100 results found for "polynomial-coefficient" in Class 10.
A. (-11)
\(x^2\) का गुणांक (-2) और नियत पद (-9) है। उनका योग (-11) है। / The coefficient of \(x^2\) is (-2) and the constant term is (-9). Their sum is (-11).
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Which polynomial has leading coefficient (-2)?
B. \(-2x^3+4x+7\)
\(-2x^3+4x+7\) का प्रमुख पद \(-2x^3\) है। इसलिए प्रमुख गुणांक (-2) है। / The leading term of \(-2x^3+4x+7\) is \(-2x^3\). So the leading coefficient is (-2).
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In \(2x^4+3x^2-5x+7\), what is the sum of the coefficient of \(x^3\) and the coefficient of (x)?
A. (-5)
\(x^3\) का गुणांक (0) और (x) का गुणांक (-5) है। योग (-5) है। / The coefficient of \(x^3\) is (0) and the coefficient of (x) is (-5). The sum is (-5).
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What is the coefficient of \(x^2\) in \(x^2+12x+36=0\)?
B. (1)
जब \(x^2\) के आगे कोई संख्या नहीं लिखी होती तब गुणांक (1) होता है। यह अक्सर पूछी जाने वाली बात है। / When no number is written before \(x^2\), its coefficient is (1). This is often asked.
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A. \(-3\sqrt{3}\)
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), इसलिए योग \(3\sqrt{3}\) है। एकक बहुपद में (x) का गुणांक शून्यकों के योग का ऋणात्मक होता है। / \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), so the sum is \(3\sqrt{3}\). In a monic polynomial, the coefficient of (x) is the negative of the sum of zeroes.
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What is the coefficient of \(x^5\) in (p(x)=4x-6-5x-4+2x-2-11)?
A. (0)
\(x^5\) का पद अनुपस्थित है, इसलिए उसका गुणांक (0) है। अनुपस्थित पद को \(0x^5\) मानें। / The \(x^5\)-term is missing, so its coefficient is (0). Treat the missing term as \(0x^5\).
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What is the coefficient of \(x^3\) in (p(x)=3x-5-2x-4+7x-6)?
A. (0)
\(x^3\) का पद अनुपस्थित है, इसलिए उसका गुणांक (0) है। अनुपस्थित पद को \(0x^3\) मानें। / The \(x^3\)-term is missing, so its coefficient is (0). Treat the missing term as \(0x^3\).
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What is the coefficient of \(x^2\) in (p(x)=2x-4-3x-3+5x-9)?
A. (0)
\(x^2\) का पद अनुपस्थित है, इसलिए उसका गुणांक (0) है। अनुपस्थित पद को \(0x^2\) मानें। / The \(x^2\)-term is missing, so its coefficient is (0). Treat the missing term as \(0x^2\).
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What is the coefficient of \(x^2\) in (p(x)=5x-3+0x-2-4x+12)?
A. (0)
\(x^2\) वाला पद \(0x^2\) है इसलिए गुणांक (0) है। अनुपस्थित या शून्य पद का गुणांक (0) माना जाता है। / The \(x^2\)-term is \(0x^2\), so the coefficient is (0). A missing or zero term has coefficient (0).
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What is the coefficient of the \(x^4\)-term in (p(x)=8x-4-5x-3+2x-6)?
A. (8)
\(x^4\) वाले पद \(8x^4\) का गुणांक (8) है। घात और गुणांक को अलग पहचानें। / The coefficient of the \(x^4\)-term \(8x^4\) is (8). Identify the power and coefficient separately.
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What is the leading coefficient of (p(z)=-6z-5+4z-4-z+8)?
A. (-6)
सबसे बड़ी घात \(z^5\) के पद का गुणांक (-6) है। अग्र गुणांक संकेत सहित लिखा जाता है। / The coefficient of the highest power term \(z^5\) is (-6). The leading coefficient is written with its sign.
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If the coefficient of (x) in (p(x)=9x-2+cx-5) is (-4), what is (c)?
C. (-4)
(cx) में (x) का गुणांक (c) है। दिया है कि (c=-4)। / In (cx), the coefficient of (x) is (c). It is given that (c=-4).
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What is the coefficient of \(x^2\) in (p(x)=5x-3-8x-2+13x-21)?
B. (-8)
\(x^2\) वाले पद \(-8x^2\) का गुणांक (-8) है। संकेत सहित गुणांक लिखना जरूरी है। / The coefficient of the \(x^2\)-term \(-8x^2\) is (-8). Write the coefficient with its sign.
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Which of the following polynomials does not have leading coefficient (1)?
C. \(3x^2+x+1\)
\(3x^2+x+1\) का प्रमुख पद \(3x^2\) है। इसका प्रमुख गुणांक (3) है, (1) नहीं। / The leading term of \(3x^2+x+1\) is \(3x^2\). Its leading coefficient is (3), not (1).
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What is the leading coefficient of \(3x^4-5x^2+2x-8\)?
A. (3)
प्रमुख पद \(3x^4\) है। इसलिए प्रमुख गुणांक (3) है। / The leading term is \(3x^4\). Therefore the leading coefficient is (3).
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In which of the following polynomials is the coefficient of (x) equal to (0)?
B. \(3x^2-4\)
\(3x^2-4\) में (x) का पद नहीं है। इसलिए (x) का गुणांक (0) है। / In \(3x^2-4\), there is no (x)-term. So the coefficient of (x) is (0).
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If the coefficient of \(x^2\) in (p(x)=2x-3+mx-2-x+4) is (-5), what is (m)?
B. (-5)
\(x^2\) के साथ लगा गुणक (m) है। दिया है (m=-5), इसलिए उत्तर (-5) है। / The multiplier of \(x^2\) is (m). Given (m=-5), so the answer is (-5).
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What is the coefficient of \(x^3\) in \(5x^3+2x^2-x+8\)?
A. (5)
\(x^3\) के साथ लगा गुणक (5) है। गुणांक हमेशा संबंधित पद से पहचाना जाता है। / The multiplier of \(x^3\) is (5). A coefficient is identified from its related term.
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What is the coefficient of (x) in (p(x)=2x-2+0x+3)?
A. (0)
(x) वाला पद (0x) है इसलिए (x) का गुणांक (0) है। अनुपस्थित पद का गुणांक (0) मानें। / The (x)-term is (0x), so the coefficient of (x) is (0). Treat a missing term as having coefficient (0).
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What is the coefficient of the \(x^3\) term in (p(x)=4x-3-2x-2+7x-1)?
A. (4)
\(x^3\) के साथ गुणांक (4) जुड़ा है। घात और गुणांक को अलग अलग पहचानें। / The coefficient attached to \(x^3\) is (4). Identify the exponent and coefficient separately.
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What is the leading coefficient of (p(y)=9y-4-y-2+5y-6)?
A. (9)
सबसे बड़ी घात \(y^4\) के पद का गुणांक (9) है। अग्र गुणांक वही होता है। / The coefficient of the highest power term \(y^4\) is (9). That is the leading coefficient.
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If the coefficient of (x) in (p(x)=2x-2+kx+8) is (5), what is (k)?
B. (5)
(kx) में (x) का गुणांक (k) है। दिया है (k=5)। / In (kx), the coefficient of (x) is (k). It is given that (k=5).
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What is the coefficient of \(x^2\) in \(7x^3+2x^2-x+6\)?
B. (2)
\(x^2\) के साथ लगा संख्या गुणक (2) है। गुणांक पूछने पर उसी पद को पहचानें। / The numerical factor attached to \(x^2\) is (2). When coefficient is asked, identify the exact term.
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What is the leading coefficient of \(3x^2-5x+7\)?
A. (3)
प्रमुख पद \(3x^2\) है इसलिए प्रमुख गुणांक (3) है। सबसे बड़ी घात वाले पद का गुणांक प्रमुख गुणांक कहलाता है। / The leading term is \(3x^2\), so the leading coefficient is (3). The coefficient of the highest degree term is the leading coefficient.
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What is the coefficient of \(x^2\) in \(5x^2-8x+6\)?
A. (5)
\(x^2\) के साथ लगा गुणक (5) है। पद के गुणांक को उसके चर भाग से अलग पहचानें। / The multiplier of \(x^2\) is (5). Identify the coefficient separately from the variable part.
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C. चतुर्थ घात बहुपदFourth degree polynomial
घात (4) वाला बहुपद अधिकतम (4) वास्तविक शून्यक रख सकता है। टिप: वास्तविक शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं होती। / A degree (4) polynomial can have at most (4) real zeroes. Tip: the number of real zeroes cannot exceed the degree.
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If \(p(0)=4\), is \(0\) a zero (root) of the polynomial \(p(x)\)?
A. नहींNo
किसी भी संख्या a के लिए वह शून्यक तभी होगी जब \(p(a)=0\)। यहाँ हम a=0 पर देखते हैं: दिया है \(p(0)=4\), जो कि शून्य नहीं है; इसलिए 0 शून्यक नहीं है। विकल्प C सामान्य शर्त सही बताता है (यदि स्थायी पद = \(p(0)\) शून्य हो तो 0 शून्यक होगा), पर दिया हुआ मान इसका उल्टा दर्शाता है। विकल्प D गलत है क्योंकि किसी भी डिग्री के बहुपद के लिए शून्यक की परिभाषा एक समान रहती है। परीक्षा-सुझाव: किसी भी प्रत्याशित शून्यक a के लिए सीधे बहुपद में a रखकर \(p(a)\) की गणना करें — यदि परिणाम 0 आया तभी वह शून्यक है। / A number a is a root of a polynomial exactly when \(p(a)=0\). Here for a=0 we have \(p(0)=4\), which is not zero, so 0 is not a root. Option C describes the correct general condition (the constant term equals \(p(0)\) must be zero), but given \(p(0)=4\) that condition is not met. Option D is incorrect because root-criterion does not depend on the polynomial being linear. Exam tip: To test if x=a is a root, substitute a into \(p(x)\) and check whether the value equals 0.
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If \(p(6)=0\), at which point does the polynomial graph intersect the x-axis?
A. (6,0)
\(p(6)=0\) का अर्थ है कि जब \(x=6\) होगा तो फलन का मान \(y=p(6)\) शून्य होगा। इसलिए ग्राफ x-अक्ष (जहाँ \(y=0\)) को उस बिंदु पर काटेगा जहाँ \(x=6\), यानी \((6,0)\)। निकटतम भ्रामक विकल्प \((-6,0)\) इसलिए गलत है क्योंकि उसमें संकेत का परिवर्तन दिखता है — वहाँ तक पहुँचने के लिए हमें \(p(-6)=0\) दिया होना चाहिए, जो नहीं दिया है। परीक्षा सुझाव: किसी भी raíz के लिए यदि \(p(a)=0\) दिया हो तो तुरंत x-अक्ष पर काटाव \((a,0)\) लिखें। / \(p(6)=0\) means the function value is zero at \(x=6\), so the graph meets the x-axis (where \(y=0\)) at the point \((6,0)\). The closest distractor \((-6,0)\) is a sign error — nothing in the given information implies \(p(-6)=0\). Exam tip: whenever you are given \(p(a)=0\), the corresponding x-intercept is always \((a,0)\).
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If the graph of a polynomial crosses the x-axis at (0,0), what is one zero of the polynomial?
A. 0
x-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु का निर्देशांक (x,y) में y = 0 होता है। यदि ग्राफ x-अक्ष को (0,0) पर काटता है तो उस बिंदु का x‑निर्देशांक 0 है, अर्थात् बहुपद का मान P(0)=0 होगा और 0 एक शून्यक है। विकल्प B और C गलत हैं क्योंकि वे x = 1 या x = −1 को दर्शाते हैं — ऐसा कोई संकेत नहीं दिया गया। विकल्प D गलत है क्योंकि बिंदु (0,0) से x‑निर्देशांक स्पष्ट रूप से ज्ञात है। परीक्षा टिप: गुणनखण्ड या ग्राफ से शून्यक निकालते समय हमेशा क्रम (x,y) को सही ढंग से पढ़ें; x‑अक्ष पर y = 0 होता है। / A point on the x-axis has coordinates (x,y) with y = 0. If the graph meets the x-axis at (0,0), the x‑coordinate is 0, so the polynomial satisfies P(0)=0 and 0 is a root. Options B and C would mean x = 1 or x = −1 respectively, which are not indicated by the given point. Option D is incorrect because the x‑value is directly given by (0,0). Exam tip: remember coordinates are (x,y) and any x‑intercept has y = 0, so the x‑value at that point is a root of the polynomial.
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A. (-4)
दूसरा शून्यक \(2-\sqrt{13}\) होगा, इसलिए योग (4) है। एकक बहुपद में (x) का गुणांक (-4) होगा। / The other zero will be \(2-\sqrt{13}\), so the sum is (4). In a monic polynomial, the coefficient of (x) will be (-4).
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What is the coefficient of \(x^2\) in ((3x-2)\(2x^2+x-5\))?
A. (-1)
((3x-2)\(2x^2+x-5\)=6x-3-x-2-17x+10), इसलिए \(x^2\) का गुणांक (-1) है। विस्तार के बाद समान पद मिलाएं। / ((3x-2)\(2x^2+x-5\)=6x-3-x-2-17x+10), so the coefficient of \(x^2\) is (-1). Combine like terms after expansion.
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B. (4)
\(x^3\) के गुणांक (-3) और (7) हैं, इसलिए योग (4) है। समान घात के गुणांक ही जोड़ें। / The coefficients of \(x^3\) are (-3) and (7), so the sum is (4). Add only coefficients of like powers.
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What is the coefficient of \(x^2\) in ((2x-1)\(x^2-3x+4\))?
A. (-7)
((2x-1)\(x^2-3x+4\)=2x-3-7x-2+11x-4), इसलिए गुणांक (-7) है। विस्तार के बाद समान पद मिलाएं। / ((2x-1)\(x^2-3x+4\)=2x-3-7x-2+11x-4), so the coefficient is (-7). Combine like terms after expansion.
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What is the coefficient of (x) in the sum of (p(x)=4x-3-7x-2+2x-5) and (q(x)=-x-3+3x-2-6x+9)?
B. (-4)
(x) के गुणांक (2) और (-6) हैं, इसलिए योग (-4) है। समान घात के गुणांक ही जोड़ें। / The coefficients of (x) are (2) and (-6), so the sum is (-4). Add coefficients of like powers only.
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What is the coefficient of \(x^2\) in ((x-2)\(3x^2+4x-5\))?
B. (-2)
((x-2)\(3x^2+4x-5\)=3x-3-2x-2-13x+10), इसलिए \(x^2\) का गुणांक (-2) है। विस्तार में समान पद मिलाएं। / ((x-2)\(3x^2+4x-5\)=3x-3-2x-2-13x+10), so the coefficient of \(x^2\) is (-2). Combine like terms after expansion.
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What is the coefficient of \(x^2\) in the sum of (p(x)=3x-3-2x-2+5x-1) and (q(x)=-x-3+7x-2-4x+6)?
B. (5)
\(x^2\) के गुणांक (-2) और (7) हैं, जिनका योग (5) है। समान घात के गुणांक ही जोड़ें। / The coefficients of \(x^2\) are (-2) and (7), whose sum is (5). Add only coefficients of like powers.
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In (p(x)=3x-3-7x-2+2x-11), what is the sum of the coefficient of \(x^2\) and the constant term?
A. (-18)
\(x^2\) का गुणांक (-7) और अचर पद (-11) है, इसलिए योग (-18) है। संकेत सहित जोड़ना न भूलें। / The coefficient of \(x^2\) is (-7) and the constant term is (-11), so the sum is (-18). Do not forget to add with signs.
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What is the coefficient of \(x^3\) in (p(x)=7x-4-2x-2+9)?
C. (0)
\(x^3\) का पद उपस्थित नहीं है इसलिए उसका गुणांक (0) है। अनुपस्थित पद को \(0x^3\) समझें। / There is no \(x^3\)-term, so its coefficient is (0). Treat the missing term as \(0x^3\).
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If the coefficient of (x) in \(x^3+2x^2+cx+5\) is (6), what will be (c+5)?
C. (11)
(x) का गुणांक (c=6) है। इसलिए (c+5=11) होगा। / The coefficient of (x) is (c=6). Therefore (c+5=11).
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What is the coefficient of the missing \(x^3\) term in \(7x^5-3x^4+x^2-11\)?
C. (0)
इस बहुपद में \(x^3\) का पद नहीं है। अनुपस्थित पद का गुणांक (0) माना जाता है। / There is no \(x^3\) term in this polynomial. The coefficient of a missing term is taken as (0).
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What is the coefficient of (x) in (p(x)=2x-3+3x-2-5)?
C. (0)
इसमें (x) का पद उपस्थित नहीं है इसलिए उसका गुणांक (0) है। अनुपस्थित पद को (0x) समझें। / There is no (x)-term, so its coefficient is (0). Treat the missing term as (0x).
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Which is the correct coefficient of (x) in \(6x^2-x+13\)?
B. (-1)
(-x) का अर्थ (-1x) है इसलिए गुणांक (-1) है। छिपे हुए (1) को चिह्न सहित पहचानें। / (-x) means (-1x), so the coefficient is (-1). Identify the hidden (1) with its sign.
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What is the coefficient of (x) in \(x^3+4x^2-5\)?
C. (0)
इसमें (x) का पद नहीं है इसलिए (x) का गुणांक (0) है। अनुपस्थित पद को तुरंत पहचानना जरूरी है। / It has no (x)-term, so the coefficient of (x) is (0). It is important to identify missing terms quickly.
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What is the coefficient of (x) in \(10x^3-6x^2+2x-1\)?
C. (2)
(x) वाले पद (2x) का गुणांक (2) है। केवल उसी पद को देखें जिसमें \(x^1\) हो। / The coefficient of the (x)-term (2x) is (2). Look only at the term containing \(x^1\).
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What is the coefficient of \(x^2\) in \(2x^3-7\)?
B. (0)
\(x^2\) का कोई पद नहीं है इसलिए गुणांक (0) है। अनुपस्थित घात को शून्य गुणांक वाला पद माना जा सकता है। / There is no \(x^2\) term, so the coefficient is (0). A missing power can be treated as a term with zero coefficient.
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How many terms with zero coefficient are explicitly written in \(4x^2+0x+9\)?
B. (1)
(0x) एक ऐसा पद है जिसका गुणांक (0) है। शून्य गुणांक वाला पद लिखने पर भी मान नहीं बदलता। / (0x) is one term whose coefficient is (0). A zero-coefficient term does not change the value.
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What is the coefficient of \(x^3\) in \(8x^5-3x^2+4\)?
C. (0)
इस बहुपद में \(x^3\) का पद नहीं है इसलिए उसका गुणांक (0) है। अनुपस्थित पद का गुणांक (0) माना जाता है। / There is no \(x^3\) term, so its coefficient is (0). The coefficient of a missing term is taken as (0).
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What is the coefficient of (x) in \(x^2-7x\)?
B. (-7)
(x) के साथ लगा गुणक (-7) है। ऋण चिह्न को गुणांक का भाग मानें। / The multiplier of (x) is (-7). Treat the negative sign as part of the coefficient.
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If (p(x)=2x-3-5x+9), what is the coefficient of \(x^2\)?
D. (0)
इस बहुपद में \(x^2\) पद नहीं है, इसलिए उसका गुणांक (0) है। अनुपस्थित पद का गुणांक हमेशा (0) माना जाता है। / There is no \(x^2\)-term in this polynomial, so its coefficient is (0). The coefficient of a missing term is always taken as (0).
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In \(2x^2+3x+4\), what are the coefficient of (x) and the constant term respectively?
A. (3,4)
(x) का गुणांक (3) और नियत पद (4) है। क्रमशः पूछे गए क्रम का ध्यान रखें। / The coefficient of (x) is (3), and the constant term is (4). Keep the asked order in mind.
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What is the coefficient of \(x^2\) in \(4x^3+x+2\)?
D. (0)
इस बहुपद में \(x^2\) पद नहीं है, इसलिए उसका गुणांक (0) है। अनुपस्थित पद का गुणांक शून्य माना जाता है। / There is no \(x^2\)-term, so its coefficient is (0). The coefficient of a missing term is taken as zero.
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What is the leading coefficient of \(2x^2-7x+1\)?
A. (2)
सबसे बड़ी घात वाले पद \(2x^2\) का गुणांक (2) है। इसी को अग्र गुणांक कहते हैं। / The coefficient of the highest-degree term \(2x^2\) is (2). This is called the leading coefficient.
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What is the coefficient of \(x^2\) in \(8x^3-5x^2+4\)?
B. (-5)
\(x^2\) वाला पद \(-5x^2\) है, इसलिए गुणांक (-5) है। चिह्न को गुणांक के साथ लिखें। / The \(x^2\)-term is \(-5x^2\), so the coefficient is (-5). Write the sign with the coefficient.
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What is the coefficient of (x) in \(4x^2+0x+6\)?
B. (0)
(x) वाला पद (0x) है इसलिए गुणांक (0) है। छिपे हुए शून्य पदों पर ध्यान दें। / The (x)-term is (0x), so its coefficient is (0). Notice hidden zero terms.
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What is the coefficient of \(x^2\) in (p(x)=2x-4-5x-3+x-8)?
D. (0)
इस बहुपद में \(x^2\) पद नहीं है। इसलिए \(x^2\) का गुणांक (0) है। / There is no \(x^2\) term in this polynomial. Therefore the coefficient of \(x^2\) is (0).
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If the coefficient of (x) in (p(x)=2x-2+kx+3) is (5), what is the value of (k)?
C. (5)
(kx) में (x) का गुणांक (k) है। इसलिए (k=5) होगा। / In (kx), the coefficient of (x) is (k). Therefore (k=5).
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What is the coefficient of (x) in \(2x^2-9\)?
C. (0)
इसमें (x) वाला पद लिखा नहीं है इसलिए उसका गुणांक (0) है। परीक्षा में लुप्त पद का गुणांक (0) मानें। / There is no (x)-term, so its coefficient is (0). In exams, treat the coefficient of a missing term as (0).
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What is the coefficient of the missing \(x^4\) term in \(x^5-4x^2+10\)?
C. (0)
जो पद लिखा नहीं है उसका गुणांक (0) माना जाता है। इसलिए \(x^4\) का गुणांक (0) है। / A missing term is treated as having coefficient (0). So the coefficient of \(x^4\) is (0).
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What is the coefficient of \(x^3\) in \(9x^4-2x^3+7\)?
B. \(-2\)
\(x^3\) के साथ (-2) लगा है। इसलिए \(x^3\) का गुणांक (-2) है। / The number attached to \(x^3\) is (-2). So the coefficient of \(x^3\) is (-2).
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What is the coefficient of \(x^2\) in \(5x^4-3x^2+x-6\)?
B. \(-3\)
\(x^2\) के साथ लगा संख्या गुणांक (-3) है। परीक्षा में पद का चिह्न भी गुणांक में शामिल करें। / The number attached to \(x^2\) is (-3). In exams, include the sign of the term in the coefficient.
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A. \(2x^2-2x-12=0\)
मॉनिक समीकरण \(x^2-x-6=0\) है। \(x^2\) का गुणांक (2) चाहिए, इसलिए पूरे समीकरण को (2) से गुणा करें। / The monic equation is \(x^2-x-6=0\). Since the coefficient of \(x^2\) must be (2), multiply the whole equation by (2).
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In the standard form \(ax^2+bx+c=0\), which symbol denotes the coefficient of \(x^2\)?
B. (a)
मानक रूप में \(x^2\) का गुणांक (a) होता है। यही गुणांक (0) नहीं होना चाहिए। / In standard form, the coefficient of \(x^2\) is (a). This coefficient must not be (0).
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What is the coefficient of (x) in \(2x^2-x+8=0\)?
A. (-1)
(-x) का गुणांक (-1) होता है। चिन्ह सहित गुणांक लिखना जरूरी है। / The coefficient of (-x) is (-1). It is necessary to write the coefficient with its sign.
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What is the coefficient of \(x^2\) in \(5x^2-2x+1=0\)?
A. (5)
\(x^2\) के साथ लगा गुणांक (5) है। गुणांक लिखते समय केवल पद के साथ लगा संख्यात्मक भाग लें। / The coefficient attached to \(x^2\) is (5). While writing a coefficient, take the numerical part attached to the term.
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If \(x^2+kx+12=0\) is a quadratic equation, then (k) is the coefficient of which term?
B. (x) पद(x) term
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) में (x) का गुणांक (b) होता है। यहां (kx) में (k) (x) का गुणांक है। / In \(ax^2+bx+c=0\), (b) is the coefficient of (x). Here in (kx), (k) is the coefficient of (x).
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What is the coefficient of \(x^2\) in \(x^2+8x+16=0\)?
B. (1)
जब \(x^2\) के आगे कोई संख्या नहीं लिखी होती तब गुणांक (1) होता है। यह सामान्य परीक्षा गलती है। / When no number is written before \(x^2\), its coefficient is (1). This is a common exam mistake.
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B. दोTwo
एक ऑक्सीजन अणु में दो ऑक्सीजन परमाणु होते हैं। / One oxygen molecule has two oxygen atoms.
मैग्नीशियम ऑक्साइड में एक मैग्नीशियम के साथ एक ऑक्सीजन जुड़ती है। / In magnesium oxide one magnesium combines with one oxygen.
इसलिए दो मैग्नीशियम परमाणुओं की जरूरत होगी। / Therefore two magnesium atoms are required.
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Which polynomial makes (x=0) a zero but is not the zero polynomial?
B. \(4x^3-7x\)
\(4x^3-7x\) में (x=0) रखने पर (0) मिलता है और यह शून्य बहुपद नहीं है। (x=0) के लिए अचर पद (0) होना चाहिए। / Substituting (x=0) in \(4x^3-7x\) gives (0), and it is not the zero polynomial. For (x=0), the constant term must be (0).
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If the zeroes of a quadratic polynomial are (2) and (5), what is one monic polynomial?
A. \(x^2-7x+10\)
शून्यक (2) और (5) होने पर बहुपद ((x-2)(x-5)=x-2-7x+10) है। मोनिक बहुपद में \(x^2\) का गुणांक (1) होता है। / With zeroes (2) and (5), the polynomial is ((x-2)(x-5)=x-2-7x+10). A monic polynomial has leading coefficient (1).
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A. \(x^2-10x+23\)
योग (10) और गुणनफल (25-2=23) है। इसलिए बहुपद \(x^2-10x+23\) होगा। / The sum is (10) and the product is (25-2=23). Therefore the polynomial is \(x^2-10x+23\).
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If \(2+\sqrt{3}\) and \(2-\sqrt{3}\) are zeroes of a quadratic polynomial, what is the polynomial?
A. \(x^2-4x+1\)
योग (4) और गुणनफल (1) है। अतः बहुपद \(x^2-4x+1\) है। / The sum is (4) and the product is (1). Therefore the polynomial is \(x^2-4x+1\).
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Which statement is correct about the graph of the zero polynomial (p(x)=0)?
A. पूरा ग्राफ (x)-अक्ष हैThe whole graph is the (x)-axis
(p(x)=0) हर (x) के लिए (y=0) देता है। इसलिए पूरा (x)-अक्ष ग्राफ है। / (p(x)=0) gives (y=0) for every (x). Therefore the whole (x)-axis is the graph.
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How many real zeroes does the constant polynomial (p(x)=5) have?
A. शून्यZero
रेखा (y=5) (x)-अक्ष के समानांतर है और उससे नहीं मिलती। इसलिए कोई वास्तविक शून्यक नहीं है। / The line (y=5) is parallel to the (x)-axis and does not meet it. So it has no real zero.
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A. डिग्री कम से कम (4) होगीThe degree is at least (4)
चार अलग वास्तविक शून्यक के लिए डिग्री कम से कम चार चाहिए। शून्यकों की संख्या डिग्री से अधिक नहीं होती। / Four distinct real zeroes need degree at least four. The number of zeroes cannot exceed the degree.
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Which statement is correct about the graph of the quadratic polynomial (p(x)=x-2+4)?
A. यह (x)-अक्ष को नहीं काटताIt does not cut the (x)-axis
\(x^2+4\) हमेशा धनात्मक है इसलिए (y=0) नहीं होता। ग्राफ से शून्यक तभी मानें जब अक्ष से मिलन हो। / \(x^2+4\) is always positive so (y=0) never occurs. Count a zero only when the graph meets the axis.
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A. शून्यZero
ऐसी रेखा कभी (x)-अक्ष से नहीं मिलती इसलिए कोई शून्यक नहीं होता। ग्राफ से पहले प्रतिच्छेद देखें। / Such a line never meets the (x)-axis so it has no zero. First check the intercept from the graph.
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C. (3)
तीन अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (3) होनी चाहिए। टिप: अलग शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For three distinct real zeroes, the degree must be at least (3). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
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If (p(x)=0) is the zero polynomial, which statement about its zeroes is correct?
B. हर वास्तविक (x) शून्यक हैEvery real (x) is a zero
शून्य बहुपद हर (x) पर (0) देता है। टिप: इसे सामान्य स्थिर बहुपद से अलग समझें। / The zero polynomial gives (0) for every (x). Tip: treat it differently from a usual constant polynomial.
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D. (5)
पाँच अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (5) होनी चाहिए। टिप: शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For five distinct real zeroes the degree must be at least (5). Tip: the number of zeroes cannot exceed the degree.
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If (p(x)=0) is the zero polynomial, which statement about its graph is correct?
A. आलेख (x)-अक्ष ही हैThe graph is the (x)-axis itself
शून्य बहुपद में हर (x) पर (y=0) होता है। टिप: यह विशेष स्थिति है। / For the zero polynomial, (y=0) for every (x). Tip: this is a special case.
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What is the relation of the graph of the non-zero constant polynomial (p(x)=5) with the (x)-axis?
A. यह (x)-अक्ष के समांतर है और उसे नहीं काटताIt is parallel to the (x)-axis and does not cut it
(p(x)=5) कभी (0) नहीं होता इसलिए शून्यक नहीं है। टिप: अशून्य स्थिर बहुपद का शून्यक नहीं होता। / The value (p(x)=5) is never (0) so it has no zero. Tip: a non-zero constant polynomial has no zero.
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For the zero polynomial (p(x)=0) what is every (x)-value called?
A. शून्यकZero
शून्य बहुपद में हर (x) पर मान (0) होता है। टिप: यह विशेष स्थिति है। / For the zero polynomial the value is (0) for every (x). Tip: this is a special case.
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If \(p(x)=x\), what is the zero (root) of the polynomial?
A. 0
बहुपद का शून्यक वह x मान है जिसके लिए \(p(x)=0\)। यहाँ \(p(x)=x\) दिया है, अतः \(p(0)=0\)। इसलिए \(x=0\) इस बहुपद का शून्यक है। विकल्प B (1) गलत है क्योंकि \(p(1)=1\), जो शून्य नहीं है। परीक्षा-सुझाव: हमेशा शून्यक खोजने के लिये \(p(x)=0\) लगाकर हल करें; ग्राफ़ के लिये शून्यक वह x-निर्देश है जहाँ ग्राफ x-अक्ष को काटता है। / A root (zero) is a value a for which \(p(a)=0\). With \(p(x)=x\), substituting \(x=0\) gives \(p(0)=0\), so \(x=0\) is the root. Option B (1) is incorrect because \(p(1)=1\), not zero. Exam tip: to find zeros set \(p(x)=0\) and solve; graphically zeros are x-values where the curve meets the x-axis (here the origin).
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If the graph shows the point (-8, 0), for which value of x does the polynomial equal zero?
A. x = -8
बिंदु (-8, 0) का अर्थ है कि जब x = -8 होगा तो y का मान 0 है। बहुपद का मान y ही होता है, इसलिए बहुपद x = -8 पर शून्य होगा (अर्थात् f(-8)=0)। विकल्प B (x = 8) सिर्फ साइन के विपरीत है और गलत है; विकल्प C (x = 0) केवल तब सही होता यदि बिंदु (0,0) दिया होता; विकल्प D कोई संबंधित कारण नहीं देता। परीक्षा टिप: किसी भी x-अक्ष पर स्थित बिंदु का x-कोऑर्डिनेट तुरंत उस बिंदु के लिए बहुपद का शून्य बताता है। / The point (-8, 0) means y = 0 when x = -8. Since the polynomial's value is y, the polynomial is zero at x = -8 (i.e. f(-8)=0). Option B (x = 8) has the wrong sign; option C (x = 0) would be correct only for the point (0,0); option D is unrelated. Exam tip: an x-intercept (y=0) gives the root directly as the x-coordinate shown.
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Why does the graph of the non-zero constant polynomial (p(x)=-3) not cut the (x)-axis?
A. क्योंकि (y) हमेशा (-3) रहता हैBecause (y) always remains (-3)
(p(x)=-3) का (y)-मान कभी (0) नहीं होता। इसलिए ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता और कोई शून्यक नहीं है। / For (p(x)=-3), the (y)-value is never (0). So the graph does not cut the (x)-axis and has no zero.
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A. (-7), (0), (4)
x-अक्ष पर कटान बिंदुओं के शून्यक उनके x-निर्देशांक होते हैं। दिए हुए बिंदु (-7,0), (0,0) और (4,0) के x-निर्देशांक क्रमशः -7, 0 और 4 हैं, इसलिए शून्यक (-7), (0) और (4) होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि वह संकेत उल्टा कर देता है (–7 को 7 और 4 को –4 कर दिया गया है), जबकि संकेत महत्वपूर्ण होता है। विकल्प D में 0 को दो बार दिखाया गया है — यह तब सही हो सकता है जब शून्यक की बहुगुणकता 2 हो, पर यहाँ दिए बिंदु अलग-अलग हैं इसलिए ऐसा नहीं है। परीक्षा-टिप: x-अक्ष पर किसी भी इंटरसेप्ट का x-कोऑर्डिनेट सीधे शून्यक देता है; बिंदु के आदेश (x,0) में x ही शून्यक है। / The zeroes of a polynomial are the x-coordinates of its x-axis intercepts. From the points (-7,0), (0,0) and (4,0) the x-values are -7, 0 and 4, so the zeroes are (-7), (0) and (4). Option B is incorrect because it reverses signs (turning -7 into 7 and 4 into -4) — sign matters for zeros. Option D shows 0 twice, which would indicate multiplicity 2 at x=0, but the given intercepts are distinct so that is not the case. Exam tip: read the x-coordinate of an intercept (x,0) to get the corresponding zero directly; watch the sign carefully.
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If \(p(-3)=0\), which value is a zero of the polynomial?
A. -3
एक बहुपद का शून्यक वह \(x\)-मान होता है जिस पर \(p(x)=0\) होता है. यहाँ दिया है कि \(p(-3)=0\), अतः \(-3\) पर बहुपद का मान शून्य है, यानी \(-3\) शून्यक (root) है. निकटतम भ्रामक विकल्प \(3\) गलत है क्योंकि केवल \(-3\) के लिए ही मूल्य शून्य होने का दावा किया गया है; \(3\) के लिए ऐसा होना आवश्यक नहीं है। परिक्षा-सुझाव: किसी दिए हुए मान के लिए \(p(मान)\) निकालकर चेक करें — यदि परिणाम शून्य हो तो वही शून्यक है। / A zero (root) of a polynomial is an x-value for which \(p(x)=0\). Since \(p(-3)=0\) is given, \(-3\) is a root of the polynomial. The closest distractor, 3, is incorrect because the condition is satisfied only at \(-3\) as stated; there is no information that \(p(3)=0\). Exam tip: To identify a root, substitute the candidate value into \(p(x)\) — if the result is zero, it is a root.
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A. 6
x-अक्ष के साथ जो बिंदु साझा किया गया है वह (6,0) है; यहाँ y = 0 और x का मान 6 है। बहुपद के वास्तविक शून्यक वे x‑मान होते हैं जहाँ ग्राफ़ का y‑मान शून्य होता है। इसलिए अलग वास्तविक शून्यक 6 है। सबसे पास का भ्रामक विकल्प −6 है — यह गलत है क्योंकि दिया गया बिंदु x = −6 नहीं बल्कि x = 6 है। परीक्षा टिप: किसी भी बिंदु (a,0) को देखकर तुरंत लिखें कि a बहुपद का एक शून्यक है। / The given intersection point is (6,0); here y = 0 and the x‑coordinate is 6. Zeros of a polynomial are the x‑values where the graph meets the x‑axis (y = 0). Hence the distinct real zero is 6. The closest distractor −6 is incorrect because the x‑coordinate is positive 6, not −6; 0 is incorrect because that would mean the intersection is (0,0), which is not given; “कोई नहीं” (none) is wrong since an intersection at (6,0) is explicitly given. Exam tip: From any x‑intercept (a,0) immediately read off the root a — don’t confuse sign.
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A. बहुपद का मान \(P(x)\)Value of the polynomial \(P(x)\)
यदि किसी बहुपद के लिए कोई मान \(x=a\) शून्यक है तो बहुपद का मान वहाँ पर \(P(a)=0\) होगा। इसलिए शून्यक पहचानने के लिए बहुपद का मान शून्य होना आवश्यक है। स्थिर पद (option D) कभी-कभी शून्य हो सकता है पर यह आवश्यक शर्त नहीं है — उदाहरण के लिए \(P(x)=x-1\) का स्थिर पद \(-1\) है पर शून्यक \(x=1\) है। चर के गुणांक या घातांक का शून्य होना शून्यक की परिभाषा नहीं बताता। परीक्षा-सुझाव: ग्राफ पर शून्यक वे बिंदु होते हैं जहाँ \(y=0\) अर्थात x-अक्ष से मिलान होता है; सीधे x-अक्ष पर कटने वाले बिंदु खोजें। / For a number \(x=a\) to be a root of a polynomial we must have \(P(a)=0\). Thus the value of the polynomial at that x must be zero, so option A is correct. The constant term (option D) may be zero in some polynomials but it is not a necessary condition (e.g. \(P(x)=x-1\) has constant term \(-1\) yet root at \(x=1\)). Coefficients or exponents being zero do not by themselves indicate a root. Exam tip: on the graph, roots are the x-intercepts where \(y=0\); read off x-coordinates of those intercepts.
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If the graph of a polynomial cuts the x-axis at \((a,0)\), what is the zero of the polynomial?
A. \(a\)
किसी बहुपद का शून्यक वह x-मान होता है जहाँ बहुपद का मान शून्य हो, यानी जहाँ ग्राफ x-अक्ष (y=0) को काटता है। बिंदु \((a,0)\) में x-निर्देशांक \(a\) है, अतः शून्यक \(a\) होगा। विकल्प \(0\) गलत है क्योंकि वह y-निर्देशांक है; \(-a\) और \(a^2\) भी उस बिंदु के x-निर्देशांक नहीं हैं। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर कटने वाले बिंदु में हमेशा y=0 होता है — इसलिए शून्यक सीधे x-कोऑर्डिनेट होता है। / The zero of a polynomial is the x-value where the polynomial equals zero, i.e., where the graph meets the x-axis (y=0). At the point \((a,0)\) the x-coordinate is \(a\), so the zero is \(a\). Option \(0\) is incorrect because that is the y-coordinate at the intersection; \(-a\) and \(a^2\) are not the x-coordinate of the given point. Exam tip: when a graph intersects the x-axis, read off the x-coordinate — that is the zero (root).
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Which polynomial's graph will intersect the x-axis at x = 0?
A. जिसके लिए p(0)=0One for which p(0)=0
किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष पर तभी कटेगा जब उस बिंदु पर बहुपद का मान (y) शून्य हो। x=0 पर कटने का अर्थ है कि x में 0 डालने पर p(0)=0 होना चाहिए। विकल्प B में p(0)=5 है — y शून्य नहीं है इसलिए ग्राफ x-अक्ष पर नहीं कटेगा। विकल्प C में p(1)=0 है, पर वह x=1 पर कटता है, न कि x=0 पर। विकल्प D में p(-1)=1 है, जो न तो शून्य है और न ही x=0 का स्थान है। परीक्षा-सूत्र: किसी दिए x-वस्तु के लिए बहुपद में वह मान डालकर तुरंत जाँच करें कि मान शून्य है या नहीं। / A polynomial intersects the x-axis at a point only if its value (y) at that x is zero. To intersect at x = 0 we must have p(0) = 0. Option B gives p(0)=5 so the value is not zero and the graph does not meet the x-axis at x=0. Option C has a zero at x=1, so the intersection is at x=1, not x=0. Option D yields p(-1)=1, which is not zero. Exam tip: substitute the specified x into the polynomial — if the result is 0, the graph crosses the x-axis at that x-coordinate.
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A. -4
x-अक्ष पर काटने का बिंदु (-4,0) बताता है कि उस बिंदु पर बहुपद का मान 0 है। इसका मतलब है कि \\(x=-4\\) पर बहुपद शून्य होगा, अर्थात् \\(-4\\) जड़ (root) है। विकल्प B (4) गलत है क्योंकि वह विपरीत संकेत वाला मान है; विकल्प C (0) और D (1) तभी सही होते यदि वे भी x-अक्ष पर कटाव बिंदु होते, जो दिए हुए नहीं हैं। परीक्षा-टिप: x-अक्ष के कटाव बिंदु का x-निर्देशांक सीधे जड़ देता है — संदेह होने पर बहुपद में प्रतिस्थापित कर जाँच लें। / An x-intercept of (-4, 0) means the polynomial evaluates to 0 at x = -4, so x = -4 is a root. Option B (4) is incorrect because it has the opposite sign; options C (0) and D (1) would only be correct if those x-values were the intercepts, which they are not. Exam tip: the x-coordinate of an x-intercept gives the root directly; if unsure, substitute the value into the polynomial to verify.
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If the line \(y=2x-6\) cuts the x-axis, what is the zero of the corresponding linear polynomial?
A. 3
x-अक्ष पर बिंदु का अर्थ है कि \(y=0\)। अत: \(2x-6=0\) से \(2x=6\) और \(x=3\)। इसलिए शून्यक 3 है। विकल्प (-3) उस समय होगा जब कोई गलत साइन या गलत भागफल लिया जाए; 6 और -6 y का मान हो सकते हैं (y-अवरोध -6 है), पर वे बहुपद का शून्यक नहीं हैं। परीक्षा-सुझाव: किसी रेखा का शून्यक निकालने के लिए हमेशा \(y=0\) रखकर x हल करें। / A point on the x-axis has \(y=0\). So set \(2x-6=0\), giving \(2x=6\) and \(x=3\). Hence the zero is 3. The option -3 arises from a sign or arithmetic mistake; 6 or -6 are values of y (the y-intercept is -6), not the x-intercept. Exam tip: to find the zero of a linear polynomial from its line, always put \(y=0\) and solve for x.
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A. (2) और (7)(2) and (7)
शून्यक (x)-अक्ष पर कटने वाले बिंदुओं के (x)-निर्देशांक होते हैं। इसलिए शून्यक (2) और (7) हैं। / Zeroes are the (x)-coordinates of the points where the graph cuts the (x)-axis. So the zeroes are (2) and (7).
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In which situation will (x=2) be called a zero of polynomial (p(x))?
A. जब (p(2)=0) होWhen (p(2)=0)
किसी मान को शून्यक तभी कहते हैं जब उस पर बहुपद का मान (0) हो। इसलिए (x=2) के लिए (p(2)=0) होना चाहिए। / A value is called a zero only when the polynomial value at that point is (0). So for (x=2), (p(2)=0) is required.
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If a polynomial graph has two intersections with the (x)-axis, how many real zeroes does it have?
A. दोTwo
(x)-अक्ष से प्रत्येक अलग कटाव एक वास्तविक शून्यक देता है। दो कटाव होने पर दो वास्तविक शून्यक होंगे। / Each distinct intersection with the (x)-axis gives one real zero. With two intersections, there are two real zeroes.
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If the graph of the polynomial \(p(x)=x+2\) cuts the x-axis, what is its zero?
B. -2
शून्यक वह x का मान होता है जहाँ बहुपद का मान शून्य हो, अर्थात् \(p(x)=0\)। यहाँ \(x+2=0\) से \(x=-2\) प्राप्त होता है। इसलिए शून्यक \(-2\) है। निकटवर्ती भ्रमित करने वाला विकल्प 2 है, परंतु \(p(2)=2+2=4\) शून्य नहीं है। परीक्षा‑टिप: हमेशा शून्यक के लिए बहुपद में वह मान रखकर सत्यापित करें। / A zero (root) is the x-value where the polynomial equals zero, i.e. solve \(p(x)=0\). For \(x+2=0\) we get \(x=-2\), so the zero is \(-2\). The common wrong choice 2 is incorrect because \(p(2)=2+2=4\), not zero. Exam tip: substitute the candidate x into the polynomial to verify it yields 0.
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What does the graph of a non-zero constant polynomial like (p(x)=5) show about its zeroes?
A. कोई शून्यक नहींNo zero
(p(x)=5) का ग्राफ (x)-अक्ष के समानांतर रेखा है जो (x)-अक्ष को नहीं काटती। इसलिए इसका कोई शून्यक नहीं है। / The graph of (p(x)=5) is a line parallel to the (x)-axis and does not cut it. Hence it has no zero.
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A. (0)
वास्तविक शून्यक तभी दिखते हैं जब ग्राफ (x)-अक्ष से मिले। यदि ग्राफ (x)-अक्ष से नहीं मिलता, तो वास्तविक शून्यक नहीं होंगे। / Real zeroes appear only where the graph meets the (x)-axis. If it does not meet the (x)-axis, it has no real zero.
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If the graph of a linear polynomial cuts the (x)-axis only once, how many zeroes will it have?
A. एकOne
रैखिक बहुपद का ग्राफ एक रेखा होता है और सामान्यतः (x)-अक्ष को एक बार काटता है। इसलिए उसका एक शून्यक होता है। / The graph of a linear polynomial is a line and usually cuts the (x)-axis once. Therefore it has one zero.
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