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Class 11 Mathematics Expert Level 30

यदि (f:mathbb{R} omathbb{R}) का परास ([5,infty)) है और (f(x)=a(x-2)2+b), जहाँ (a>0), तो निम्नलिखित में से कौन-सा युग्म संभव है?

If (f:mathbb{R} omathbb{R}) has range ([5,infty)) and (f(x)=a(x-2)2+b), where (a>0), which of the following pairs is possible?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. ((a,b)=(3,5))

Explanation

Simple Explanation

क्योंकि (a>0), परवलय ऊपर की ओर खुलता है और (x=2) पर इसका न्यूनतम मान (b) होता है। इसलिए परास ([5,infty)) होने के लिए (b=5) तथा (a>0) आवश्यक हैं। विकल्प A में (a=3) और (b=5) हैं, इसलिए यह संभव है। विकल्प B में न्यूनतम मान 3 होगा, जबकि C में (a<0) होने से परास ऊपर से सीमित होगा और D में फलन नियत होगा। परीक्षा-युक्ति: (a(x-h)2+b) के लिए (a>0) होने पर परास ([b,infty)) होता है। / Since (a>0), the parabola opens upward, and its minimum value is (b) at (x=2). Therefore, for the range to be ([5,infty)), we must have (b=5) and (a>0). Option A satisfies these conditions with (a=3) and (b=5). In option B, the minimum value is 3; option C has (a<0), so its range is bounded above; and option D gives a constant function. Exam tip: For (a(x-h)2+b), the range is ([b,infty)) when (a>0).

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यदि (f:mathbb{R} omathbb{R}) का परास ([5,infty)) है और (f(x)=a(x-2)2+b), जहाँ (a>0), तो निम्नलिखित में से कौन-सा युग्म संभव है? / If (f:mathbb{R} omathbb{R}) has range ([5,infty)) and (f(x)=a(x-2)2+b), where (a>0), which of the following pairs is possible?

Correct Answer: A. ((a,b)=(3,5)). Explanation: क्योंकि (a>0), परवलय ऊपर की ओर खुलता है और (x=2) पर इसका न्यूनतम मान (b) होता है। इसलिए परास ([5,infty)) होने के लिए (b=5) तथा (a>0) आवश्यक हैं। विकल्प A में (a=3) और (b=5) हैं, इसलिए यह संभव है। विकल्प B में न्यूनतम मान 3 होगा, जबकि C में (a<0) होने से परास ऊपर से सीमित होगा और D में फलन नियत होगा। परीक्षा-युक्ति: (a(x-h)2+b) के लिए (a>0) होने पर परास ([b,infty)) होता है। / Since (a>0), the parabola opens upward, and its minimum value is (b) at (x=2). Therefore, for the range to be ([5,infty)), we must have (b=5) and (a>0). Option A satisfies these conditions with (a=3) and (b=5). In option B, the minimum value is 3; option C has (a<0), so its range is bounded above; and option D gives a constant function. Exam tip: For (a(x-h)2+b), the range is ([b,infty)) when (a>0).