A. स्केल से बनी सीधी रेखा/Straight line made by ruler
Step 1
Concept
Straight controlled line gives formal effect. Exam tip: observe straight controlled line in formal design.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. स्केल से बनी सीधी रेखा / Straight line made by ruler. Straight controlled line gives formal effect. Exam tip: observe straight controlled line in formal design.
Step 3
Exam Tip
सीधी नियंत्रित रेखा औपचारिक प्रभाव देती है। परीक्षा में formal design में straight controlled line देखें।
A. युद्ध नीति का विरोध करना था लेकिन व्यापक हिंसा से बचना था/He wanted to oppose war policy but avoid large-scale violence
Step 1
Concept
Individual Satyagraha was limited and non-violent protest. Exam tip: remember Vinoba Bhave.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. युद्ध नीति का विरोध करना था लेकिन व्यापक हिंसा से बचना था / He wanted to oppose war policy but avoid large-scale violence. Individual Satyagraha was limited and non-violent protest. Exam tip: remember Vinoba Bhave.
Step 3
Exam Tip
व्यक्तिगत सत्याग्रह सीमित और अहिंसक विरोध था। परीक्षा में विनोबा भावे याद रखें।
A. केवल कुछ क्रिस्टलीकरण जल हटाकर अर्धजल रूप बनाना होता है/Only part of water of crystallisation must be removed to form hemihydrate
Step 1
Concept
Gypsum contains water of crystallisation.
Step 2
Why this answer is correct
Only part of this water should be removed to make plaster of Paris.
Step 3
Exam Tip
Excess heating can spoil the useful hemihydrate form. चरण 1: जिप्सम में क्रिस्टलीकरण जल होता है। चरण 2: प्लास्टर ऑफ पेरिस बनाने के लिए केवल कुछ जल हटना चाहिए। चरण 3: अधिक गर्म करने पर उपयोगी अर्धजल रूप बिगड़ सकता है।
A. क्योंकि केवल कुछ क्रिस्टलीकरण जल हटाना होता है/Because only part of water of crystallisation must be removed
Step 1
Concept
Gypsum contains a fixed amount of water of crystallisation.
Step 2
Why this answer is correct
Only part of this water should be removed to make plaster of Paris.
Step 3
Exam Tip
Excess heating can spoil the useful hemihydrate form. चरण 1: जिप्सम में निश्चित मात्रा में क्रिस्टलीकरण जल होता है। चरण 2: प्लास्टर ऑफ पेरिस बनाने के लिए केवल कुछ जल हटाना चाहिए। चरण 3: अधिक गरम करने से उपयोगी अर्धजल रूप बिगड़ सकता है।
B. क्योंकि केवल कुछ क्रिस्टलीकरण जल हटाना होता है/Because only part of the water of crystallisation must be removed
Step 1
Concept
Gypsum contains water of crystallisation.
Step 2
Why this answer is correct
To make plaster of Paris only part of this water is removed.
Step 3
Exam Tip
Too much heating may not give the useful form, so heating must be controlled. चरण 1: जिप्सम में क्रिस्टलीकरण जल होता है। चरण 2: प्लास्टर ऑफ पेरिस बनाने के लिए इसका केवल एक भाग हटाया जाता है। चरण 3: बहुत अधिक गर्म करने पर उपयोगी रूप नहीं मिल सकता इसलिए ताप नियंत्रित चाहिए।
Add (1) to each exponent and multiply to get total factors.
Step 2
Why this answer is correct
In option A, ((4+1)(2+1)(3+1)=5\times3\times4=60).
Step 3
Exam Tip
In option-based questions, test the exponents of each option. चरण 1: कुल गुणनखंडों के लिए घातों में (1) जोड़कर गुणा करते हैं। चरण 2: विकल्प A में ((4+1)(2+1)(3+1)=5\times3\times4=60)। चरण 3: विकल्प आधारित प्रश्नों में हर विकल्प की घातों पर यह नियम लगाएं।
A. पृष्ठभूमि शांत और पीछे लगती है/Background looks calm and behind
Step 1
Concept
Light lines make the background less dominant. In exams vary line intensity for depth.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पृष्ठभूमि शांत और पीछे लगती है / Background looks calm and behind. Light lines make the background less dominant. In exams vary line intensity for depth.
Step 3
Exam Tip
हल्की रेखाएं पृष्ठभूमि को कम प्रमुख बनाती हैं। परीक्षा में गहराई के लिए रेखा तीव्रता बदलें।
A. छाया की गहराई और सतह का भाव/Depth of shade and surface feeling
Step 1
Concept
Changing direction and density changes tone and surface feeling. In exams pay attention to direction in shading.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. छाया की गहराई और सतह का भाव / Depth of shade and surface feeling. Changing direction and density changes tone and surface feeling. In exams pay attention to direction in shading.
Step 3
Exam Tip
दिशा और घनता बदलने से टोन और सतह अलग दिखती है। परीक्षा में शेडिंग के लिए दिशा पर ध्यान दें।
D. छोटे क्षेत्र में मान या पूरक रंग विरोध जोड़ना/Add value or complementary accent contrast in a small area
Step 1
Concept
Limited contrast creates focus in a harmonious scheme. Exam tip: balance harmony and emphasis.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. छोटे क्षेत्र में मान या पूरक रंग विरोध जोड़ना / Add value or complementary accent contrast in a small area. Limited contrast creates focus in a harmonious scheme. Exam tip: balance harmony and emphasis.
Step 3
Exam Tip
समरस योजना में सीमित विरोध केंद्र बनाता है। परीक्षा में harmony और emphasis को संतुलित करें।
A. नजर को रोककर जोर बनाना/To stop the eye and create emphasis
Step 1
Concept
A pause in rhythm attracts attention. Exam tip: connect rhythm break with emphasis.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. नजर को रोककर जोर बनाना / To stop the eye and create emphasis. A pause in rhythm attracts attention. Exam tip: connect rhythm break with emphasis.
Step 3
Exam Tip
लय में विराम ध्यान आकर्षित करता है। परीक्षा में rhythm break को emphasis से जोड़ें।
A. एक प्रमुख विरोधी क्षेत्र और शांत सहायक क्षेत्र रखना/Keep one main contrasting area and calm supporting areas
Step 1
Concept
Difference between main and supporting areas creates visual hierarchy. Exam tip: remember focal hierarchy.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. एक प्रमुख विरोधी क्षेत्र और शांत सहायक क्षेत्र रखना / Keep one main contrasting area and calm supporting areas. Difference between main and supporting areas creates visual hierarchy. Exam tip: remember focal hierarchy.
Step 3
Exam Tip
मुख्य और सहायक क्षेत्रों का अंतर दृश्य पदानुक्रम बनाता है। परीक्षा में focal hierarchy याद रखें।
B. विरोध की तीव्रता और क्षेत्रफल/Intensity of contrast and area
Step 1
Concept
Complementary colours can look very sharp in large areas. Exam tip: remember contrast control.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. विरोध की तीव्रता और क्षेत्रफल / Intensity of contrast and area. Complementary colours can look very sharp in large areas. Exam tip: remember contrast control.
Step 3
Exam Tip
पूरक रंग बड़े क्षेत्र में बहुत तीखे लग सकते हैं। परीक्षा में contrast control याद रखें।
A. एक मुख्य विरोधी भाग और बाकी शांत सहायक भाग/One main contrasting part and other calm supporting parts
Step 1
Concept
Difference between main and supporting parts clarifies focal point. Exam tip: write focal hierarchy.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. एक मुख्य विरोधी भाग और बाकी शांत सहायक भाग / One main contrasting part and other calm supporting parts. Difference between main and supporting parts clarifies focal point. Exam tip: write focal hierarchy.
Step 3
Exam Tip
मुख्य और सहायक भागों का अंतर केंद्र बिंदु स्पष्ट करता है। परीक्षा में focal hierarchy लिखें।
Reducing intensity makes colour muted and controlled. Exam tip: connect colour intensity with mood control.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. तीव्रता कम करके / By reducing intensity. Reducing intensity makes colour muted and controlled. Exam tip: connect colour intensity with mood control.
Step 3
Exam Tip
तीव्रता घटाने से रंग मंद और नियंत्रित लगता है। परीक्षा में colour intensity को mood control से जोड़ें।
A. क्योंकि मातृदेश धन संचय के लिए कच्चा माल और बाजार नियंत्रित करना चाहता था/Because the mother country wanted to control raw materials and markets for wealth accumulation
Step 1
Concept
Mercantilism linked trade with state power. For exams remember raw materials markets and exports together.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि मातृदेश धन संचय के लिए कच्चा माल और बाजार नियंत्रित करना चाहता था / Because the mother country wanted to control raw materials and markets for wealth accumulation. Mercantilism linked trade with state power. For exams remember raw materials markets and exports together.
Step 3
Exam Tip
मर्केंटिलिज्म ने व्यापार को राज्य शक्ति से जोड़ा। परीक्षा में कच्चा माल बाजार और निर्यात को साथ याद रखें।
In colonial rule power remained in the hands of an outside power. For exams connect it with political control.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. विदेशी शासक शक्ति / Foreign ruling power. In colonial rule power remained in the hands of an outside power. For exams connect it with political control.
Step 3
Exam Tip
औपनिवेशिक शासन में सत्ता बाहरी शक्ति के हाथों में रहती थी। परीक्षा में इसे राजनीतिक नियंत्रण से जोड़ें।
Information for body traits is present in genetic material.
Step 2
Why this answer is correct
A unit of this information is called a gene.
Step 3
Exam Tip
Therefore inherited traits are controlled by genes. चरण 1: शरीर के लक्षणों की सूचना आनुवंशिक पदार्थ में होती है। चरण 2: इस सूचना की इकाई वंशाणु कहलाती है। चरण 3: इसलिए वंशागत लक्षण वंशाणुओं से नियंत्रित होते हैं।
A. क्योंकि मध्य इटली के कुछ क्षेत्र पोप के नियंत्रण में थे/Because some parts of central Italy were under the Pope's control
Step 1
Concept
Italy was not only divided into small states but also controlled by different powers.
Step 2
Why this answer is correct
The Pope had influence in central Italy.
Step 3
Exam Tip
Therefore the issue of these areas was important for complete unification. चरण 1: इटली केवल छोटे राज्यों में ही नहीं बंटा था बल्कि अलग शक्तियों के नियंत्रण में भी था। चरण 2: मध्य इटली में पोप का प्रभाव था। चरण 3: इसलिए पूर्ण एकीकरण के लिए इन क्षेत्रों का प्रश्न भी महत्त्वपूर्ण था।
A. जल बहुत अधिक निकल सकता है और वांछित अर्ध जलयुक्त रूप नहीं बनेगा/Too much water may be removed and the desired hemihydrate will not form
Step 1
Concept
Gypsum contains water of crystallisation.
Step 2
Why this answer is correct
Controlled heating removes part of this water to form plaster of Paris.
Step 3
Exam Tip
Overheating can remove too much water and prevent the desired hemihydrate form. चरण 1: जिप्सम में क्रिस्टलीकरण जल होता है। चरण 2: नियंत्रित गरम करने पर जल का कुछ भाग निकलकर प्लास्टर ऑफ पेरिस बनता है। चरण 3: अधिक गरम करने पर सही अर्ध जलयुक्त रूप नहीं मिलता।
A. जिप्सम से कुछ क्रिस्टलीकरण जल निकल जाता है/Some water of crystallisation is removed from gypsum
Step 1
Concept
Gypsum contains water of crystallisation.
Step 2
Why this answer is correct
Controlled heating removes some of this water.
Step 3
Exam Tip
This produces plaster of Paris. चरण 1: जिप्सम में क्रिस्टलीकरण का जल होता है। चरण 2: नियंत्रित गरम करने पर उसका कुछ जल निकलता है। चरण 3: इसी से प्लास्टर ऑफ पेरिस बनता है।
A. क्रिस्टलीय जल का कुछ भाग निकलता है/Part of the water of crystallisation is removed
Step 1
Concept
Gypsum contains water of crystallisation.
Step 2
Why this answer is correct
Controlled heating removes part of this water.
Step 3
Exam Tip
This partial dehydration forms plaster of Paris. चरण 1: जिप्सम में क्रिस्टलीय जल होता है। चरण 2: नियंत्रित गर्म करने पर उसका कुछ जल निकलता है। चरण 3: इसी आंशिक निर्जलीकरण से प्लास्टर ऑफ पेरिस बनता है।
A. सही मात्रा में जल हटाकर प्लास्टर ऑफ पेरिस बनाने के लिए/To remove the right amount of water and form Plaster of Paris
Step 1
Concept
Gypsum contains water of crystallisation.
Step 2
Why this answer is correct
Controlled heating removes part of this water and forms Plaster of Paris.
Step 3
Exam Tip
Too much heating can change properties, so temperature control is important. चरण 1: जिप्सम में जलयोजन जल होता है। चरण 2: नियंत्रित गर्म करने पर इसका कुछ जल निकलता है और प्लास्टर ऑफ पेरिस बनता है। चरण 3: अधिक ताप पर पदार्थ के गुण बदल सकते हैं इसलिए ताप नियंत्रण जरूरी है।
This forms plaster of Paris. चरण 1: जिप्सम में क्रिस्टलीकरण जल होता है। चरण 2: नियंत्रित गर्म करने पर इसका कुछ जल निकलता है। चरण 3: इससे प्लास्टर ऑफ पेरिस बनता है।
A. अधिक जल निकलकर उपयोगी अर्धजल रूप बिगड़ सकता है/Too much water may be removed and useful hemihydrate form may be spoiled
Step 1
Concept
Gypsum contains water of crystallisation.
Step 2
Why this answer is correct
Only part of this water should be removed to make plaster of Paris.
Step 3
Exam Tip
Excess heat can spoil the useful form. चरण 1: जिप्सम में क्रिस्टलीकरण जल होता है। चरण 2: प्लास्टर ऑफ पेरिस बनाने के लिए केवल कुछ जल हटना चाहिए। चरण 3: अधिक ताप उपयोगी रूप को बिगाड़ सकता है।
B. कुछ क्रिस्टलीकरण जल निकल जाता है/Some water of crystallisation is removed
Step 1
Concept
Gypsum contains water of crystallisation.
Step 2
Why this answer is correct
Controlled heating removes part of this water.
Step 3
Exam Tip
Calcium sulphate hemihydrate, or plaster of Paris, is formed. चरण 1: जिप्सम में क्रिस्टलीकरण जल होता है। चरण 2: नियंत्रित गर्म करने पर इसका कुछ जल निकलता है। चरण 3: इससे कैल्शियम सल्फेट अर्ध जल अर्थात प्लास्टर ऑफ पेरिस बनता है।
A. अधिक जल निकलकर उपयोगी अर्धजल रूप बिगड़ सकता है/Too much water may be removed and the useful hemihydrate form may be lost
Step 1
Concept
Gypsum contains water of crystallisation.
Step 2
Why this answer is correct
Only part of this water should be removed to make plaster of Paris.
Step 3
Exam Tip
Excess heating can remove too much water and reduce useful properties. चरण 1: जिप्सम में क्रिस्टलीकरण जल होता है। चरण 2: प्लास्टर ऑफ पेरिस के लिए केवल कुछ जल हटना चाहिए। चरण 3: अधिक गर्म करने पर अधिक जल हट सकता है और उपयोगी गुण घट सकते हैं।
A. प्रति कैल्शियम सल्फेट आधा जल अणु/Half water molecule per calcium sulphate
Step 1
Concept
Gypsum is calcium sulphate dihydrate.
Step 2
Why this answer is correct
Controlled heating produces plaster of Paris.
Step 3
Exam Tip
It contains half a water molecule per calcium sulphate unit. चरण 1: जिप्सम कैल्शियम सल्फेट द्वि जल है। चरण 2: नियंत्रित ताप पर गरम करने से प्लास्टर ऑफ पेरिस बनता है। चरण 3: इसमें प्रति कैल्शियम सल्फेट आधा जल अणु माना जाता है।
A. क्रिस्टलीय जल की मात्रा में परिवर्तन/Change in the amount of water of crystallisation
Step 1
Concept
Gypsum is hydrated calcium sulphate.
Step 2
Why this answer is correct
Controlled heating removes part of its water of crystallisation.
Step 3
Exam Tip
This forms plaster of Paris. पहला बिंदु: जिप्सम जलयुक्त कैल्शियम सल्फेट है। दूसरा बिंदु: नियंत्रित गरम करने पर इसका कुछ क्रिस्टलीय जल निकलता है। तीसरा बिंदु: इसी से प्लास्टर ऑफ पेरिस बनता है।
A. ग्लूकोज का ऑक्सीकरण नियंत्रित ढंग से ऊर्जा देता है/Oxidation of glucose releases energy in a controlled way
Step 1
Concept
Glucose is oxidised in respiration.
Step 2
Why this answer is correct
Energy is released in a controlled way not suddenly.
Step 3
Exam Tip
Therefore it is an energy releasing chemical process. चरण 1: श्वसन में ग्लूकोज का ऑक्सीकरण होता है। चरण 2: ऊर्जा अचानक नहीं बल्कि नियंत्रित ढंग से मिलती है। चरण 3: इसलिए यह ऊर्जा मुक्त करने वाली रासायनिक प्रक्रिया है।
A. क्योंकि ग्लूकोज का ऑक्सीकरण नियंत्रित ढंग से ऊर्जा देता है/Because oxidation of glucose releases energy in a controlled way
Step 1
Concept
Glucose is oxidised in respiration.
Step 2
Why this answer is correct
Energy is obtained in a controlled way not suddenly.
Step 3
Exam Tip
Therefore respiration is an energy releasing chemical process. चरण 1: श्वसन में ग्लूकोज का ऑक्सीकरण होता है। चरण 2: ऊर्जा अचानक नहीं बल्कि नियंत्रित रूप से मिलती है। चरण 3: इसलिए श्वसन ऊर्जा मुक्त करने वाली रासायनिक प्रक्रिया है।
Expanding ((x-a)(x-b)(x-c)) gives the first form. Remember the link between zeroes and factors.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x-3-(a+b+c)x-2+(ab+bc+ca)x-abc). Expanding ((x-a)(x-b)(x-c)) gives the first form. Remember the link between zeroes and factors.
Step 3
Exam Tip
((x-a)(x-b)(x-c)) फैलाने पर पहला रूप मिलता है। शून्यकों और गुणनखंडों का संबंध याद रखें।
HCF takes the smaller exponents of common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The HCF is \(2^4\times 3^2\). Counting repetition, the total number of prime factors is (4+2=6).
Step 3
Exam Tip
First form the HCF, then add its exponents. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य गुणनखंडों के छोटे घातांक आते हैं। चरण 2: महत्तम समापवर्तक \(2^4\times 3^2\) होगा। पुनरावृत्ति सहित कुल अभाज्य गुणनखंड (4+2=6) हैं। चरण 3: पहले महत्तम समापवर्तक बनाइए, फिर घातांकों का योग लीजिए।
In an odd factor, the exponent of (2) must be (0).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (3) can be (0,1,2,3), giving (4) odd factors.
Step 3
Exam Tip
While counting odd factors, remove (2) completely. चरण 1: विषम गुणनखंड में (2) की घात (0) होनी चाहिए। चरण 2: (3) की घात (0,1,2,3) हो सकती है, इसलिए (4) विषम गुणनखंड होंगे। चरण 3: विषम गुणनखंड गिनते समय (2) को पूरी तरह हटाएं।
An even factor must have exponent of (2) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) has (3) choices (1,2,3), (3) has (3) choices (0,1,2), and (5) has (2) choices (0,1). Total (18).
Step 3
Exam Tip
While counting even factors, do not take exponent (0) for (2). चरण 1: सम गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1,2,3) के (3) विकल्प, (3) की घात (0,1,2) के (3) विकल्प और (5) की घात (0,1) के (2) विकल्प देती है। कुल \(3 \times 3 \times 2=18\)। चरण 3: सम गुणनखंड गिनते समय (2) की घात (0) न लें।
The bases of the second number are (2,3,7), so the common primes are (2) and (3).
Step 3
Exam Tip
For common factors, choose bases present in both numbers. चरण 1: पहली संख्या के आधार (2,3,5) हैं। चरण 2: दूसरी संख्या के आधार (2,3,7) हैं, इसलिए समान अभाज्य (2) और (3) हैं। चरण 3: समान गुणनखंडों में वही आधार लें जो दोनों में हों।
In a square factor, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
For (2), choices are (0,2,4), giving (3) choices; for (3), choices are (0,2), giving (2); for (7), only (0), giving (1). Total (6).
Step 3
Exam Tip
Count even exponent choices separately. चरण 1: पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। चरण 2: (2) के लिए (0,2,4) के (3) विकल्प, (3) के लिए (0,2) के (2) विकल्प और (7) के लिए केवल (0) का (1) विकल्प है। कुल \(3 \times 2 \times 1=6\)। चरण 3: सम घातों के विकल्प अलग-अलग गिनें।
A factor divisible by (3) must have the exponent of (3) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) has (5) choices from (0) to (4), and the exponent of (3) has (3) choices (1,2,3). Total \(5 \times 3=15\).
Step 3
Exam Tip
In conditional factor counting, adjust exponent limits. चरण 1: (3) से विभाज्य गुणनखंड में (3) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात के (0) से (4) तक (5) विकल्प हैं और (3) की घात (1,2,3) के (3) विकल्प हैं। कुल \(5 \times 3=15\)। चरण 3: शर्त वाले गुणनखंडों में घात की सीमा बदलकर गिनें।
Distinct prime factors are counted from the prime bases.
Step 2
Why this answer is correct
The bases are (2,3,5), so there are (3) distinct prime factors.
Step 3
Exam Tip
Exponents are not counted as separate prime factors. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड आधार संख्याओं से गिने जाते हैं। चरण 2: यहां आधार (2,3,5) हैं, इसलिए कुल (3) अलग अभाज्य गुणनखंड हैं। चरण 3: घातों को अलग अभाज्य गुणनखंड नहीं माना जाता।
To count total factors, add (1) to each exponent and multiply.
Step 2
Why this answer is correct
\((3+1)(2+1)(1+1)=4 \times 3 \times 2=24\).
Step 3
Exam Tip
Do not forget that an unwritten exponent is (1). चरण 1: कुल गुणनखंडों की संख्या के लिए हर घात में (1) जोड़कर गुणा करें। चरण 2: \((3+1)(2+1)(1+1)=4 \times 3 \times 2=24\)। चरण 3: बिना लिखी घात को (1) मानना न भूलें।
In an odd factor, the exponent of (2) must be (0).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (3) can be (0,1,2), giving (3) odd factors.
Step 3
Exam Tip
While counting odd factors, remove (2) completely. चरण 1: विषम गुणनखंड में (2) की घात (0) होनी चाहिए। चरण 2: (3) की घात (0,1,2) हो सकती है, इसलिए (3) विषम गुणनखंड होंगे। चरण 3: विषम गुणनखंड गिनते समय (2) को पूरी तरह हटाएं।
An even factor must have exponent of (2) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) has (2) choices (1,2), while (3) has (2) choices and (5) has (2) choices. Total \(2 \times 2 \times 2=8\).
Step 3
Exam Tip
While counting even factors, do not take exponent (0) for (2). चरण 1: सम गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1,2) के (2) विकल्प, (3) की घात (0,1) के (2) विकल्प और (5) की घात (0,1) के (2) विकल्प देती है। कुल \(2 \times 2 \times 2=8\)। चरण 3: सम गुणनखंड गिनते समय (2) की घात शून्य न लें।
The bases of the second number are (2,3,7), so the common primes are (2) and (3).
Step 3
Exam Tip
For common factors, choose only bases present in both numbers. चरण 1: पहली संख्या के आधार (2,3,5) हैं। चरण 2: दूसरी संख्या के आधार (2,3,7) हैं, इसलिए समान अभाज्य (2) और (3) हैं। चरण 3: समान गुणनखंडों में केवल दोनों में मौजूद आधार चुनें।
In a square factor, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
For (2), choices are (0,2,4), so (3); for (3), choices are (0,2), so (2); for (5), only (0), so (1). Total \(3 \times 2 \times 1=6\).
Step 3
Exam Tip
Count even exponent choices separately. चरण 1: पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। चरण 2: (2) के लिए घात (0,2,4) के (3) विकल्प, (3) के लिए (0,2) के (2) विकल्प और (5) के लिए केवल (0) का (1) विकल्प है। कुल \(3 \times 2 \times 1=6\)। चरण 3: सम घातों के विकल्प अलग-अलग गिनें।
A factor divisible by (3) must have exponent of (3) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) has (6) choices from (0) to (5), and the exponent of (3) has (2) choices (1,2). Total \(6 \times 2=12\).
Step 3
Exam Tip
In condition-based questions, adjust exponent limits carefully. चरण 1: (3) से विभाज्य गुणनखंड में (3) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात के (0) से (5) तक (6) विकल्प हैं और (3) की घात (1,2) के (2) विकल्प हैं। कुल \(6 \times 2=12\)। चरण 3: शर्त वाले प्रश्न में घातों की सीमा सावधानी से बदलें।
Distinct prime factors are counted from the prime bases.
Step 2
Why this answer is correct
The bases are (2,3,7), so there are (3) distinct prime factors.
Step 3
Exam Tip
Do not count exponents as separate prime factors. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड आधार संख्याओं से गिने जाते हैं। चरण 2: यहां आधार (2,3,7) हैं, इसलिए कुल (3) अलग अभाज्य गुणनखंड हैं। चरण 3: घातों को अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड न गिनें।
While counting factors, focus on the prime exponents. चरण 1: कुल गुणनखंडों के लिए हर घात में (1) जोड़ते हैं। चरण 2: \((4+1)(2+1)=5 \times 3=15\)। चरण 3: गुणनखंडों की संख्या निकालते समय अभाज्य घातों पर ध्यान दें।
In a square factor, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
For (2), choices are (0,2), so (2) choices; for (3), choices are (0,2), so (2) choices; for (5), only (0), so (1) choice. Total \(2 \times 2 \times 1=4\).
Step 3
Exam Tip
Count even exponent choices separately. चरण 1: पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। चरण 2: (2) के लिए घात (0,2) के (2) विकल्प, (3) के लिए (0,2) के (2) विकल्प और (5) के लिए केवल (0) का (1) विकल्प है। कुल \(2 \times 2 \times 1=4\)। चरण 3: सम घातों के विकल्प अलग-अलग गिनें।
A factor divisible by (3) must have exponent of (3) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) has (3) choices (0,1,2), and exponent of (3) has (3) choices (1,2,3). Total \(3 \times 3=9\).
Step 3
Exam Tip
For conditional factors, adjust exponent choices carefully. चरण 1: (3) से विभाज्य गुणनखंड में (3) की घात कम से कम (1) होगी। चरण 2: (2) की घात के (0,1,2) यानी (3) विकल्प हैं और (3) की घात (1,2,3) यानी (3) विकल्प हैं। कुल \(3 \times 3=9\)। चरण 3: शर्त वाले गुणनखंडों में घातों की सीमा ध्यान से बदलें।
Do not forget primes with exponent (1). चरण 1: कुल गुणनखंडों के लिए हर घात में (1) जोड़ें। चरण 2: \((2+1)(1+1)(1+1)=3 \times 2 \times 2=12\)। चरण 3: घात (1) वाले अभाज्य को गिनना न भूलें।
For total factors, add (1) to each exponent and multiply.
Step 2
Why this answer is correct
\((2+1)(2+1)(1+1)=3 \times 3 \times 2=18\).
Step 3
Exam Tip
If an exponent is not shown, take it as (1). चरण 1: कुल गुणनखंडों के लिए घातों में (1) जोड़कर गुणा करें। चरण 2: \((2+1)(2+1)(1+1)=3 \times 3 \times 2=18\)। चरण 3: जिस अभाज्य पर घात न दिखे, उसकी घात (1) मानें।
Use this method when the number is in prime factorised form. चरण 1: कुल गुणनखंडों की संख्या के लिए हर घात में (1) जोड़ते हैं। चरण 2: \((3+1)(2+1)=4 \times 3=12\)। चरण 3: यह तरीका तभी लगाएं जब संख्या अभाज्य गुणनखंडन रूप में हो।
Distinct prime factors are identified by the prime bases.
Step 2
Why this answer is correct
The bases here are (2) and (3), so there are (2) distinct prime factors.
Step 3
Exam Tip
The sum of exponents and the count of distinct primes are different ideas. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड आधार संख्याओं से पहचाने जाते हैं। चरण 2: यहां आधार (2) और (3) हैं, इसलिए संख्या (2) है। चरण 3: घातों का योग अलग बात है, अलग अभाज्य गुणनखंड अलग बात है।
Since \(63=3^2 \times 7\), \(126=2 \times 3^2 \times 7\).
Step 3
Exam Tip
While counting distinct prime factors, do not count exponents as separate numbers. चरण 1: (126) को \(2 \times 63\) लिखें। चरण 2: \(63=3^2 \times 7\), इसलिए \(126=2 \times 3^2 \times 7\)। चरण 3: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड गिनते समय घातों को अलग संख्या न मानें।
In a square factor, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
For each prime, the exponent can be (0) or (2), giving (2) choices. Total \(2 \times 2 \times 2=8\).
Step 3
Exam Tip
Count even exponent choices separately and multiply. चरण 1: पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। चरण 2: प्रत्येक अभाज्य के लिए घात (0) या (2) हो सकती है, यानी (2) विकल्प। कुल \(2 \times 2 \times 2=8\)। चरण 3: सम घातों की संख्या अलग-अलग गिनकर गुणा करें।
A factor divisible by (3) must have exponent of (3) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) has (5) choices, and exponent of (3) has (1,2,3), so (3) choices; total \(5 \times 3=15\).
Step 3
Exam Tip
For conditional factor counts, adjust the exponent choices. चरण 1: (3) से विभाज्य गुणनखंड में (3) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात के (5) विकल्प हैं और (3) की घात (1,2,3) यानी (3) विकल्प हैं; कुल \(5 \times 3=15\)। दिए विकल्पों में (15) सही है। चरण 3: शर्त वाले गुणनखंडों में संबंधित अभाज्य की घात सीमा बदलती है।
The total number of factors is found by multiplying ((exponent+1)).
Step 2
Why this answer is correct
\((2+1)(3+1)(1+1)=3 \times 4 \times 2=24\).
Step 3
Exam Tip
If no exponent is written, treat it as (1). चरण 1: कुल गुणनखंडों की संख्या ((घात+1)) के गुणनफल से मिलती है। चरण 2: \((2+1)(3+1)(1+1)=3 \times 4 \times 2=24\)। चरण 3: जिस अभाज्य की घात नहीं लिखी होती, उसकी घात (1) मानें।
For a square factor, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
For \(2^3\), even choices are (0,2); for \(3^2\), (0,2); for \(5^2\), (0,2). Total \(2 \times 2 \times 2=8\).
Step 3
Exam Tip
Count only even exponent choices for square factors. चरण 1: पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। चरण 2: (2) के लिए घातें (0,2) यानी 2 विकल्प, (3) के लिए (0,2) यानी 2 विकल्प, और (5) के लिए (0,2) यानी 2 विकल्प हैं। कुल \(2 \times 2 \times 2=8\) नहीं, ध्यान दें \(2^3\) में सम घात (0,2) ही हैं, इसलिए सही संख्या 8 है। चरण 3: पूर्ण वर्ग में केवल सम घात गिनें।
Distinct prime factors are counted by their prime bases.
Step 2
Why this answer is correct
The bases are (2,3,5), so there are (3) distinct prime factors.
Step 3
Exam Tip
Do not count exponents as separate factors. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों में आधार संख्याएं गिनी जाती हैं। चरण 2: यहां आधार (2,3,5) हैं, इसलिए संख्या (3) है। चरण 3: घातों को अलग गुणनखंड मानकर गलती न करें।
In prime factorisation, add 1 to each exponent and multiply.
Step 2
Why this answer is correct
Here the number of factors is ((3+1)(2+1)(1+1)=24).
Step 3
Exam Tip
In exams, identify the exponents first and then multiply carefully. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में घातों में 1 जोड़कर गुणा करते हैं। चरण 2: यहां कुल गुणनखंड \((3+1)(2+1)(1+1)=4 \times 3 \times 2=24\) हैं। चरण 3: परीक्षा में पहले घातों को ध्यान से पहचानें, फिर जल्दी गुणा करें।
LCM takes the highest exponent of every prime factor.
Step 2
Why this answer is correct
LCM \(=2^4\times3^2\times5^3\). Total factors (=(4+1)(2+1)(3+1)=5\times3\times4=60).
Step 3
Exam Tip
After finding the LCM, apply the factor-count rule. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात लेते हैं। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times3^2\times5^3\) होगा। कुल गुणनखंड ((4+1)(2+1)(3+1)=5\times3\times4=60) होंगे। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य के बाद गुणनखंडों का नियम लगाएं।
HCF \(=2^3\times3^2\). Its number of factors is ((3+1)(2+1)=12).
Step 3
Exam Tip
First find the HCF, then count its factors. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में छोटी घातें ली जाती हैं। चरण 2: महत्तम समापवर्तक \(2^3\times3^2\) होगा। इसके गुणनखंड ((3+1)(2+1)=12) होंगे। चरण 3: पहले महत्तम समापवर्तक निकालें, फिर उसके गुणनखंड गिनें।
To be divisible by neither (2) nor (3), powers of (2) and (3) must both be (0).
Step 2
Why this answer is correct
Power of (5) can be (0,1,2), giving (3) factors.
Step 3
Exam Tip
For neither-nor conditions, set both restricted prime powers to zero. चरण 1: (2) और (3) से विभाज्य न होने के लिए (2) और (3) की घात (0) होनी चाहिए। चरण 2: (5) की घात (0,1,2) हो सकती है, इसलिए (3) गुणनखंड बनेंगे। चरण 3: न तो इससे न उससे जैसे प्रश्नों में दोनों अभाज्यों की घात शून्य रखें।
Since \(9=3^2\), power of (3) must be at least (2). Not divisible by (5) means power of (5) must be (0).
Step 2
Why this answer is correct
Choices are (4) for (2), (3) for (3), and (1) for (5). Total (=12).
Step 3
Exam Tip
Convert each condition into exponent restrictions. चरण 1: \(9=3^2\), इसलिए (3) की घात कम से कम (2) होनी चाहिए। (5) से विभाज्य नहीं होने के लिए (5) की घात (0) होगी। चरण 2: (2) की घात (0) से (3) तक (4) तरीके, (3) की घात (2,3,4) यानी (3) तरीके, और (5) की (1) तरीका। कुल \(4\times3\times1=12\)। चरण 3: दो शर्तों को अलग-अलग घातों में बदलें।
Multiply known parts first, then solve for the unknown exponent. चरण 1: कुल गुणनखंड ((3+1)(2+1)(x+1)) होंगे। चरण 2: \(4\times3\times(x+1)=96\), इसलिए (x+1=8) और (x=7)। चरण 3: पहले ज्ञात गुणनखंडों का गुणनफल निकालें।
The same rule works even when many prime factors are present. चरण 1: कुल गुणनखंडों के लिए हर घात में (1) जोड़ते हैं। चरण 2: ((2+1)(3+1)(1+1)(2+1)=3\times4\times2\times3=72)। चरण 3: अभाज्य गुणनखंड अधिक हों तो भी नियम वही रहता है।
A factor divisible by (5) must have power of (5) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
Choices are (4) for (2), (3) for (3), and (4) for (5). Total \(=4\times3\times4=48\).
Step 3
Exam Tip
Do not include zero power for the required prime. चरण 1: (5) से विभाज्य गुणनखंड में (5) की घात कम से कम (1) होगी। चरण 2: (2) के लिए (4) तरीके, (3) के लिए (3) तरीके, और (5) के लिए (1,2,3,4) यानी (4) तरीके। कुल \(4\times3\times4=48\)। चरण 3: शर्त वाले अभाज्य की शून्य घात को शामिल न करें।
A cube factor must have exponents that are multiples of (3).
Step 2
Why this answer is correct
For (2), only (0); for (3), (0) or (3); for (5), only (0). Total (=2).
Step 3
Exam Tip
Remember that (0) is also a multiple of (3). चरण 1: पूर्ण घन गुणनखंड में हर अभाज्य घात (3) की गुणज होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात केवल (0), (3) की घात (0) या (3), और (5) की घात केवल (0) हो सकती है। कुल \(1\times2\times1=2\)। चरण 3: घन गुणनखंडों में (0) भी (3) की गुणज माना जाता है।
A square factor must have even exponents for every prime.
Step 2
Why this answer is correct
For (2), choices are (0,2); for (3), choices are (0,2); for (5), only (0). Total \(=2\times2\times1=4\).
Step 3
Exam Tip
Count only even exponent choices for square factors. चरण 1: पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य घात सम होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात (0,2) यानी (2) तरीके; (3) की घात (0,2) यानी (2) तरीके; (5) की घात केवल (0) यानी (1) तरीका। कुल \(2\times2\times1=4\)। चरण 3: वर्ग गुणनखंड गिनते समय केवल सम घातें लें।
Divide the given factor count by the known parts first. चरण 1: कुल गुणनखंड ((x+1)(2+1)(4+1)) होंगे। चरण 2: ((x+1)\times3\times5=45), इसलिए (x+1=3) और (x=2)। चरण 3: दिए गए कुल गुणनखंड को पहले ज्ञात भागों से भाग दें।
For (a=2,\ b=5), we get ((3)(6)=18). The other options do not give (18).
Step 3
Exam Tip
In option-based questions, substitute values into the rule quickly. चरण 1: कुल गुणनखंड ((a+1)(b+1)) होंगे। चरण 2: (a=2,\ b=5) रखने पर ((3)(6)=18) मिलता है। बाकी विकल्प (18) नहीं देते। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में विकल्पों को नियम में रखकर जल्दी जांचें।
Power of (2) has (2) choices, (1) or (2); each of (3,5,7) has (2) choices. Total (=16).
Step 3
Exam Tip
For even factors, exclude the case \(2^0\). चरण 1: सम गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1,2) यानी (2) तरीके; (3,5,7) प्रत्येक के लिए (2) तरीके। कुल \(2\times2\times2\times2=16\)। चरण 3: सम गुणनखंड गिनते समय \(2^0\) वाला मामला छोड़ दें।
Write the factor-count formula first, then solve the simple equation. चरण 1: कुल गुणनखंड ((r+1)(2+1)) होंगे। चरण 2: ((r+1)\times3=15), इसलिए (r+1=5) और (r=4)। चरण 3: पहले कुल गुणनखंड का नियम लिखें, फिर साधारण समीकरण हल करें।
Since \(10=2\times5\), the factor must contain at least one (2) and one (5).
Step 2
Why this answer is correct
Powers of (2): (1,2,3) give (3) choices; powers of (3): (0,1,2) give (3) choices; powers of (5): (1,2) give (2) choices. Total (=18).
Step 3
Exam Tip
For divisibility, check the required minimum prime powers. चरण 1: \(10=2\times5\), इसलिए गुणनखंड में (2) और (5) दोनों कम से कम एक बार होने चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1,2,3) यानी (3) तरीके; (3) की घात (0,1,2) यानी (3) तरीके; (5) की घात (1,2) यानी (2) तरीके। कुल \(3\times3\times2=18\)। चरण 3: किसी संख्या से विभाज्यता में उसके अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात देखें।
Power of (2) is only (0); power of (3) has (3) choices and power of (5) has (2) choices. Total \(=3\times2=6\).
Step 3
Exam Tip
When counting odd factors, ignore the power choices of (2) except zero. चरण 1: विषम गुणनखंड में (2) का कोई गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 2: इसलिए (2) की घात केवल (0) होगी; (3) की घात (0,1,2) यानी (3) तरीके और (5) की घात (0,1) यानी (2) तरीके। कुल \(3\times2=6\)। चरण 3: विषम गुणनखंड गिनते समय (2) को हटा दें।
A factor divisible by (2) must contain \(2^1\) at least.
Step 2
Why this answer is correct
Powers of (2) can be (1,2,3), giving (3) choices; powers of (3) give (3) choices; (5) and (7) give (2) choices each. Total \(=3\times3\times2\times2=36\).
Step 3
Exam Tip
For conditional factors, adjust only the restricted prime exponent. चरण 1: (2) से विभाज्य गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1,2,3) यानी (3) तरीके; (3) के लिए (3) तरीके; (5) और (7) के लिए (2-2) तरीके। कुल \(3\times3\times2\times2=36\)। चरण 3: शर्त वाले गुणनखंडों में उस अभाज्य की घात की सीमा ध्यान से बदलें।
For an unknown exponent, apply the factor-count rule directly. चरण 1: कुल गुणनखंड ((a+1)(2+1)(1+1)) होंगे। चरण 2: ((a+1)\times3\times2=24), इसलिए (a+1=4) और (a=3)। चरण 3: अज्ञात घात वाले प्रश्न में गुणनखंडों का नियम सीधे लगाएं।
For prime factorisation \(p^a q^b r^c\), total factors are ((a+1)(b+1)(c+1)).
Step 2
Why this answer is correct
Here the powers are (3,2,1), so factors (=(4)(3)(2)=24).
Step 3
Exam Tip
In exams, always add (1) to each exponent before multiplying. चरण 1: किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंड \(p^a q^b r^c\) हों, तो कुल गुणनखंड ((a+1)(b+1)(c+1)) होते हैं। चरण 2: यहां घातें (3,2,1) हैं, इसलिए संख्या ((3+1)(2+1)(1+1)=24) होगी। चरण 3: परीक्षा में घातों में (1) जोड़ना न भूलें।
Remember the difference between the number of distinct bases and the count with repetition. चरण 1: दोहराव सहित गिनती में घातों को जोड़ा जाता है। चरण 2: (6+4+3+2=15)। चरण 3: अलग-अलग आधारों की संख्या और दोहराव सहित संख्या में अंतर याद रखें।
For distinct prime factors, exponents are not added.
Step 2
Why this answer is correct
The bases are 2, 3, 5, 7, and 11.
Step 3
Exam Tip
Therefore, there are 5 distinct prime factors. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों में घातों को नहीं जोड़ा जाता। चरण 2: आधार 2, 3, 5, 7 और 11 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 5 हैं।
Keep the difference between distinct prime count and repeated prime count clear. चरण 1: दोहराव सहित गिनने के लिए घातों को जोड़ते हैं। चरण 2: (4+2+2+2=10)। चरण 3: अलग-अलग अभाज्य गिनने और दोहराव सहित गिनने में अंतर रखें।
4, 81, 567, 12, and 189 are composite, so they are not final forms. चरण 1: अंतिम अभाज्य रूप में आधार अभाज्य होने चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में 2, 3 और 7 अभाज्य आधार हैं। चरण 3: 4, 81, 567, 12 और 189 संयुक्त हैं, इसलिए वे अंतिम रूप नहीं हैं।
In the first option, bases 2, 3, and 11 are prime.
Step 3
Exam Tip
16, 9, 99, and 18 are composite, so they are not final forms. चरण 1: अंतिम रूप में आधार केवल अभाज्य होने चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में आधार 2, 3 और 11 अभाज्य हैं। चरण 3: 16, 9, 99 और 18 संयुक्त हैं, इसलिए वे अंतिम रूप नहीं हैं।
In the first option, bases 2, 3, 5, and 7 are prime.
Step 3
Exam Tip
8, 9, 35, and 4 are composite, so the other forms are not final. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में आधार अभाज्य होने चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में आधार 2, 3, 5 और 7 अभाज्य हैं। चरण 3: 8, 9, 35 और 4 संयुक्त हैं, इसलिए बाकी रूप अंतिम नहीं हैं।
In final prime factorisation, every factor must be prime.
Step 2
Why this answer is correct
2, 3, 5, 7, and 11 are prime.
Step 3
Exam Tip
6, 21, 35, and 33 are composite, so they cannot remain in final form. चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में हर गुणनखंड अभाज्य होना चाहिए। चरण 2: 2, 3, 5, 7 और 11 अभाज्य हैं। चरण 3: 6, 21, 35 और 33 संयुक्त हैं, इसलिए वे अंतिम रूप में नहीं रह सकते।
In final prime factorisation, every factor must be prime.
Step 2
Why this answer is correct
2, 3, 7, and 11 are all prime.
Step 3
Exam Tip
6, 21, and 33 are composite, so they cannot remain in final form. चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में हर गुणनखंड अभाज्य होना चाहिए। चरण 2: 2, 3, 7 और 11 सभी अभाज्य हैं। चरण 3: 6, 21 और 33 संयुक्त हैं, इसलिए वे अंतिम रूप में नहीं रह सकते।
In prime factorisation, every factor must be prime.
Step 2
Why this answer is correct
2, 3, and 5 are prime.
Step 3
Exam Tip
4, 6, and 10 are composite, so they cannot remain in the final prime form. चरण 1: अभाज्य गुणनखंड में हर संख्या अभाज्य होनी चाहिए। चरण 2: 2, 3 और 5 अभाज्य हैं। चरण 3: 4, 6 और 10 संयुक्त हैं, इसलिए वे अंतिम अभाज्य रूप में नहीं रह सकते।
Total (9+7+6+2=24), so the answer is 24. चरण 1: दोहराव सहित गिनने के लिए घातों को जोड़ते हैं। चरण 2: \(2^9\) से 9, \(3^7\) से 7, \(5^6\) से 6 और \(17^2\) से 2 गुणनखंड मिलते हैं। चरण 3: कुल (9+7+6+2=24), इसलिए उत्तर 24 है।
Total (8+6+5+2=21), so the answer is 21. चरण 1: दोहराव सहित गिनने के लिए घातों को जोड़ते हैं। चरण 2: \(2^8\) से 8, \(3^6\) से 6, \(5^5\) से 5 और \(13^2\) से 2 गुणनखंड मिलते हैं। चरण 3: कुल (8+6+5+2=21), इसलिए उत्तर 21 है।
The distinct prime factors are 3, 5, 7, 11, and 13. चरण 1: \(45045=3465\times13\) लिखें। चरण 2: \(3465=3^2\times5\times7\times11\)। चरण 3: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 3, 5, 7, 11 और 13 हैं।
Total (7+5+4+1=17), so the answer is 17. चरण 1: दोहराव सहित गिनने के लिए घातों को जोड़ते हैं। चरण 2: \(2^7\) से 7, \(3^5\) से 5, \(5^4\) से 4 और 11 से 1 गुणनखंड मिलता है। चरण 3: कुल (7+5+4+1=17), इसलिए उत्तर 17 है।
Therefore, the distinct prime factors are 2, 3, 5, 7, 11, and 13. चरण 1: \(30030=2310\times13\) लिखें। चरण 2: \(2310=2\times3\times5\times7\times11\)। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 2, 3, 5, 7, 11 और 13 हैं।
When counting distinct prime factors, do not add exponents.
Step 2
Why this answer is correct
The prime factors here are 2, 3, and 11.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the number of distinct prime factors is 3. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड गिनते समय घातों को नहीं जोड़ते। चरण 2: यहां अभाज्य गुणनखंड 2, 3 और 11 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों की संख्या 3 है।
Total (6+4+3+1=14), so the answer is 14. चरण 1: दोहराव सहित गिनने के लिए घातों को जोड़ते हैं। चरण 2: \(2^6\) से 6, \(3^4\) से 4, \(5^3\) से 3 और 7 से 1 गुणनखंड मिलता है। चरण 3: कुल (6+4+3+1=14), इसलिए उत्तर 14 है।
The distinct prime factors are 2, 3, 5, 7, and 11. चरण 1: \(2310=231\times10\) लिखें। चरण 2: \(231=3\times7\times11\) और \(10=2\times5\)। चरण 3: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 2, 3, 5, 7 और 11 हैं।
When counting distinct prime factors, do not add exponents.
Step 2
Why this answer is correct
The prime factors here are 2, 3, and 7.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the number of distinct prime factors is 3. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड गिनते समय घातों को नहीं जोड़ते। चरण 2: यहां अभाज्य गुणनखंड 2, 3 और 7 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों की संख्या 3 है।
Total (4+3+2=9), so the answer is 9. चरण 1: दोहराव सहित गिनने के लिए घातों को जोड़ते हैं। चरण 2: \(2^4\) से 4, \(3^3\) से 3 और \(5^2\) से 2 गुणनखंड मिलते हैं। चरण 3: कुल (4+3+2=9), इसलिए उत्तर 9 है।
\(105=3\times5\times7\), so \(1365=3\times5\times7\times13\).
Step 3
Exam Tip
The distinct prime factors are 3, 5, 7, and 13. चरण 1: \(1365=105\times13\) लिखें। चरण 2: \(105=3\times5\times7\), इसलिए \(1365=3\times5\times7\times13\)। चरण 3: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 3, 5, 7 और 13 हैं।
