Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
ठीक द्विघात के लिए \(x^6\) का गुणांक शून्य होना चाहिए और \(x^2\) का गुणांक अशून्य है। (a-5=0) से (a=5) मिलता है। / For exactly quadratic, the coefficient of \(x^6\) must be zero and the coefficient of \(x^2\) is non-zero. From (a-5=0), (a=5).
\(\frac{2}{x}=2x^{-1}\) है, जिसमें चर की घात ऋणात्मक है। एक अमान्य पद पूरे व्यंजक को बहुपद नहीं रहने देता। / \(\frac{2}{x}=2x^{-1}\), where the variable has a negative power. One invalid term prevents the whole expression from being a polynomial.
\(0x^8\) शून्य पद है और घात तय नहीं करता। सबसे बड़ी अशून्य घात (5) है। / \(0x^8\) is a zero term and does not determine the degree. The highest non-zero power is (5).
घात (3) के लिए \(x^4\) का गुणांक शून्य और \(x^3\) का गुणांक अशून्य होना चाहिए। (k=1) पर (k+2=3) भी अशून्य है। / For degree (3), the \(x^4\) coefficient must be zero and the \(x^3\) coefficient must be non-zero. At (k=1), (k+2=3) is also non-zero.
साझा \(x^2\) से भाग देने पर \(x^2-3\) मिलता है। यह घात (2) का बहुपद है। / Dividing by common \(x^2\) gives \(x^2-3\). It is a polynomial of degree (2).
बहुपद में चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। \(\frac{7}{3}\) पूर्णांक नहीं है। / In a polynomial, powers of the variable must be non-negative integers. \(\frac{7}{3}\) is not an integer.
घात (4) तभी होगी जब \(x^4\) का गुणांक शून्य न हो। इसलिए \(\lambda\neq0\) आवश्यक है। / The degree is (4) only when the coefficient of \(x^4\) is not zero. Therefore, \(\lambda\neq0\) is required.
स्थिर बहुपद के लिए (r-3=0) और (r+1=0) दोनों चाहिए। एक ही (r) दोनों शर्तें पूरी नहीं कर सकता। / For a constant polynomial, both (r-3=0) and (r+1=0) are needed. One value of (r) cannot satisfy both conditions.
शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं होती। इसे शून्य से अलग स्थिर बहुपद से अलग समझें। / The degree of the zero polynomial is not defined. Keep it separate from a non-zero constant polynomial.
घात (4) के लिए \(x^5\) का गुणांक शून्य और \(x^4\) का गुणांक अशून्य चाहिए। (m=-4) पर (m-1=-5) अशून्य है। / For degree (4), the \(x^5\) coefficient must be zero and the \(x^4\) coefficient must be non-zero. At (m=-4), (m-1=-5) is non-zero.
B. यह बहुपद नहीं है क्योंकि चर मूल के अंदर है/It is not a polynomial because the variable is inside a root
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{x^2+4}\) में चर मूल के अंदर है। कक्षा (9) की परिभाषा में ऐसा पद बहुपद पद नहीं माना जाता। / \(\sqrt{x^2+4}\) has the variable inside a root. In the class (9) definition, such a term is not treated as a polynomial term.
पहले विकल्प में चार पद हैं और सबसे बड़ी घात (6) है। सभी घातें बहुपद के लिए मान्य हैं। / The first option has four terms and the highest power is (6). All powers are valid for a polynomial.
रैखिक होने के लिए \(x^3\) का गुणांक शून्य होना चाहिए। \(a^2-16=0\) से \(a=\pm4\) मिलता है। / For it to be linear, the \(x^3\) coefficient must be zero. From \(a^2-16=0\), \(a=\pm4\).
B. यह बहुपद नहीं है क्योंकि \(x^{-2}\) है/It is not a polynomial because it has \(x^{-2}\)
Explanation
Simple Explanation
\(x^0\) मान्य है, लेकिन \(x^{-2}\) अमान्य है। बहुपद में ऋणात्मक घात स्वीकार्य नहीं होती। / \(x^0\) is valid, but \(x^{-2}\) is invalid. Negative powers are not allowed in a polynomial.
\(\frac{x^3+1}{x}=x^2+\frac{1}{x}\) है। \(\frac{1}{x}\) में ऋणात्मक घात है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\frac{x^3+1}{x}=x^2+\frac{1}{x}\). Since \(\frac{1}{x}\) has a negative power, it is not a polynomial.
\(x^4\) का गुणांक (2) है जो शून्य नहीं है। इसलिए किसी भी (b) पर घात (4) रहेगी। / The coefficient of \(x^4\) is (2), which is non-zero. Therefore, the degree remains (4) for any (b).
पहले विकल्प में घातें (7), (5), (1) और (0) हैं। ये सभी बहुपद के लिए मान्य हैं। / In the first option, the powers are (7), (5), (1), and (0). All are valid for a polynomial.
शून्य गुणांक वाले पद हट जाते हैं और (p(x)=9) बचता है। यह शून्य से अलग स्थिर बहुपद है। / The zero-coefficient terms disappear and (p(x)=9) remains. It is a non-zero constant polynomial.
घात (2) के लिए \(x^3\) का गुणांक शून्य चाहिए और \(x^2\) का गुणांक अशून्य चाहिए। (k=0) पर (k-2=-2) अशून्य है। / For degree (2), the \(x^3\) coefficient must be zero and the \(x^2\) coefficient must be non-zero. At (k=0), (k-2=-2) is non-zero.
(-3) पूर्णांक है लेकिन ऋणात्मक है। बहुपद में घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / (-3) is an integer but it is negative. In a polynomial, powers must be zero or positive integers.
\(\sqrt{7}\) एक वास्तविक गुणांक है और मान्य है। चर की सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं। / \(\sqrt{7}\) is a real coefficient and is allowed. All powers of the variable are non-negative integers.
स्थिर बहुपद के लिए (a+1=0) और (a-2=0) दोनों चाहिए। ये दोनों एक साथ संभव नहीं हैं। / For a constant polynomial, both (a+1=0) and (a-2=0) are required. These cannot hold together.
A. \(x^n+2\), जहाँ (n) बदलता है/\(x^n+2\), where (n) varies
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में घातें निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक होती हैं। बदलते चर पर निर्भर घात परिभाषा में मान्य नहीं है। / In a polynomial, powers are fixed non-negative integers. A power depending on a varying variable is not valid in the definition.
\(a\neq0\) होने से \(x^7\) पद मौजूद रहता है। इसलिए सबसे बड़ी घात (7) है। / Since \(a\neq0\), the \(x^7\) term remains present. Therefore, the highest power is (7).
बहुपद में सभी बीच की घातों का होना जरूरी नहीं है। \(x^8+3x^3-2\) में उपस्थित घातें मान्य हैं। / A polynomial need not contain all middle powers. In \(x^8+3x^3-2\), the present powers are valid.
\(x^3\) का गुणांक (2) हमेशा अशून्य है। इसलिए घात (3) हर (h) के लिए रहेगी। / The coefficient of \(x^3\) is always non-zero. Therefore, the degree remains (3) for every (h).
A. यह \(x^3+1\) बनता है, इसलिए बहुपद है/It becomes \(x^3+1\), so it is a polynomial
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{x^5+x^2}{x^2}=x^3+1\) है। इसमें घातें (3) और (0) हैं, इसलिए यह बहुपद है। / \(\frac{x^5+x^2}{x^2}=x^3+1\). Its powers are (3) and (0), so it is a polynomial.
B. यह बहुपद नहीं है क्योंकि \(\sin x\) बहुपद पद नहीं है/It is not a polynomial because \(\sin x\) is not a polynomial term
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में पद चर की शून्य या धनात्मक पूर्णांक घातों के रूप में होते हैं। \(\sin x\) ऐसा पद नहीं है। / In a polynomial, terms are powers of the variable with non-negative integer exponents. \(\sin x\) is not such a term.
\(x^2\) का गुणांक (1) है, जो शून्य नहीं है। इसलिए घात हर (a) के लिए (2) है। / The coefficient of \(x^2\) is (1), which is non-zero. Therefore, the degree is (2) for every (a).
(x) के संदर्भ में \(z^2\) और (3z) गुणांक हैं। (x) की घातें (4), (2) और (0) हैं। / With respect to (x), \(z^2\) and (3z) are coefficients. The powers of (x) are (4), (2), and (0).
घात (0) के लिए \(x^2\) और (x) दोनों के गुणांक शून्य होने चाहिए। (a-2=0) से (a=2) है और (7) बचता है। / For degree (0), the coefficients of both \(x^2\) and (x) must be zero. From (a-2=0), (a=2), and (7) remains.
\(\log x\) चर की शून्य या धनात्मक पूर्णांक घात वाला पद नहीं है। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\log x\) is not a term with a non-negative integer power of the variable. Therefore, it is not a polynomial.
C. यह शून्य बहुपद है जिसकी घात परिभाषित नहीं है/It is the zero polynomial whose degree is not defined
Explanation
Simple Explanation
सभी पदों के गुणांक शून्य हैं, इसलिए यह शून्य बहुपद है। शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं होती। / All terms have zero coefficients, so it is the zero polynomial. The degree of the zero polynomial is not defined.
A. चर की घातें निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक हों/Variable powers are fixed zero or positive integers
Explanation
Simple Explanation
बहुपद की पहचान मुख्य रूप से चर की घातों से होती है। घातें निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / A polynomial is identified mainly by the powers of the variable. The powers must be fixed non-negative integers.
पहले विकल्प में घातें (8), (6), (2) और (0) हैं। ये सभी सम और मान्य हैं। / In the first option, the powers are (8), (6), (2), and (0). All are even and valid.
घात (4) के लिए \(x^5\) का गुणांक शून्य होना चाहिए। \(k^2-1=0\) से \(k=\pm1\) और \(2x^4\) अशून्य रहता है। / For degree (4), the coefficient of \(x^5\) must be zero. From \(k^2-1=0\), \(k=\pm1\), and \(2x^4\) remains non-zero.
\(x^2-5x+6\) की घात (2) है और इसमें तीन पद हैं। इसलिए यह द्विघात त्रिपदी है। / \(x^2-5x+6\) has degree (2) and three terms. Therefore, it is a quadratic trinomial.
\(\frac{x^2+4}{x^2}=1+\frac{4}{x^2}\) है। \(\frac{4}{x^2}=4x^{-2}\), इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\frac{x^2+4}{x^2}=1+\frac{4}{x^2}\). Since \(\frac{4}{x^2}=4x^{-2}\), it is not a polynomial.
A. किसी भी (c), (d), (e) के लिए/For any (c), (d), (e)
Explanation
Simple Explanation
\(x^4\) का गुणांक (1) है, जो कभी शून्य नहीं होता। इसलिए घात हमेशा (4) रहेगी। / The coefficient of \(x^4\) is (1), which is never zero. Therefore, the degree is always (4).
\(x^3+1\) बहुपद है, पर इसकी घात (3) है। रैखिक बहुपद की घात (1) होती है। / \(x^3+1\) is a polynomial, but its degree is (3). A linear polynomial has degree (1).
स्थिर बहुपद के लिए सभी चर पदों के गुणांक शून्य होने चाहिए। (a-1=0) से (a=1) मिलता है और (5) बचता है। / For a constant polynomial, all variable-term coefficients must be zero. From (a-1=0), (a=1), and (5) remains.
घात (5) के लिए \(x^6\) का गुणांक शून्य और \(x^5\) का गुणांक अशून्य होना चाहिए। (a=-2) पर (a-4=-6) अशून्य रहता है। / For degree (5), the \(x^6\) coefficient must be zero and the \(x^5\) coefficient must be non-zero. At (a=-2), (a-4=-6) remains non-zero.
हर पद को (x) से भाग देने पर \(x^3+x+1\) मिलता है। इसमें सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं। / Dividing each term by (x) gives \(x^3+x+1\). All its powers are non-negative integers.
बहुपद के पद चर की निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक घातों में होते हैं। \(\cos x\) ऐसा पद नहीं है। / Polynomial terms use fixed non-negative integer powers of the variable. \(\cos x\) is not such a term.
घात (0) के लिए चर वाले दोनों गुणांक शून्य होने चाहिए। (k-3=0) और (2k-6=0) दोनों से (k=3) मिलता है। / For degree (0), both variable-term coefficients must be zero. Both (k-3=0) and (2k-6=0) give (k=3).
घात (3) के लिए \(x^4\) का गुणांक शून्य और \(x^3\) का गुणांक अशून्य होना चाहिए। (a=2) पर \(a^2-4=0\) और (a+2=4) है। / For degree (3), the \(x^4\) coefficient must be zero and the \(x^3\) coefficient must be non-zero. At (a=2), \(a^2-4=0\) and (a+2=4).
