe method for finite sets.
Step 3
Exam Tip
हर (x) के लिए (y=12-2x) अद्वितीय है और दिए गए सहप्रांत में आता है। सीमित समुच्चय में सभी छवियां लिखना सुरक्षित तरीका है।
On the given domain (f(x)=x+2), but removing (x=-2) removes the value (0). After simplification, note the image of the excluded input.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\mathbb{R}-{0}\). On the given domain (f(x)=x+2), but removing (x=-2) removes the value (0). After simplification, note the image of the excluded input.
Step 3
Exam Tip
दिए गए प्रांत पर (f(x)=x+2) है लेकिन (x=-2) हटने से मान (0) नहीं मिलता। सरलीकरण के बाद हटे इनपुट की छवि ध्यान रखें।
In option (C), (4) has two images (r) and (q). In a function each input must have exactly one image.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. ({(1,p),(2,q),(3,q),(4,r),(5,p),(4,q)}). In option (C), (4) has two images (r) and (q). In a function each input must have exactly one image.
Step 3
Exam Tip
विकल्प (C) में (4) की दो छवियां (r) और (q) हैं। फलन में हर इनपुट की ठीक एक छवि होनी चाहिए।
For \(-2\le x\le4\), the value is (6), and at endpoints (x=-3,5), it is (8). Check modulus breakpoints and interval endpoints.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ([6,8]). For \(-2\le x\le4\), the value is (6), and at endpoints (x=-3,5), it is (8). Check modulus breakpoints and interval endpoints.
Step 3
Exam Tip
\(-2\le x\le4\) पर मान (6) है और सिरों (x=-3,5) पर मान (8) है। मापांक के ब्रेक-पॉइंट और अंतराल के सिरों को जांचें।
There is one empty function from the empty domain, but its graph has no ordered pair. Keep the count and graph size separate.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (1) और (0) / (1) and (0). There is one empty function from the empty domain, but its graph has no ordered pair. Keep the count and graph size separate.
Step 3
Exam Tip
रिक्त प्रांत से एक खाली फलन होता है, लेकिन उसके ग्राफ में कोई ordered pair नहीं होता। संख्या और ग्राफ-आकार को अलग रखें।
All elements of (C) lie in (A), and their images lie in the codomain (B). Hence \(f(C)\subseteq B\) is always true.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(f(C)\subseteq B\). All elements of (C) lie in (A), and their images lie in the codomain (B). Hence \(f(C)\subseteq B\) is always true.
Step 3
Exam Tip
(C) के सभी अवयव (A) में हैं और उनकी छवियां सहप्रांत (B) में होती हैं। इसलिए \(f(C)\subseteq B\) हमेशा सत्य है।
A. क्योंकि (x=0) की दो छवियां हैं/Because (x=0) has two images
Step 1
Concept
At (x=0), both (y=3) and (y=-3) are possible. In a circular relation, one (x) may give two (y)-values.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि (x=0) की दो छवियां हैं / Because (x=0) has two images. At (x=0), both (y=3) and (y=-3) are possible. In a circular relation, one (x) may give two (y)-values.
Step 3
Exam Tip
(x=0) पर (y=3) और (y=-3) दोनों संभव हैं। वृत्तीय संबंध में एक ही (x) के लिए दो (y) आ सकते हैं।
यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{1}{x-2+ax+9}) से परिभाषित करना हो, तो पूरे \(\mathbb{R}\) पर फलन बनने के लिए (a) की कौन सी शर्त सही है?
A. \(f^{-1}\) फलन है और \(f^{-1}=f\)/\(f^{-1}\) is a function and \(f^{-1}=f\)
Step 1
Concept
The rule sends (x) to (7-x), and applying the same rule again returns (x). Therefore the inverse relation is the same function.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(f^{-1}\) फलन है और \(f^{-1}=f\) / \(f^{-1}\) is a function and \(f^{-1}=f\). The rule sends (x) to (7-x), and applying the same rule again returns (x). Therefore the inverse relation is the same function.
Step 3
Exam Tip
नियम (x) को (7-x) पर भेजता है और वही नियम फिर लगाने पर (x) वापस आता है। इसलिए उल्टा संबंध भी वही फलन है।
A. क्योंकि (x=1) की छवियां (2) और (4) हैं/Because (x=1) has images (2) and (4)
Step 1
Concept
For (x=1), both (y=2) and (y=4) make the sum odd. Multiple outputs for one input do not define a function.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि (x=1) की छवियां (2) और (4) हैं / Because (x=1) has images (2) and (4). For (x=1), both (y=2) and (y=4) make the sum odd. Multiple outputs for one input do not define a function.
Step 3
Exam Tip
(x=1) के लिए (y=2) और (y=4) दोनों से योग विषम है। एक इनपुट के कई आउटपुट फलन नहीं बनाते।
On the given domain (f(x)=x+5), but removing (x=5) removes the value (10). The image of the excluded input is removed from the range.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (10). On the given domain (f(x)=x+5), but removing (x=5) removes the value (10). The image of the excluded input is removed from the range.
Step 3
Exam Tip
दिए गए प्रांत पर (f(x)=x+5) है, लेकिन (x=5) हटने से मान (10) नहीं मिलता। हटे इनपुट की छवि परिसर से हट जाती है।
A. जब (1,2,3,4,5) प्रत्येक प्रथम घटक के रूप में ठीक एक बार आए/When each of (1,2,3,4,5) appears exactly once as a first component
Step 1
Concept
With exactly (5) pairs, a function needs one image for every element of (A). Repetition of second components is allowed.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. जब (1,2,3,4,5) प्रत्येक प्रथम घटक के रूप में ठीक एक बार आए / When each of (1,2,3,4,5) appears exactly once as a first component. With exactly (5) pairs, a function needs one image for every element of (A). Repetition of second components is allowed.
Step 3
Exam Tip
ठीक (5) युग्मों में फलन बनने के लिए (A) के हर अवयव की एक-एक छवि चाहिए। द्वितीय घटकों का दोहराव स्वीकार्य है।
By symmetry the maximum occurs at (x=8), and the value is \(2\sqrt{8}=4\sqrt{2}\). For sums of square roots, check the balanced point.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(4\sqrt{2}\). By symmetry the maximum occurs at (x=8), and the value is \(2\sqrt{8}=4\sqrt{2}\). For sums of square roots, check the balanced point.
Step 3
Exam Tip
सममिति से अधिकतम (x=8) पर मिलता है और मान \(2\sqrt{8}=4\sqrt{2}\) है। वर्गमूल योग में संतुलित बिंदु जांचें।
Total relations are \(2^{|A||B|}=2^{12}\), and total functions are \(|B|^{|A|}=3^4\). The formulas for relations and functions are different.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2^{12}\) और \(3^4\) / \(2^{12}\) and \(3^4\). Total relations are \(2^{|A||B|}=2^{12}\), and total functions are \(|B|^{|A|}=3^4\). The formulas for relations and functions are different.
Step 3
Exam Tip
कुल संबंध \(2^{|A||B|}=2^{12}\) और कुल फलन \(|B|^{|A|}=3^4\) होते हैं। संबंध और फलन के सूत्र अलग हैं।
At the given inputs, the values are \(\frac{7}{2},5,-1,\frac{1}{2}\). For a finite domain, direct substitution is fastest.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\left{\frac{7}{2},5,-1,\frac{1}{2}\right}\). At the given inputs, the values are \(\frac{7}{2},5,-1,\frac{1}{2}\). For a finite domain, direct substitution is fastest.
Step 3
Exam Tip
दिए गए इनपुटों पर मान \(\frac{7}{2},5,-1,\frac{1}{2}\) मिलते हैं। सीमित प्रांत में प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन सबसे तेज है।
There are \(2^6=64\) total functions, and the opposite case (f(2)=b), (f(5)=a) gives \(2^4=16\) functions. Hence (64-16=48).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (48). There are \(2^6=64\) total functions, and the opposite case (f(2)=b), (f(5)=a) gives \(2^4=16\) functions. Hence (64-16=48).
Step 3
Exam Tip
कुल \(2^6=64\) फलन हैं और विपरीत स्थिति (f(2)=b), (f(5)=a) में \(2^4=16\) फलन हैं। अतः (64-16=48) है।
For \(-5\le x\le2\), the value is (7), and outside this interval the value increases. Hence the minimum is (7) and the range is \([7,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \([7,\infty\)). For \(-5\le x\le2\), the value is (7), and outside this interval the value increases. Hence the minimum is (7) and the range is \([7,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
\(-5\le x\le2\) पर मान (7) है और बाहर मान बढ़ता है। इसलिए न्यूनतम (7) और परिसर \([7,\infty\)) है।
Each given (x) has a unique real seventh root in (Y). The inverse of an odd power is unique over real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह फलन है / It is a function. Each given (x) has a unique real seventh root in (Y). The inverse of an odd power is unique over real numbers.
Step 3
Exam Tip
हर दिए गए (x) का वास्तविक सप्तममूल अद्वितीय है और (Y) में है। विषम घात का उल्टा वास्तविक संख्याओं में एकमात्र होता है।
B. नहीं, क्योंकि \(f(4)=6\notin{0,1,2,3,4}\)/No, because \(f(4)=6\notin{0,1,2,3,4}\)
Step 1
Concept
Here (f(4)=16-12+2=6), which is not in the codomain. For a finite domain, match every value with the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. नहीं, क्योंकि \(f(4)=6\notin{0,1,2,3,4}\) / No, because \(f(4)=6\notin{0,1,2,3,4}\). Here (f(4)=16-12+2=6), which is not in the codomain. For a finite domain, match every value with the codomain.
Step 3
Exam Tip
(f(4)=16-12+2=6) है, जो सहप्रांत में नहीं है। सीमित प्रांत में हर मान को सहप्रांत से मिलाएं।
A. क्योंकि (x=2) की दो छवियां हैं/Because (x=2) has two images
Step 1
Concept
At (x=2), (|2-2y|=2) gives both (y=0) and (y=2). Two outputs for one input do not define a function.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि (x=2) की दो छवियां हैं / Because (x=2) has two images. At (x=2), (|2-2y|=2) gives both (y=0) and (y=2). Two outputs for one input do not define a function.
Step 3
Exam Tip
(x=2) पर (|2-2y|=2) से (y=0) और (y=2) दोनों मिलते हैं। एक इनपुट पर दो आउटपुट फलन नहीं बनाते।
In option (B), every input has one image, so (R) is a function. In the inverse relation, (5) has two images (1) and (2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ({(1,5),(2,5),(3,6),(4,7)}). In option (B), every input has one image, so (R) is a function. In the inverse relation, (5) has two images (1) and (2).
Step 3
Exam Tip
विकल्प (B) में हर इनपुट की एक छवि है, इसलिए (R) फलन है। उल्टे संबंध में (5) की दो छवियां (1) और (2) होंगी।
The values look like (5,4,3,2,1,1), but (5) is not in the codomain, so it is not a valid function. The correct check must first test codomain membership.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ({1,2,3,4}). The values look like (5,4,3,2,1,1), but (5) is not in the codomain, so it is not a valid function. The correct check must first test codomain membership.
Step 3
Exam Tip
मान (5,4,3,2,1,1) दिखते हैं लेकिन (5) सहप्रांत में नहीं है, इसलिए यह वैध फलन नहीं है। सही जांच में पहले सहप्रांत की सदस्यता देखनी चाहिए।
The denominator must be non-zero, so \(|2x-1|\ne5\). This gives (2x-1=5) or (2x-1=-5), so (x=3,-2) are excluded.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\mathbb{R}-{-2,3}\). The denominator must be non-zero, so \(|2x-1|\ne5\). This gives (2x-1=5) or (2x-1=-5), so (x=3,-2) are excluded.
Step 3
Exam Tip
हर शून्य न हो, इसलिए \(|2x-1|\ne5\) चाहिए। इससे (2x-1=5) या (2x-1=-5), यानी (x=3,-2) हटते हैं।
B. यह फलन नहीं है क्योंकि (x=-2) पर मान परिभाषित नहीं है/It is not a function because the value at (x=-2) is undefined
Step 1
Concept
The domain includes (-2), but \(\frac{3}{-2+2}\) is undefined. A function needs a value at every domain element.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. यह फलन नहीं है क्योंकि (x=-2) पर मान परिभाषित नहीं है / It is not a function because the value at (x=-2) is undefined. The domain includes (-2), but \(\frac{3}{-2+2}\) is undefined. A function needs a value at every domain element.
Step 3
Exam Tip
प्रांत में (-2) शामिल है, लेकिन \(\frac{3}{-2+2}\) परिभाषित नहीं है। फलन के लिए हर प्रांत-अवयव पर मान होना चाहिए।
A. हर (x) के लिए (|3x-2|) का ठीक एक मान है/For every (x), (|3x-2|) has exactly one value
Step 1
Concept
An absolute value expression assigns one non-negative value to each input. In a function test, check uniqueness from input to output.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हर (x) के लिए (|3x-2|) का ठीक एक मान है / For every (x), (|3x-2|) has exactly one value. An absolute value expression assigns one non-negative value to each input. In a function test, check uniqueness from input to output.
Step 3
Exam Tip
मापांक अभिव्यक्ति हर इनपुट को एकमात्र अऋण मान देती है। फलन-परीक्षा में इनपुट से आउटपुट की अद्वितीयता देखें।
For odd (x), (7-x) gives even values, and for even (x), (x) itself is obtained. Hence the obtained values are only ({2,4,6}).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ({2,4,6}). For odd (x), (7-x) gives even values, and for even (x), (x) itself is obtained. Hence the obtained values are only ({2,4,6}).
Step 3
Exam Tip
विषम (x) पर (7-x) सम मान देता है और सम (x) पर (x) ही मिलता है। इसलिए प्राप्त मान केवल ({2,4,6}) हैं।
The graph of a function has exactly one ordered pair for each element of the domain. Therefore the number of pairs is (|A|=7).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (7). The graph of a function has exactly one ordered pair for each element of the domain. Therefore the number of pairs is (|A|=7).
Step 3
Exam Tip
फलन के ग्राफ में प्रांत के हर अवयव के लिए ठीक एक ordered pair होता है। इसलिए युग्मों की संख्या (|A|=7) है।
A. यह फलन है और परिसर ({0,1,2,3}) है/It is a function and range is ({0,1,2,3})
Step 1
Concept
The expression \(\sqrt{x+4}\) gives the principal non-negative square root, so each given (x) has one image. The obtained values are ({0,1,2,3}).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह फलन है और परिसर ({0,1,2,3}) है / It is a function and range is ({0,1,2,3}). The expression \(\sqrt{x+4}\) gives the principal non-negative square root, so each given (x) has one image. The obtained values are ({0,1,2,3}).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{x+4}\) प्रधान अऋण वर्गमूल देता है, इसलिए हर दिए गए (x) की एक छवि है। प्राप्त मान ({0,1,2,3}) हैं।
A. क्योंकि (x=2) पर दो अलग मान (6) और (3) मिलते हैं/Because at (x=2), two different values (6) and (3) occur
Step 1
Concept
The input (x=2) belongs to both parts and gives different values (6) and (3). Two different outputs for one input do not define a function.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि (x=2) पर दो अलग मान (6) और (3) मिलते हैं / Because at (x=2), two different values (6) and (3) occur. The input (x=2) belongs to both parts and gives different values (6) and (3). Two different outputs for one input do not define a function.
Step 3
Exam Tip
(x=2) दोनों भागों में आता है और मान (6) तथा (3) अलग हैं। एक ही इनपुट पर दो अलग आउटपुट फलन नहीं बनाते।
A. यह फलन है क्योंकि (x=2) पर दोनों नियम (3) देते हैं/It is a function because both rules give (3) at (x=2)
Step 1
Concept
At (x=2), \(4\cdot2-5=3\) and (2+1=3), so there is no conflict. Overlap is valid when both values agree.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह फलन है क्योंकि (x=2) पर दोनों नियम (3) देते हैं / It is a function because both rules give (3) at (x=2). At (x=2), \(4\cdot2-5=3\) and (2+1=3), so there is no conflict. Overlap is valid when both values agree.
Step 3
Exam Tip
(x=2) पर \(4\cdot2-5=3\) और (2+1=3) हैं, इसलिए कोई विरोध नहीं है। ओवरलैप तब मान्य है जब दोनों मान समान हों।
First choose (2) values from (B) in \(\binom{3}{2}=3\) ways, and both chosen values must occur, so each pair gives \(2^4-2=14\). The total is \(3\cdot14=42\), which is not in the options.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (36). First choose (2) values from (B) in \(\binom{3}{2}=3\) ways, and both chosen values must occur, so each pair gives \(2^4-2=14\). The total is \(3\cdot14=42\), which is not in the options.
Step 3
Exam Tip
पहले (B) से (2) मान चुनने के लिए \(\binom{3}{2}=3\) विकल्प हैं और चुने गए दोनों मान आने चाहिए, इसलिए \(2^4-2=14\) नहीं बल्कि हर जोड़ी के लिए (14) होता है। कुल \(3\cdot14=42\) नहीं, सही गणना में विकल्पों से मेल नहीं है।
Here (x-2+2x+2=(x+1)2+1) and (f(x)=1+\frac{3}{(x+1)2+1}). The maximum is \(\frac{5}{2}\), and (1) is never attained.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (\left\(1,\frac{5}{2}\right]\). Here (x-2+2x+2=(x+1)2+1) and (f(x)=1+\frac{3}{(x+1)2+1}). The maximum is \(\frac{5}{2}\), and (1) is never attained.
Step 3
Exam Tip
(x-2+2x+2=(x+1)2+1) और (f(x)=1+\frac{3}{(x+1)2+1}) है। अधिकतम \(\frac{5}{2}\) मिलता है और (1) कभी नहीं मिलता।
