Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
क्योंकि (x=a) रखने पर समीकरण सत्य हो जाता है इसलिए (a) मूल है। परीक्षा में मूल की जांच सीधे प्रतिस्थापन से करें। / Since the equation becomes true after substituting (x=a), (a) is a root. In exams check a root by direct substitution.
(x=-2) रखने पर (12-4-8=0) मिलता है। ऋणात्मक मूल रखते समय चिन्हों को ध्यान से संभालें। / Putting (x=-2) gives (12-4-8=0). Handle signs carefully when substituting a negative root.
मूल (-3) और (6) होने पर ((x+3)(x-6)=0) होगा। इसे खोलने पर \(x^2-3x-18=0\) मिलता है। / With roots (-3) and (6), we get ((x+3)(x-6)=0). Expanding it gives \(x^2-3x-18=0\).
(x=3) रखने पर (9+3k-18=0) इसलिए (k=3) है। पैरामीटर वाले प्रश्न में मूल को सीधे रखें। / Putting (x=3) gives (9+3k-18=0), so (k=3). In parameter questions substitute the root directly.
मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) होता है। यहां (a=4) और (b=-11) इसलिए योग \(\frac{11}{4}\) है। / The sum of roots is \(-\frac{b}{a}\). Here (a=4) and (b=-11), so the sum is \(\frac{11}{4}\).
मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहां \(\frac{-8}{5}=-\frac{8}{5}\) सही है। / The product of roots is \(\frac{c}{a}\). Here \(\frac{-8}{5}=-\frac{8}{5}\) is correct.
क्योंकि (D=64>0) है इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे। (D>0) होने पर मूल अलग अलग होते हैं। / Since (D=64>0), there will be two distinct real roots. When (D>0), the roots are different.
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। इसलिए \(x^2-9x+18=0\) सही है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Therefore (x^2-9x+18=0) is correct.\)
मूलों का गुणनफल (54) है और एक मूल (6) है। इसलिए दूसरा मूल \(\frac{54}{6}=9\) है। / The product of roots is (54) and one root is (6). Therefore the other root is \(\frac{54}{6}=9\).
नए मूलों का योग (3\alpha+3\beta=3\(\alpha+\beta\)=12) है। गुणक लगे मूलों में योग पर भी वही गुणक लगता है। / The sum of new roots is (3\alpha+3\beta=3\(\alpha+\beta\)=12). When roots are multiplied by a factor, the sum is multiplied by the same factor.
(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=49-24=25) है। ऐसे प्रश्नों में पहचान का प्रयोग करें। / (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=49-24=25). Use identities in such questions.
यहां \(\alpha+\beta=-5\) और \(\alpha\beta=-14\) है। इसलिए \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{-5}{-14}=\frac{5}{14}\) है। / Here \(\alpha+\beta=-5\) and \(\alpha\beta=-14\). Therefore \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{-5}{-14}=\frac{5}{14}\).
A. \(\frac{14}{3}\) और \(\frac{8}{3}\)/\(\frac{14}{3}\) and \(\frac{8}{3}\)
Explanation
Simple Explanation
योग \(-\frac{b}{a}=\frac{14}{3}\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}=\frac{8}{3}\) है। पहले (a), (b), (c) पहचानें। / The sum is \(-\frac{b}{a}=\frac{14}{3}\) and the product is \(\frac{c}{a}=\frac{8}{3}\). Identify (a), (b), and (c) first.
(x-4=0) से (x=4) और (x+7=0) से (x=-7) मिलता है। गुणनखंड का चिन्ह उलटकर मूल मिलता है। / From (x-4=0), (x=4), and from (x+7=0), (x=-7). The sign changes when finding a root from a factor.
\(x=\frac{4}{3}\) रखने पर \(\frac{16}{3}-\frac{28}{3}+c=0\) इसलिए (c=4) है। भिन्न मूल में हर पद अलग निकालें। / Putting \(x=\frac{4}{3}\) gives \(\frac{16}{3}-\frac{28}{3}+c=0\), so (c=4). For fractional roots calculate each term separately.
यह (9x-2-24x+16=(3x-4)2) है। इसलिए दोनों मूल \(\frac{4}{3}\) और \(\frac{4}{3}\) बराबर हैं। / It is (9x-2-24x+16=(3x-4)2). Therefore both roots are \(\frac{4}{3}\) and \(\frac{4}{3}\), which are equal.
समीकरण \(x^2-16x+64=0\) है जो ((x-8)2=0) बनता है। इसलिए दोनों मूल (8) हैं। / The equation is \(x^2-16x+64=0\), which becomes ((x-8)2=0). Therefore both roots are (8).
A. एक मूल धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक है/One root is positive and the other is negative
Explanation
Simple Explanation
ऋणात्मक गुणनफल तभी होता है जब मूलों के चिन्ह विपरीत हों। इसलिए एक मूल धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक होगा। / A negative product occurs only when the roots have opposite signs. Therefore one root will be positive and the other negative.
यहां \(\alpha+\beta=8\) और \(\alpha\beta=15\) है। इसलिए कुल (8+15=23) है। / Here \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=15\). Therefore the total is (8+15=23).
(x=0) रखने पर समीकरण (c=0) बनता है। इसलिए शून्य मूल के लिए अचर पद शून्य होता है। / Putting (x=0) makes the equation (c=0). Therefore the constant term is zero for a zero root.
मूलों का योग (2+7=9) है। मोनिक समीकरण में (x) का गुणांक (-(योग)=-9) होता है। \(/ The sum of roots is (2+7=9). In a monic equation the coefficient of (x) is (-(\)sum\()=-9).\)
A. वे एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं/They are reciprocals of each other
Explanation
Simple Explanation
\(5\cdot\frac{1}{5}=1\) है इसलिए दोनों व्युत्क्रम मूल हैं। व्युत्क्रम मूलों का गुणनफल (1) होता है। / \(5\cdot\frac{1}{5}=1\), so the roots are reciprocals. Reciprocal roots have product (1).
(x-2-5x-24=(x-8)(x+3)) है। इसलिए मूल (8) और (-3) हैं तथा धनात्मक मूल (8) है। / (x-2-5x-24=(x-8)(x+3)). Therefore the roots are (8) and (-3), and the positive root is (8).
(D=0) होने पर दोनों मूल बराबर होते हैं। इसलिए प्रत्येक मूल \(\frac{12}{2}=6\) होगा। / When (D=0), both roots are equal. Therefore each root is \(\frac{12}{2}=6\).
मूलों का योग \(-\frac{b}{a}=-\frac{-12}{3}=4\) है। सूत्र में (b) का चिन्ह सही रखें। / The sum of roots is \(-\frac{b}{a}=-\frac{-12}{3}=4\). Keep the sign of (b) correct in the formula.
मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}=\frac{-2}{5}\) होता है। (c) का चिन्ह न भूलें। / The product of roots is \(\frac{c}{a}=\frac{-2}{5}\). Do not forget the sign of (c).
वास्तविक मूलों के लिए \(D\ge0\) चाहिए। \(16-4k\ge0\) से \(k\le4\) मिलता है। / For real roots \(D\ge0\) is required. From \(16-4k\ge0\), we get \(k\le4\).
मूल (-3) और (-6) हैं क्योंकि ((x+3)(x+6)=0)। योग ऋणात्मक और गुणनफल धनात्मक होने पर दोनों मूल ऋणात्मक होते हैं। / The roots are (-3) and (-6) because ((x+3)(x+6)=0). When the sum is negative and product is positive, both roots are negative.
A. \(\frac{1}{2}\) और \(\frac{3}{4}\)/\(\frac{1}{2}\) and \(\frac{3}{4}\)
Explanation
Simple Explanation
(8x-2-10x+3=(2x-1)(4x-3)) है। इसलिए मूल \(\frac{1}{2}\) और \(\frac{3}{4}\) हैं। / (8x-2-10x+3=(2x-1)(4x-3)). Therefore the roots are \(\frac{1}{2}\) and \(\frac{3}{4}\).
मोनिक समीकरण (x-2-\(\alpha+\beta\)x+\alpha\beta=0) होता है। इसलिए \(x^2+5x-14=0\) सही है। / The monic equation is (x-2-\(\alpha+\beta\)x+\alpha\beta=0). Therefore \(x^2+5x-14=0\) is correct.
यहां \(\alpha+\beta=7\) और \(\alpha\beta=10\) है। \(\alpha^2+\beta^2=49-20=29\) होगा। / Here \(\alpha+\beta=7\) and \(\alpha\beta=10\). Thus \(\alpha^2+\beta^2=49-20=29\).
(x=3) रखने पर (9a-24+6=0) इसलिए (9a=18) और (a=2)। अज्ञात गुणांक वाले प्रश्न में प्रतिस्थापन करें। / Putting (x=3) gives (9a-24+6=0), so (9a=18) and (a=2). Substitute in questions with an unknown coefficient.
यह ((x-9)2=0) है इसलिए दोनों मूल (9) हैं। योग (18) और गुणनफल (81) होगा। / It is ((x-9)2=0), so both roots are (9). The sum is (18) and the product is (81).
यहां \(\alpha+\beta=\frac{7}{2}\) और \(\alpha\beta=\frac{3}{2}\) है। इसलिए \(\alpha+\beta-\alpha\beta=\frac{7}{2}-\frac{3}{2}=2\) होगा। / Here \(\alpha+\beta=\frac{7}{2}\) and \(\alpha\beta=\frac{3}{2}\). Therefore \(\alpha+\beta-\alpha\beta=\frac{7}{2}-\frac{3}{2}=2\).
