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हर \(x\in A\) के लिए (2x) लेने पर सही युग्म मिलते हैं। नियम लागू करते समय प्रत्येक इनपुट अलग से जांचें। / For each \(x\in A\), taking (2x) gives the correct pairs. Check every input separately while applying a rule.
सभी इनपुट का प्रतिबिंब (4) है इसलिए यह स्थिर फलन है। समान आउटपुट फलन को गलत नहीं बनाता। / All inputs have image (4), so it is a constant function. Same output does not make a function wrong.
युग्म ((2,4)) से (2) का प्रतिबिंब (4) है। क्रमित युग्म में पहला अवयव इनपुट होता है। / From the pair ((2,4)), the image of (2) is (4). In an ordered pair the first component is the input.
यहां (c) के दो प्रतिबिंब (1) और (2) हैं। एक इनपुट के दो अलग आउटपुट फलन में मान्य नहीं हैं। / Here (c) has two images (1) and (2). One input with two different outputs is not allowed in a function.
फलन के ग्राफ में प्रांत के हर तत्व के लिए ठीक एक युग्म होता है। इसलिए कुल युग्म (|A|=4) होंगे। / The graph of a function has exactly one pair for each domain element. So the total number of pairs is (|A|=4).
पहले विकल्प में (3) और (6) दोनों ठीक एक बार प्रथम अवयव हैं। यही फलन की आवश्यक शर्त है। / In the first option, (3) and (6) each appear exactly once as first components. This is the necessary condition for a function.
दिए गए फलन में \(x=3\) रखने पर \(f(3)=3^2-1=9-1=8\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। विकल्प C में केवल \(3^2\) निकाला गया है और 1 घटाया नहीं गया। परीक्षा में पहले मान रखने के बाद घात निकालें, फिर जोड़ या घटाव करें। / Substituting \(x=3\) into the function gives \(f(3)=3^2-1=9-1=8\). Therefore, option A is correct. Option C is only \(3^2\) and does not subtract 1. In such questions, substitute the value first, evaluate the power, and then perform addition or subtraction.
फलन \(g(x)=\frac{x}{2}\) में \(x=8\) रखने पर \(g(8)=\frac{8}{2}=4\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प B में भाग देने के बजाय 8 को 그대로 रखा गया है, जबकि विकल्प C और D क्रमशः गलत गणना से प्राप्त होते हैं। परीक्षा-युक्ति: फलन का मान निकालने के लिए दिए गए \(x\) को नियम में सीधे प्रतिस्थापित करें। / Substituting \(x=8\) into the rule \(g(x)=\frac{x}{2}\) gives \(g(8)=\frac{8}{2}=4\). Therefore, option A is correct. Option B leaves 8 unchanged instead of dividing by 2, while options C and D result from incorrect calculations. Exam tip: To evaluate a function, substitute the given input directly into its rule.
कुल फलनों की संख्या \(|B|^{|A|}=2^3=8\) होती है। आधार सहप्रांत के तत्वों की संख्या होती है। / The number of functions is \(|B|^{|A|}=2^3=8\). The base is the number of elements in the codomain.
A से B में प्रत्येक फलन के लिए A के प्रत्येक अवयव की छवि B के 4 अवयवों में से किसी एक को चुना जा सकता है। इसलिए 2 अवयवों के लिए कुल फलनों की संख्या \(|B|^{|A|}=4^2=16\) होगी। विकल्प \(2^2\) में B के 4 विकल्पों को अनदेखा किया गया है। परीक्षा-युक्ति: A से B में फलनों की संख्या हमेशा \(|B|^{|A|}\) होती है। / For a function from A to B, each of the 2 elements of A can be mapped to any of the 4 elements of B. Hence, the total number of functions is \(|B|^{|A|}=4^2=16\). The expression \(2^2\) incorrectly ignores the 4 available choices in B. Exam tip: For functions from A to B, use \(|B|^{|A|}\), with the codomain size as the base and the domain size as the exponent.
A. हर \(x\in A\) के लिए \(f(x)\in B\) होता है/For every \(x\in A\), \(f(x)\in B\)
Explanation
Simple Explanation
\(f:A\to B\) में इनपुट (A) से और आउटपुट (B) में होता है। संकेत पढ़ना परीक्षा में बहुत जरूरी है। / In \(f:A\to B\), the input comes from (A) and the output lies in (B). Reading the notation is very important in exams.
A. क्योंकि हर \(x\in A\) का प्रतिबिंब होना चाहिए/Because every \(x\in A\) must have an image
Explanation
Simple Explanation
फलन में प्रांत का कोई तत्व छूट नहीं सकता। हर \(x\in A\) का ठीक एक प्रतिबिंब जरूरी है। / No element of the domain can be left out in a function. Every \(x\in A\) must have exactly one image.
एक ही इनपुट (p) के दो मान तभी मान्य होंगे जब वे समान हों। यहां \(5\ne7\), इसलिए सामान्यतः यह फलन नहीं है। / Two values for the same input (p) are allowed only if they are the same. Here \(5\ne7\), so generally it is not a function.
\(R=\{(1,2),(1,3)\}\) में (1) दो अलग मानों से जुड़ा है। इसलिए यह संबंध है लेकिन फलन नहीं है। / In \(R=\{(1,2),(1,3)\}\), (1) is related to two different values. So it is a relation but not a function.
तत्समक फलन प्रत्येक अवयव को उसी अवयव पर भेजता है, अर्थात् \(I_A(x)=x\)। इसलिए \(I_A(5)=5\)। विकल्प 4 समुच्चय \(A\) का अवयव तो है, लेकिन तत्समक फलन 5 को 4 में नहीं भेजता। परीक्षा-युक्ति: तत्समक फलन में इनपुट और आउटपुट सदैव समान होते हैं। / An identity function maps every element to itself, so \(I_A(x)=x\). Hence, \(I_A(5)=5\). Although 4 also belongs to the set \(A\), the identity function does not map 5 to 4. Exam tip: for an identity function, the input and output are always the same.
तत्समक फलन में प्रत्येक तत्व स्वयं से जुड़ता है। इसलिए सभी युग्म ((x,x)) रूप में हैं। / In an identity function, every element maps to itself. Therefore all pairs are of the form ((x,x)).
(B) में केवल (a) है इसलिए हर प्रांत तत्व (a) से जुड़ता है। सभी (1), (2), और (3) शामिल होने चाहिए। / Since (B) has only (a), every domain element maps to (a). All (1), (2), and (3) must be included.
नियम \(f(x)=2x+1\) में दिए गए सभी प्रथम घटक रखने पर \(f(1)=3\), \(f(2)=5\) और \(f(3)=7\) प्राप्त होते हैं। इसलिए यह दिए गए सभी क्रमित युग्मों से मेल खाता है। अन्य विकल्पों में कम-से-कम एक युग्म का मान गलत आता है। परीक्षा-युक्ति: किसी नियम की जाँच के लिए दिए गए प्रत्येक input पर उसे लागू करें, केवल एक पर नहीं। / For the rule \(f(x)=2x+1\), substituting all the given first components gives \(f(1)=3\), \(f(2)=5\), and \(f(3)=7\). Thus, it matches every ordered pair in the function. Each other option gives an incorrect value for at least one input. Exam tip: test a proposed rule with every given input, not just one.
फलन में \(1\mapsto1\), \(2\mapsto8\) और \(3\mapsto27\) दिया गया है। ये क्रमशः \(1^3, 2^3\) और \(3^3\) के बराबर हैं, इसलिए सही नियम \(f(x)=x^3\) है। उदाहरण के लिए, \(f(x)=x^2\) से \(f(2)=4\) मिलता, इसलिए वह विकल्प गलत है। परीक्षा में नियम पहचानने के लिए प्रत्येक दिए गए युग्म में \(y\) को \(x\) के घन से मिलाकर जाँच करें। / The function gives \(1\mapsto1\), \(2\mapsto8\), and \(3\mapsto27\). These outputs are respectively \(1^3, 2^3\), and \(3^3\), so the correct rule is \(f(x)=x^3\). For instance, \(f(x)=x^2\) would give \(f(2)=4\), so option B is incorrect. Exam tip: test the proposed rule with all the ordered pairs, not just one pair.
फलन में प्रांत \(A\) के प्रत्येक अवयव का सह-प्रांत \(B\) में ठीक एक प्रतिबिंब होना चाहिए। विकल्प A में 1, 2 और 3 सभी का एक-एक प्रतिबिंब है। B और D में एक अवयव के दो प्रतिबिंब हैं, जबकि C में 3 का प्रतिबिंब नहीं है। परीक्षा टिप: हर input को एक बार जाँचें। / In a function, every element of domain \(A\) must have exactly one image in codomain \(B\). In option A, 1, 2 and 3 each have one image. In B and D, one input has two images; in C, 3 has no image. Exam tip: check each input exactly once.
पहले विकल्प में (1), (2), और (3) सभी ठीक एक बार आए हैं। फलन के लिए प्रत्येक इनपुट का एक ही आउटपुट होना चाहिए। / In the first option, (1), (2), and (3) each appear exactly once. A function needs exactly one output for each input.
फलन \(f:A\to B\) में डोमेन के प्रत्येक तत्व \(a\) के लिए सह-डोमेन \(B\) का ठीक एक तत्व \(f(a)\) निर्धारित होता है। इसलिए \(f(a)\) का मान न तो शून्य हो सकता है और न ही एक से अधिक। परीक्षा-युक्ति: फलन के मानचित्र में प्रत्येक डोमेन तत्व से ठीक एक तीर निकलना चाहिए। / In a function \(f:A\to B\), every element \(a\) of the domain has exactly one corresponding element \(f(a)\) in the codomain. Thus, \(f(a)\) cannot have zero or multiple values. Exam tip: in a mapping diagram, exactly one arrow must originate from each domain element.
पहले उपसमुच्चय में (1) और (2) का एक-एक प्रतिबिंब है। बाकी में कोई इनपुट दो अलग मानों से जुड़ा है या छूट गया है। / In the first subset, (1) and (2) each have one image. In the others an input has two different values or is missing.
युग्म ((4,8)) बताता है कि (4) का प्रतिबिंब (8) है। संबंधित प्रथम अवयव वाला युग्म चुनें। / The pair ((4,8)) shows that the image of (4) is (8). Choose the pair with the related first component.
पहले विकल्प में (2) प्रथम अवयव के रूप में नहीं आया है। प्रांत का हर तत्व शामिल होना चाहिए। / In the first option, (2) does not appear as a first component. Every element of the domain must be included.
दिए गए फलन में c(x=5c) रखने पर c(f(5)=2(5)-3=10-3=7c) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 7 है। विकल्प 10 में 3 घटाना छूट गया है। परीक्षा में फलन का मान निकालते समय दिए गए c(xc) का मान सीधे सूत्र में रखें और क्रम से गणना करें। / Substituting c(x=5c) in the given function gives c(f(5)=2(5)-3=10-3=7c). Therefore, the correct answer is 7. Option 10 results from forgetting to subtract 3. In such questions, directly substitute the given input into the function rule and calculate in order.
क्रमित युग्म \((x,f(x))\) में पहला अवयव इनपुट और दूसरा अवयव उसका प्रतिबिंब होता है। यहाँ \((2,c)\) दिया है, इसलिए \(c\) का पूर्वप्रतिबिंब \(2\) है। \(1\) और \(3\) के प्रतिबिंब \(b\) हैं, जबकि \(b\) स्वयं इस संबंध में इनपुट तत्व नहीं है। परीक्षा-युक्ति: किसी दिए गए प्रतिबिंब का पूर्वप्रतिबिंब खोजने के लिए क्रमित युग्म के दूसरे अवयव से मिलान करके पहला अवयव पढ़ें। / In an ordered pair \((x,f(x))\), the first component is the input and the second component is its image. Since \((2,c)\) is given, the preimage of \(c\) is \(2\). The elements \(1\) and \(3\) have image \(b\), while \(b\) is not an input element in this relation. Exam tip: To find the preimage of a given image, match it with the second component and read the first component of that ordered pair.
A. \(f(x)\), जो \(B\) में स्थित होता है/\(f(x)\), which lies in \(B\)
Explanation
Simple Explanation
फलन \(f:A\to B\) में \(A\) के प्रत्येक अवयव \(x\) का एक निश्चित आउटपुट \(f(x)\) होता है; यही \(x\) का प्रतिबिंब कहलाता है और यह सहप्रांत \(B\) में स्थित होता है। विकल्प B इनपुट या पूर्वप्रतिबिंब को दर्शाता है, जबकि विकल्प D ग्राफ का क्रमित युग्म है, प्रतिबिंब नहीं। परीक्षा-युक्ति: इनपुट \(x\) से आउटपुट \(f(x)\) तक जाने पर प्रतिबिंब मिलता है। / For a function \(f:A\to B\), each element \(x\) of the domain \(A\) has a unique output \(f(x)\); this output is the image of \(x\) and lies in the codomain \(B\). Option B represents the input or preimage, while option D is the ordered pair used to describe a point on the graph. Exam tip: the image is obtained by applying the function to the input, giving \(f(x)\).
A. प्रांत \(A\) का अवयव/An element of the domain \(A\)
Explanation
Simple Explanation
यदि \(f(x)=y\), तो \(x\), \(y\) का पूर्वप्रतिबिंब कहलाता है। इसलिए पूर्वप्रतिबिंब हमेशा प्रांत \(A\) का अवयव होता है, जबकि \(y\) सहप्रांत \(B\) का अवयव होता है। परीक्षा में याद रखें: input प्रांत से और output सहप्रांत से संबंधित होता है। / If \(f(x)=y\), then \(x\) is called the preimage of \(y\). Thus, a preimage is always an element of the domain \(A\), whereas \(y\) is an element of the codomain \(B\). Exam tip: the input comes from the domain and the output belongs to the codomain.
A. परिसर (B) का उपसमुच्चय होता है/The range is a subset of (B)
Explanation
Simple Explanation
फलन के प्राप्त मान (B) में होते हैं, इसलिए परिसर (B) का उपसमुच्चय होता है। यह जरूरी नहीं कि पूरा (B) हो। / The obtained values of the function lie in (B), so the range is a subset of (B). It need not be the whole of (B).
रिक्त प्रांत में कोई इनपुट नहीं है, इसलिए ग्राफ में कोई युग्म नहीं होगा। फिर भी यह रिक्त फलन माना जाता है। / An empty domain has no input, so the graph has no pair. Still it is considered the empty function.
गैर-रिक्त प्रांत के तत्वों को \(\emptyset\) में कोई प्रतिबिंब नहीं मिल सकता। इसलिए कोई फलन नहीं बनेगा। / Elements of a non-empty domain cannot get any image in \(\emptyset\). Therefore no function can be formed.
समुच्चय A में केवल एक अवयव 2 है। इस अवयव की छवि B के दो अवयवों—5 या 6—में से किसी एक को चुना जा सकता है। इसलिए फलनों की संख्या \(2^1 = 2\) होगी। विकल्प 1 केवल एक संभावित फलन को दर्शाता है, जबकि यहाँ दो अलग-अलग फलन संभव हैं। परीक्षा में A से B के फलनों की संख्या ज्ञात करने के लिए सूत्र \(n(B)^{n(A)}\) याद रखें। / Set A has only one element, 2. Its image can be chosen as either 5 or 6 from set B, giving two different functions. Hence, the number of functions is \(2^1 = 2\). Option 1 counts only one possible function, whereas both choices are possible. For such questions, use the formula \(n(B)^{n(A)}\) for the number of functions from A to B.
(4) और (5) दोनों का प्रतिबिंब (1) है और हर इनपुट का केवल एक मान है। यह वैध बहु-एक फलन है। / Both (4) and (5) have image (1), and every input has only one value. This is a valid many-one function.
A. क्योंकि (a) के दो प्रतिबिंब हैं/Because (a) has two images
Explanation
Simple Explanation
एक प्रांत तत्व से दो अलग तीर निकलना फलन की शर्त तोड़ता है। हर इनपुट से ठीक एक तीर होना चाहिए। / Two different arrows from one domain element break the function condition. Exactly one arrow must leave each input.
हर इनपुट (a), (b), और (c) का ठीक एक प्रतिबिंब है। दो इनपुट का समान आउटपुट होना मान्य है। / Each input (a), (b), and (c) has exactly one image. Two inputs having the same output is allowed.
तत्समक फलन में समुच्चय का प्रत्येक तत्व स्वयं पर ही प्रतिचित्रित होता है, अर्थात \(f(x)=x\)। इसलिए यहाँ \(f\), \(A\) पर तत्समक फलन है और इसे \(I_A\) से दर्शाया जा सकता है। यह स्थिर फलन नहीं है, क्योंकि स्थिर फलन में सभी तत्वों की छवियाँ एक ही निश्चित तत्व होती हैं। परीक्षा-युक्ति: \(f(x)=x\) दिखे तो तत्समक फलन पहचानें। / In an identity function, every element of the set maps to itself, so \(f(x)=x\). Hence, \(f\) is the identity function on \(A\), also denoted by \(I_A\). It is not a constant function because a constant function maps every element to the same fixed value. Exam tip: whenever \(f(x)=x\) for every element of the domain, identify the function as an identity function.
A. ऐसा संबंध जिसमें हर \(x\in A\) का ठीक एक \(y\in B\) हो/A relation in which every \(x\in A\) has exactly one \(y\in B\)
Explanation
Simple Explanation
फलन में हर \(x\in A\) को (B) के ठीक एक तत्व से जोड़ा जाता है। यही परिभाषा की मुख्य बात है। / In a function, every \(x\in A\) is associated with exactly one element of (B). This is the key point of the definition.
A. (R) (A) से (B) में फलन है/(R) is a function from (A) to (B)
Explanation
Simple Explanation
(A) के (1), (2), और (3) का ठीक एक प्रतिबिंब (B) में है। सहप्रांत के हर तत्व का प्रयोग होना जरूरी नहीं। / The elements (1), (2), and (3) of (A) each have exactly one image in (B). It is not necessary to use every element of the codomain.
(m) का प्रतिबिंब (B) के किसी भी (3) तत्वों में से एक हो सकता है। गिनती में हर प्रांत तत्व के लिए सहप्रांत की संख्या विकल्प देती है। / The image of (m) can be any one of the (3) elements of (B). In counting, each domain element gets as many choices as the codomain size.
A. हर प्रांत तत्व ठीक एक बार इनपुट के रूप में आया है या नहीं/Whether each domain element appears exactly once as an input
Explanation
Simple Explanation
फलन के लिए हर प्रांत तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब जरूरी है। इसलिए प्रथम अवयवों की जांच सबसे उपयोगी होती है। / For a function, every domain element must have exactly one image. So checking first components is most useful.
