Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. यह फलन है और परिसर ({0,1,2,3}) है/It is a function and range is ({0,1,2,3})
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{x+4}\) प्रधान अऋण वर्गमूल देता है, इसलिए हर दिए गए (x) की एक छवि है। प्राप्त मान ({0,1,2,3}) हैं। / The expression \(\sqrt{x+4}\) gives the principal non-negative square root, so each given (x) has one image. The obtained values are ({0,1,2,3}).
A. क्योंकि (x=2) पर दो अलग मान (6) और (3) मिलते हैं/Because at (x=2), two different values (6) and (3) occur
Explanation
Simple Explanation
(x=2) दोनों भागों में आता है और मान (6) तथा (3) अलग हैं। एक ही इनपुट पर दो अलग आउटपुट फलन नहीं बनाते। / The input (x=2) belongs to both parts and gives different values (6) and (3). Two different outputs for one input do not define a function.
A. यह फलन है क्योंकि (x=2) पर दोनों नियम (3) देते हैं/It is a function because both rules give (3) at (x=2)
Explanation
Simple Explanation
(x=2) पर \(4\cdot2-5=3\) और (2+1=3) हैं, इसलिए कोई विरोध नहीं है। ओवरलैप तब मान्य है जब दोनों मान समान हों। / At (x=2), \(4\cdot2-5=3\) and (2+1=3), so there is no conflict. Overlap is valid when both values agree.
पहले (B) से (2) मान चुनने के लिए \(\binom{3}{2}=3\) विकल्प हैं और चुने गए दोनों मान आने चाहिए, इसलिए \(2^4-2=14\) नहीं बल्कि हर जोड़ी के लिए (14) होता है। कुल \(3\cdot14=42\) नहीं, सही गणना में विकल्पों से मेल नहीं है। / First choose (2) values from (B) in \(\binom{3}{2}=3\) ways, and both chosen values must occur, so each pair gives \(2^4-2=14\). The total is \(3\cdot14=42\), which is not in the options.
(x-2+2x+2=(x+1)2+1) और (f(x)=1+\frac{3}{(x+1)2+1}) है। अधिकतम \(\frac{5}{2}\) मिलता है और (1) कभी नहीं मिलता। / Here (x-2+2x+2=(x+1)2+1) and (f(x)=1+\frac{3}{(x+1)2+1}). The maximum is \(\frac{5}{2}\), and (1) is never attained.
C. फलन न तो एक-एक (one-one) है और न ही onto; इसका परिसर \([-6,\infty)\) है
Explanation
Simple Explanation
फलन एक-एक नहीं है, क्योंकि अलग-अलग इनपुट समान मान दे सकते हैं; उदाहरण के लिए \(f(0)=|-?\) नहीं, बल्कि \(f(0)=|2|-6=-4\) और \(f\left(-\frac{4}{3}\right)=|-2|-6=-4\)। साथ ही, \(|3x+2|\ge 0\) होने से \(f(x)\ge -6\), इसलिए \((-\infty,-6)\) के मान प्राप्त नहीं होते और फलन \(\mathbb{R}\) पर onto नहीं है। अतः विकल्प C सही है। विकल्प A इसलिए गलत है क्योंकि फलन एक-एक नहीं है, और विकल्प B इसलिए गलत है क्योंकि फलन onto नहीं है। परीक्षा-युक्ति: absolute value वाले फलन की एक-एकता जाँचने के लिए सममित इनपुट तथा onto जाँचने के लिए उसका परिसर निर्धारित करें। / The function is not one-one because different inputs can produce the same output. For example, \(f(0)=|2|-6=-4\) and \(f\left(-\frac{4}{3}\right)=|-2|-6=-4\). Also, since \(|3x+2|\ge 0\), we have \(f(x)\ge -6\); hence values in \((-\infty,-6)\) are never obtained, so the function is not onto \(\mathbb{R}\). Therefore, option C is correct. Option A is wrong because the function is not one-one, while option B is wrong because it is not onto. Exam tip: For an absolute-value function, test one-one behaviour using symmetric inputs and test onto behaviour by finding its range.
वर्ग पूरा करने पर \(f(x)=x^2-4x+7=(x-2)^2+3\) मिलता है। चूँकि \((x-2)^2\geq 0\), फलन का न्यूनतम मान \(3\) है, जो \(x=2\) पर प्राप्त होता है। इसलिए इसका परिसर \([3,\infty)\) है। विकल्प C में 7 को न्यूनतम मान मान लिया गया है, जबकि स्थिर पद 7 होने के बावजूद \(-4x\) पद के कारण शीर्ष का मान बदल जाता है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात फलन का परिसर ज्ञात करने के लिए पहले वर्ग पूरा करें। / Completing the square gives \(f(x)=x^2-4x+7=(x-2)^2+3\). Since \((x-2)^2\geq 0\), the function has a minimum value of \(3\), attained at \(x=2\). Therefore, its range is \([3,\infty)\). Option C incorrectly treats the constant term 7 as the minimum value, ignoring the effect of the linear term. Exam tip: Complete the square to determine the vertex and range of a quadratic function.
