Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. क्रमित युग्म ((x,f(x)))/Ordered pairs ((x,f(x)))
Explanation
Simple Explanation
फलन का ग्राफ सभी ((x,f(x))) युग्मों से बनता है। इसमें पहला अवयव इनपुट और दूसरा आउटपुट होता है। / The graph of a function is made of all pairs ((x,f(x))). The first component is input and the second is output.
विकल्प A में x = 2 के साथ y = 5 और y = 6, दो अलग-अलग मान जुड़े हैं। इसलिए यह फलन की मूल शर्त—प्रत्येक इनपुट का केवल एक आउटपुट होना—पूरी नहीं करता। विकल्प B में अलग-अलग x मानों का एक ही y मान होना अनुमत है, इसलिए वह फलन है। परीक्षा-युक्ति: फलन जाँचने के लिए देखें कि कोई भी x मान दो अलग-अलग y मानों के साथ न जुड़ा हो। / In option A, the input x = 2 is associated with two different outputs, y = 5 and y = 6. Thus, it violates the defining condition of a function: every input must have exactly one output. In option B, different x-values share the same y-value, which is allowed, so it is a function. Exam tip: check whether any x-value is paired with more than one y-value.
(A) से (B) में संबंध हमेशा \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। फलन उसी संबंध का विशेष रूप है। / A relation from (A) to (B) is always a subset of \(A\times B\). A function is a special form of such a relation.
फलन में प्रांत (A) के हर तत्व के लिए एक युग्म होता है। इसलिए युग्मों की संख्या (|A|=2) है। / A function has one ordered pair for each element of the domain (A). Hence the number of pairs is (|A|=2).
फलन में प्रांत (domain) के प्रत्येक तत्व के साथ सहप्रांत (codomain) का ठीक एक तत्व संबद्ध होता है। इसलिए 4 प्रांत तत्वों के लिए 4 क्रमित युग्म होंगे। सहप्रांत में तत्वों की संख्या इस प्रश्न के उत्तर को प्रभावित नहीं करती। परीक्षा-युक्ति: किसी फलन के क्रमित युग्मों की संख्या उसके प्रांत के तत्वों की संख्या के बराबर होती है। / In a function, each element of the domain is associated with exactly one element of the codomain. Thus, 4 domain elements produce 4 ordered pairs. The number of elements in the codomain does not affect this answer. Exam tip: The number of ordered pairs in a function equals the number of elements in its domain.
हर तत्व (p) और (q) के लिए (2) विकल्प हैं इसलिए कुल \(2^2=4\) फलन हैं। गिनती में \(|B|^{|A|}\) प्रयोग करें। / Each element (p) and (q) has (2) choices, so total functions are \(2^2=4\). Use \(|B|^{|A|}\) for counting.
फलन में समुच्चय (A) के प्रत्येक तत्व की छवि समुच्चय (B) के किसी एक तत्व के रूप में चुनी जाती है। इसलिए (A) के 3 तत्वों में से प्रत्येक के लिए 2 विकल्प होंगे और कुल फलनों की संख्या \(|B|^{|A|}=2^3=8\) होगी। \(3^2\) में घातें उलटे क्रम में हैं। परीक्षा-टिप: (m) तत्वों वाले समुच्चय से (n) तत्वों वाले समुच्चय में फलनों की संख्या हमेशा \(n^m\) होती है। / For a function, the image of each element of set (A) is chosen from set (B). Thus, each of the 3 elements of (A) has 2 choices, giving \(|B|^{|A|}=2^3=8\) functions. The expression \(3^2\) reverses the base and exponent. Exam tip: The number of functions from an (m)-element set to an (n)-element set is always \(n^m\).
यदि \(|A|=m\) और \(|B|=n\), तो \(A\) से \(B\) में फलनों की संख्या \(n^m\) होती है। यहाँ \(A\) के प्रत्येक 2 तत्व के लिए \(B\) के 3 तत्वों में से कोई एक चुना जा सकता है, इसलिए कुल संख्या \(3^2=9\) है। \(2^3\) में आधार और घात की भूमिकाएँ उलट दी गई हैं। परीक्षा-युक्ति: फलनों की संख्या के लिए हमेशा \(|B|^{|A|}\) लगाएँ। / If \(|A|=m\) and \(|B|=n\), the number of functions from \(A\) to \(B\) is \(n^m\). Each of the 2 elements of \(A\) can be mapped independently to any of the 3 elements of \(B\), giving \(3^2=9\) functions. \(2^3\) is incorrect because it reverses the roles of the domain and codomain. Exam tip: use \(|B|^{|A|}\) for the number of functions from \(A\) to \(B\).
दो अलग इनपुट (1) और (2) एक ही आउटपुट (a) से जुड़ते हैं। फिर भी हर इनपुट का ठीक एक प्रतिबिंब है। / Two different inputs (1) and (2) map to the same output (a). Still each input has exactly one image.
A. एक इनपुट के दो अलग-अलग आउटपुट हो सकते हैं/One input can have two different outputs
Explanation
Simple Explanation
फलन में डोमेन के प्रत्येक इनपुट से कोडोमेन में ठीक एक आउटपुट जुड़ा होता है। इसलिए एक ही इनपुट के दो अलग-अलग आउटपुट नहीं हो सकते, अतः कथन A गलत है। इसके विपरीत, दो अलग-अलग इनपुट का एक ही आउटपुट हो सकता है; इसे many-to-one स्थिति कहते हैं। परीक्षा-युक्ति: फलन की पहचान के लिए याद रखें—हर इनपुट का केवल एक आउटपुट। / In a function, each input in the domain is associated with exactly one output in the codomain. Therefore, the same input cannot have two different outputs, so statement A is false. However, two different inputs may have the same output; this is a many-to-one situation. Exam tip: to test whether a relation is a function, check that every input has exactly one output.
