Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दिए गए इनपुटों पर मान \(\frac{7}{2},5,-1,\frac{1}{2}\) मिलते हैं। सीमित प्रांत में प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन सबसे तेज है। / At the given inputs, the values are \(\frac{7}{2},5,-1,\frac{1}{2}\). For a finite domain, direct substitution is fastest.
(x=4) दूसरे भाग में आता है, इसलिए (f(4)=42-10=6) है। सीमा चिह्न देखकर सही नियम चुनें। / The input (x=4) belongs to the second part, so (f(4)=42-10=6). Choose the correct rule by reading the boundary sign.
कुल \(2^6=64\) फलन हैं और विपरीत स्थिति (f(2)=b), (f(5)=a) में \(2^4=16\) फलन हैं। अतः (64-16=48) है। / There are \(2^6=64\) total functions, and the opposite case (f(2)=b), (f(5)=a) gives \(2^4=16\) functions. Hence (64-16=48).
\(-5\le x\le2\) पर मान (7) है और बाहर मान बढ़ता है। इसलिए न्यूनतम (7) और परिसर \([7,\infty\)) है। / For \(-5\le x\le2\), the value is (7), and outside this interval the value increases. Hence the minimum is (7) and the range is \([7,\infty\)).
हर दिए गए (x) का वास्तविक सप्तममूल अद्वितीय है और (Y) में है। विषम घात का उल्टा वास्तविक संख्याओं में एकमात्र होता है। / Each given (x) has a unique real seventh root in (Y). The inverse of an odd power is unique over real numbers.
B. नहीं, क्योंकि \(f(4)=6\notin{0,1,2,3,4}\)/No, because \(f(4)=6\notin{0,1,2,3,4}\)
Explanation
Simple Explanation
(f(4)=16-12+2=6) है, जो सहप्रांत में नहीं है। सीमित प्रांत में हर मान को सहप्रांत से मिलाएं। / Here (f(4)=16-12+2=6), which is not in the codomain. For a finite domain, match every value with the codomain.
A. क्योंकि (x=2) की दो छवियां हैं/Because (x=2) has two images
Explanation
Simple Explanation
(x=2) पर (|2-2y|=2) से (y=0) और (y=2) दोनों मिलते हैं। एक इनपुट पर दो आउटपुट फलन नहीं बनाते। / At (x=2), (|2-2y|=2) gives both (y=0) and (y=2). Two outputs for one input do not define a function.
(f(x)=1+\frac{6}{x-2+3}), इसलिए अधिकतम (3) है और (1) कभी नहीं मिलता। परिसर ((1,3]) है। / Since (f(x)=1+\frac{6}{x-2+3}), the maximum is (3), and (1) is never reached. The range is ((1,3]).
पाँचों छवियाँ अलग-अलग होने का अर्थ है कि फलन एकैकी (injective) होना चाहिए। पहले अवयव की छवि के लिए 6 विकल्प, फिर क्रमशः 5, 4, 3 और 2 विकल्प बचते हैं। इसलिए कुल फलनों की संख्या \(6\times5\times4\times3\times2={}^6P_5=720\) है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में क्रम का महत्त्व होने के कारण क्रमचय का प्रयोग करें, संयोजन का नहीं। / Having distinct images for all five elements means that the function must be injective. There are 6 choices for the image of the first element, followed by 5, 4, 3 and 2 choices. Hence, the total number of functions is \(6\times5\times4\times3\times2={}^6P_5=720\). Since the assignment of images to the elements matters, use a permutation rather than a combination.
विकल्प (B) में हर इनपुट की एक छवि है, इसलिए (R) फलन है। उल्टे संबंध में (5) की दो छवियां (1) और (2) होंगी। / In option (B), every input has one image, so (R) is a function. In the inverse relation, (5) has two images (1) and (2).
