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\(A\times B\) में पहला अवयव (A) से और दूसरा (B) से आता है। परीक्षा में क्रम का ध्यान रखें। / In \(A\times B\), the first component comes from (A) and the second from (B). In exams, always check the order.
शर्त (|a-b|=2) से युग्म ((1,3),(2,4),(3,1),(4,2)) मिलते हैं। क्रमित युग्मों में उलटे युग्म अलग गिने जाते हैं। / The condition (|a-b|=2) gives the pairs ((1,3),(2,4),(3,1),(4,2)). In ordered pairs, reversed pairs are counted separately.
\(|A\times B|=|A|\cdot |B|=2\cdot3=6\) होता है। कार्डिनलिटी वाले प्रश्नों में सीधे गुणा करें। / \(|A\times B|=|A|\cdot |B|=2\cdot3=6\). For cardinality questions, multiply the sizes directly.
\(B\times A\) में पहला अवयव (B) से और दूसरा (A) से लिया जाता है। \(A\times B\) और \(B\times A\) को अलग समझें। / In \(B\times A\), the first component is from (B) and the second from (A). Do not confuse \(A\times B\) with \(B\times A\).
A. क्रमित युग्मों में क्रम महत्त्वपूर्ण होता है/Order matters in ordered pairs
Explanation
Simple Explanation
क्रमित युग्म में ((1,3)) और ((3,1)) समान नहीं होते। इसलिए \(A\times B\) सामान्यतः \(B\times A\) के बराबर नहीं होता। / In ordered pairs, ((1,3)) and ((3,1)) are not the same. Hence \(A\times B\) is generally not equal to \(B\times A\).
\(|A\times B|=2\cdot1=2\) और फिर (|\(A\times B\)\times C|=2\cdot3=6)। संयुक्त गुणनफल में भी कार्डिनलिटी गुणा होती है। / \(|A\times B|=2\cdot1=2\), then (|\(A\times B\)\times C|=2\cdot3=6). Cardinalities multiply in nested products too.
(2+5=7) और (3+4=7), इसलिए यही युग्म आते हैं। संबंध बनाने से पहले पूरा \(A\times B\) सोचें। / Since (2+5=7) and (3+4=7), these pairs belong to (R). Think of all pairs in \(A\times B\) before filtering.
((-1)2=1), \(0^2=0\), और \(1^2=1\), इसलिए (3) युग्म मिलते हैं। प्रत्येक (x) के लिए (y) जाँचें। / ((-1)2=1), \(0^2=0\), and \(1^2=1\), so there are (3) pairs. Check (y) for each (x).
(a=2,3,4) के लिए क्रमशः (1,2,3) मान मिलते हैं, कुल (6)। असमानता में पहले अवयव को आधार बनाकर गिनें। / For (a=2,3,4), the counts are (1,2,3), giving (6). For inequalities, count using the first component.
(|A|=3) और \(3\cdot |B|=12\), इसलिए (|B|=4)। अज्ञात कार्डिनलिटी निकालने में भाग दें। / Since (|A|=3) and \(3\cdot |B|=12\), we get (|B|=4). Divide to find the unknown cardinality.
\(|A\times B|=mn\), इसलिए इसके उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{mn}\) होगी। पहले मूल समुच्चय की कार्डिनलिटी निकालें। / \(|A\times B|=mn\), so the number of subsets is \(2^{mn}\). First find the cardinality of the base set.
संबंध \(A\times B\) का कोई भी उपसमुच्चय है और \(|A\times B|=6\)। इसलिए संबंधों की संख्या \(2^6=64\) है। / A relation is any subset of \(A\times B\), and \(|A\times B|=6\). Hence the number of relations is \(2^6=64\).
\(|A\times B|=3\cdot2=6\), इसलिए गैर-रिक्त उपसमुच्चय \(2^6-1=63\) हैं। रिक्त समुच्चय घटाना न भूलें। / \(|A\times B|=3\cdot2=6\), so non-empty subsets are \(2^6-1=63\). Do not forget to subtract the empty set.
((4,3)) में पहला अवयव (4) है, जो (A) में नहीं है। सदस्यता में दोनों स्थान अलग-अलग जाँचें। / In ((4,3)), the first component (4) is not in (A). Check both positions separately for membership.
दूसरे अवयवों का समुच्चय \(B=\{a,b\}\) है। कार्तीय गुणनफल से मूल समुच्चय पहचानते समय स्थान देखें। / The set of second components is \(B=\{a,b\}\). When identifying original sets, observe the positions.
यदि (A) रिक्त नहीं है और \(A\times B=\varnothing\), तो \(B=\varnothing\) होना चाहिए। रिक्त गुणनफल में कम से कम एक समुच्चय रिक्त होता है। / If (A) is non-empty and \(A\times B=\varnothing\), then \(B=\varnothing\). A Cartesian product is empty if at least one set is empty.
पहला समुच्चय रिक्त है, इसलिए कोई क्रमित युग्म बन नहीं सकता। रिक्त समुच्चय को (0) अवयव वाला समुच्चय मानें। / The first set is empty, so no ordered pair can be formed. Treat the empty set as a set with (0) elements.
क्योंकि (R) अधिकतम पूरे \(A\times B\) के बराबर हो सकता है और \(|A\times B|=20\)। अधिकतम अवयव पूछे जाएँ तो \(2^{20}\) नहीं लिखें। / Since (R) can be at most the whole \(A\times B\), and \(|A\times B|=20\). If maximum elements are asked, do not write \(2^{20}\).
तीन समुच्चयों के कार्तीय गुणनफल में कार्डिनलिटी \(2\cdot3\cdot4=24\) है। क्रमित त्रिक के प्रश्न में तीनों आकार गुणा करें। / For Cartesian product of three sets, the cardinality is \(2\cdot3\cdot4=24\). For ordered triples, multiply all three sizes.
\(B\cup C={3,4,5}\), इसलिए (|A\times\(B\cup C\)|=2\cdot3=6)। पहले कोष्ठक के भीतर का समुच्चय निकालें। / \(B\cup C={3,4,5}\), so (|A\times\(B\cup C\)|=2\cdot3=6). First evaluate the set inside the brackets.
\(B\cap C={3,4}\), इसलिए (|A\times\(B\cap C\)|=3\cdot2=6)। प्रतिच्छेद के बाद ही गुणा करें। / \(B\cap C={3,4}\), so (|A\times\(B\cap C\)|=3\cdot2=6). Multiply only after finding the intersection.
(\(A\times B\)\cap\(A\times C\)=A\times\(B\cap C\)) और \(B\cap C={3}\)। इसलिए युग्म ((1,3)) और ((2,3)) हैं। / (\(A\times B\)\cap\(A\times C\)=A\times\(B\cap C\)), and \(B\cap C={3}\). Thus the pairs are ((1,3)) and ((2,3)).
(B-C={1}), इसलिए \(A\times(B-C)={(0,1),(1,1)}\)। अंतर निकालने में केवल (B) के अवयव देखें। / (B-C={1}), so \(A\times(B-C)={(0,1),(1,1)}\). For difference, keep only elements of (B) not in (C).
\(|A\times B|=6\) और (2) अवयव चुनने के तरीके \(\binom{6}{2}=15\) हैं। ठीक (2) अवयव का अर्थ संयोजन है। / \(|A\times B|=6\), and choosing (2) elements gives \(\binom{6}{2}=15\). Exactly (2) elements means a combination.
\(|A\times B|=6\), इसलिए (1) अवयव वाला संबंध चुनने के (6) तरीके हैं। एकल संबंध सीधे एक क्रमित युग्म होता है। / \(|A\times B|=6\), so there are (6) ways to choose a one-element relation. A singleton relation is just one ordered pair.
योग सम तब है जब दोनों अवयवों की समता समान हो। \(2\cdot2+2\cdot2=8\) युग्म मिलते हैं। / The sum is even when both components have the same parity. The count is \(2\cdot2+2\cdot2=8\).
युग्म ((1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)) हैं, इसलिए कुल (5) हैं। क्रमित युग्मों में उलटे युग्म अलग गिने जाते हैं। / The pairs are ((1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)), so there are (5). Reversed pairs count separately in ordered pairs.
(a=1) से (4), (a=2) से (2), (a=3) से (1), (a=4) से (1) युग्म मिलते हैं, कुल (8)। विभाज्यता में हर (a) अलग जाँचें। / For (a=1,2,3,4), the counts are (4,2,1,1), totaling (8). In divisibility, check each (a) separately.
\(1^2=1\), \(2^2=4\), और \(3^2=9\), इसलिए (3) युग्म हैं। नियम आधारित संबंध में हर पहला अवयव जाँचें। / Since \(1^2=1\), \(2^2=4\), and \(3^2=9\), there are (3) pairs. For rule-based relations, check each first component.
(a=0,1,2) के लिए (b) के क्रमशः (3,2,1) मान हैं, कुल (6)। असमानता में सीमा को सावधानी से देखें। / For (a=0,1,2), the possible values of (b) are (3,2,1), totaling (6). Read the inequality boundary carefully.
विकर्ण युग्म ((1,1),(2,2),(3,3)) हैं, इसलिए संख्या (3) है। समान समुच्चयों में विकर्ण की संख्या सामान्यतः (|A|) होती है। / The diagonal pairs are ((1,1),(2,2),(3,3)), so the count is (3). For equal sets, the diagonal count is usually (|A|).
कुल युग्म (16) हैं और बराबर युग्म (4) हैं, इसलिए (16-4=12)। पूरक गिनती जल्दी उत्तर देती है। / There are (16) total pairs and (4) equal pairs, so (16-4=12). Complement counting gives a quick answer.
शर्त (a=2b) देती है, इसलिए ((2,1),(4,2),(6,3)) मिलते हैं। भिन्न को सरल रैखिक संबंध में बदलें। / The condition gives (a=2b), so the pairs are ((2,1),(4,2),(6,3)). Convert a fraction condition into a simple linear relation.
(a=1,2,3) से (b=2,4,6) मिलते हैं, और ये (B) में हैं। इसलिए (3) युग्म हैं। / For (a=1,2,3), we get (b=2,4,6), all in (B). Therefore there are (3) pairs.
(b=1,2,3) के लिए (a) के क्रमशः (1,2,3) मान हैं, कुल (6)। कभी-कभी दूसरे अवयव से गिनना आसान होता है। / For (b=1,2,3), the possible values of (a) are (1,2,3), totaling (6). Sometimes counting by the second component is easier.
योग (5) या अधिक के युग्म ((2,3),(3,2),(3,3)) हैं, कुल (3)। सीमा सहित शर्त में बराबरी भी गिनें। / The pairs with sum (5) or more are ((2,3),(3,2),(3,3)), totaling (3). Include equality when the condition has a boundary.
विषम संख्या और सम संख्या का योग हमेशा विषम होता है। समता वाले प्रश्न में सभी युग्म लिखना आवश्यक नहीं। / The sum of an odd number and an even number is always odd. For parity questions, writing all pairs is not necessary.
यहाँ (A=B), इसलिए \(A\times B\) और \(B\times A\) समान हैं। सामान्य नियम में बराबरी तभी स्पष्ट होती है जब समुच्चय समान हों। / Here (A=B), so \(A\times B\) and \(B\times A\) are the same. Equality is clear when the two sets are identical.
\((1,4)\in A\times B\), पर \((1,4)\notin B\times A\) क्योंकि \(1\notin B\)। एक प्रतिउदाहरण पर्याप्त है। / \((1,4)\in A\times B\), but \((1,4)\notin B\times A\) because \(1\notin B\). One counterexample is enough.
\(A\cup B={1,2,3,4}\), इसलिए (|\(A\cup B\)\times C|=4\cdot2=8)। पहले संघ की कार्डिनलिटी निकालें। / \(A\cup B={1,2,3,4}\), so (|\(A\cup B\)\times C|=4\cdot2=8). Find the union size first.
\(A\cap B={2,3}\) और (|C|=3), इसलिए कार्डिनलिटी \(2\cdot3=6\) है। प्रतिच्छेद को पहले सरल करें। / \(A\cap B={2,3}\) and (|C|=3), so the cardinality is \(2\cdot3=6\). Simplify the intersection first.
(\(A\times B\)\cup\(A\times C\)=A\times\(B\cup C\)) और \(B\cup C={2,3,4}\)। इसलिए कार्डिनलिटी \(2\cdot3=6\) है। / (\(A\times B\)\cup\(A\times C\)=A\times\(B\cup C\)), and \(B\cup C={2,3,4}\). Hence the cardinality is \(2\cdot3=6\).
शर्त से (a=b+1), इसलिए ((2,1)) और ((3,2)) मिलते हैं। समीकरण को युग्मों पर लागू करें। / The condition gives (a=b+1), so the pairs are ((2,1)) and ((3,2)). Apply the equation to ordered pairs.
(a=1,2,3) से (b=2,4,8) मिलते हैं, पर (a=4) से \(16\notin B\)। इसलिए (3) युग्म हैं। / For (a=1,2,3), we get (b=2,4,8), but for (a=4), \(16\notin B\). Hence there are (3) pairs.
जाँचने पर अभाज्य योग वाले (6) युग्म मिलते हैं। ऐसे प्रश्नों में सभी संभावित योगों को व्यवस्थित रूप से जाँचें। / Checking systematically gives (6) pairs with prime sum. In such questions, test all possible sums in an organized way.
योग विषम तब होता है जब एक अवयव सम और दूसरा विषम हो। गिनती \(2\cdot1+2\cdot2=6\) है। / The sum is odd when one component is even and the other is odd. The count is \(2\cdot1+2\cdot2=6\).
(a=1,2,3) के लिए (b) के क्रमशः (4,3,3) मान मिलते हैं, कुल (10)। गुणन वाली शर्त में प्रत्येक (a) पर सीमा बदलती है। / For (a=1,2,3), the possible values of (b) are (4,3,3), totaling (10). In product conditions, the limit changes for each (a).
(\gcd(a,b)=1) वाले युग्म गिनने पर (11) मिलते हैं। (1) के साथ हर संख्या परस्पर अभाज्य मानी जाती है। / Counting pairs with (\gcd(a,b)=1) gives (11). Remember that (1) is coprime with every number.
(b-a) सम तब है जब (a) और (b) की समता समान हो। गिनती \(2\cdot2+1\cdot2=6\) है। / (b-a) is even when (a) and (b) have the same parity. The count is \(2\cdot2+1\cdot2=6\).
(a=1,2,3,4) के लिए (b) के क्रमशः (4,3,2,1) मान मिलते हैं, कुल (10)। ऐसी गिनती में सीमा के अनुसार पंक्तियाँ बनाएं। / For (a=1,2,3,4), the possible values of (b) are (4,3,2,1), totaling (10). Make rows according to the boundary in such counts.
\(A\times B\) में पहला अवयव (A) से और दूसरा अवयव (B) से आता है। क्रमित युग्म में क्रम बदलने से उत्तर बदल जाता है। / In \(A\times B\), the first component comes from (A) and the second from (B). Changing order changes the ordered pair.
योग (4) से विभाज्य होने वाले युग्म ((1,3),(2,2),(3,1),(4,4),(5,3)) हैं। ऐसे प्रश्नों में शेषफल के आधार पर गिनती करें। / The pairs with sum divisible by (4) are ((1,3),(2,2),(3,1),(4,4),(5,3)). In such questions, count using remainders.
यहाँ \(A=\{2,3,4,5,6\}\) और \(B=\{1,3,5,7\}\), इसलिए \(|A\times B|=5\cdot4=20\)। पहले दोनों समुच्चयों की संख्या गिनें। / Here \(A=\{2,3,4,5,6\}\) and \(B=\{1,3,5,7\}\), so \(|A\times B|=5\cdot4=20\). First count both sets.
(a=1,2,3,4) के लिए (b) के क्रमशः (4,3,2,1) मान मिलते हैं, इसलिए कुल (10) युग्म हैं। असमानता में हर पहले अवयव पर सीमा अलग जाँचें। / For (a=1,2,3,4), the counts of (b) are (4,3,2,1), so there are (10) pairs. In inequalities, check the boundary for each first component.
तीन समुच्चयों के गुणनफल में कार्डिनलिटी \(3\cdot2\cdot3=18\) होती है। क्रमित त्रिक में सभी समुच्चयों के आकार गुणा करें। / For product of three sets, the cardinality is \(3\cdot2\cdot3=18\). For ordered triples, multiply the sizes of all sets.
\(|B\times A|=|B|\cdot|A|=2\cdot3=6\)। क्रम बदलने से युग्म बदलते हैं, पर कार्डिनलिटी समान रहती है। / \(|B\times A|=|B|\cdot|A|=2\cdot3=6\). Reversing order changes pairs but not the cardinality.
शर्त से युग्म ((2,6)) और ((4,4)) मिलते हैं। हर (a) के लिए (b=8-a) जाँचें। / The condition gives the pairs ((2,6)) and ((4,4)). For each (a), check (b=8-a).
(a=0,1,2,3) के लिए (b) के क्रमशः (4,3,2,1) मान मिलते हैं, कुल (10)। असमानता में पंक्ति के अनुसार गिनती करें। / For (a=0,1,2,3), the counts of (b) are (4,3,2,1), totaling (10). Count row-wise in inequality questions.
(b=1) पर (a=2,3,4,5) मिलते हैं और (b=2,3) पर क्रमशः (2,0) मान मिलते हैं, कुल (4+2+0=6) नहीं बल्कि (6) है। सही विकल्प (D) होना चाहिए। / For (b=1), (a=2,3,4,5); for (b=2,3), counts are (2,0), so total is (6). The correct option should be (D).
हर \(a\in A\) के लिए \(a^2\in B\) है, इसलिए (4) युग्म बनते हैं। नियम आधारित प्रश्न में सभी पहले अवयव जाँचें। / For every \(a\in A\), \(a^2\in B\), so (4) pairs are formed. In rule-based questions, check all first components.
(a=1) से (4), (a=2) से (2), और (a=3) से (1) युग्म मिलते हैं, कुल (7)। विभाज्यता में प्रत्येक भाजक को अलग जाँचें। / For (a=1), there are (4) pairs; for (a=2), (2); and for (a=3), (1), totaling (7). Check each divisor separately.
ऐसे युग्म ((2,2),(2,4),(4,2)) हैं, इसलिए संख्या (3) है। \(\gcd\) वाले प्रश्न में सामान्य गुणनखंड जाँचें। / The pairs are ((2,2),(2,4),(4,2)), so the number is (3). In \(\gcd\) questions, check common factors.
\(|A\times B|=12\), इसलिए ठीक (3) युग्म चुनने के तरीके \(\binom{12}{3}=220\) हैं। ठीक संख्या पूछी हो तो संयोजन लगाएँ। / Since \(|A\times B|=12\), the number of ways to choose exactly (3) pairs is \(\binom{12}{3}=220\). Use combinations when an exact size is asked.
संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय है और \(|A\times B|=10\), इसलिए संख्या \(2^{10}=1024\) है। संबंधों की संख्या के लिए घात (2) लगती है। / A relation is a subset of \(A\times B\), and \(|A\times B|=10\), so the number is \(2^{10}=1024\). Number of relations uses a power of (2).
\(B\cup C={2,3,4,5}\), इसलिए (|A\times\(B\cup C\)|=3\cdot4=12)। पहले संघ निकालें फिर गुणा करें। / \(B\cup C={2,3,4,5}\), so (|A\times\(B\cup C\)|=3\cdot4=12). Find the union first, then multiply.
\(B\cap C={2,5}\), इसलिए कार्डिनलिटी \(4\cdot2=8\) है। प्रतिच्छेद को पहले सरल करना जरूरी है। / \(B\cap C={2,5}\), so the cardinality is \(4\cdot2=8\). Simplify the intersection first.
(B-C={1}), इसलिए \(A\times(B-C)={(0,1),(1,1),(2,1)}\)। अंतर में केवल (B) के बचे अवयव लें। / (B-C={1}), so \(A\times(B-C)={(0,1),(1,1),(2,1)}\). In difference, take only remaining elements of (B).
(\(A\times B\)\cap\(A\times C\)=A\times\(B\cap C\)) और \(B\cap C={3}\)। इसलिए कार्डिनलिटी \(2\cdot1=2\) है। / (\(A\times B\)\cap\(A\times C\)=A\times\(B\cap C\)), and \(B\cap C={3}\). Hence the cardinality is \(2\cdot1=2\).
(\(A\times B\)\cup\(A\times C\)=A\times\(B\cup C\)) और \(B\cup C={4,5,6}\)। इसलिए \(3\cdot3=9\) अवयव हैं। / (\(A\times B\)\cup\(A\times C\)=A\times\(B\cup C\)), and \(B\cup C={4,5,6}\). Thus there are \(3\cdot3=9\) elements.
युग्म ((1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)) हैं, कुल (6)। उलटे क्रमित युग्म अलग गिने जाते हैं। / The pairs are ((1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)), totaling (6). Reversed ordered pairs are counted separately.
योग सम तब होता है जब दोनों अवयवों की समता समान हो। गिनती \(2\cdot2+2\cdot2=8\) है। / The sum is even when both components have the same parity. The count is \(2\cdot2+2\cdot2=8\).
(a=1,2,3,4,5) के लिए (b) के (4,4,3,2,1) मान हैं, कुल (14)। सीमा सहित असमानता में बराबरी भी गिनें। / For (a=1,2,3,4,5), the counts of (b) are (4,4,3,2,1), totaling (14). Include equality in a boundary inequality.
कुल (16) युग्म हैं और (ab) विषम केवल तब है जब दोनों विषम हों, ऐसे \(2\cdot2=4\) हैं। इसलिए सम गुणनफल (16-4=12) हैं। / There are (16) total pairs, and (ab) is odd only when both are odd, giving \(2\cdot2=4\). Hence even products are (16-4=12).
शर्त से ((1,2)) और ((2,4)) मिलते हैं; (a=3,4) पर (b) (B) में नहीं है। इसलिए (2) युग्म हैं। / The condition gives ((1,2)) and ((2,4)); for (a=3,4), (b) is not in (B). Hence there are (2) pairs.
शर्त (a=2b+1) देती है, इसलिए (b=0,1,2) पर (a=1,3,5) मिलते हैं। कुल (3) युग्म हैं। / The condition gives (a=2b+1), so for (b=0,1,2), (a=1,3,5). There are (3) pairs in total.
अंतर विषम तब होता है जब (a) और (b) की समता अलग हो। गिनती \(2\cdot3+2\cdot2=10\) है। / The difference is odd when (a) and (b) have opposite parity. The count is \(2\cdot3+2\cdot2=10\).
कुल (25) युग्म हैं और बराबर युग्म (5) हैं, इसलिए (25-5=20)। पूरक गिनती तेज तरीका है। / There are (25) total pairs and (5) equal pairs, so (25-5=20). Complement counting is a quick method.
हर \(a\in A\) के लिए \(a^2\) (B) में है, इसलिए (5) युग्म बनते हैं। ऋणात्मक संख्याओं के वर्ग को ध्यान से देखें। / For every \(a\in A\), \(a^2\) is in (B), so (5) pairs are formed. Watch squares of negative numbers carefully.
सभी योग जाँचने पर अभाज्य योग वाले (7) युग्म मिलते हैं। ऐसे प्रश्नों में (2,3,5,7) जैसे अभाज्य योग देखें। / Checking all sums gives (7) pairs with prime sum. In such questions, look for prime sums like (2,3,5,7).
शर्त (b=2a) है, इसलिए ((1,2),(2,4),(3,6)) मिलते हैं। भिन्न को सरल समीकरण में बदलें। / The condition is (b=2a), so the pairs are ((1,2),(2,4),(3,6)). Convert the fraction into a simple equation.
संतुष्ट युग्म ((3,3),(3,4),(4,3),(4,4)) नहीं बल्कि ((3,3),(3,4),(4,3),(4,4)) कुल (4) हैं। सही विकल्प (C) होना चाहिए। / The satisfying pairs are ((3,3),(3,4),(4,3),(4,4)), totaling (4). The correct option should be (C).
योग (3) से विभाज्य होने वाले युग्म ((1,2),(2,1),(2,4),(3,3)) हैं। इसलिए कुल (4) युग्म हैं। / The pairs with sum divisible by (3) are ((1,2),(2,1),(2,4),(3,3)). Hence there are (4) pairs.
(a=1,2,3,4) के लिए (b) के (5,2,1,1) मान हैं, कुल (9) नहीं बल्कि (9) हैं। सही विकल्प (B) होना चाहिए। / For (a=1,2,3,4), the counts of (b) are (5,2,1,1), totaling (9). The correct option should be (B).
दूसरे अवयवों का समुच्चय \(C=\{3,4,5\}\) है। कार्तीय गुणनफल से मूल समुच्चय पहचानते समय स्थान देखें। / The set of second components is \(C=\{3,4,5\}\). When identifying original sets, observe the positions.
क्योंकि (B) रिक्त नहीं है और \(A\times B=\varnothing\), इसलिए \(A=\varnothing\)। रिक्त गुणनफल में कम से कम एक समुच्चय रिक्त होता है। / Since (B) is non-empty and \(A\times B=\varnothing\), we must have \(A=\varnothing\). An empty product means at least one set is empty.
((4,5)) में पहला अवयव (4) है, जो (A) में नहीं है। सदस्यता में पहला और दूसरा स्थान अलग-अलग जाँचें। / In ((4,5)), the first component (4) is not in (A). Check the first and second positions separately.
उदाहरण के लिए \((1,4)\in A\times B\), पर \((1,4)\notin B\times A\) है। इसलिए बराबरी गलत है। / For example, \((1,4)\in A\times B\), but \((1,4)\notin B\times A\). Therefore the equality is false.
(|A|=3) और \(3\cdot|B|=15\), इसलिए (|B|=5)। अज्ञात कार्डिनलिटी के लिए भाग करें। / Since (|A|=3) and \(3\cdot|B|=15\), (|B|=5). Divide to find the unknown cardinality.
\(|A\times B|=12\), इसलिए गैर-रिक्त उपसमुच्चय \(2^{12}-1=4095\) हैं। रिक्त समुच्चय घटाना न भूलें। / \(|A\times B|=12\), so non-empty subsets are \(2^{12}-1=4095\). Do not forget to subtract the empty set.
शर्त से ((1,3),(2,2),(3,1)) मिलते हैं, इसलिए (3) अवयव हैं। संबंध \(A\times B\) का चुना हुआ भाग होता है। / The condition gives ((1,3),(2,2),(3,1)), so there are (3) elements. A relation is a selected part of \(A\times B\).
(B) के सभी अवयव विषम हैं, इसलिए योग विषम तभी होगा जब (a) सम हो। (a) के (2) सम मान और (B) के (3) मान हैं, कुल (6)। / All elements of (B) are odd, so the sum is odd only when (a) is even. There are (2) even values of (a) and (3) values in (B), totaling (6).
शर्त से ((2,8)) और ((4,6)) मिलते हैं। (b=10-a) (B) में है या नहीं, यह जाँचें। / The condition gives ((2,8)) and ((4,6)). Check whether (b=10-a) lies in (B).
योग (6) वाले युग्मों में (a<b) के लिए ((1,5)) और ((2,4)) ही मिलते हैं। संयुक्त शर्तों को एक-एक करके लगाएँ। / Among pairs with sum (6), only ((1,5)) and ((2,4)) have (a<b). Apply combined conditions one by one.
(a=1,2,3) के लिए (b) के (3,2,1) मान मिलते हैं, कुल (6)। \(\le\) में बराबरी भी शामिल होती है। / For (a=1,2,3), the counts of (b) are (3,2,1), totaling (6). The symbol \(\le\) includes equality.
(a=2,3,4) के लिए (b) के क्रमशः (4,3,2) मान मिलते हैं, कुल (9)। हर (a) के गुणज (B) में गिनें। / For (a=2,3,4), the counts of (b) are (4,3,2), totaling (9). Count multiples of each (a) inside (B).
(a=1,2,3,4) के लिए (b) के (6,4,2,2) मान मिलते हैं, कुल (14)। गुणन शर्त में प्रत्येक (a) पर सीमा अलग होती है। / For (a=1,2,3,4), the counts of (b) are (6,4,2,2), totaling (14). In product conditions, the limit changes for each (a).
\(|A\times B|=3\cdot2=6\) और फिर \(6\cdot2=12\)। नेस्टेड गुणनफल में भी कार्डिनलिटी गुणा होती है। / \(|A\times B|=3\cdot2=6\), and then \(6\cdot2=12\). Cardinality still multiplies in nested products.
कुल (16) युग्म हैं और विकर्ण युग्म (4) हैं, इसलिए (16-4=12)। विकर्ण हटाने पर \(a\ne b\) वाले युग्म बचते हैं। / There are (16) total pairs and (4) diagonal pairs, so (16-4=12). Removing the diagonal leaves pairs with \(a\ne b\).
योग (2) से विभाज्य तब है जब दोनों की समता समान हो। गिनती \(3\cdot2+2\cdot2=10\) है। / The sum is divisible by (2) when both have the same parity. The count is \(3\cdot2+2\cdot2=10\).
(a=1) पर (b=3,4) और (a=2) पर (b=4) मिलता है, कुल (3)। शर्त को प्रत्येक पहले अवयव पर लगाएँ। / For (a=1), (b=3,4); for (a=2), (b=4), giving total (3). Apply the condition to each first component.
\(A\times B\) में पहला अवयव (A) से और दूसरा (B) से आता है। क्रमित युग्म में स्थान बदलना गलती कराता है। / In \(A\times B\), the first component comes from (A) and the second from (B). Changing positions is a common mistake.
यहाँ (|A|=6) और (|B|=4), इसलिए \(|A\times B|=6\cdot4=24\)। पहले समुच्चयों के अवयव गिनें। / Here (|A|=6) and (|B|=4), so \(|A\times B|=6\cdot4=24\). Count the elements first.
तीन समुच्चयों में कार्डिनलिटी \(2\cdot3\cdot2=12\) होती है। क्रमित त्रिक में सभी आकार गुणा करें। / The cardinality for three sets is \(2\cdot3\cdot2=12\). For ordered triples, multiply all sizes.
\(|B\times A|=|B|\cdot|A|=4\cdot2=8\)। क्रम बदलने पर युग्म बदलते हैं, पर संख्या समान रहती है। / \(|B\times A|=|B|\cdot|A|=4\cdot2=8\). Reversing order changes pairs but not the count.
(a=0,1,2,3,4) के लिए (b) के क्रमशः (4,4,3,2,1) मान मिलते हैं, कुल (14)। असमानता में पंक्ति अनुसार गिनें। / For (a=0,1,2,3,4), the counts of (b) are (4,4,3,2,1), totaling (14). Count row-wise in inequality questions.
(b=1,2,3) के लिए (a) के क्रमशः (4,2,0) मान मिलते हैं, कुल (6)। सीमा हर (b) पर बदलती है। / For (b=1,2,3), the counts of (a) are (4,2,0), totaling (6). The boundary changes for each (b).
हर \(a\in A\) के लिए \(a^2\in B\) है, इसलिए (5) युग्म बनते हैं। नियम आधारित संबंध में हर पहले अवयव को जाँचें। / For every \(a\in A\), \(a^2\in B\), so (5) pairs are formed. Check each first component in a rule-based relation.
(a=2,3,4) के लिए (b) के क्रमशः (3,3,1) मान मिलते हैं, कुल (7)। विभाज्यता में प्रत्येक भाजक अलग जाँचें। / For (a=2,3,4), the counts of (b) are (3,3,1), totaling (7). Check each divisor separately.
अनुकूल युग्म ((2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(8,2)) हैं, इसलिए संख्या (5) है। \(\gcd\) में साझा गुणनखंड सावधानी से देखें। / The suitable pairs are ((2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(8,2)), so the count is (5). Check common factors carefully in \(\gcd\) questions.
\(|A\times B|=20\), इसलिए ठीक (2) युग्म चुनने के तरीके \(\binom{20}{2}=190\) हैं। ठीक संख्या पूछी हो तो संयोजन लगाएँ। / Since \(|A\times B|=20\), the number of ways to choose exactly (2) pairs is \(\binom{20}{2}=190\). Use combinations for exact-size subsets.
संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय है और \(|A\times B|=15\), इसलिए संख्या \(2^{15}=32768\) है। संबंधों की संख्या के लिए (2) की घात लगती है। / A relation is a subset of \(A\times B\), and \(|A\times B|=15\), so the number is \(2^{15}=32768\). Number of relations uses a power of (2).
\(B\cup C={2,4,6,8}\), इसलिए (|A\times\(B\cup C\)|=4\cdot4=16)। पहले संघ निकालें। / \(B\cup C={2,4,6,8}\), so (|A\times\(B\cup C\)|=4\cdot4=16). Find the union first.
\(B\cap C={2,4}\), इसलिए कार्डिनलिटी \(3\cdot2=6\) है। प्रतिच्छेद के बाद ही गुणा करें। / \(B\cap C={2,4}\), so the cardinality is \(3\cdot2=6\). Multiply only after finding the intersection.
(B-C={2,4}), इसलिए \(A\times(B-C)\) में (6) युग्म हैं। अंतर में केवल (B) के बचे अवयव लें। / (B-C={2,4}), so \(A\times(B-C)\) has (6) pairs. In set difference, keep only elements remaining from (B).
(\(A\times B\)\cap\(A\times C\)=A\times\(B\cap C\)) और \(B\cap C={3}\)। इसलिए कार्डिनलिटी \(3\cdot1=3\) है। / (\(A\times B\)\cap\(A\times C\)=A\times\(B\cap C\)), and \(B\cap C={3}\). Hence the cardinality is \(3\cdot1=3\).
(\(A\times B\)\cup\(A\times C\)=A\times\(B\cup C\)) और \(B\cup C={2,3,4,5}\)। इसलिए \(2\cdot4=8\) अवयव हैं। / (\(A\times B\)\cup\(A\times C\)=A\times\(B\cup C\)), and \(B\cup C={2,3,4,5}\). Thus there are \(2\cdot4=8\) elements.
युग्म ((1,4),(2,5),(4,1),(5,2)) हैं, कुल (4)। उलटे क्रमित युग्म अलग गिने जाते हैं। / The pairs are ((1,4),(2,5),(4,1),(5,2)), totaling (4). Reversed ordered pairs are counted separately.
योग सम तब होता है जब दोनों अवयवों की समता समान हो। गिनती \(3\cdot2+2\cdot2=10\) है। / The sum is even when both components have the same parity. The count is \(3\cdot2+2\cdot2=10\).
(a=1,2,3,4,5,6) के लिए (b) के (4,4,4,3,2,1) मान मिलते हैं, कुल (18)। \(\le\) में बराबरी भी गिनें। / For (a=1,2,3,4,5,6), the counts of (b) are (4,4,4,3,2,1), totaling (18). Include equality in \(\le\).
गुणनफल विषम तभी होगा जब दोनों अवयव विषम हों। (A) में (3) और (B) में (2) विषम अवयव हैं, इसलिए \(3\cdot2=6\)। / The product is odd only when both components are odd. (A) has (3) odd elements and (B) has (2), so \(3\cdot2=6\).
(a=1,2,3,4) पर (b=3,6,9,12) मिलता है, पर (a=5) पर \(15\notin B\)। इसलिए (4) युग्म हैं। / For (a=1,2,3,4), we get (b=3,6,9,12), but for (a=5), \(15\notin B\). Hence there are (4) pairs.
शर्त (a=2b+1) देती है, इसलिए (b=0,1,2,3) पर (a=1,3,5,7) मिलते हैं। कुल (4) युग्म हैं। / The condition gives (a=2b+1), so for (b=0,1,2,3), (a=1,3,5,7). There are (4) pairs in total.
अंतर सम तब होता है जब दोनों की समता समान हो। गिनती \(2\cdot2+2\cdot3=10\) है। / The difference is even when both have the same parity. The count is \(2\cdot2+2\cdot3=10\).
कुल (36) युग्म हैं और बराबर युग्म (6) हैं, इसलिए (36-6=30)। पूरक गिनती तेज तरीका है। / There are (36) total pairs and (6) equal pairs, so (36-6=30). Complement counting is a quick method.
हर \(a\in A\) का \(a^2\) (B) में है, इसलिए (7) युग्म बनते हैं। ऋणात्मक संख्याओं के वर्ग को ध्यान से देखें। / For every \(a\in A\), \(a^2\) is in (B), so (7) pairs are formed. Watch squares of negative numbers carefully.
सभी योग जाँचने पर अभाज्य योग वाले (10) युग्म मिलते हैं। ऐसे प्रश्नों में संभावित योगों को व्यवस्थित रूप से जाँचें। / Checking all sums gives (10) pairs with prime sum. In such questions, test possible sums systematically.
शर्त (b=4a) है, इसलिए ((1,4),(2,8),(4,16)) मिलते हैं। भिन्न को सरल समीकरण में बदलें। / The condition is (b=4a), so the pairs are ((1,4),(2,8),(4,16)). Convert the fraction into a simple equation.
संतुष्ट युग्म ((4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,5)) नहीं गिने जाते दो बार; सही युग्म ((4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,4)) नहीं बल्कि कुल (4) हैं। / The satisfying pairs are ((4,4),(4,5),(5,4),(5,5)), so the total is (4). Count each ordered pair once.
योग (5) से विभाज्य होने वाले युग्म ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)) हैं। शेषफल के आधार पर गिनना आसान होता है। / The pairs with sum divisible by (5) are ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)). Counting by remainders is easier.
(a=1,2,3,4,5) के लिए (b) के (6,3,2,1,1) मान हैं, कुल (13)। हर (a) के गुणज (B) में गिनें। / For (a=1,2,3,4,5), the counts of (b) are (6,3,2,1,1), totaling (13). Count multiples of each (a) inside (B).
दूसरे अवयवों का समुच्चय \(C=\{1,3,5\}\) है। मूल समुच्चय पहचानते समय युग्म का स्थान देखें। / The set of second components is \(C=\{1,3,5\}\). Observe the position in each pair to identify the original set.
क्योंकि (A) रिक्त नहीं है और \(A\times B=\varnothing\), इसलिए \(B=\varnothing\)। रिक्त गुणनफल में कम से कम एक समुच्चय रिक्त होता है। / Since (A) is non-empty and \(A\times B=\varnothing\), we must have \(B=\varnothing\). An empty product means at least one set is empty.
((5,6)) में पहला अवयव (5) है, जो (A) में नहीं है। सदस्यता में दोनों स्थान अलग-अलग जाँचें। / In ((5,6)), the first component (5) is not in (A). Check both positions separately for membership.
समुच्चय में क्रम महत्व नहीं रखता, इसलिए (A=B) है और दोनों गुणनफल समान हैं। पहले देखें कि दोनों समुच्चय वास्तव में समान हैं या नहीं। / Order inside a set does not matter, so (A=B), and both products are equal. First check whether the two sets are actually the same.
(|A|=4) और \(4\cdot|B|=28\), इसलिए (|B|=7)। अज्ञात कार्डिनलिटी के लिए भाग करें। / Since (|A|=4) and \(4\cdot|B|=28\), we get (|B|=7). Divide to find the unknown cardinality.
\(|A\times B|=12\), इसलिए गैर-रिक्त उपसमुच्चय \(2^{12}-1=4095\) हैं। रिक्त समुच्चय घटाना न भूलें। / \(|A\times B|=12\), so non-empty subsets are \(2^{12}-1=4095\). Do not forget to subtract the empty set.
शर्त से ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)) मिलते हैं, इसलिए (4) अवयव हैं। संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। / The condition gives ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)), so there are (4) elements. A relation is a subset of \(A\times B\).
सम संख्या और विषम संख्या का योग हमेशा विषम होता है। समता वाले प्रश्न में सभी युग्म लिखना जरूरी नहीं है। / The sum of an even number and an odd number is always odd. In parity questions, listing all pairs is not necessary.
(\gcd(a,b)=1) वाले युग्म गिनने पर (19) मिलते हैं। (1) हर संख्या के साथ परस्पर अभाज्य होता है। / Counting pairs with (\gcd(a,b)=1) gives (19). The number (1) is coprime with every number.
(a=0,1,2,3) के लिए (b) के (5,4,3,2) मान मिलते हैं, कुल (14)। कठोर असमानता में सीमा बराबर नहीं गिनी जाती। / For (a=0,1,2,3), the counts of (b) are (5,4,3,2), totaling (14). In a strict inequality, the boundary is not included.
शर्त से ((1,10),(3,8),(5,6)) मिलते हैं। (b=11-a) (B) में है या नहीं, यह जाँचें। / The condition gives ((1,10),(3,8),(5,6)). Check whether (b=11-a) belongs to (B).
योग (7) और (a<b) के लिए ((1,6),(2,5),(3,4)) मिलते हैं। संयुक्त शर्तों को क्रम से लगाएँ। / For sum (7) and (a<b), the pairs are ((1,6),(2,5),(3,4)). Apply combined conditions step by step.
(a=1,2,3,4) के लिए (b) के (4,3,2,1) मान मिलते हैं, कुल (10)। \(\le\) में बराबरी शामिल होती है। / For (a=1,2,3,4), the counts of (b) are (4,3,2,1), totaling (10). The symbol \(\le\) includes equality.
(a=2,3,5) के लिए (b) के क्रमशः (4,3,2) मान मिलते हैं, कुल (9)। हर (a) के गुणज (B) में गिनें। / For (a=2,3,5), the counts of (b) are (4,3,2), totaling (9). Count multiples of each (a) in (B).
(a=1,2,3,4,5) के लिए (b) के (6,5,3,2,2) मान मिलते हैं, कुल (18)। गुणन शर्त में सीमा बदलती है। / For (a=1,2,3,4,5), the counts of (b) are (6,5,3,2,2), totaling (18). In product conditions, the boundary changes.
\(|A\times B|=2\cdot3=6\) और फिर \(6\cdot3=18\)। नेस्टेड गुणनफल में भी कार्डिनलिटी गुणा होती है। / \(|A\times B|=2\cdot3=6\), and then \(6\cdot3=18\). Cardinality also multiplies in nested products.
कुल (25) युग्म हैं और विकर्ण युग्म (5) हैं, इसलिए (25-5=20)। विकर्ण हटाने पर \(a\ne b\) वाले युग्म बचते हैं। / There are (25) total pairs and (5) diagonal pairs, so (25-5=20). Removing the diagonal leaves pairs with \(a\ne b\).
योग (2) से विभाज्य तब है जब दोनों की समता समान हो। गिनती \(3\cdot2+3\cdot2=12\) है। / The sum is divisible by (2) when both have the same parity. The count is \(3\cdot2+3\cdot2=12\).
(a=1,2,3,4) के लिए (b) के क्रमशः (3,2,1,0) मान मिलते हैं, कुल (6)। शर्त को हर पहले अवयव पर लगाएँ। / For (a=1,2,3,4), the counts of (b) are (3,2,1,0), totaling (6). Apply the condition to each first component.
