Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. (A) के हर तत्व का (B) में ठीक एक प्रतिबिंब हो/Each element of (A) has exactly one image in (B)
Explanation
Simple Explanation
फलन में (A) के प्रत्येक तत्व से (B) का ठीक एक तत्व जुड़ता है। परीक्षा में ठीक एक शब्द पर ध्यान दें। / In a function each element of (A) is related to exactly one element of (B). In exams focus on the phrase exactly one.
फलन में समुच्चय \(A\) के प्रत्येक अवयव की \(B\) में ठीक एक प्रतिमा होनी चाहिए। विकल्प A में 1 की प्रतिमा 3 और 2 की प्रतिमा 4 है, इसलिए यह फलन है। विकल्प B में 1 की दो प्रतिमाएँ हैं, जबकि विकल्प C में 1 की कोई प्रतिमा नहीं है और विकल्प D में 2 की दो प्रतिमाएँ हैं। परीक्षा-युक्ति: ordered pairs के पहले अवयवों में domain के प्रत्येक अवयव का ठीक एक बार आना जाँचें। / For a function, every element of \(A\) must have exactly one image in \(B\). In option A, 1 maps to 3 and 2 maps to 4, so it is a function. In option B, 1 has two images; in option C, 1 has no image; and in option D, 2 has two images. Exam tip: Check that every element of the domain appears exactly once as the first component of an ordered pair.
A. क्योंकि (1) के दो प्रतिबिंब हैं/Because (1) has two images
Explanation
Simple Explanation
एक ही प्रथम अवयव (1) दो अलग द्वितीय अवयवों से जुड़ा है। ऐसी स्थिति फलन नहीं बनाती। / The same first component (1) is related to two different second components. Such a relation is not a function.
(a), (b), और (c) में से हर एक का ठीक एक प्रतिबिंब है। दो अलग तत्वों का समान प्रतिबिंब होना फलन में मान्य है। / Each of (a), (b), and (c) has exactly one image. Two different elements may have the same image in a function.
A. प्रत्येक इनपुट का ठीक एक आउटपुट होता है/Every input has exactly one output
Explanation
Simple Explanation
फलन में डोमेन के प्रत्येक तत्व (इनपुट) के लिए सह-डोमेन में ठीक एक निश्चित तत्व (आउटपुट) होना अनिवार्य है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B और C एक-एक (injective) फलन की अतिरिक्त शर्तें हैं, हर फलन की नहीं; अलग-अलग इनपुट का एक ही आउटपुट हो सकता है। विकल्प D गलत है, क्योंकि डोमेन का कोई भी इनपुट बिना संबद्ध आउटपुट के नहीं छोड़ा जा सकता। परीक्षा-युक्ति: फलन पहचानने के लिए देखें कि प्रत्येक इनपुट से ठीक एक तीर निकल रहा हो। / For a function, every element of the domain (input) must be associated with exactly one element of the codomain (output), so statement A is always true. Statements B and C describe additional one-to-one behavior, which is not required for every function; different inputs may have the same output. Statement D is false because no input in the domain can be left without an associated output. Exam tip: To test a mapping, check that exactly one arrow starts from each input.
फलन \(f:A\to B\) में \(A\) प्रांत (domain) और \(B\) सहप्रांत (codomain) होता है। फलन के वास्तविक मानों का समुच्चय परास (range) कहलाता है और वह सहप्रांत का उपसमुच्चय हो सकता है। परीक्षा-युक्ति: तीर के बाद लिखा समुच्चय सहप्रांत होता है। / In the function \(f:A\to B\), \(A\) is the domain and \(B\) is the codomain. The set of actual output values is the range, which may be a subset of the codomain. Exam tip: the set written after the arrow is the codomain.
परिसर में केवल प्राप्त मान आते हैं इसलिए (5) और (6) हैं। दोहराए गए मान को एक बार लिखते हैं। / The range contains only the obtained values, so it is (5) and (6). A repeated value is written once.
फलन के नियम \(g(x)=2x\) में \(x=3\) रखने पर \(g(3)=2\times3=6\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 6 है। विकल्प 3 केवल इनपुट मान है, फलन का मान नहीं। परीक्षा में किसी फलन का मान ज्ञात करने के लिए दिए गए इनपुट को नियम में सीधे प्रतिस्थापित करें। / Using the rule \(g(x)=2x\), substitute \(x=3\): \(g(3)=2\times3=6\). Therefore, 6 is correct. The value 3 is the input, not the output of the function. Exam tip: to evaluate a function, replace its variable with the given input and simplify.
A. प्रत्येक प्रांत तत्व से केवल एक तीर निकले/Only one arrow leaves each domain element
Explanation
Simple Explanation
फलन में हर प्रांत तत्व से ठीक एक तीर निकलना चाहिए। सहप्रांत के हर तत्व पर तीर आना आवश्यक नहीं। / In a function exactly one arrow must leave every domain element. It is not necessary that every codomain element receives an arrow.
A के प्रत्येक तत्व का B में ठीक एक प्रतिबिंब है: 1 का a, 2 का a और 3 का b। इसलिए यह फलन है। 1 और 2 का एक ही प्रतिबिंब a होना कोई दोष नहीं है; इससे फलन एक-एक नहीं रहता, बल्कि यह बहु-एक फलन है। परीक्षा में याद रखें: फलन के लिए प्रांत के प्रत्येक तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब होना आवश्यक है। / Each element of A has exactly one image in B: 1 maps to a, 2 maps to a, and 3 maps to b. Therefore, the relation is a function. The fact that 1 and 2 have the same image does not violate the definition; it only means the function is many-one, not one-one. Exam tip: for a function, every domain element must have exactly one image.
