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Class 11 Mathematics Expert Level 30

यदि \\(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\\) फलन \\(f(x)=2x^2-8x+11\\) द्वारा परिभाषित है, तो \\(f\\) का परिसर (range) क्या है?

If the function \\(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\\) is defined by \\(f(x)=2x^2-8x+11\\), what is the range of \\(f\\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \\([3,\infty)\\)

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Simple Explanation

वर्ग पूरा करने पर \\(f(x)=2x^2-8x+11=2(x-2)^2+3\\) मिलता है। चूँकि \\((x-2)^2\\ge 0\\), इसलिए \\(f(x)\\ge 3\\), और \\(x=2\\) पर न्यूनतम मान \\(3\\) प्राप्त होता है। अतः परिसर \\([3,\infty)\\) है। विकल्प B में \\(f(0)=11\\) को न्यूनतम मान मान लिया गया है, जो गलत है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक अग्रणी गुणांक वाले द्विघात फलन का न्यूनतम मान शीर्ष (vertex) पर मिलता है। / Completing the square gives \\(f(x)=2x^2-8x+11=2(x-2)^2+3\\). Since \\((x-2)^2\\ge 0\\), we have \\(f(x)\\ge 3\\), with the minimum value \\(3\\) attained at \\(x=2\\). Therefore, the range is \\([3,\infty)\\). Option B incorrectly treats \\(f(0)=11\\) as the minimum value. Exam tip: For a quadratic with a positive leading coefficient, the minimum occurs at its vertex.

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यदि \\(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\\) फलन \\(f(x)=2x^2-8x+11\\) द्वारा परिभाषित है, तो \\(f\\) का परिसर (range) क्या है? / If the function \\(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\\) is defined by \\(f(x)=2x^2-8x+11\\), what is the range of \\(f\\)?

Correct Answer: A. \\([3,\infty)\\). Explanation: वर्ग पूरा करने पर \\(f(x)=2x^2-8x+11=2(x-2)^2+3\\) मिलता है। चूँकि \\((x-2)^2\\ge 0\\), इसलिए \\(f(x)\\ge 3\\), और \\(x=2\\) पर न्यूनतम मान \\(3\\) प्राप्त होता है। अतः परिसर \\([3,\infty)\\) है। विकल्प B में \\(f(0)=11\\) को न्यूनतम मान मान लिया गया है, जो गलत है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक अग्रणी गुणांक वाले द्विघात फलन का न्यूनतम मान शीर्ष (vertex) पर मिलता है। / Completing the square gives \\(f(x)=2x^2-8x+11=2(x-2)^2+3\\). Since \\((x-2)^2\\ge 0\\), we have \\(f(x)\\ge 3\\), with the minimum value \\(3\\) attained at \\(x=2\\). Therefore, the range is \\([3,\infty)\\). Option B incorrectly treats \\(f(0)=11\\) as the minimum value. Exam tip: For a quadratic with a positive leading coefficient, the minimum occurs at its vertex.