Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. क्योंकि 3 का कोई प्रतिबिंब नहीं है/Because 3 has no image
Explanation
Simple Explanation
फलन में प्रांत A के प्रत्येक तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब होना आवश्यक है। यहाँ 1 का प्रतिबिंब 2 और 2 का प्रतिबिंब 3 है, लेकिन 3 का कोई प्रतिबिंब नहीं है। इसलिए R, A से A में फलन नहीं है। विकल्प B गलत है, क्योंकि 1 का केवल एक ही प्रतिबिंब 2 है। परीक्षा-युक्ति: फलन जाँचते समय पहले प्रांत के हर तत्व की उपस्थिति देखें और फिर उसके प्रतिबिंबों की संख्या जाँचें। / For a relation to be a function, every element of the domain A must have exactly one image. Here, 1 maps to 2 and 2 maps to 3, but 3 has no image. Therefore, R is not a function from A to A. Option B is incorrect because 1 has only one image, namely 2. Exam tip: To test a function, check that every domain element appears exactly once as the first component of an ordered pair.
A. हर फलन एक संबंध है/Every function is a relation
Explanation
Simple Explanation
फलन संबंध का विशेष प्रकार है। हर संबंध फलन नहीं होता क्योंकि शर्तें अतिरिक्त हैं। / A function is a special type of relation. Every relation is not a function because extra conditions are required.
फलन के क्रमित युग्म (a,b) में a इनपुट और b उसका मान होता है। यहाँ (1,2) में 1 का संगत मान 2 है, इसलिए f(1)=2। परीक्षा-युक्ति: किसी फलन का मान ज्ञात करने के लिए दिए गए इनपुट को क्रमित युग्म के प्रथम अवयव के रूप में खोजें और उसका दूसरा अवयव लिखें। / In an ordered pair (a,b) of a function, a is the input and b is its corresponding value. Here, the pair (1,2) shows that f(1)=2. Exam tip: To find a function value, locate the given input as the first component of an ordered pair and read the second component.
क्रमित युग्म (0,1) में पहला घटक 0, फलन का आगत है और दूसरा घटक 1, उसका प्रतिचित्र है। इसलिए h(0) = 1। परीक्षा में h(a) ज्ञात करने के लिए उस क्रमित युग्म (a,b) को खोजें, जिसका पहला घटक a हो; दूसरे घटक b को उत्तर चुनें। / In the ordered pair (0,1), the first component 0 is the input and the second component 1 is its image. Therefore, h(0) = 1. Exam tip: To find h(a), locate the ordered pair (a,b) whose first component is a; the second component is the answer.
फलन में परिभाषा-समुच्चय के प्रत्येक अवयव का केवल एक ही प्रतिबिंब होना चाहिए। विकल्प A में 1 के दो अलग-अलग प्रतिबिंब 5 और 6 हैं, इसलिए यह फलन नहीं है। अन्य विकल्पों में 1 और 2, दोनों का केवल एक-एक प्रतिबिंब है। परीक्षा-युक्ति: किसी संबंध के फलन होने की जाँच करते समय पहले अवयव को दोहराकर देखें। / In a function, every element of the domain must have exactly one image. In option A, the input 1 has two different images, 5 and 6, so the relation is not a function. In the other options, both 1 and 2 have exactly one image each. Exam tip: To test a relation quickly, check whether any first coordinate is paired with more than one second coordinate.
(2) और (4) दोनों का ठीक एक प्रतिबिंब है। बाकी विकल्पों में कोई इनपुट छूटा है या दो बार आया है। / Both (2) and (4) have exactly one image. In the other options an input is missing or repeated with different images.
स्थिर फलन में प्रांत के प्रत्येक तत्व का प्रतिचित्र या फलन-मान समान होता है; अर्थात सभी तत्व सहप्रांत के एक ही निश्चित तत्व से सम्बद्ध होते हैं। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B अलग-अलग फलन-मान दर्शाता है, जो स्थिर फलन की विशेषता नहीं है। परीक्षा में याद रखें: स्थिर फलन का ग्राफ एक क्षैतिज रेखा होता है। / In a constant function, every domain element has the same image or function value; therefore, all domain elements are associated with one fixed element of the codomain. Hence, option A is correct. Option B represents different function values, which is not the defining property of a constant function. Exam tip: the graph of a constant function is a horizontal line.
हर इनपुट पर फलन का मान (7) है इसलिए यह स्थिर फलन है। स्थिर फलन में सभी प्रतिबिंब समान होते हैं। / The function value is (7) for every input, so it is a constant function. In a constant function all images are the same.
तत्समक फलन की परिभाषा के अनुसार \(I_A(x)=x\) होता है। इसलिए समुच्चय \(A\) का प्रत्येक तत्व स्वयं उसी का प्रतिबिंब होता है। विकल्प \(0\) या \(1\) केवल विशेष स्थितियों में संभव हो सकते हैं, जबकि सामान्यतः प्रतिबिंब \(x\) ही रहता है। परीक्षा में याद रखें: identity function में input और output समान होते हैं। / By definition, an identity function satisfies \(I_A(x)=x\). Thus, every element of the set \(A\) is mapped to itself. The image is not necessarily \(0\) or \(1\); it remains the input element \(x\). Exam tip: in an identity function, input and output are always the same.
तत्समक फलन में समुच्चय A का प्रत्येक तत्व स्वयं पर प्रतिचित्रित होता है, अर्थात f(x) = x। इसलिए इसके सभी क्रमित युग्म (x, x) के रूप में होंगे और सही उत्तर {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} है। विकल्प B में तत्व चक्रीय रूप से बदलते हैं, जबकि C और D में सभी तत्व स्वयं पर प्रतिचित्रित नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: तत्समक फलन पहचानने के लिए जाँचें कि प्रत्येक क्रमित युग्म में पहला और दूसरा घटक समान हैं। / In an identity function, every element of A maps to itself, so f(x) = x. Hence all ordered pairs must be of the form (x, x), giving {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}. In option B the elements map cyclically, while options C and D do not map every element to itself. Exam tip: for an identity function, check that the two entries in every ordered pair are equal.
