Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(C) के सभी अवयव (A) में हैं और उनकी छवियां सहप्रांत (B) में होती हैं। इसलिए \(f(C)\subseteq B\) हमेशा सत्य है। / All elements of (C) lie in (A), and their images lie in the codomain (B). Hence \(f(C)\subseteq B\) is always true.
A. क्योंकि (x=0) की दो छवियां हैं/Because (x=0) has two images
Explanation
Simple Explanation
(x=0) पर (y=3) और (y=-3) दोनों संभव हैं। वृत्तीय संबंध में एक ही (x) के लिए दो (y) आ सकते हैं। / At (x=0), both (y=3) and (y=-3) are possible. In a circular relation, one (x) may give two (y)-values.
यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{1}{x-2+ax+9}) से परिभाषित करना हो, तो पूरे \(\mathbb{R}\) पर फलन बनने के लिए (a) की कौन सी शर्त सही है?
हर कभी शून्य नहीं होना चाहिए, इसलिए विविक्तिका \(a^2-36<0\) चाहिए। अतः (|a|<6) सही है। / The denominator must never be zero, so the discriminant must satisfy \(a^2-36<0\). Hence (|a|<6) is correct.
सात अवयवों में से उन 4 अवयवों को चुनना है जिनकी छवि 1 होगी। यह \(\binom{7}{4}=35\) तरीकों से किया जा सकता है। चुने गए 4 अवयवों की छवि 1 और शेष 3 अवयवों की छवि अनिवार्य रूप से 0 होगी, इसलिए उनके लिए अलग विकल्प नहीं बचता। परीक्षा-युक्ति: जब किसी द्विआधारी फलन में ठीक \(r\) अवयवों की छवि 1 हो, तो फलनों की संख्या \(\binom{n}{r}\) होती है। / We must choose the 4 elements of the 7-element domain that will be mapped to 1. This can be done in \(\binom{7}{4}=35\) ways. The remaining 3 elements must be mapped to 0, so they introduce no additional choices. Hence the number of functions is 35. Exam tip: For a function from an \(n\)-element set to \(\{0,1\}\), if exactly \(r\) domain elements map to 1, the count is \(\binom{n}{r}\).
A. \(f^{-1}\) फलन है और \(f^{-1}=f\)/\(f^{-1}\) is a function and \(f^{-1}=f\)
Explanation
Simple Explanation
नियम (x) को (7-x) पर भेजता है और वही नियम फिर लगाने पर (x) वापस आता है। इसलिए उल्टा संबंध भी वही फलन है। / The rule sends (x) to (7-x), and applying the same rule again returns (x). Therefore the inverse relation is the same function.
A. क्योंकि (x=1) की छवियां (2) और (4) हैं/Because (x=1) has images (2) and (4)
Explanation
Simple Explanation
(x=1) के लिए (y=2) और (y=4) दोनों से योग विषम है। एक इनपुट के कई आउटपुट फलन नहीं बनाते। / For (x=1), both (y=2) and (y=4) make the sum odd. Multiple outputs for one input do not define a function.
दिए गए प्रांत पर (f(x)=x+5) है, लेकिन (x=5) हटने से मान (10) नहीं मिलता। हटे इनपुट की छवि परिसर से हट जाती है। / On the given domain (f(x)=x+5), but removing (x=5) removes the value (10). The image of the excluded input is removed from the range.
A. जब (1,2,3,4,5) प्रत्येक प्रथम घटक के रूप में ठीक एक बार आए/When each of (1,2,3,4,5) appears exactly once as a first component
Explanation
Simple Explanation
ठीक (5) युग्मों में फलन बनने के लिए (A) के हर अवयव की एक-एक छवि चाहिए। द्वितीय घटकों का दोहराव स्वीकार्य है। / With exactly (5) pairs, a function needs one image for every element of (A). Repetition of second components is allowed.
सममिति से अधिकतम (x=8) पर मिलता है और मान \(2\sqrt{8}=4\sqrt{2}\) है। वर्गमूल योग में संतुलित बिंदु जांचें। / By symmetry the maximum occurs at (x=8), and the value is \(2\sqrt{8}=4\sqrt{2}\). For sums of square roots, check the balanced point.
कुल संबंध \(2^{|A||B|}=2^{12}\) और कुल फलन \(|B|^{|A|}=3^4\) होते हैं। संबंध और फलन के सूत्र अलग हैं। / Total relations are \(2^{|A||B|}=2^{12}\), and total functions are \(|B|^{|A|}=3^4\). The formulas for relations and functions are different.
