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A. (A) के हर तत्व का (B) में ठीक एक प्रतिबिंब हो/Each element of (A) has exactly one image in (B)
Explanation
Simple Explanation
फलन में (A) के प्रत्येक तत्व से (B) का ठीक एक तत्व जुड़ता है। परीक्षा में ठीक एक शब्द पर ध्यान दें। / In a function each element of (A) is related to exactly one element of (B). In exams focus on the phrase exactly one.
फलन में समुच्चय \(A\) के प्रत्येक अवयव की \(B\) में ठीक एक प्रतिमा होनी चाहिए। विकल्प A में 1 की प्रतिमा 3 और 2 की प्रतिमा 4 है, इसलिए यह फलन है। विकल्प B में 1 की दो प्रतिमाएँ हैं, जबकि विकल्प C में 1 की कोई प्रतिमा नहीं है और विकल्प D में 2 की दो प्रतिमाएँ हैं। परीक्षा-युक्ति: ordered pairs के पहले अवयवों में domain के प्रत्येक अवयव का ठीक एक बार आना जाँचें। / For a function, every element of \(A\) must have exactly one image in \(B\). In option A, 1 maps to 3 and 2 maps to 4, so it is a function. In option B, 1 has two images; in option C, 1 has no image; and in option D, 2 has two images. Exam tip: Check that every element of the domain appears exactly once as the first component of an ordered pair.
A. क्योंकि (1) के दो प्रतिबिंब हैं/Because (1) has two images
Explanation
Simple Explanation
एक ही प्रथम अवयव (1) दो अलग द्वितीय अवयवों से जुड़ा है। ऐसी स्थिति फलन नहीं बनाती। / The same first component (1) is related to two different second components. Such a relation is not a function.
(a), (b), और (c) में से हर एक का ठीक एक प्रतिबिंब है। दो अलग तत्वों का समान प्रतिबिंब होना फलन में मान्य है। / Each of (a), (b), and (c) has exactly one image. Two different elements may have the same image in a function.
A. प्रत्येक इनपुट का ठीक एक आउटपुट होता है/Every input has exactly one output
Explanation
Simple Explanation
फलन में डोमेन के प्रत्येक तत्व (इनपुट) के लिए सह-डोमेन में ठीक एक निश्चित तत्व (आउटपुट) होना अनिवार्य है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B और C एक-एक (injective) फलन की अतिरिक्त शर्तें हैं, हर फलन की नहीं; अलग-अलग इनपुट का एक ही आउटपुट हो सकता है। विकल्प D गलत है, क्योंकि डोमेन का कोई भी इनपुट बिना संबद्ध आउटपुट के नहीं छोड़ा जा सकता। परीक्षा-युक्ति: फलन पहचानने के लिए देखें कि प्रत्येक इनपुट से ठीक एक तीर निकल रहा हो। / For a function, every element of the domain (input) must be associated with exactly one element of the codomain (output), so statement A is always true. Statements B and C describe additional one-to-one behavior, which is not required for every function; different inputs may have the same output. Statement D is false because no input in the domain can be left without an associated output. Exam tip: To test a mapping, check that exactly one arrow starts from each input.
फलन \(f:A\to B\) में \(A\) प्रांत (domain) और \(B\) सहप्रांत (codomain) होता है। फलन के वास्तविक मानों का समुच्चय परास (range) कहलाता है और वह सहप्रांत का उपसमुच्चय हो सकता है। परीक्षा-युक्ति: तीर के बाद लिखा समुच्चय सहप्रांत होता है। / In the function \(f:A\to B\), \(A\) is the domain and \(B\) is the codomain. The set of actual output values is the range, which may be a subset of the codomain. Exam tip: the set written after the arrow is the codomain.
परिसर में केवल प्राप्त मान आते हैं इसलिए (5) और (6) हैं। दोहराए गए मान को एक बार लिखते हैं। / The range contains only the obtained values, so it is (5) and (6). A repeated value is written once.
फलन के नियम \(g(x)=2x\) में \(x=3\) रखने पर \(g(3)=2\times3=6\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 6 है। विकल्प 3 केवल इनपुट मान है, फलन का मान नहीं। परीक्षा में किसी फलन का मान ज्ञात करने के लिए दिए गए इनपुट को नियम में सीधे प्रतिस्थापित करें। / Using the rule \(g(x)=2x\), substitute \(x=3\): \(g(3)=2\times3=6\). Therefore, 6 is correct. The value 3 is the input, not the output of the function. Exam tip: to evaluate a function, replace its variable with the given input and simplify.
A. प्रत्येक प्रांत तत्व से केवल एक तीर निकले/Only one arrow leaves each domain element
Explanation
Simple Explanation
फलन में हर प्रांत तत्व से ठीक एक तीर निकलना चाहिए। सहप्रांत के हर तत्व पर तीर आना आवश्यक नहीं। / In a function exactly one arrow must leave every domain element. It is not necessary that every codomain element receives an arrow.
A के प्रत्येक तत्व का B में ठीक एक प्रतिबिंब है: 1 का a, 2 का a और 3 का b। इसलिए यह फलन है। 1 और 2 का एक ही प्रतिबिंब a होना कोई दोष नहीं है; इससे फलन एक-एक नहीं रहता, बल्कि यह बहु-एक फलन है। परीक्षा में याद रखें: फलन के लिए प्रांत के प्रत्येक तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब होना आवश्यक है। / Each element of A has exactly one image in B: 1 maps to a, 2 maps to a, and 3 maps to b. Therefore, the relation is a function. The fact that 1 and 2 have the same image does not violate the definition; it only means the function is many-one, not one-one. Exam tip: for a function, every domain element must have exactly one image.
A. क्योंकि 3 का कोई प्रतिबिंब नहीं है/Because 3 has no image
Explanation
Simple Explanation
फलन में प्रांत A के प्रत्येक तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब होना आवश्यक है। यहाँ 1 का प्रतिबिंब 2 और 2 का प्रतिबिंब 3 है, लेकिन 3 का कोई प्रतिबिंब नहीं है। इसलिए R, A से A में फलन नहीं है। विकल्प B गलत है, क्योंकि 1 का केवल एक ही प्रतिबिंब 2 है। परीक्षा-युक्ति: फलन जाँचते समय पहले प्रांत के हर तत्व की उपस्थिति देखें और फिर उसके प्रतिबिंबों की संख्या जाँचें। / For a relation to be a function, every element of the domain A must have exactly one image. Here, 1 maps to 2 and 2 maps to 3, but 3 has no image. Therefore, R is not a function from A to A. Option B is incorrect because 1 has only one image, namely 2. Exam tip: To test a function, check that every domain element appears exactly once as the first component of an ordered pair.
A. हर फलन एक संबंध है/Every function is a relation
Explanation
Simple Explanation
फलन संबंध का विशेष प्रकार है। हर संबंध फलन नहीं होता क्योंकि शर्तें अतिरिक्त हैं। / A function is a special type of relation. Every relation is not a function because extra conditions are required.
फलन के क्रमित युग्म (a,b) में a इनपुट और b उसका मान होता है। यहाँ (1,2) में 1 का संगत मान 2 है, इसलिए f(1)=2। परीक्षा-युक्ति: किसी फलन का मान ज्ञात करने के लिए दिए गए इनपुट को क्रमित युग्म के प्रथम अवयव के रूप में खोजें और उसका दूसरा अवयव लिखें। / In an ordered pair (a,b) of a function, a is the input and b is its corresponding value. Here, the pair (1,2) shows that f(1)=2. Exam tip: To find a function value, locate the given input as the first component of an ordered pair and read the second component.
क्रमित युग्म (0,1) में पहला घटक 0, फलन का आगत है और दूसरा घटक 1, उसका प्रतिचित्र है। इसलिए h(0) = 1। परीक्षा में h(a) ज्ञात करने के लिए उस क्रमित युग्म (a,b) को खोजें, जिसका पहला घटक a हो; दूसरे घटक b को उत्तर चुनें। / In the ordered pair (0,1), the first component 0 is the input and the second component 1 is its image. Therefore, h(0) = 1. Exam tip: To find h(a), locate the ordered pair (a,b) whose first component is a; the second component is the answer.
फलन में परिभाषा-समुच्चय के प्रत्येक अवयव का केवल एक ही प्रतिबिंब होना चाहिए। विकल्प A में 1 के दो अलग-अलग प्रतिबिंब 5 और 6 हैं, इसलिए यह फलन नहीं है। अन्य विकल्पों में 1 और 2, दोनों का केवल एक-एक प्रतिबिंब है। परीक्षा-युक्ति: किसी संबंध के फलन होने की जाँच करते समय पहले अवयव को दोहराकर देखें। / In a function, every element of the domain must have exactly one image. In option A, the input 1 has two different images, 5 and 6, so the relation is not a function. In the other options, both 1 and 2 have exactly one image each. Exam tip: To test a relation quickly, check whether any first coordinate is paired with more than one second coordinate.
(2) और (4) दोनों का ठीक एक प्रतिबिंब है। बाकी विकल्पों में कोई इनपुट छूटा है या दो बार आया है। / Both (2) and (4) have exactly one image. In the other options an input is missing or repeated with different images.
स्थिर फलन में प्रांत के प्रत्येक तत्व का प्रतिचित्र या फलन-मान समान होता है; अर्थात सभी तत्व सहप्रांत के एक ही निश्चित तत्व से सम्बद्ध होते हैं। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B अलग-अलग फलन-मान दर्शाता है, जो स्थिर फलन की विशेषता नहीं है। परीक्षा में याद रखें: स्थिर फलन का ग्राफ एक क्षैतिज रेखा होता है। / In a constant function, every domain element has the same image or function value; therefore, all domain elements are associated with one fixed element of the codomain. Hence, option A is correct. Option B represents different function values, which is not the defining property of a constant function. Exam tip: the graph of a constant function is a horizontal line.
हर इनपुट पर फलन का मान (7) है इसलिए यह स्थिर फलन है। स्थिर फलन में सभी प्रतिबिंब समान होते हैं। / The function value is (7) for every input, so it is a constant function. In a constant function all images are the same.
तत्समक फलन की परिभाषा के अनुसार \(I_A(x)=x\) होता है। इसलिए समुच्चय \(A\) का प्रत्येक तत्व स्वयं उसी का प्रतिबिंब होता है। विकल्प \(0\) या \(1\) केवल विशेष स्थितियों में संभव हो सकते हैं, जबकि सामान्यतः प्रतिबिंब \(x\) ही रहता है। परीक्षा में याद रखें: identity function में input और output समान होते हैं। / By definition, an identity function satisfies \(I_A(x)=x\). Thus, every element of the set \(A\) is mapped to itself. The image is not necessarily \(0\) or \(1\); it remains the input element \(x\). Exam tip: in an identity function, input and output are always the same.
तत्समक फलन में समुच्चय A का प्रत्येक तत्व स्वयं पर प्रतिचित्रित होता है, अर्थात f(x) = x। इसलिए इसके सभी क्रमित युग्म (x, x) के रूप में होंगे और सही उत्तर {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} है। विकल्प B में तत्व चक्रीय रूप से बदलते हैं, जबकि C और D में सभी तत्व स्वयं पर प्रतिचित्रित नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: तत्समक फलन पहचानने के लिए जाँचें कि प्रत्येक क्रमित युग्म में पहला और दूसरा घटक समान हैं। / In an identity function, every element of A maps to itself, so f(x) = x. Hence all ordered pairs must be of the form (x, x), giving {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}. In option B the elements map cyclically, while options C and D do not map every element to itself. Exam tip: for an identity function, check that the two entries in every ordered pair are equal.
A. क्रमित युग्म ((x,f(x)))/Ordered pairs ((x,f(x)))
Explanation
Simple Explanation
फलन का ग्राफ सभी ((x,f(x))) युग्मों से बनता है। इसमें पहला अवयव इनपुट और दूसरा आउटपुट होता है। / The graph of a function is made of all pairs ((x,f(x))). The first component is input and the second is output.
विकल्प A में x = 2 के साथ y = 5 और y = 6, दो अलग-अलग मान जुड़े हैं। इसलिए यह फलन की मूल शर्त—प्रत्येक इनपुट का केवल एक आउटपुट होना—पूरी नहीं करता। विकल्प B में अलग-अलग x मानों का एक ही y मान होना अनुमत है, इसलिए वह फलन है। परीक्षा-युक्ति: फलन जाँचने के लिए देखें कि कोई भी x मान दो अलग-अलग y मानों के साथ न जुड़ा हो। / In option A, the input x = 2 is associated with two different outputs, y = 5 and y = 6. Thus, it violates the defining condition of a function: every input must have exactly one output. In option B, different x-values share the same y-value, which is allowed, so it is a function. Exam tip: check whether any x-value is paired with more than one y-value.
(A) से (B) में संबंध हमेशा \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। फलन उसी संबंध का विशेष रूप है। / A relation from (A) to (B) is always a subset of \(A\times B\). A function is a special form of such a relation.
फलन में प्रांत (A) के हर तत्व के लिए एक युग्म होता है। इसलिए युग्मों की संख्या (|A|=2) है। / A function has one ordered pair for each element of the domain (A). Hence the number of pairs is (|A|=2).
फलन में प्रांत (domain) के प्रत्येक तत्व के साथ सहप्रांत (codomain) का ठीक एक तत्व संबद्ध होता है। इसलिए 4 प्रांत तत्वों के लिए 4 क्रमित युग्म होंगे। सहप्रांत में तत्वों की संख्या इस प्रश्न के उत्तर को प्रभावित नहीं करती। परीक्षा-युक्ति: किसी फलन के क्रमित युग्मों की संख्या उसके प्रांत के तत्वों की संख्या के बराबर होती है। / In a function, each element of the domain is associated with exactly one element of the codomain. Thus, 4 domain elements produce 4 ordered pairs. The number of elements in the codomain does not affect this answer. Exam tip: The number of ordered pairs in a function equals the number of elements in its domain.
हर तत्व (p) और (q) के लिए (2) विकल्प हैं इसलिए कुल \(2^2=4\) फलन हैं। गिनती में \(|B|^{|A|}\) प्रयोग करें। / Each element (p) and (q) has (2) choices, so total functions are \(2^2=4\). Use \(|B|^{|A|}\) for counting.
फलन में समुच्चय (A) के प्रत्येक तत्व की छवि समुच्चय (B) के किसी एक तत्व के रूप में चुनी जाती है। इसलिए (A) के 3 तत्वों में से प्रत्येक के लिए 2 विकल्प होंगे और कुल फलनों की संख्या \(|B|^{|A|}=2^3=8\) होगी। \(3^2\) में घातें उलटे क्रम में हैं। परीक्षा-टिप: (m) तत्वों वाले समुच्चय से (n) तत्वों वाले समुच्चय में फलनों की संख्या हमेशा \(n^m\) होती है। / For a function, the image of each element of set (A) is chosen from set (B). Thus, each of the 3 elements of (A) has 2 choices, giving \(|B|^{|A|}=2^3=8\) functions. The expression \(3^2\) reverses the base and exponent. Exam tip: The number of functions from an (m)-element set to an (n)-element set is always \(n^m\).
यदि \(|A|=m\) और \(|B|=n\), तो \(A\) से \(B\) में फलनों की संख्या \(n^m\) होती है। यहाँ \(A\) के प्रत्येक 2 तत्व के लिए \(B\) के 3 तत्वों में से कोई एक चुना जा सकता है, इसलिए कुल संख्या \(3^2=9\) है। \(2^3\) में आधार और घात की भूमिकाएँ उलट दी गई हैं। परीक्षा-युक्ति: फलनों की संख्या के लिए हमेशा \(|B|^{|A|}\) लगाएँ। / If \(|A|=m\) and \(|B|=n\), the number of functions from \(A\) to \(B\) is \(n^m\). Each of the 2 elements of \(A\) can be mapped independently to any of the 3 elements of \(B\), giving \(3^2=9\) functions. \(2^3\) is incorrect because it reverses the roles of the domain and codomain. Exam tip: use \(|B|^{|A|}\) for the number of functions from \(A\) to \(B\).
दो अलग इनपुट (1) और (2) एक ही आउटपुट (a) से जुड़ते हैं। फिर भी हर इनपुट का ठीक एक प्रतिबिंब है। / Two different inputs (1) and (2) map to the same output (a). Still each input has exactly one image.
A. एक इनपुट के दो अलग-अलग आउटपुट हो सकते हैं/One input can have two different outputs
Explanation
Simple Explanation
फलन में डोमेन के प्रत्येक इनपुट से कोडोमेन में ठीक एक आउटपुट जुड़ा होता है। इसलिए एक ही इनपुट के दो अलग-अलग आउटपुट नहीं हो सकते, अतः कथन A गलत है। इसके विपरीत, दो अलग-अलग इनपुट का एक ही आउटपुट हो सकता है; इसे many-to-one स्थिति कहते हैं। परीक्षा-युक्ति: फलन की पहचान के लिए याद रखें—हर इनपुट का केवल एक आउटपुट। / In a function, each input in the domain is associated with exactly one output in the codomain. Therefore, the same input cannot have two different outputs, so statement A is false. However, two different inputs may have the same output; this is a many-to-one situation. Exam tip: to test whether a relation is a function, check that every input has exactly one output.
फलन के क्रमित युग्म \((c,2)\) में पहला घटक \(c\) है और दूसरा घटक उसका प्रतिबिंब या फलन-मान है। इसलिए \(f(c)=2\)। विकल्प 3, \(b\) का फलन-मान है, जबकि \(a\) और \(c\) इनपुट हैं। परीक्षा-युक्ति: \(f(x)\) ज्ञात करने के लिए उस युग्म को खोजें जिसका पहला घटक \(x\) हो। / In the ordered pair \((c,2)\), the first component is the input \(c\), and the second component is its image or function value. Therefore, \(f(c)=2\). The value 3 is the image of \(b\), while \(a\) and \(c\) are inputs. Exam tip: To find \(f(x)\), locate the ordered pair whose first component is \(x\).
\(f(1)\) निकालने के लिए \(x=1\) रखें: \(f(1)=3\times1+1=4\)। इसलिए सही उत्तर 4 है। विकल्प B में केवल \(3\times1\) लिया गया है और \(+1\) छोड़ दिया गया है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में दिए गए फलन में \(x\) के स्थान पर मान रखकर पहले गुणा, फिर जोड़ करें। / To find \(f(1)\), substitute \(x=1\) in the function: \(f(1)=3\times1+1=4\). Therefore, 4 is correct. Option B results from calculating only \(3\times1\) and omitting \(+1\). In such questions, substitute the given input carefully and follow multiplication before addition.
फलन में x के स्थान पर 2 रखने पर 8f(2)=22+1=4+1=59 प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 5 है। विकल्प 4 में केवल 8\(2^2\)9 लिया गया है और 3 में जोड़ के बजाय घटाव जैसा विचार किया गया है। परीक्षा-युक्ति: पहले घात निकालें, फिर जोड़ या घटाव करें। / Substitute 2 for x in the function: 8f(2)=22+1=4+1=59. Therefore, 5 is correct. Option 4 results from taking only 8\(2^2\)9, while 3 reflects an incorrect operation. Exam tip: evaluate the exponent before performing addition or subtraction.
\(f(0)\) ज्ञात करने के लिए दिए गए फलन में \(x=0\) रखें: \(f(0)=0+5=5\)। इसलिए सही उत्तर 5 है। विकल्प B केवल इनपुट \(x=0\) है, फलन का मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: किसी फलन का मान निकालते समय दिए गए इनपुट को \(x\) के स्थान पर रखें। / To find \(f(0)\), substitute \(x=0\) in the given function: \(f(0)=0+5=5\). Therefore, the correct answer is 5. Option B is only the input \(x=0\), not the value of the function. Exam tip: Always substitute the given input in place of \(x\) when evaluating a function.
फलन में परिभाषा-समुच्चय \(A\) के प्रत्येक तत्व की \(B\) में ठीक एक प्रतिच्छवि होनी चाहिए। विकल्प A में 1, 2 और 3 प्रत्येक एक बार आते हैं और उनकी प्रतिच्छवियाँ क्रमशः 4, 5 और 4 हैं। विकल्प B में 3 की कोई प्रतिच्छवि नहीं है, जबकि C में 2 की दो प्रतिच्छवियाँ हैं और D में 1 की दो प्रतिच्छवियाँ हैं। परीक्षा-युक्ति: डोमेन के हर तत्व को ठीक एक बार जाँचें। / For a function, every element of the domain \(A\) must have exactly one image in \(B\). In option A, 1, 2, and 3 each occur once, with images 4, 5, and 4 respectively. In option B, 3 has no image; in C, 2 has two images; and in D, 1 has two images. Exam tip: check that every domain element appears exactly once as the first component.
यदि \(f:A\to B\) एक फलन है, तो \(A\) उसका प्रांत (domain) और \(B\) सहप्रांत (codomain) होता है। इसलिए प्रत्येक \(x\in A\) का फलन मान \(f(x)\), \(B\) का तत्व होता है। \(A\) में इनपुट \(x\) होता है, जबकि आउटपुट \(f(x)\) सहप्रांत में जाता है। परीक्षा-युक्ति: \(f:A\to B\) में तीर के बाद लिखा समुच्चय फलन मानों का सहप्रांत होता है। / In \(f:A\to B\), \(A\) is the domain and \(B\) is the codomain. Therefore, for every \(x\in A\), the function value \(f(x)\) belongs to \(B\). The set \(A\) contains the inputs, not necessarily the outputs, so option B is incorrect. Exam tip: in \(f:A\to B\), the set written after the arrow is the codomain of the function values.
क्योंकि \(x\), फलन के प्रांत \(A\) का तत्व है, इसलिए यह फलन का इनपुट या स्वतंत्र चर कहलाता है। इसका फलन के माध्यम से प्राप्त प्रतिबिंब \(f(x)\) आउटपुट होता है। सहप्रांत \(B\) होता है, जबकि परास \(f(A)\) के वास्तविक मानों का समुच्चय होता है। परीक्षा में याद रखें: प्रांत से लिया गया तत्व इनपुट और उसका प्रतिबिंब आउटपुट होता है। / Since \(x\) is an element of the domain \(A\), it is the input, or independent variable, of the function. Its image \(f(x)\) is the output. The codomain is \(B\), whereas the range is the set of actual values \(f(A)\). Exam tip: an element taken from the domain is the input, and its image is the output.
फलन में प्रत्येक इनपुट का केवल एक ही आउटपुट हो सकता है। यहाँ दोनों क्रमित युग्मों का पहला अवयव \(a\) समान है, इसलिए उनके दूसरे अवयव भी समान होने चाहिए और \(b=c\) होगा। विकल्प D गलत है क्योंकि वह एक ही इनपुट के दो अलग आउटपुट दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: फलन की जाँच करते समय समान प्रथम अवयव वाले युग्मों के द्वितीय अवयव अवश्य मिलाएँ। / A function can assign only one output to a given input. Since both ordered pairs have the same first component \(a\), their second components must be equal; hence \(b=c\). Option D is incorrect because it represents two different outputs for the same input. Exam tip: To test whether a relation is a function, check that repeated first components never have different second components.
A. प्रत्येक x के लिए केवल एक f(x) निर्धारित होता है/For every x, exactly one f(x) is defined
Explanation
Simple Explanation
फलन में प्रांत के प्रत्येक x का सहप्रांत में ठीक एक प्रतिबिंब f(x) होना चाहिए। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B अद्वितीयता का उल्लंघन करता है, जबकि विकल्प C दर्शाता है कि प्रांत का कोई तत्व अप्रतिबिंबित है। विकल्प D फलन की आवश्यक शर्त नहीं, बल्कि एक-एक फलन (injective function) से संबंधित विचार है। परीक्षा-युक्ति: फलन जाँचते समय देखें कि प्रत्येक input का केवल एक output हो। / In a function, every x in the domain must have exactly one corresponding value f(x) in the codomain, so option A is correct. Option B violates uniqueness, while option C leaves a domain element without an image. Option D is not required for a function; it relates to an injective function, where distinct inputs have distinct outputs. Exam tip: check that each input has one and only one output.
हर प्रांत तत्व के लिए (B) में केवल (0) एक ही विकल्प है। इसलिए कुल फलन \(1^3=1\) है। / For each domain element, (B) has only one choice (0). Hence the total number of functions is \(1^3=1\).
किसी फलन में परिभाषा-क्षेत्र के प्रत्येक अवयव की एक छवि होनी चाहिए। यहाँ \(A\) रिक्त है, इसलिए किसी अवयव के लिए छवि चुनने की आवश्यकता नहीं है और एकमात्र रिक्त फलन प्राप्त होता है। सूत्र \(|B|^{|A|}=2^0=1\) से भी यही परिणाम मिलता है। परीक्षा में याद रखें: रिक्त समुच्चय से किसी भी अशून्य समुच्चय में ठीक एक फलन होता है; उत्तर 0 नहीं होता। / In a function, every element of the domain must have exactly one image. Since \(A\) is empty, there are no elements whose images need to be chosen, so exactly one empty function exists. The counting formula also gives \(|B|^{|A|}=2^0=1\). Exam tip: there is exactly one function from the empty set to any non-empty set, not zero.
समुच्चय A में केवल एक तत्व 1 है। इस तत्व की B के तीनों तत्वों—2, 3 या 4—में से किसी एक से छवि बनाई जा सकती है। इसलिए फलनों की कुल संख्या 3 है, अर्थात् 31 = 3। विकल्प 1 केवल एक निश्चित फलन को दर्शाता है, जबकि यहाँ तीन संभावित फलन हैं। परीक्षा-युक्ति: यदि परिभाषा-क्षेत्र में n तत्व और सह-परिभाषा-क्षेत्र में m तत्व हों, तो फलनों की संख्या m^n होती है। / Set A has only one element, 1. Its image can be any one of the three elements of B: 2, 3, or 4. Hence, the total number of functions is 3, that is, 31 = 3. Option 1 would represent only one particular function, not all possible functions. Exam tip: If the domain has n elements and the codomain has m elements, the number of functions is m^n.
प्रत्येक इनपुट 1, 2 और 3 का प्रतिबिंब 0 है। चूँकि सभी इनपुट के लिए आउटपुट समान है, इसलिए यह स्थिर फलन है। यह तत्समक फलन नहीं है, क्योंकि तत्समक फलन में प्रत्येक इनपुट का आउटपुट स्वयं वही इनपुट होता है। परीक्षा-युक्ति: सभी ordered pairs में दूसरे घटक समान हों, तो फलन स्थिर होता है। / The images of all inputs 1, 2, and 3 are 0. Since every input has the same output, the relation is a constant function. It is not an identity function because an identity function maps each input to itself. Exam tip: If the second components of all ordered pairs are equal, the function is constant.
फलन में परिभाषा-समुच्चय के प्रत्येक तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब होना चाहिए। विकल्प A में 1 का प्रतिबिंब a और 2 का प्रतिबिंब b है, इसलिए दोनों तत्वों के लिए एक-एक प्रतिबिंब मिलता है। विकल्प B में 2 का कोई प्रतिबिंब नहीं है, जबकि विकल्प C और D में एक ही तत्व के दो प्रतिबिंब हैं। परीक्षा-युक्ति: क्रमित युग्मों में प्रथम अवयवों को देखकर जाँचें कि परिभाषा-समुच्चय का हर तत्व ठीक एक बार आया है। / A function must assign exactly one image to every element of its domain. In option A, 1 is mapped to a and 2 is mapped to b, so both elements of A have exactly one image. In option B, 2 has no image, while in options C and D, one element has two images. Exam tip: Check the first components of the ordered pairs to verify that every domain element appears exactly once.
A. क्योंकि इसमें हर प्रांत तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब होता है/Because every domain element has exactly one image
Explanation
Simple Explanation
फलन संबंध है लेकिन उस पर ठीक एक प्रतिबिंब की अतिरिक्त शर्त लगती है। इसलिए इसे विशेष संबंध कहते हैं। / A function is a relation with the extra condition of exactly one image. Hence it is called a special relation.
हर \(x\in A\) के लिए (2x) लेने पर सही युग्म मिलते हैं। नियम लागू करते समय प्रत्येक इनपुट अलग से जांचें। / For each \(x\in A\), taking (2x) gives the correct pairs. Check every input separately while applying a rule.
सभी इनपुट का प्रतिबिंब (4) है इसलिए यह स्थिर फलन है। समान आउटपुट फलन को गलत नहीं बनाता। / All inputs have image (4), so it is a constant function. Same output does not make a function wrong.
युग्म ((2,4)) से (2) का प्रतिबिंब (4) है। क्रमित युग्म में पहला अवयव इनपुट होता है। / From the pair ((2,4)), the image of (2) is (4). In an ordered pair the first component is the input.
यहां (c) के दो प्रतिबिंब (1) और (2) हैं। एक इनपुट के दो अलग आउटपुट फलन में मान्य नहीं हैं। / Here (c) has two images (1) and (2). One input with two different outputs is not allowed in a function.
फलन के ग्राफ में प्रांत के हर तत्व के लिए ठीक एक युग्म होता है। इसलिए कुल युग्म (|A|=4) होंगे। / The graph of a function has exactly one pair for each domain element. So the total number of pairs is (|A|=4).
पहले विकल्प में (3) और (6) दोनों ठीक एक बार प्रथम अवयव हैं। यही फलन की आवश्यक शर्त है। / In the first option, (3) and (6) each appear exactly once as first components. This is the necessary condition for a function.
दिए गए फलन में \(x=3\) रखने पर \(f(3)=3^2-1=9-1=8\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। विकल्प C में केवल \(3^2\) निकाला गया है और 1 घटाया नहीं गया। परीक्षा में पहले मान रखने के बाद घात निकालें, फिर जोड़ या घटाव करें। / Substituting \(x=3\) into the function gives \(f(3)=3^2-1=9-1=8\). Therefore, option A is correct. Option C is only \(3^2\) and does not subtract 1. In such questions, substitute the value first, evaluate the power, and then perform addition or subtraction.
फलन \(g(x)=\frac{x}{2}\) में \(x=8\) रखने पर \(g(8)=\frac{8}{2}=4\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प B में भाग देने के बजाय 8 को 그대로 रखा गया है, जबकि विकल्प C और D क्रमशः गलत गणना से प्राप्त होते हैं। परीक्षा-युक्ति: फलन का मान निकालने के लिए दिए गए \(x\) को नियम में सीधे प्रतिस्थापित करें। / Substituting \(x=8\) into the rule \(g(x)=\frac{x}{2}\) gives \(g(8)=\frac{8}{2}=4\). Therefore, option A is correct. Option B leaves 8 unchanged instead of dividing by 2, while options C and D result from incorrect calculations. Exam tip: To evaluate a function, substitute the given input directly into its rule.
कुल फलनों की संख्या \(|B|^{|A|}=2^3=8\) होती है। आधार सहप्रांत के तत्वों की संख्या होती है। / The number of functions is \(|B|^{|A|}=2^3=8\). The base is the number of elements in the codomain.
A से B में प्रत्येक फलन के लिए A के प्रत्येक अवयव की छवि B के 4 अवयवों में से किसी एक को चुना जा सकता है। इसलिए 2 अवयवों के लिए कुल फलनों की संख्या \(|B|^{|A|}=4^2=16\) होगी। विकल्प \(2^2\) में B के 4 विकल्पों को अनदेखा किया गया है। परीक्षा-युक्ति: A से B में फलनों की संख्या हमेशा \(|B|^{|A|}\) होती है। / For a function from A to B, each of the 2 elements of A can be mapped to any of the 4 elements of B. Hence, the total number of functions is \(|B|^{|A|}=4^2=16\). The expression \(2^2\) incorrectly ignores the 4 available choices in B. Exam tip: For functions from A to B, use \(|B|^{|A|}\), with the codomain size as the base and the domain size as the exponent.
A. हर \(x\in A\) के लिए \(f(x)\in B\) होता है/For every \(x\in A\), \(f(x)\in B\)
Explanation
Simple Explanation
\(f:A\to B\) में इनपुट (A) से और आउटपुट (B) में होता है। संकेत पढ़ना परीक्षा में बहुत जरूरी है। / In \(f:A\to B\), the input comes from (A) and the output lies in (B). Reading the notation is very important in exams.
A. क्योंकि हर \(x\in A\) का प्रतिबिंब होना चाहिए/Because every \(x\in A\) must have an image
Explanation
Simple Explanation
फलन में प्रांत का कोई तत्व छूट नहीं सकता। हर \(x\in A\) का ठीक एक प्रतिबिंब जरूरी है। / No element of the domain can be left out in a function. Every \(x\in A\) must have exactly one image.
एक ही इनपुट (p) के दो मान तभी मान्य होंगे जब वे समान हों। यहां \(5\ne7\), इसलिए सामान्यतः यह फलन नहीं है। / Two values for the same input (p) are allowed only if they are the same. Here \(5\ne7\), so generally it is not a function.
\(R=\{(1,2),(1,3)\}\) में (1) दो अलग मानों से जुड़ा है। इसलिए यह संबंध है लेकिन फलन नहीं है। / In \(R=\{(1,2),(1,3)\}\), (1) is related to two different values. So it is a relation but not a function.
तत्समक फलन प्रत्येक अवयव को उसी अवयव पर भेजता है, अर्थात् \(I_A(x)=x\)। इसलिए \(I_A(5)=5\)। विकल्प 4 समुच्चय \(A\) का अवयव तो है, लेकिन तत्समक फलन 5 को 4 में नहीं भेजता। परीक्षा-युक्ति: तत्समक फलन में इनपुट और आउटपुट सदैव समान होते हैं। / An identity function maps every element to itself, so \(I_A(x)=x\). Hence, \(I_A(5)=5\). Although 4 also belongs to the set \(A\), the identity function does not map 5 to 4. Exam tip: for an identity function, the input and output are always the same.
तत्समक फलन में प्रत्येक तत्व स्वयं से जुड़ता है। इसलिए सभी युग्म ((x,x)) रूप में हैं। / In an identity function, every element maps to itself. Therefore all pairs are of the form ((x,x)).
(B) में केवल (a) है इसलिए हर प्रांत तत्व (a) से जुड़ता है। सभी (1), (2), और (3) शामिल होने चाहिए। / Since (B) has only (a), every domain element maps to (a). All (1), (2), and (3) must be included.
नियम \(f(x)=2x+1\) में दिए गए सभी प्रथम घटक रखने पर \(f(1)=3\), \(f(2)=5\) और \(f(3)=7\) प्राप्त होते हैं। इसलिए यह दिए गए सभी क्रमित युग्मों से मेल खाता है। अन्य विकल्पों में कम-से-कम एक युग्म का मान गलत आता है। परीक्षा-युक्ति: किसी नियम की जाँच के लिए दिए गए प्रत्येक input पर उसे लागू करें, केवल एक पर नहीं। / For the rule \(f(x)=2x+1\), substituting all the given first components gives \(f(1)=3\), \(f(2)=5\), and \(f(3)=7\). Thus, it matches every ordered pair in the function. Each other option gives an incorrect value for at least one input. Exam tip: test a proposed rule with every given input, not just one.
फलन में \(1\mapsto1\), \(2\mapsto8\) और \(3\mapsto27\) दिया गया है। ये क्रमशः \(1^3, 2^3\) और \(3^3\) के बराबर हैं, इसलिए सही नियम \(f(x)=x^3\) है। उदाहरण के लिए, \(f(x)=x^2\) से \(f(2)=4\) मिलता, इसलिए वह विकल्प गलत है। परीक्षा में नियम पहचानने के लिए प्रत्येक दिए गए युग्म में \(y\) को \(x\) के घन से मिलाकर जाँच करें। / The function gives \(1\mapsto1\), \(2\mapsto8\), and \(3\mapsto27\). These outputs are respectively \(1^3, 2^3\), and \(3^3\), so the correct rule is \(f(x)=x^3\). For instance, \(f(x)=x^2\) would give \(f(2)=4\), so option B is incorrect. Exam tip: test the proposed rule with all the ordered pairs, not just one pair.
फलन में प्रांत \(A\) के प्रत्येक अवयव का सह-प्रांत \(B\) में ठीक एक प्रतिबिंब होना चाहिए। विकल्प A में 1, 2 और 3 सभी का एक-एक प्रतिबिंब है। B और D में एक अवयव के दो प्रतिबिंब हैं, जबकि C में 3 का प्रतिबिंब नहीं है। परीक्षा टिप: हर input को एक बार जाँचें। / In a function, every element of domain \(A\) must have exactly one image in codomain \(B\). In option A, 1, 2 and 3 each have one image. In B and D, one input has two images; in C, 3 has no image. Exam tip: check each input exactly once.
पहले विकल्प में (1), (2), और (3) सभी ठीक एक बार आए हैं। फलन के लिए प्रत्येक इनपुट का एक ही आउटपुट होना चाहिए। / In the first option, (1), (2), and (3) each appear exactly once. A function needs exactly one output for each input.
फलन \(f:A\to B\) में डोमेन के प्रत्येक तत्व \(a\) के लिए सह-डोमेन \(B\) का ठीक एक तत्व \(f(a)\) निर्धारित होता है। इसलिए \(f(a)\) का मान न तो शून्य हो सकता है और न ही एक से अधिक। परीक्षा-युक्ति: फलन के मानचित्र में प्रत्येक डोमेन तत्व से ठीक एक तीर निकलना चाहिए। / In a function \(f:A\to B\), every element \(a\) of the domain has exactly one corresponding element \(f(a)\) in the codomain. Thus, \(f(a)\) cannot have zero or multiple values. Exam tip: in a mapping diagram, exactly one arrow must originate from each domain element.
पहले उपसमुच्चय में (1) और (2) का एक-एक प्रतिबिंब है। बाकी में कोई इनपुट दो अलग मानों से जुड़ा है या छूट गया है। / In the first subset, (1) and (2) each have one image. In the others an input has two different values or is missing.
युग्म ((4,8)) बताता है कि (4) का प्रतिबिंब (8) है। संबंधित प्रथम अवयव वाला युग्म चुनें। / The pair ((4,8)) shows that the image of (4) is (8). Choose the pair with the related first component.
पहले विकल्प में (2) प्रथम अवयव के रूप में नहीं आया है। प्रांत का हर तत्व शामिल होना चाहिए। / In the first option, (2) does not appear as a first component. Every element of the domain must be included.
दिए गए फलन में c(x=5c) रखने पर c(f(5)=2(5)-3=10-3=7c) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 7 है। विकल्प 10 में 3 घटाना छूट गया है। परीक्षा में फलन का मान निकालते समय दिए गए c(xc) का मान सीधे सूत्र में रखें और क्रम से गणना करें। / Substituting c(x=5c) in the given function gives c(f(5)=2(5)-3=10-3=7c). Therefore, the correct answer is 7. Option 10 results from forgetting to subtract 3. In such questions, directly substitute the given input into the function rule and calculate in order.
क्रमित युग्म \((x,f(x))\) में पहला अवयव इनपुट और दूसरा अवयव उसका प्रतिबिंब होता है। यहाँ \((2,c)\) दिया है, इसलिए \(c\) का पूर्वप्रतिबिंब \(2\) है। \(1\) और \(3\) के प्रतिबिंब \(b\) हैं, जबकि \(b\) स्वयं इस संबंध में इनपुट तत्व नहीं है। परीक्षा-युक्ति: किसी दिए गए प्रतिबिंब का पूर्वप्रतिबिंब खोजने के लिए क्रमित युग्म के दूसरे अवयव से मिलान करके पहला अवयव पढ़ें। / In an ordered pair \((x,f(x))\), the first component is the input and the second component is its image. Since \((2,c)\) is given, the preimage of \(c\) is \(2\). The elements \(1\) and \(3\) have image \(b\), while \(b\) is not an input element in this relation. Exam tip: To find the preimage of a given image, match it with the second component and read the first component of that ordered pair.
A. \(f(x)\), जो \(B\) में स्थित होता है/\(f(x)\), which lies in \(B\)
Explanation
Simple Explanation
फलन \(f:A\to B\) में \(A\) के प्रत्येक अवयव \(x\) का एक निश्चित आउटपुट \(f(x)\) होता है; यही \(x\) का प्रतिबिंब कहलाता है और यह सहप्रांत \(B\) में स्थित होता है। विकल्प B इनपुट या पूर्वप्रतिबिंब को दर्शाता है, जबकि विकल्प D ग्राफ का क्रमित युग्म है, प्रतिबिंब नहीं। परीक्षा-युक्ति: इनपुट \(x\) से आउटपुट \(f(x)\) तक जाने पर प्रतिबिंब मिलता है। / For a function \(f:A\to B\), each element \(x\) of the domain \(A\) has a unique output \(f(x)\); this output is the image of \(x\) and lies in the codomain \(B\). Option B represents the input or preimage, while option D is the ordered pair used to describe a point on the graph. Exam tip: the image is obtained by applying the function to the input, giving \(f(x)\).
A. प्रांत \(A\) का अवयव/An element of the domain \(A\)
Explanation
Simple Explanation
यदि \(f(x)=y\), तो \(x\), \(y\) का पूर्वप्रतिबिंब कहलाता है। इसलिए पूर्वप्रतिबिंब हमेशा प्रांत \(A\) का अवयव होता है, जबकि \(y\) सहप्रांत \(B\) का अवयव होता है। परीक्षा में याद रखें: input प्रांत से और output सहप्रांत से संबंधित होता है। / If \(f(x)=y\), then \(x\) is called the preimage of \(y\). Thus, a preimage is always an element of the domain \(A\), whereas \(y\) is an element of the codomain \(B\). Exam tip: the input comes from the domain and the output belongs to the codomain.
A. परिसर (B) का उपसमुच्चय होता है/The range is a subset of (B)
Explanation
Simple Explanation
फलन के प्राप्त मान (B) में होते हैं, इसलिए परिसर (B) का उपसमुच्चय होता है। यह जरूरी नहीं कि पूरा (B) हो। / The obtained values of the function lie in (B), so the range is a subset of (B). It need not be the whole of (B).
रिक्त प्रांत में कोई इनपुट नहीं है, इसलिए ग्राफ में कोई युग्म नहीं होगा। फिर भी यह रिक्त फलन माना जाता है। / An empty domain has no input, so the graph has no pair. Still it is considered the empty function.
गैर-रिक्त प्रांत के तत्वों को \(\emptyset\) में कोई प्रतिबिंब नहीं मिल सकता। इसलिए कोई फलन नहीं बनेगा। / Elements of a non-empty domain cannot get any image in \(\emptyset\). Therefore no function can be formed.
समुच्चय A में केवल एक अवयव 2 है। इस अवयव की छवि B के दो अवयवों—5 या 6—में से किसी एक को चुना जा सकता है। इसलिए फलनों की संख्या \(2^1 = 2\) होगी। विकल्प 1 केवल एक संभावित फलन को दर्शाता है, जबकि यहाँ दो अलग-अलग फलन संभव हैं। परीक्षा में A से B के फलनों की संख्या ज्ञात करने के लिए सूत्र \(n(B)^{n(A)}\) याद रखें। / Set A has only one element, 2. Its image can be chosen as either 5 or 6 from set B, giving two different functions. Hence, the number of functions is \(2^1 = 2\). Option 1 counts only one possible function, whereas both choices are possible. For such questions, use the formula \(n(B)^{n(A)}\) for the number of functions from A to B.
(4) और (5) दोनों का प्रतिबिंब (1) है और हर इनपुट का केवल एक मान है। यह वैध बहु-एक फलन है। / Both (4) and (5) have image (1), and every input has only one value. This is a valid many-one function.
A. क्योंकि (a) के दो प्रतिबिंब हैं/Because (a) has two images
Explanation
Simple Explanation
एक प्रांत तत्व से दो अलग तीर निकलना फलन की शर्त तोड़ता है। हर इनपुट से ठीक एक तीर होना चाहिए। / Two different arrows from one domain element break the function condition. Exactly one arrow must leave each input.
हर इनपुट (a), (b), और (c) का ठीक एक प्रतिबिंब है। दो इनपुट का समान आउटपुट होना मान्य है। / Each input (a), (b), and (c) has exactly one image. Two inputs having the same output is allowed.
तत्समक फलन में समुच्चय का प्रत्येक तत्व स्वयं पर ही प्रतिचित्रित होता है, अर्थात \(f(x)=x\)। इसलिए यहाँ \(f\), \(A\) पर तत्समक फलन है और इसे \(I_A\) से दर्शाया जा सकता है। यह स्थिर फलन नहीं है, क्योंकि स्थिर फलन में सभी तत्वों की छवियाँ एक ही निश्चित तत्व होती हैं। परीक्षा-युक्ति: \(f(x)=x\) दिखे तो तत्समक फलन पहचानें। / In an identity function, every element of the set maps to itself, so \(f(x)=x\). Hence, \(f\) is the identity function on \(A\), also denoted by \(I_A\). It is not a constant function because a constant function maps every element to the same fixed value. Exam tip: whenever \(f(x)=x\) for every element of the domain, identify the function as an identity function.
A. ऐसा संबंध जिसमें हर \(x\in A\) का ठीक एक \(y\in B\) हो/A relation in which every \(x\in A\) has exactly one \(y\in B\)
Explanation
Simple Explanation
फलन में हर \(x\in A\) को (B) के ठीक एक तत्व से जोड़ा जाता है। यही परिभाषा की मुख्य बात है। / In a function, every \(x\in A\) is associated with exactly one element of (B). This is the key point of the definition.
A. (R) (A) से (B) में फलन है/(R) is a function from (A) to (B)
Explanation
Simple Explanation
(A) के (1), (2), और (3) का ठीक एक प्रतिबिंब (B) में है। सहप्रांत के हर तत्व का प्रयोग होना जरूरी नहीं। / The elements (1), (2), and (3) of (A) each have exactly one image in (B). It is not necessary to use every element of the codomain.
(m) का प्रतिबिंब (B) के किसी भी (3) तत्वों में से एक हो सकता है। गिनती में हर प्रांत तत्व के लिए सहप्रांत की संख्या विकल्प देती है। / The image of (m) can be any one of the (3) elements of (B). In counting, each domain element gets as many choices as the codomain size.
A. हर प्रांत तत्व ठीक एक बार इनपुट के रूप में आया है या नहीं/Whether each domain element appears exactly once as an input
Explanation
Simple Explanation
फलन के लिए हर प्रांत तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब जरूरी है। इसलिए प्रथम अवयवों की जांच सबसे उपयोगी होती है। / For a function, every domain element must have exactly one image. So checking first components is most useful.
हर x∈A पर
2
x
लगाने से 2,3,4 मिलते हैं। नियम आधारित प्रश्नों में इनपुट और आउटपुट का क्रम न बदलें। / Applying
2
x
to each x∈A gives 2,3,4. In rule based questions do not reverse input and output.
A. क्योंकि (A) के प्रत्येक तत्व की (B) में ठीक एक छवि है/Because every element of (A) has exactly one image in (B)
Explanation
Simple Explanation
प्रत्येक (A) के तत्व (1) और (2) की (B) में ठीक एक-एक छवि है। परीक्षा में फलन जांचते समय पहले डोमेन के हर तत्व की छवि गिनें। / Each element (1) and (2) of (A) has exactly one image in (B). In exams, first count the image of every domain element to test a function.
हर प्रथम अवयव 2,4,6 ठीक एक बार आया है। दो इनपुट का समान आउटपुट 5 होना फलन में सही है। / Each first component 2,4,6 appears exactly once. Two inputs having the same output 5 is allowed in a function.
पहले विकल्प में 7 के दो अलग प्रतिबिंब 2 और 3 हैं। एक इनपुट के दो अलग आउटपुट फलन नहीं बनाते। / In the first option, 7 has two different images 2 and 3. One input with two different outputs does not form a function.
युग्म (−1,1) से −1 का प्रतिबिंब 1 है। ऋणात्मक इनपुट को भी उसी तरह पढ़ें जैसे धनात्मक इनपुट को पढ़ते हैं। / From the pair (−1,1), the image of −1 is 1. Read negative inputs the same way as positive inputs.
कुल फलनों की संख्या ∣B∣
∣A∣
=2
4
होती है। याद रखें आधार सहप्रांत और घात प्रांत से आता है। / The number of functions is ∣B∣
∣A∣
=2
4
. Remember that the base comes from the codomain and the exponent from the domain.
A के प्रत्येक 3 तत्व की छवि B के 4 तत्वों में से किसी एक के रूप में चुनी जा सकती है। प्रत्येक चयन स्वतंत्र है, इसलिए कुल फलनों की संख्या \(|B|^{|A|}=4^3=64\) होगी। \(3^4\) गलत है क्योंकि फलनों की संख्या में आधार सह-समुच्चय के तत्वों की संख्या और घात प्रांत के तत्वों की संख्या होती है। परीक्षा-युक्ति: A से B में फलनों की संख्या हमेशा \(|B|^{|A|}\) होती है। / Each of the 3 elements of A can be mapped independently to any of the 4 elements of B. Hence, the total number of functions is \(|B|^{|A|}=4^3=64\). The expression \(3^4\) reverses the roles of the domain and codomain. Exam tip: The number of functions from A to B is always \(|B|^{|A|}\).
सहप्रांत में केवल 9 है, इसलिए हर प्रांत तत्व का प्रतिबिंब 9 होगा। कोई प्रांत तत्व छूटना नहीं चाहिए। / The codomain has only 9, so every domain element maps to 9. No domain element should be left out.
तत्समक फलन में समुच्चय का प्रत्येक तत्व स्वयं से ही संबद्ध होता है, अर्थात प्रत्येक क्रमित युग्म (x, x) के रूप में होता है। इसलिए {(2,2), (3,3), (4,4)} सही है। विकल्प B में तत्व चक्रीय रूप से बदलते हैं, C स्थिर फलन है और D में 2 तथा 4 एक-दूसरे से संबद्ध हैं। परीक्षा-युक्ति: पहचान फलन के लिए हर इनपुट और उसका आउटपुट समान होना चाहिए। / In an identity function, every element of the set maps to itself, so each ordered pair has the form (x, x). Hence, {(2,2), (3,3), (4,4)} is correct. Option B gives a cyclic mapping, option C is a constant function, and option D interchanges 2 and 4. Exam tip: In an identity function, the input and output are equal for every element.
तत्समक फलन प्रत्येक अवयव को उसी अवयव पर प्रतिचित्रित करता है, अर्थात् \(I_A(x)=x\)। इसलिए \(I_A(8)=8\)। विकल्प 9 समुच्चय \(A\) का दूसरा अवयव है, परंतु 8 का तत्समक फलन के अंतर्गत प्रतिबिंब 9 नहीं हो सकता। परीक्षा-युक्ति: तत्समक फलन में इनपुट और आउटपुट सदैव समान होते हैं। / An identity function maps every element to itself, so \(I_A(x)=x\). Therefore, \(I_A(8)=8\). Although 9 is also an element of set \(A\), it is not the image of 8 under the identity function. Exam tip: for an identity function, the input and output are always the same.
सभी इनपुट का मान समान 6 है, इसलिए यह स्थिर फलन है। स्थिर फलन भी वैध फलन होता है। / All inputs have the same value 6, so it is a constant function. A constant function is also a valid function.
सभी युग्मों का द्वितीय अवयव 0 है। परिसर में दोहराव नहीं लिखा जाता, इसलिए {0} सही है। / The second component of all pairs is 0. Repetition is not written in the range, so {0} is correct.
फलन में \(f(x)\) का मान उस क्रमित युग्म \((x,y)\) का दूसरा घटक होता है जिसमें पहला घटक \(x\) हो। यहाँ \((20,2)\) दिया है, इसलिए \(f(20)=2\)। विकल्प B इनपुट 20 है, फलन का मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: किसी भी \(f(a)\) को खोजने के लिए पहले घटक \(a\) वाला क्रमित युग्म चुनें। / In a function, \(f(x)\) is the second component of the ordered pair \((x,y)\) whose first component is \(x\). Here, the pair \((20,2)\) is given, so \(f(20)=2\). Option B is the input 20, not its image. Exam tip: To find \(f(a)\), locate the ordered pair whose first component is \(a\).
दिए गए फलन में \(x=5\) रखने पर \(f(5)=\frac{2}{5+1}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\) प्राप्त होता है। विकल्प B \(\frac{2}{5}\) तब मिलता है जब हर में \(+1\) को छोड़ दिया जाए। परीक्षा में पूरे हर को कोष्ठक सहित लिखकर मान रखने से ऐसी गलती से बचें। / Substituting \(x=5\) in the given function gives \(f(5)=\frac{2}{5+1}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\). Option B, \(\frac{2}{5}\), results from omitting the \(+1\) in the denominator. In an exam, write the complete denominator in parentheses before substituting the value.
पहले विकल्प में 2 प्रथम अवयव के रूप में नहीं है। फलन में प्रांत का हर तत्व शामिल होना चाहिए। / In the first option, 2 is not present as a first component. In a function every domain element must be included.
पहले विकल्प में 1 और 2 दोनों का ठीक एक प्रतिबिंब है। अन्य विकल्पों में कोई इनपुट छूटा है या दो बार जुड़ा है। / In the first option, both 1 and 2 have exactly one image. In the other options, an input is missing or mapped twice.
ग्राफ में प्रत्येक प्रांत तत्व के लिए एक युग्म होता है। इसलिए युग्मों की संख्या ∣A∣=3 है। / The graph has one pair for each element of the domain. Therefore the number of pairs is ∣A∣=3.
A रिक्त समुच्चय है, इसलिए उसमें किसी भी अवयव को B के किसी अवयव से जोड़ने की आवश्यकता नहीं है। अतः केवल एक रिक्त फलन बनता है। सूत्र \(|B|^{|A|}=3^0=1\) से भी यही परिणाम मिलता है। विकल्प 0 इसलिए गलत है क्योंकि फलनों की संख्या शून्य नहीं, बल्कि एक होती है। परीक्षा-युक्ति: रिक्त प्रांत से किसी भी अरिक्त या रिक्त समुच्चय में ठीक एक फलन होता है। / Since A is empty, there is no element whose image must be assigned in B. Therefore, exactly one empty function exists. This also follows from the formula \(|B|^{|A|}=3^0=1\). Option 0 is incorrect because the number of functions is one, not zero. Exam tip: There is exactly one function from an empty domain to any codomain.
प्रांत में 0 है लेकिन सहप्रांत खाली है, इसलिए 0 का कोई प्रतिबिंब नहीं मिल सकता। अतः कोई फलन नहीं बनेगा। / The domain contains 0 but the codomain is empty, so 0 cannot get an image. Hence no function is possible.
विकल्प A में प्रांत के प्रत्येक अवयव 1, 2 और 3 का ठीक एक प्रतिबिंब है, इसलिए यह फलन है। लेकिन 1 और 2 दोनों का प्रतिबिंब a है, इसलिए अलग-अलग प्रांत अवयवों के समान प्रतिबिंब हो सकते हैं और फलन एक-एक नहीं है। विकल्प C एक-एक फलन है, जबकि B और D में किसी एक प्रांत अवयव के दो प्रतिबिंब हैं। परीक्षा-युक्ति: फलन के लिए प्रत्येक input का केवल एक output होना चाहिए; एक-एक होने के लिए अलग-अलग inputs के outputs भी अलग होने चाहिए। / In option A, each domain element 1, 2, and 3 has exactly one image, so it is a function. However, 1 and 2 both have the image a; hence different inputs have the same output, so the function is not one-one. Option C is one-one, whereas B and D assign two images to the same input and therefore are not functions. Exam tip: for a function, every input must have exactly one output; for a one-one function, distinct inputs must also have distinct outputs.
पहले संबंध में \(A\) के प्रत्येक तत्व 1, 2 और 3 का ठीक एक प्रतिबिंब \(B\) में है, इसलिए यह फलन है। B और D में एक ही इनपुट के दो आउटपुट हैं, जबकि C में 3 का आउटपुट नहीं है। परीक्षा टिप: हर इनपुट को एक बार जाँचें। / In the first relation, each element of \(A\)—1, 2, and 3—has exactly one image in \(B\), so it is a function. In B and D, one input has two outputs; C leaves 3 unmapped. Exam tip: check every domain element exactly once.
नियम \\(f(x)=2x\\) में \(x=1,2,3\) रखने पर क्रमशः \(2,4,6\) प्राप्त होते हैं, इसलिए यह दिए गए सभी क्रमित युग्मों से मेल खाता है। \(x+2\) केवल \(x=2\) पर सही मान देता है, जबकि \(3x\) और \(x/2\) अन्य मान देते हैं। परीक्षा-युक्ति: फलन का नियम पहचानने के लिए प्रत्येक दिए गए क्रमित युग्म में \(y=f(x)\) जाँचें। / Using the rule \\(f(x)=2x\\), the inputs \(x=1,2,3\) give the outputs \(2,4,6\), respectively, so it matches every ordered pair. The rule \(x+2\) matches only when \(x=2\), while \(3x\) and \(x/2\) produce different outputs. Exam tip: verify a proposed rule with every given ordered pair, not just one pair.
प्रत्येक क्रमित युग्म में दूसरा घटक पहले घटक का वर्ग है: \(2^2=4\), \(3^2=9\) और \(5^2=25\)। इसलिए सही नियम \(f(x)=x^2\) है। विकल्प B में \(f(2)=4\) तो मिलता है, लेकिन \(f(3)=6\), इसलिए वह सभी युग्मों के लिए सही नहीं है। परीक्षा में नियम की जाँच करने के लिए दिए गए प्रत्येक इनपुट पर उसे लागू करें। / In every ordered pair, the second component is the square of the first: \(2^2=4\), \(3^2=9\), and \(5^2=25\). Therefore, the correct rule is \(f(x)=x^2\). Option B gives \(f(2)=4\), but \(f(3)=6\), so it does not fit all the pairs. In an exam, test the proposed rule with each given input.
\(f(x)=x+7\) में \(x=a\) रखने पर \(f(a)=a+7\) प्राप्त होता है। इसलिए \(a+7=12\), अर्थात \(a=5\)। विकल्प 12, \(f(a)\) का मान है, \(a\) का नहीं। परीक्षा में पहले दिए गए फलन में \(x\) के स्थान पर \(a\) रखकर समीकरण बनाएँ। / Substituting \(x=a\) in \(f(x)=x+7\) gives \(f(a)=a+7\). Thus, \(a+7=12\), so \(a=5\). The value 12 is \(f(a)\), not \(a\). Exam tip: replace \(x\) with the given input variable before solving the equation.
h(2) ज्ञात करने के लिए x के स्थान पर 2 रखें: h(2)=4×2−1=8−1=7। इसलिए सही उत्तर 7 है। विकल्प 8 में 1 घटाना भूल गया है। परीक्षा में फलन का मान निकालते समय दिए गए x का मान सीधे प्रतिस्थापित करके गणना करें। / To find h(2), substitute 2 for x: h(2)=4×2−1=8−1=7. Therefore, 7 is correct. Option 8 results from forgetting to subtract 1. Exam tip: substitute the given input first, then perform the multiplication and subtraction carefully.
फलन में x=2 रखने पर p(2)=23-1=8-1=7 प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 7 है। विकल्प 8 केवल \(2^3\) का मान है, जिसमें 1 घटाना भूल गए हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले घात निकालें और उसके बाद जोड़ या घटाव करें। / Substituting x=2 in the function gives p(2)=23-1=8-1=7. Therefore, the correct answer is 7. Option 8 is only the value of \(2^3\) and results from forgetting to subtract 1. Exam tip: evaluate the power first, then perform addition or subtraction.
A. क्योंकि x=4 के दो अलग मान हैं/Because x=4 has two different values
Explanation
Simple Explanation
एक ही x के लिए दो अलग y मान फलन की शर्त तोड़ते हैं। तालिका में दोहराए गए इनपुट को हमेशा जांचें। / Two different y values for the same x break the function condition. Always check repeated inputs in a table.
फलन में प्रांत के प्रत्येक तत्व का सहप्रांत में ठीक एक प्रतिबिंब होना चाहिए। यहाँ 1 का प्रतिबिंब 4, 2 का 5 और 3 का 6 है; इसलिए प्रत्येक प्रांत तत्व से केवल एक तीर निकलता है और यह फलन है। विकल्प B गलत है क्योंकि किसी भी प्रांत तत्व के एक से अधिक या शून्य प्रतिबिंब नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: तीरों की जाँच हमेशा प्रांत के तत्वों से शुरू करें। / For a function, every element of the domain must have exactly one image in the codomain. Here, 1 maps to 4, 2 maps to 5, and 3 maps to 6, so exactly one arrow leaves each domain element; hence the relation is a function. Option B is incorrect because no domain element has either zero or more than one image. Exam tip: When checking a mapping, start by examining every element of the domain.
p से दो तीर निकल रहे हैं, इसलिए p के दो प्रतिबिंब हैं। एक इनपुट के दो प्रतिबिंब फलन में नहीं हो सकते। / Two arrows leave p, so p has two images. One input cannot have two images in a function.
फलन के ग्राफ में प्रत्येक युग्म \((x,f(x))\) के रूप में होता है। यहाँ \(f(4)=4+1=5\), इसलिए \((4,5)\) सही युग्म है। विकल्प B में फलन का मान गलत है, विकल्प C में क्रम उलट गया है, और विकल्प D में \(f(6)=7\) होना चाहिए, 8 नहीं। परीक्षा में पहले दिए गए इनपुट \(x\) को फलन में रखकर \(f(x)\) ज्ञात करें। / Every pair in the graph of a function has the form \((x,f(x))\). Here, \(f(4)=4+1=5\), so \((4,5)\) is correct. In option B, the function value is incorrect; in option C, the input and output are reversed; and for option D, \(f(6)=7\), not 8. Exam tip: substitute the first coordinate into the function and check whether it gives the second coordinate.
युग्म (3,9) में 3 का प्रतिबिंब 9 है। ऐसे प्रश्नों में द्वितीय अवयव देखकर प्रथम अवयव पहचानें। / In the pair (3,9), the image of 3 is 9. In such questions identify the first component by looking at the second component.
A. क्योंकि 3 का कोई प्रतिबिंब नहीं है/Because 3 has no image
Explanation
Simple Explanation
प्रांत A का 3 किसी भी युग्म में प्रथम अवयव नहीं है। फलन में हर प्रांत तत्व का प्रतिबिंब होना चाहिए। / The element 3 of domain A is not the first component in any pair. Every domain element must have an image in a function.
फलन \(f:A\to B\) में \(x\in A\) के अनुरूप प्राप्त मान \(f(x)\), \(x\) का प्रतिबिंब कहलाता है और यह सहप्रांत \(B\) में स्थित होता है। प्रांत \(A\) फलन के सभी इनपुटों का समुच्चय है, जबकि सहप्रांत \(B\) संभावित आउटपुटों का समुच्चय है। परीक्षा में याद रखें: input का image और image का preimage अलग-अलग होते हैं। / For the function \(f:A\to B\), the value obtained for \(x\in A\), namely \(f(x)\), is called the image of \(x\), and it belongs to the codomain \(B\). The domain \(A\) is the set of inputs, whereas the codomain \(B\) is the set of possible outputs. Exam tip: distinguish the image of an input from its preimage.
जो इनपुट किसी आउटपुट तक जाता है, वह उसका पूर्व प्रतिबिंब कहलाता है। पूर्व प्रतिबिंब प्रांत से आता है। / The input that maps to an output is called its preimage. A preimage comes from the domain.
प्रत्येक प्रांत तत्व के लिए 2 विकल्प हैं, इसलिए कुल 2
2
=4 फलन हैं। गिनती में विकल्पों को गुणा करें। / Each domain element has 2 choices, so the total number of functions is 2
2
=4. Multiply the choices in counting.
स्थिर फलन में समुच्चय A के प्रत्येक अवयव का प्रतिबिंब B में एक ही अवयव होना चाहिए। विकल्प A में 1, 2 और 3 सभी का प्रतिबिंब a है, इसलिए यह स्थिर फलन है। विकल्प B और C में अलग-अलग प्रतिबिंब आते हैं, इसलिए वे स्थिर नहीं हैं। विकल्प D फलन भी नहीं है, क्योंकि 1 के दो प्रतिबिंब हैं और 2 का कोई प्रतिबिंब नहीं है। परीक्षा-युक्ति: स्थिर फलन जाँचने के लिए सभी क्रमित युग्मों के दूसरे घटक समान देखें। / In a constant function, every element of A must have the same image in B. In option A, the images of 1, 2, and 3 are all a, so it is a constant function. Options B and C have different images, so they are not constant. Option D is not a function because 1 has two images and 2 has no image. Exam tip: To identify a constant function, check whether the second components of all ordered pairs are identical.
A. क्योंकि 2 के दो प्रतिबिंब हैं/Because 2 has two images
Explanation
Simple Explanation
2 दो अलग द्वितीय अवयवों 2 और 3 से जुड़ा है। यह फलन की अद्वितीयता शर्त तोड़ता है। / 2 is related to two different second components 2 and 3. This breaks the uniqueness condition of a function.
y=x+2 से x=2,3,4 पर 4,5,6 मिलते हैं। सेट बिल्डर रूप को युग्मों में बदलते समय नियम लगाएं। / From y=x+2, for x=2,3,4 we get 4,5,6. Apply the rule while converting set builder form into pairs.
A. दो भिन्न इनपुट का एक ही आउटपुट हो सकता है/Two different inputs can have the same output
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(f(-1)=(-1)^2=1\) और \(f(1)=1^2=1\) है। इसलिए दो अलग-अलग इनपुट का एक ही आउटपुट हो सकता है; इसे one-one न होकर many-one फलन कहा जाता है। विकल्प B गलत है, क्योंकि किसी फलन में प्रत्येक इनपुट का केवल एक निश्चित आउटपुट होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: फलन की जाँच करते समय देखें कि कोई एक इनपुट दो अलग आउटपुट न दे। / Here, \(f(-1)=(-1)^2=1\) and \(f(1)=1^2=1\). Thus, two different inputs can have the same output; such a function is many-one rather than one-one. Option B is incorrect because each input in a function must have exactly one output. Exam tip: to test whether a relation is a function, check that no single input is assigned two different outputs.
A. हर प्रथम अवयव का ठीक एक द्वितीय अवयव है या नहीं/Whether each first component has exactly one second component
Explanation
Simple Explanation
फलन की जांच में प्रथम अवयवों को देखना सबसे जरूरी है। कोई प्रथम अवयव दो अलग द्वितीय अवयवों से नहीं जुड़ना चाहिए। / Checking first components is most important while testing a function. No first component should be linked with two different second components.
A. क्योंकि इसमें प्रत्येक x∈A का B में ठीक एक प्रतिबिंब होता है/Because each x∈A has exactly one image in B
Explanation
Simple Explanation
हर फलन संबंध है, पर हर संबंध फलन नहीं होता। फलन बनने के लिए ठीक एक प्रतिबिंब की शर्त जरूरी है। / Every function is a relation, but every relation is not a function. The condition of exactly one image is necessary for a function.
दिए गए फलन में x=0 रखने पर (f(0)=4-0=4) प्राप्त होता है, इसलिए सही उत्तर 4 है। विकल्प B में फलन के मान के बजाय केवल x का मान लिया गया है। परीक्षा में (f(a)) निकालने के लिए फलन के सूत्र में x के स्थान पर a रखें। / Substituting x=0 into the function gives (f(0)=4-0=4), so the correct answer is 4. Option B is only the input value, not the function value. Exam tip: To find (f(a)), replace x by a in the given formula.
दिए गए फलन में \(x=11\) रखने पर \(f(11)=\frac{11-3}{4}=\frac{8}{4}=2\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर विकल्प C है। विकल्प B में केवल \(11-8\) जैसी गलत गणना का परिणाम आता है; अंश को पहले सही रूप से \(11-3=8\) निकालना आवश्यक है। परीक्षा-युक्ति: फलन का मान ज्ञात करने के लिए दिए गए इनपुट को सीधे \(x\) के स्थान पर प्रतिस्थापित करके सरल करें। / Substituting \(x=11\) into the function gives \(f(11)=\frac{11-3}{4}=\frac{8}{4}=2\). Therefore, option C is correct. Option B results from an incorrect simplification; the numerator must first be calculated as \(11-3=8\). Exam tip: To find the value of a function, replace \(x\) with the given input and then simplify carefully.
दिए गए फलन में x=4 रखने पर 8f(4)=42-2(4)=16-8=89 प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 8 है। 16 केवल वर्ग-पद लेने से मिलता है; घटाव करना आवश्यक है। परीक्षा में फलन का मान निकालते समय पहले दिए गए x का मान पूरे व्यंजक में प्रतिस्थापित करें। / Substituting x=4 in the function gives 8f(4)=42-2(4)=16-8=89. Therefore, the correct answer is 8. The value 16 results from considering only the square term and ignoring the subtraction. In an exam, substitute the given input throughout the entire function before simplifying.
