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A. यदि वर्ग सम है तो संख्या सम है/If the square is even, the number is even
Explanation
Simple Explanation
\(x^2=2y^2\) से \(x^2\) सम है। वर्ग सम होने पर पूर्णांक भी सम होता है। / From \(x^2=2y^2\), \(x^2\) is even. If the square of an integer is even, the integer is even.
B. क्योंकि (3) अभाज्य है और \(u^2\) को विभाजित करता है/Because (3) is prime and divides \(u^2\)
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य (3) यदि वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है। इसलिए (u) (3) का गुणज है। / If prime (3) divides a square, it divides the original number too. Therefore (u) is a multiple of (3).
A. \(y^2=2r^2\), इसलिए (y) सम है/\(y^2=2r^2\), so (y) is even
Explanation
Simple Explanation
सरल करने पर \(y^2=2r^2\) मिलता है। इससे \(y^2\) सम और फिर (y) सम होता है। / Simplifying gives \(y^2=2r^2\). Hence \(y^2\) is even and then (y) is even.
दोनों पक्षों को (3) से भाग देने पर \(v^2=3t^2\) मिलता है। इससे (v) (3) से विभाज्य सिद्ध होगा। / Dividing both sides by (3) gives \(v^2=3t^2\). This proves (v) is divisible by (3).
C. (x) और (y) दोनों सम हों जबकि वे सहभाज्य हों/Both (x) and (y) are even while they are coprime
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास तब पूरा होता है जब अंश और हर दोनों में सामान्य गुणनखंड (2) मिल जाए। यह सहभाज्य शर्त के विरुद्ध है। / The contradiction completes when numerator and denominator both have common factor (2). This opposes the coprime condition.
A. क्योंकि (v) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना जरूरी है/Because (v) must also be proved divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य शर्त से विरोधाभास तभी बनेगा जब (u) और (v) दोनों (3) से विभाज्य मिलें। / Contradiction with coprime condition occurs only when both (u) and (v) are divisible by (3).
A. सरलतम रूप की मान्यता टूट गई/The lowest form assumption is broken
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होने पर भिन्न को (2) से घटाया जा सकता है। इसलिए वह सरलतम रूप में नहीं रह सकती। / If both are even, the fraction can be reduced by (2). So it cannot remain in lowest form.
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए (\gcd(u,v)=1) की सरलतम रूप वाली शर्त टूटती है। / Both have common factor (3). So the lowest-form condition (\gcd(u,v)=1) breaks.
वर्ग संबंध से सीधे (x=2y) नहीं मिलता। सही रास्ता \(x^2\) सम से (x) सम तक है। / The square relation does not directly give (x=2y). The correct path is from \(x^2\) even to (x) even.
\(u^2=3v^2\) से सीधे (u=3v) नहीं निकलता। पहले (u) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध किया जाता है। / \(u^2=3v^2\) does not directly give (u=3v). First (u) is proved divisible by (3).
A. विषम (x) का वर्ग विषम होगा पर \(x^2=2y^2\) उसे सम बनाता है/Odd (x) has odd square, but \(x^2=2y^2\) makes it even
Explanation
Simple Explanation
विषम संख्या का वर्ग विषम होता है। लेकिन \(2y^2\) सम है, इसलिए (x) विषम नहीं हो सकता। / The square of an odd number is odd. But \(2y^2\) is even, so (x) cannot be odd.
A. \(u^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य बनाता है/\(u^2\) should not be divisible by (3), but the equation makes it divisible
Explanation
Simple Explanation
यदि (u) में (3) का गुणनखंड नहीं है तो \(u^2\) में भी नहीं होगा। पर \(u^2=3v^2\) इसे (3) से विभाज्य दिखाता है। / If (u) has no factor (3), then \(u^2\) also has none. But \(u^2=3v^2\) shows it divisible by (3).
A. परिमेय मान्यता \(\rightarrow\) \(x^2=2y^2\) \(\rightarrow\) (x) सम \(\rightarrow\) (y) सम \(\rightarrow\) सहभाज्य विरोधाभास/Rational assumption \(\rightarrow\) \(x^2=2y^2\) \(\rightarrow\) (x) even \(\rightarrow\) (y) even \(\rightarrow\) coprime contradiction
Explanation
Simple Explanation
मानक प्रमाण में यही क्रम चलता है। प्रत्येक चरण पिछले निष्कर्ष पर आधारित है। / The standard proof follows this order. Each step is based on the previous conclusion.
A. परिमेय मान्यता \(\rightarrow\) \(u^2=3v^2\) \(\rightarrow\) (u) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) (v) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) सहभाज्य विरोधाभास/Rational assumption \(\rightarrow\) \(u^2=3v^2\) \(\rightarrow\) (u) divisible by (3) \(\rightarrow\) (v) divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) में (3) से विभाज्यता की श्रृंखला बनती है। अंत में दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) विरोधाभास देता है। / For \(\sqrt{3}\), a chain of divisibility by (3) is formed. Finally common factor (3) gives contradiction.
A. क्योंकि अंत में (x,y) दोनों (2) से विभाज्य मिलते हैं/Because finally both (x,y) are found divisible by (2)
Explanation
Simple Explanation
(\gcd(x,y)=1) सरलतम रूप की शर्त है। दोनों में (2) सामान्य मिलना इसी से टकराता है। / (\gcd(x,y)=1) is the lowest-form condition. Common factor (2) in both conflicts with it.
A. क्योंकि दोनों (3) से विभाज्य मिलने पर विरोधाभास स्पष्ट नहीं होगा/Because the contradiction is not clear when both become divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सरलतम सहभाज्य रूप ही अंतिम सामान्य गुणनखंड (3) से विरोधाभास बनाता है। इसे परीक्षा में जरूर लिखें। / The lowest coprime form creates contradiction with the final common factor (3). Write it in exams.
B. दोनों (3) से विभाज्य हैं/Both are divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
(u=3t) से (u) (3) से विभाज्य है। \(v^2=3t^2\) से (v) भी (3) से विभाज्य है। / (u=3t) shows (u) is divisible by (3). \(v^2=3t^2\) shows (v) is also divisible by (3).
A. यदि संख्या विषम हो तो वर्ग विषम होगा, इसलिए वर्ग सम हो तो संख्या सम है/If a number is odd, its square is odd, so if the square is even, the number is even
Explanation
Simple Explanation
यह तर्क \(x^2\) से (x) सम सिद्ध करने में काम आता है। इसे गलत दिशा में न लगाएँ। / This reasoning proves (x) even from \(x^2\). Do not apply it in the wrong direction.
A. यदि \(3\mid u^2\) तो \(3\mid u\)/If \(3\mid u^2\), then \(3\mid u\)
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य गुणनखंड वर्ग में तभी आता है जब मूल संख्या में आता है। यही प्रमाण का मुख्य आधार है। / A prime factor appears in a square only when it appears in the original number. This is the proof's key basis.
A. अधूरा है; पहले (x) सम और (x=2r) सिद्ध करना होगा/It is incomplete; first (x) even and (x=2r) must be proved
Explanation
Simple Explanation
\(x^2=2y^2\) से सीधे (y) सम नहीं निकलता। (x=2r) रखने के बाद \(y^2=2r^2\) मिलता है। / \(x^2=2y^2\) does not directly give (y) even. After putting (x=2r), \(y^2=2r^2\) is obtained.
A. अधूरा कदम; पहले (u=3t) रखना चाहिए/Incomplete step; first (u=3t) should be taken
Explanation
Simple Explanation
पहले \(u^2\) से (u) (3) से विभाज्य मिलता है। फिर (u=3t) रखने पर (v) के लिए निष्कर्ष आता है। / First (u) is proved divisible by (3) from \(u^2\). Then taking (u=3t) gives the conclusion for (v).
A. \(\sqrt{2}=\frac{x}{y}\), जहाँ (\gcd(x,y)=1) और \(y\neq0\)/\(\sqrt{2}=\frac{x}{y}\), where (\gcd(x,y)=1) and \(y\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
प्रमाण के लिए सरलतम सहभाज्य रूप जरूरी है। इसी से अंतिम विरोधाभास बनता है। / Lowest coprime form is necessary for the proof. This creates the final contradiction.
C. \(\sqrt{3}=\frac{u}{v}\), जहाँ (\gcd(u,v)=1) और \(v\neq0\)/\(\sqrt{3}=\frac{u}{v}\), where (\gcd(u,v)=1) and \(v\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
परिमेय मान्यता को सरलतम भिन्न में लिखना चाहिए। (\gcd(u,v)=1) से ही अंत में विरोधाभास बनता है। / The rational assumption should be written in lowest fraction. (\gcd(u,v)=1) creates the final contradiction.
A. दोनों में परिमेय मान्यता, वर्ग और अभाज्य गुणनखंड से विरोधाभास होता है/Both use rational assumption, squaring, and contradiction through a prime factor
Explanation
Simple Explanation
दोनों प्रमाणों की रूपरेखा समान है। अंतर केवल मुख्य अभाज्य गुणनखंड (2) और (3) का है। / Both proofs have the same outline. The difference is only the main prime factors (2) and (3).
A. सरलतम रूप के (x,y) दोनों (2) से विभाज्य निकलते हैं/Lowest-form (x,y) both turn out divisible by (2)
Explanation
Simple Explanation
अंतिम विरोधाभास दोनों के (2) से विभाज्य होने पर बनता है। इससे (\gcd(x,y)=1) टूटता है। / The final contradiction comes when both are divisible by (2). This breaks (\gcd(x,y)=1).
B. सरलतम रूप के (u,v) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं/Lowest-form (u,v) both turn out divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों का (3) से विभाज्य होना (\gcd(u,v)=1) से विरोधाभास है। इसलिए परिमेय मान्यता गलत है। / Both being divisible by (3) contradicts (\gcd(u,v)=1). Therefore the rational assumption is false.
A. पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होती है/In a perfect square, every prime exponent is even
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में अभाज्य घात सम होती है। (2) की घात से यही विरोधाभास गहराई से समझ आता है। / In a perfect square, prime exponents are even. The exponent of (2) explains the contradiction deeply.
A. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए, पर \(3v^2\) में वह विषम हो सकती है/In a perfect square, exponent of (3) must be even, but in \(3v^2\) it can become odd
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में सभी अभाज्य घातें सम होती हैं। यही विचार \(\sqrt{3}\) के विरोधाभास को मजबूत करता है। / In a perfect square, all prime exponents are even. This idea strengthens the contradiction for \(\sqrt{3}\).
A. (\gcd(x,y)=1) और (\gcd(x,y)\ge2) दोनों साथ नहीं हो सकते/(\gcd(x,y)=1) and (\gcd(x,y)\ge2) cannot both hold
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य होने से (\gcd(x,y)=1) है। दोनों सम होने से (\gcd(x,y)) कम से कम (2) होगा। / Coprime means (\gcd(x,y)=1). Both even means (\gcd(x,y)) is at least (2).
A. (\gcd(u,v)=1) और (\gcd(u,v)\ge3) दोनों साथ नहीं हो सकते/(\gcd(u,v)=1) and (\gcd(u,v)\ge3) cannot both hold
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य होने से महत्तम समापवर्तक (1) है। दोनों (3) से विभाज्य होने से वह कम से कम (3) होगा। / Being coprime means the highest common factor is (1). Both divisible by (3) makes it at least (3).
A. \(y\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है, (\gcd(x,y)=1) विरोधाभास देता है/\(y\neq0\) keeps the fraction defined, (\gcd(x,y)=1) gives contradiction
Explanation
Simple Explanation
हर शून्य न होना परिभाषा की शर्त है। सहभाज्य शर्त अंतिम सामान्य गुणनखंड से टकराती है। / Non-zero denominator is a definition condition. The coprime condition conflicts with the final common factor.
A. \(v\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है, (\gcd(u,v)=1) अंतिम विरोधाभास का आधार है/\(v\neq0\) keeps the fraction defined, (\gcd(u,v)=1) is the basis of final contradiction
Explanation
Simple Explanation
\(v\neq0\) भिन्न के लिए जरूरी है। (\gcd(u,v)=1) दोनों (3) से विभाज्य होने पर विरोधाभास बनाता है। / \(v\neq0\) is necessary for the fraction. (\gcd(u,v)=1) creates contradiction when both are divisible by (3).
A. (x) सम सिद्ध करने के बाद (y) सम सिद्ध करना/After proving (x) even, proving (y) even
Explanation
Simple Explanation
सिर्फ (x) सम होना विरोधाभास नहीं देता। (y) भी सम हो तभी सहभाज्य शर्त टूटती है। / Only (x) being even gives no contradiction. The coprime condition breaks only when (y) is also even.
A. (u=3t) के बाद (v) को (3) से विभाज्य सिद्ध करना/After (u=3t), proving (v) divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सिर्फ (u) का (3) से विभाज्य होना पर्याप्त नहीं है। (v) भी (3) से विभाज्य होना चाहिए। / Only (u) being divisible by (3) is not enough. (v) must also be divisible by (3).
A. दोनों सम निकलने पर विरोधाभास स्पष्ट नहीं होगा/The contradiction will not be clear when both become even
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप की शर्त ही बताती है कि (x,y) सहभाज्य हैं। इसी से दोनों सम होने पर विरोधाभास बनता है। / The lowest-form condition tells that (x,y) are coprime. This creates contradiction when both become even.
A. दोनों (3) से विभाज्य होने पर निर्णायक विरोधाभास नहीं बनेगा/A decisive contradiction will not form when both become divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य शर्त के बिना सामान्य गुणनखंड (3) मिलना पर्याप्त विरोधाभास नहीं लगेगा। / Without the coprime condition, getting common factor (3) will not be a sufficient contradiction.
A. क्योंकि दोनों (2) से विभाज्य हैं/Because both are divisible by (2)
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (2) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए अंश और हर को (2) से भाग देकर घटाया जा सकता है। / Both have common factor (2). So numerator and denominator can be divided by (2).
A. क्योंकि दोनों को (3) से घटाया जा सकता है/Because both can be reduced by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) है। सरलतम रूप में ऐसा सामान्य गुणनखंड नहीं होता। / Both have common factor (3). In lowest form, such a common factor cannot exist.
A. (2) वह सामान्य अभाज्य गुणनखंड बनता है जो अंश और हर दोनों में आकर विरोधाभास देता है/(2) becomes the common prime factor in both numerator and denominator and gives contradiction
Explanation
Simple Explanation
प्रमाण में पहले अंश और फिर हर में (2) का गुणनखंड सिद्ध होता है। यही सहभाज्य शर्त से टकराता है। / The proof first proves factor (2) in the numerator and then in the denominator. This conflicts with coprime condition.
A. (3) वह सामान्य अभाज्य गुणनखंड बनता है जो (u) और (v) दोनों में आकर विरोधाभास देता है/(3) becomes the common prime factor in both (u) and (v) and gives contradiction
Explanation
Simple Explanation
प्रमाण में (3) पहले (u) और फिर (v) का गुणनखंड सिद्ध होता है। यह अंतिम विरोधाभास है। / The proof shows (3) is first a factor of (u) and then of (v). This is the final contradiction.
A. विरोधाभास के लिए (y) को भी सम सिद्ध करना जरूरी है/To get contradiction, (y) must also be proved even
Explanation
Simple Explanation
एक ही संख्या में (2) का गुणनखंड होना सहभाज्य शर्त से विरोधाभास नहीं देता। दोनों में (2) चाहिए। / One number having factor (2) gives no contradiction with coprime condition. Both need factor (2).
A. विरोधाभास के लिए (v) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना जरूरी है/To get contradiction, (v) must also be proved divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सिर्फ (u) में (3) होना विरोधाभास नहीं है। (u) और (v) दोनों में (3) होने से सहभाज्य शर्त टूटती है। / Only (u) having factor (3) is not a contradiction. The coprime condition breaks when both (u) and (v) have factor (3).
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों सम निकलते हैं/\(\sqrt{2}\) is irrational because numerator and denominator of a lowest fraction both become even
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होना सरलतम सहभाज्य रूप से विरोधाभास है। इसलिए परिमेय मान्यता गलत होती है। / Both even contradicts the lowest coprime form. Therefore the rational assumption is false.
B. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं/\(\sqrt{3}\) is irrational because numerator and denominator of a lowest fraction both become divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) मिलना सहभाज्य शर्त से विरोधाभास है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / Common factor (3) in both contradicts the coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
A. भिन्न को सरलतम सहभाज्य रूप में जरूर लिखें/Always write the fraction in lowest coprime form
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप न लिखने से अंतिम विरोधाभास कमजोर हो जाता है। यही परीक्षा में सबसे जरूरी शर्त है। / If lowest form is not written, the final contradiction becomes weak. This is the most important exam condition.
सरलतम रूप में (\gcd(x,y)=1) होना चाहिए। दोनों सम होने पर (\gcd(x,y)\ge2) हो जाता है। / In lowest form, (\gcd(x,y)=1) should hold. If both are even, (\gcd(x,y)\ge2).
सरलतम रूप में (\gcd(u,v)=1) होना चाहिए। दोनों (3) से विभाज्य होने पर (\gcd(u,v)\ge3) होगा। / In lowest form, (\gcd(u,v)=1) should hold. If both are divisible by (3), (\gcd(u,v)\ge3).
