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क्योंकि \((n+1)!=(n+1)\cdot n!\), इसलिए \(\frac{(n+1)!}{n!}=n+1\)। अतः \(n+1=8\), जिससे \(n=7\) प्राप्त होता है। विकल्प 8 निकट का भ्रामक विकल्प है, क्योंकि वह \(n+1\) का मान है, \(n\) का नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के ऐसे अनुपात में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणनखंडों में लिखें। / Since \((n+1)!=(n+1)\cdot n!\), \(\frac{(n+1)!}{n!}=n+1\). Thus, \(n+1=8\), which gives \(n=7\). Option 8 is a close distractor because it is the value of \(n+1\), not of \(n\). Exam tip: In factorial ratios, first expand the larger factorial in terms of the smaller one.
\(\frac{9!}{7!}=9\times8=72\) और (5!=120), इसलिए मान (-48) है। घटाव में चिह्न ध्यान से रखें। / \(\frac{9!}{7!}=9\times8=72\) and (5!=120), so the value is (-48). Keep the sign carefully in subtraction.
\(n=3\) रखने पर \(\frac{(n+2)!}{n!}=\frac{5!}{3!}\) प्राप्त होता है। क्योंकि \(5!=5\times4\times3!\), इसलिए \(\frac{5!}{3!}=5\times4=20\)। विकल्प 60, \(5!\) का मान है, लेकिन प्रश्न में \(3!\) से भाग भी दिया गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में समान \(n!\) पदों को काटने के लिए बड़े फैक्टोरियल को फैलाकर लिखें। / Substituting \(n=3\) gives \(\frac{(n+2)!}{n!}=\frac{5!}{3!}\). Since \(5!=5\times4\times3!\), \(\frac{5!}{3!}=5\times4=20\). Option 60 is the value of \(5!\), but the expression must also be divided by \(3!\). Exam tip: Expand the larger factorial to cancel common \(n!\) terms in a factorial fraction.
ज्ञात है कि \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720\)। अतः \((n+1)!=6!\), इसलिए \(n+1=6\) और \(n=5\)। \(n=6\) लेने पर \((n+1)!=7!=5040\) होगा, जो 720 नहीं है। परीक्षा टिप: \(5!=120\), \(6!=720\) और \(7!=5040\) जैसे छोटे फैक्टोरियल मान याद रखें। / We know that \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720\). Hence, \((n+1)!=6!\), so \(n+1=6\) and \(n=5\). If \(n=6\), then \((n+1)!=7!=5040\), not 720. Exam tip: Memorise small factorial values such as \(5!=120\), \(6!=720\), and \(7!=5040\).
\(6!=6\times5\times4\times3!\), इसलिए \(\frac{6!}{3!}=6\times5\times4=120\)। साथ ही, \(4!=4\times3\times2\times1=24\)। अतः \(\frac{6!}{3!}+4!=120+24=144\)। विकल्प 120 केवल भागफल है; इसमें \(4!\) जोड़ना शेष है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में समान \(n!\) पदों को काटकर पहले सरल करें। / Since \(6!=6\times5\times4\times3!\), \(\frac{6!}{3!}=6\times5\times4=120\). Also, \(4!=4\times3\times2\times1=24\). Therefore, \(\frac{6!}{3!}+4!=120+24=144\). Option 120 is only the quotient and does not include \(4!\). Exam tip: In factorial fractions, cancel the common factorial part first.
\(\frac{5!}{3!}=20\) और \(\frac{5!}{4!}=5\), इसलिए योग (25) है। हर अनुपात अलग-अलग सरल करें। / \(\frac{5!}{3!}=20\) and \(\frac{5!}{4!}=5\), so the sum is (25). Simplify each ratio separately.
फैक्टोरियल के विस्तार से \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), इसलिए \(\frac{(n+2)!}{(n+1)!}=n+2\)। इसी प्रकार \(n!=n(n-1)!\), अतः \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\)। इसलिए पूरा व्यंजक \((n+2)-n=2\) है। \(n+2\) केवल पहला अनुपात है, दोनों अनुपातों का अंतर नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे वाले तक फैलाकर समान पद काटें। / Using factorial expansion, \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), so \(\frac{(n+2)!}{(n+1)!}=n+2\). Similarly, \(n!=n(n-1)!\), hence \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\). Therefore, the expression is \((n+2)-n=2\). Note that \(n+2\) is only the first ratio, not the difference of the two ratios. Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and cancel common factors.
\(\frac{8!}{5!,3!}=56\) और \(\frac{6!}{4!,2!}=15\), इसलिए कुल (71) है। दोनों पदों को अलग हल करें। / \(\frac{8!}{5!,3!}=56\) and \(\frac{6!}{4!,2!}=15\), so the total is (71). Solve both terms separately.
\(n! = n(n-1)(n-2)!\) होने से \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\) होगा। अतः \(n(n-1)=42\)। लगातार दो धनात्मक पूर्णांकों \(6\) और \(7\) का गुणनफल \(42\) है, इसलिए \(n=7\)। \(n=6\) निकटतम विकल्प है, लेकिन \(6\times5=30\), 42 नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में समान फैक्टोरियल पदों को पहले काटकर शेष क्रमागत गुणनफल लिखें। / Since \(n! = n(n-1)(n-2)!\), \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\). Hence, \(n(n-1)=42\). The consecutive positive integers \(6\) and \(7\) have product \(42\), so \(n=7\). Option \(6\) is a close distractor, but \(6\times5=30\), not 42. Exam tip: in factorial fractions, first cancel the common factorial term and write the remaining consecutive factors.
\(\frac{10!}{8!}=90\) और \(\frac{4!}{2!}=12\), इसलिए योग (102) है। समान फैक्टोरियल भाग काटें। / \(\frac{10!}{8!}=90\) and \(\frac{4!}{2!}=12\), so the sum is (102). Cancel common factorial parts.
\(7!=7\times6!\), इसलिए (\frac{7!-6!}{6!}=\frac{6!(7-1)}{6!}=6)। समान फैक्टोरियल बाहर लें। / Since \(7!=7\times6!\), (\frac{7!-6!}{6!}=\frac{6!(7-1)}{6!}=6). Take the common factorial out.
फैक्टोरियल के विस्तार से \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n!\) होता है। इसे \(n!\) से भाग देने पर \(n!\) कट जाता है और \((n+3)(n+2)(n+1)\) प्राप्त होता है। विकल्प D में केवल दो गुणक हैं, जबकि \((n+3)!\) तक पहुँचने के लिए \(n!\) के बाद तीन क्रमागत गुणक आते हैं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / Expanding the factorial gives \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n!\). On dividing by \(n!\), the factor \(n!\) cancels, leaving \((n+3)(n+2)(n+1)\). Option D has only two factors, whereas three consecutive factors occur after \(n!\) in \((n+3)!\). Exam tip: In factorial quotients, expand the larger factorial up to the smaller one and cancel common factors.
\(n!\) को काटने पर \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\) मिलता है। अतः \((n+2)(n+1)=30\)। \(n=4\) रखने पर \(6\times5=30\), इसलिए सही मान \(4\) है। \(n=-7\) से भी गुणनफल 30 बनता है, लेकिन साधारण फैक्टोरियल में \(n\) गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के प्रश्नों में पहले बड़े फैक्टोरियल को क्रमागत गुणकों में लिखकर समान फैक्टोरियल को काटें। / Cancelling \(n!\) gives \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\). Hence, \((n+2)(n+1)=30\). For \(n=4\), we get \(6\times5=30\), so the correct value is \(4\). Although \(n=-7\) also makes the product 30, ordinary factorial notation requires \(n\) to be a non-negative integer. Exam tip: Expand the larger factorial into consecutive factors first, then cancel the common factorial.
\(\frac{9!}{6!,3!}=84\) और \(\frac{7!}{5!,2!}=21\), इसलिए अंतर (63) है। दोनों संयोजन-जैसे पद अलग निकालें। / \(\frac{9!}{6!,3!}=84\) and \(\frac{7!}{5!,2!}=21\), so the difference is (63). Evaluate both combination-like terms separately.
यहाँ \(5!=120\), \(3!=6\) और \(4!=24\) है। अतः \(\frac{5!+3!}{4!}=\frac{120+6}{24}=\frac{126}{24}=\frac{21}{4}\)। इसलिए सही उत्तर \(\frac{21}{4}\) है। विकल्प 5 केवल \(\frac{5!}{4!}\) का मान है; उसमें \(3!\) को शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक फैक्टोरियल का मान निकालकर फिर जोड़ और भाग करें। / Here, \(5!=120\), \(3!=6\), and \(4!=24\). Therefore, \(\frac{5!+3!}{4!}=\frac{120+6}{24}=\frac{126}{24}=\frac{21}{4}\). Hence, \(\frac{21}{4}\) is the correct answer. Option 5 is only the value of \(\frac{5!}{4!}\); it ignores the \(3!\) term. Exam tip: evaluate each factorial first, then perform the addition and division.
(\frac{8!-7!}{4!}=\frac{7!(8-1)}{4!}=7\times7\times6\times5=1470)। समान हर होने पर अंश मिलाकर देखें। / (\frac{8!-7!}{4!}=\frac{7!(8-1)}{4!}=7\times7\times6\times5=1470). With a common denominator, combine the numerator.
क्योंकि \(11!=11\times10\times9!\) और \(2!=2\) है, इसलिए \(\frac{11!}{9!,2!}=\frac{11\times10\times9!}{9!\times2}=\frac{110}{2}=55\)। विकल्प 66, \(\binom{12}{2}\) का मान है, इसलिए यहाँ सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटें, फिर शेष गुणन करें। / Since \(11!=11\times10\times9!\) and \(2!=2\), \(\frac{11!}{9!,2!}=\frac{11\times10\times9!}{9!\times2}=\frac{110}{2}=55\). The value 66 is \(\binom{12}{2}\), so it does not apply here. Exam tip: In factorial fractions, first cancel the common factorial terms and then multiply the remaining factors.
\(12!=12\times11\times10\times9!\) लिखने पर \(\frac{12!}{9!}=\frac{12\times11\times10\times9!}{9!}=12\times11\times10\) मिलता है। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प D में 12 के स्थान पर 9 है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{r!}\) में, जब \(n>r\), तो \(n\) से \(r+1\) तक के गुणनखंड बचते हैं। / Write \(12!=12\times11\times10\times9!\). Then \(\frac{12!}{9!}=\frac{12\times11\times10\times9!}{9!}=12\times11\times10\). Hence, option B is correct. Option D wrongly includes 9 instead of 12. Exam tip: for \(\frac{n!}{r!}\), where \(n>r\), the factors from \(n\) down to \(r+1\) remain after cancellation.
\((n+1)!=(n+1)n!\) रखने पर अंश \((n+1)n!-n!=n![(n+1)-1]=nn!\) हो जाता है। अतः \(\frac{nn!}{n!}=n\), इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प \(n+1\) तब मिलता यदि दूसरे पद \(n!\) को घटाया न जाता। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणज के रूप में लिखें। / Using \((n+1)!=(n+1)n!\), the numerator becomes \((n+1)n!-n!=n![(n+1)-1]=nn!\). Hence, \(\frac{nn!}{n!}=n\), so option B is correct. The distractor \(n+1\) would result if the subtraction of \(n!\) were ignored. Exam tip: In factorial expressions, first rewrite the larger factorial as a multiple of the smaller factorial.
क्योंकि \(n!=n\times(n-1)!\), इसलिए \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\) (जहाँ \(n\geq1\))। अतः दिया गया समीकरण \(n+2=9\) होगा, जिससे \(n=7\) प्राप्त होता है। \(8\) निकटतम विकल्प हो सकता है, पर उसके लिए बायाँ पक्ष \(8+2=10\) होता है, 9 नहीं। परीक्षा टिप: लगातार फैक्टोरियल वाले भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के पदों में लिखकर पहले सरल करें। / Since \(n!=n\times(n-1)!\), we get \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\) (for \(n\geq1\)). Thus, the given equation becomes \(n+2=9\), which gives \(n=7\). Option \(8\) is a close distractor, but it makes the left-hand side \(8+2=10\), not 9. Exam tip: In a fraction involving consecutive factorials, expand the larger factorial in terms of the smaller one before simplifying.
\(\frac{6!}{2!,4!}=15\) और \(\frac{5!}{2!,3!}=10\), इसलिए कुल (25) है। छोटे पदों को अलग-अलग गिनें। / \(\frac{6!}{2!,4!}=15\) and \(\frac{5!}{2!,3!}=10\), so the total is (25). Count the smaller terms separately.
यहाँ \(\frac{7!}{3!\,4!}=\binom{7}{3}=35\) है। साथ ही, \(2!=2\), अतः दिया गया मान \(35\times2=70\) होगा। विकल्प 35 केवल भिन्न का मान है; इसमें \(2!\) से गुणा करना अभी शेष रहता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजक में पहले समान पदों को काटकर सरल करें। / Here, \(\frac{7!}{3!\,4!}=\binom{7}{3}=35\). Also, \(2!=2\), so the required value is \(35\times2=70\). Option 35 is only the value of the fraction; multiplication by \(2!\) is still required. Exam tip: In factorial expressions, cancel common factorial terms before calculating.
\(10!=10\times9!\) होने पर अंश \(10!-9!=10\times9!-9!=9!(10-1)=9\times9!\) होगा। इसलिए \(\frac{9\times9!}{8!}=9\times9=81\)। अतः सही उत्तर 81 है। विकल्प 90 तब मिलता है जब \(10!/8!\) निकालते समय \(-9!\) को अनदेखा कर दिया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के रूप में लिखकर समान पद बाहर निकालें। / Since \(10!=10\times9!\), the numerator becomes \(10!-9!=10\times9!-9!=9!(10-1)=9\times9!\). Hence, \(\frac{9\times9!}{8!}=9\times9=81\). Therefore, 81 is the correct answer. Option 90 can result from calculating \(10!/8!\) while incorrectly ignoring \(-9!\). Exam tip: In factorial expressions, rewrite the larger factorial in terms of the smaller one and factor out the common term first.
\((n+2)!=(n+2)(n+1)!\) लिखने पर अंश \((n+1)![(n+2)-1]=(n+1)(n+1)!\) बनता है। अब \((n+1)!=(n+1)n!\) रखने पर अंश \((n+1)^2n!\) हो जाता है। \(n!\) से भाग देने पर सरल रूप \((n+1)^2\) मिलता है। \(n(n+1)\) तब प्राप्त होगा जब \((n+1)!\) को गलत रूप से \(n\cdot n!\) मान लिया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले प्रश्नों में पदों को पहले एक समान छोटे फैक्टोरियल, जैसे \(n!\), के रूप में लिखें। / Using \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), the numerator becomes \((n+1)![(n+2)-1]=(n+1)(n+1)!\). Now, \((n+1)!=(n+1)n!\), so the numerator is \((n+1)^2n!\). Dividing by \(n!\) gives \((n+1)^2\). The expression \(n(n+1)\) would result from the incorrect step \((n+1)!=n\cdot n!\). Exam tip: rewrite factorial terms in terms of a common smaller factorial, such as \(n!\), before simplifying.
\((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!\) लिखने पर \((n+1)!\) कट जाता है और \((n+3)(n+2)=56\) प्राप्त होता है। 56 के क्रमागत गुणनखंड 7 और 8 हैं। अतः \(n+2=7\), इसलिए \(n=5\)। निकटतम भ्रामक विकल्प 4 के लिए गुणनफल \((4+3)(4+2)=7\times6=42\) होगा, जो 56 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके समान पदों को काटें। / Write \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!\). Cancelling \((n+1)!\) gives \((n+3)(n+2)=56\). The consecutive factors of 56 are 7 and 8, so \(n+2=7\) and hence \(n=5\). For the close distractor 4, \((4+3)(4+2)=7\times6=42\), not 56. Exam tip: In a factorial fraction, expand the larger factorial only as far as the smaller factorial, then cancel common factors.
\(\frac{5!}{4!}=5\) और (3!=6), इसलिए मान (30) है। गुणन और भाग को क्रम से सरल करें। / \(\frac{5!}{4!}=5\) and (3!=6), so the value is (30). Simplify multiplication and division step by step.
गुणधर्म \(n!=n\times(n-1)!\) से \(\frac{8!}{7!}=8\), \(\frac{7!}{6!}=7\) और \(\frac{6!}{5!}=6\) मिलता है। इसलिए व्यंजक का मान \(8+7+6=21\) है। विकल्प 20 जैसी त्रुटि पदों को सही ढंग से सरल किए बिना जोड़ने से हो सकती है। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{(n-1)!}\) को सीधे \(n\) लिखें। / Using \(n!=n\times(n-1)!\), \(\frac{8!}{7!}=8\), \(\frac{7!}{6!}=7\), and \(\frac{6!}{5!}=6\). Therefore, the expression equals \(8+7+6=21\). An answer such as 20 can arise from adding terms without simplifying each factorial ratio correctly. Exam tip: directly use \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\).
\(\frac{9!}{5!4!}=\binom{9}{4}=126\) और \(\frac{6!}{4!2!}=\binom{6}{2}=15\) है। इसलिए दिया गया व्यंजक \(126\div15=\frac{126}{15}=\frac{42}{5}\) होगा। अतः विकल्प B सही है। \(\frac{28}{5}\) प्राप्त होना प्रायः \(\binom{9}{4}\) का गलत मान लेने या भिन्न को गलत ढंग से सरल करने के कारण होता है। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{r!(n-r)!}\) को \(\binom{n}{r}\) के रूप में पहचानकर गणना जल्दी की जा सकती है। / \(\frac{9!}{5!4!}=\binom{9}{4}=126\), while \(\frac{6!}{4!2!}=\binom{6}{2}=15\). Thus, the expression equals \(126\div15=\frac{126}{15}=\frac{42}{5}\). Therefore, option B is correct. Getting \(\frac{28}{5}\) usually results from evaluating \(\binom{9}{4}\) incorrectly or simplifying the fraction incorrectly. Exam tip: recognise \(\frac{n!}{r!(n-r)!}\) as \(\binom{n}{r}\) for faster calculation.
बड़े क्रमगुणित को छोटे क्रमगुणित तक फैलाने पर \((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)!\) मिलता है। इसलिए \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) है, क्योंकि \((n+2)!\) कट जाता है। विकल्प B में \(n+3\) के स्थान पर \(n+2\) लिया गया है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: क्रमगुणितों के भाग में अंश वाले क्रमगुणित को हर वाले क्रमगुणित तक ही फैलाएँ। / Expand the larger factorial up to the smaller factorial: \((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)!\). Thus, \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\), since \((n+2)!\) cancels. Option B incorrectly has \(n+2\) instead of \(n+3\). Exam tip: In a factorial quotient, expand the numerator factorial only until the denominator factorial appears.
\(n!=n(n-1)(n-2)(n-3)!\) होने से \(\frac{n!}{(n-3)!}=n(n-1)(n-2)\) होगा। अतः \(n(n-1)(n-2)=120\)। \(n=6\) के लिए \(6\times5\times4=120\), इसलिए सही उत्तर 6 है। निकटतम विकल्प \(n=5\) पर \(5\times4\times3=60\) मिलता है, जो 120 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में समान फैक्टोरियल पदों को काटकर शेष क्रमागत गुणनखंड लिखें। / Using \(n!=n(n-1)(n-2)(n-3)!\), we get \(\frac{n!}{(n-3)!}=n(n-1)(n-2)\). Hence, \(n(n-1)(n-2)=120\). For \(n=6\), \(6\times5\times4=120\), so 6 is correct. The closest option, \(n=5\), gives \(5\times4\times3=60\), not 120. Exam tip: In a factorial fraction, cancel the common factorial term and write the remaining consecutive factors.
\(\frac{7!}{5!}=42\) और \(\frac{6!}{4!}=30\), इसलिए अंतर (12) है। छोटे अनुपात सीधे निकालें। / \(\frac{7!}{5!}=42\) and \(\frac{6!}{4!}=30\), so the difference is (12). Evaluate smaller ratios directly.
क्योंकि \(5!=5\times4!\), इसलिए \(4!+5!=4!(1+5)=6\times4!\)। अतः \(\frac{4!+5!}{3!}=\frac{6\times4!}{3!}=6\times4=24\)। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प 20 तब मिल सकता है जब \(5!\) को गलत तरीके से \(4\times4!\) मान लिया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में समान फैक्टोरियल को पहले गुणनखंड के रूप में निकालना गणना को तेज बनाता है। / Since \(5!=5\times4!\), we get \(4!+5!=4!(1+5)=6\times4!\). Hence, \(\frac{4!+5!}{3!}=\frac{6\times4!}{3!}=6\times4=24\). Therefore, option B is correct. The value 20 may result from incorrectly taking \(5!\) as \(4\times4!\). Exam tip: in factorial expressions, factor out the common factorial first to simplify the calculation quickly.
\(\frac{12!}{10!,2!}=66\) और \(\frac{5!}{3!,2!}=10\), इसलिए अंतर (56) है। बड़े और छोटे पद अलग रखें। / \(\frac{12!}{10!,2!}=66\) and \(\frac{5!}{3!,2!}=10\), so the difference is (56). Keep the larger and smaller terms separate.
क्योंकि \(n!=n(n-1)(n-2)!\), इसलिए \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\)। प्रश्न में \(n(n-1)=72\) दिया है, अतः व्यंजक का मान \(72\) है। \(144\) तब मिल सकता है जब दिए गए मान को गलती से दोगुना कर दिया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में अंश को हर के फैक्टोरियल तक ही प्रसारित करके समान पदों को काटें। / Since \(n!=n(n-1)(n-2)!\), \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\). The question gives \(n(n-1)=72\), so the value of the expression is \(72\). \(144\) could arise from incorrectly doubling the given value. Exam tip: In a factorial fraction, expand the numerator only up to the factorial in the denominator, then cancel common factors.
\(\frac{6!}{5!}=6\) और \(\frac{5!}{3!}=5\times4=20\), क्योंकि अंश और हर के समान फैक्टोरियल पद कट जाते हैं। इसलिए दिया गया व्यंजक \(6\times20=120\) है। \(100\) प्राप्त होना फैक्टोरियल पदों के गलत विस्तार या निरस्तीकरण को दर्शाता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के अनुपात में पहले समान फैक्टोरियल पद काटें, फिर बचे हुए क्रमागत पूर्णांकों का गुणन करें। / \(\frac{6!}{5!}=6\) and \(\frac{5!}{3!}=5\times4=20\), because the common factorial terms in the numerator and denominator cancel. Hence, the expression equals \(6\times20=120\). Getting \(100\) indicates incorrect expansion or cancellation of factorial terms. Exam tip: In factorial ratios, cancel the common factorial terms first, then multiply the remaining consecutive integers.
\(10! = 10\times 9\times 8\times 7!\) लिखने पर \(7!\) कट जाता है। अतः \(\frac{10!}{7!\,3!}=\frac{10\times9\times8}{3\times2\times1}=\frac{720}{6}=120\)। इसलिए सही उत्तर 120 है। 720 केवल \(10\times9\times8\) का गुणनफल है; इसे अभी \(3!\) से भाग देना बाकी है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर पहले कटौती करें। / Write \(10! = 10\times 9\times 8\times 7!\), so \(7!\) cancels out. Thus, \(\frac{10!}{7!\,3!}=\frac{10\times9\times8}{3\times2\times1}=\frac{720}{6}=120\). Therefore, 120 is correct. The value 720 is only \(10\times9\times8\); division by \(3!\) is still required. Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and cancel first.
\(\frac{7!}{6!}=7\) और \(\frac{5!}{6!}=\frac{1}{6}\), इसलिए मान \(7+\frac{1}{6}\) है। पदों को हर से अलग-अलग भाग दें। / \(\frac{7!}{6!}=7\) and \(\frac{5!}{6!}=\frac{1}{6}\), so the value is \(7+\frac{1}{6}\). Divide each term by the denominator separately.
\(8!=8\times7\times6!\), इसलिए \(a=\frac{8!}{6!}=8\times7=56\)। साथ ही, \(b=3!=3\times2\times1=6\)। अतः \(a-b=56-6=50\)। विकल्प 56 केवल \(a\) का मान है; इसमें \(b\) को घटाया नहीं गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके समान पदों को काटें। / Since \(8!=8\times7\times6!\), \(a=\frac{8!}{6!}=8\times7=56\). Also, \(b=3!=3\times2\times1=6\). Hence, \(a-b=56-6=50\). Option 56 gives only the value of \(a\); it does not subtract \(b\). Exam tip: In a factorial fraction, expand the larger factorial up to the smaller one and cancel common factors first.
\((n+2)!\) को \((n-1)!\) तक फैलाने पर \((n+2)!=(n+2)(n+1)n(n-1)!\) मिलता है। अंश और हर में उपस्थित \((n-1)!\) कट जाता है, इसलिए सरल रूप \((n+2)(n+1)n\) है। विकल्प B में \(n\) गुणक छूट गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक ही फैलाएँ और समान फैक्टोरियल पदों को काट दें। / Expanding \((n+2)!\) up to \((n-1)!\) gives \((n+2)!=(n+2)(n+1)n(n-1)!\). Cancelling \((n-1)!\) from the numerator and denominator leaves \((n+2)(n+1)n\). Option B incorrectly omits the factor \(n\). Exam tip: in factorial division, expand the larger factorial only until the smaller factorial appears, then cancel the common factorial term.
क्रमागत फैक्टोरियल के लिए \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\) होता है, क्योंकि अंश और हर के समान फैक्टोरियल पद कट जाते हैं। इसलिए \(\frac{9!}{8!}=9\), \(\frac{8!}{7!}=8\) तथा \(\frac{7!}{6!}=7\)। अतः दिया गया मान \(9+8-7=10\) है। विकल्प 11 तब मिलता, जब अंतिम पद के ऋण चिह्न को गलती से जोड़ मान लिया जाता। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्नों को पहले काटकर सरल कीजिए। / For consecutive factorials, \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\), because the common factorial terms in the numerator and denominator cancel. Hence, \(\frac{9!}{8!}=9\), \(\frac{8!}{7!}=8\), and \(\frac{7!}{6!}=7\). Therefore, the value is \(9+8-7=10\). Option 11 would result from incorrectly adding the last term instead of subtracting it. Exam tip: simplify factorial fractions by cancelling common terms first.
\((n+1)!=(n+1)n(n-1)!\) होने पर, \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\) होगा। इसलिए \(n(n+1)=20\)। क्रमागत पूर्णांक \(4\) और \(5\) का गुणनफल \(20\) है, अतः \(n=4\)। विकल्प \(5\) के लिए \(5\times6=30\) मिलेगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के अनुपात में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके समान पदों को काटें। / Using \((n+1)!=(n+1)n(n-1)!\), we obtain \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\). Thus, \(n(n+1)=20\). Since the consecutive integers \(4\) and \(5\) have product \(20\), \(n=4\). For option \(5\), the product is \(5\times6=30\), so it is incorrect. Exam tip: In a factorial ratio, expand the larger factorial up to the smaller one and cancel common terms.
\(\frac{8!}{6!}=\frac{8\times7\times6!}{6!}=8\times7=56\)। साथ ही, \(\frac{5!}{4!}=5\) और \(2!=2\)। इसलिए \(56-5+2=53\), अतः विकल्प C सही है। विकल्प 54 तब आ सकता है जब \(2!\) का मान गलत तरीके से 3 लिया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / \(\frac{8!}{6!}=\frac{8\times7\times6!}{6!}=8\times7=56\). Also, \(\frac{5!}{4!}=5\) and \(2!=2\). Hence, \(56-5+2=53\), so option C is correct. Option 54 can result from incorrectly evaluating \(2!\) as 3. Exam tip: In a factorial fraction, expand the larger factorial up to the smaller factorial and cancel common factors.
पहला पद \(\frac{7!}{4!\,3!}=\frac{7\times6\times5}{3\times2\times1}=35\) है। दूसरा पद \(\frac{7!}{6!\,1!}=7\) है। इसलिए कुल मान \(35+7=42\) होगा। \(35\) केवल पहले पद का मान है, जबकि \(49\) दोनों पदों को जोड़ने के बजाय गलत गुणन से मिल सकता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्नों में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटकर गणना करें। / The first term is \(\frac{7!}{4!\,3!}=\frac{7\times6\times5}{3\times2\times1}=35\). The second term is \(\frac{7!}{6!\,1!}=7\). Hence, the total is \(35+7=42\). \(35\) is only the value of the first term, while \(49\) may result from incorrectly multiplying the two terms instead of adding them. Exam tip: In factorial fractions, cancel common factorial factors before calculating.
\((n+3)!\) को \(n!\) तक फैलाने पर \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n!\) प्राप्त होता है। इसलिए \(n!\) कटने पर \(\frac{(n+3)!}{n!}=(n+3)(n+2)(n+1)\) बचता है, जिसमें 3 क्रमागत गुणक हैं। \(4\) गुणक \(\frac{(n+4)!}{n!}\) में होते। परीक्षा टिप: \(\frac{(n+r)!}{n!}\) में सामान्यतः \(r\) क्रमागत गुणक बचते हैं। / Expanding \((n+3)!\) up to \(n!\) gives \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n!\). After cancelling \(n!\), we get \(\frac{(n+3)!}{n!}=(n+3)(n+2)(n+1)\), which contains 3 consecutive factors. There would be 4 factors in \(\frac{(n+4)!}{n!}\). Exam tip: In \(\frac{(n+r)!}{n!}\), exactly \(r\) consecutive factors remain.
(x=72) और (y=30), इसलिए \(\frac{x}{y}=\frac{72}{30}=\frac{12}{5}\)। अनुपात को अंत में सरल करें। / (x=72) and (y=30), so \(\frac{x}{y}=\frac{72}{30}=\frac{12}{5}\). Simplify the ratio at the end.
पहला पद ((n+2)(n+1)) और दूसरा (n+1) है। समान ((n+1)) लेने पर ((n+1)(n+3)) मिलता है। / The first term is ((n+2)(n+1)) and the second is (n+1). Taking common ((n+1)) gives ((n+1)(n+3)).
\(\frac{13!}{11!}=13\times12=156\) और \(\frac{10!}{8!}=10\times9=90\), इसलिए अंतर (66) है। पहले दोनों फैक्टोरियल अनुपात अलग-अलग सरल करें। / \(\frac{13!}{11!}=13\times12=156\) and \(\frac{10!}{8!}=10\times9=90\), so the difference is (66). Simplify both factorial ratios separately first.
परिभाषा के अनुसार \(n!=n\times(n-1)!\)। अतः विकल्प A सही है। \((n+1)(n-1)!\) में \(n\) के स्थान पर \(n+1\) गुणक है। परीक्षा में फैक्टोरियल को एक पद पीछे तक फैलाकर जाँचें। / By definition, \(n!=n\times(n-1)!\), so option A is correct. In \((n+1)(n-1)!\), the required factor \(n\) is replaced by \(n+1\). Exam tip: expand a factorial by one term to verify such identities.
\(9!=9\times8!\) होने पर, \(9!-8!=9\times8!-8!=8!(9-1)=8\times8!\)। साथ ही, \(8!=8\times7!\) है। अतः \(\frac{8\times8!}{7!}=8\times8=64\)। इसलिए सही उत्तर 64 है। 72 प्राप्त करना गुणनखंडों या फैक्टोरियल के विस्तार को गलत ढंग से करने पर हो सकता है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में छोटे फैक्टोरियल को पहले सामान्य गुणनखंड के रूप में बाहर निकालें। / As \(9!=9\times8!\), we get \(9!-8!=9\times8!-8!=8!(9-1)=8\times8!\). Also, \(8!=8\times7!\). Therefore, \(\frac{8\times8!}{7!}=8\times8=64\). Hence, 64 is the correct answer. The value 72 may result from expanding or cancelling factorial terms incorrectly. Exam tip: first factor out the smaller factorial in such expressions.
\((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)!\)। इसलिए अंश और हर में उपस्थित \((n+1)!\) कट जाता है तथा \((n+4)(n+3)(n+2)\) बचता है। विकल्प C में \((n+4)\) के बजाय \((n+1)\) लिया गया है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके समान गुणनखंड काटें। / \((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)!\). Thus, \((n+1)!\) cancels from the numerator and denominator, leaving \((n+4)(n+3)(n+2)\). Option C uses \((n+1)\) in place of \((n+4)\), so it is incorrect. Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial only until the denominator factorial appears, then cancel common factors.
(n=4) रखने पर \(\frac{6!}{4!}=6\times5=30\)। पहले चर का मान रखकर फैक्टोरियल अनुपात सरल करें। / Putting (n=4), \(\frac{6!}{4!}=6\times5=30\). Substitute the variable first and simplify the factorial ratio.
\(8!=8\times7!\) लिखने पर, \(8!-7!=8\times7!-7!=7!(8-1)=7\times7!\) प्राप्त होता है। अब \(7!=7\times6!\), इसलिए \(\frac{7\times7!}{6!}=\frac{7\times7\times6!}{6!}=49\)। अतः सही उत्तर 49 है। 56 तब मिलता है जब \(7!\) को \(7\times6!\) के रूप में सही ढंग से प्रतिस्थापित नहीं किया जाता। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में पहले छोटे फैक्टोरियल को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में निकालें। / Writing \(8!=8\times7!\), we get \(8!-7!=8\times7!-7!=7!(8-1)=7\times7!\). Since \(7!=7\times6!\), \(\frac{7\times7!}{6!}=\frac{7\times7\times6!}{6!}=49\). Therefore, 49 is correct. The value 56 may result from failing to express \(7!\) correctly as \(7\times6!\). Exam tip: in factorial expressions, first factor out the smaller factorial common to the terms.
फैक्टोरियल की परिभाषा से \(n!=n(n-1)(n-2)!\)। इसलिए \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)=56\)। अब \(8\times7=56\), अतः \(n=8\) है। \(n=7\) निकट विकल्प है, लेकिन तब \(7\times6=42\) मिलेगा। फैक्टोरियल में \(n\) को धनात्मक पूर्णांक माना जाता है, इसलिए ऋणात्मक हल मान्य नहीं होता। परीक्षा टिप: ऐसे भिन्नों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाइए। / Using the factorial definition, \(n!=n(n-1)(n-2)!\). Therefore, \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)=56\). Since \(8\times7=56\), \(n=8\). The close distractor \(7\) gives \(7\times6=42\), not 56. In factorial notation, \(n\) is taken as a positive integer, so a negative algebraic root is not valid. Exam tip: Expand the larger factorial only up to the smaller factorial before cancelling.
\(6!=6\times5\times4!\) और \(5!=5\times4!\)। अतः \(\frac{6!+5!}{4!}=\frac{(6\times5\times4!)+(5\times4!)}{4!}=30+5=35\)। इसलिए सही उत्तर 35 है। 30 केवल \(6!\) वाले पद से मिलता है; \(5!\) वाला पद भी जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे समान फैक्टोरियल के गुणज के रूप में लिखकर पहले सरल करें। / Since \(6!=6\times5\times4!\) and \(5!=5\times4!\), \(\frac{6!+5!}{4!}=\frac{(6\times5\times4!)+(5\times4!)}{4!}=30+5=35\). Hence, 35 is correct. The value 30 comes from considering only the \(6!\) term; the \(5!\) term must also be included. Exam tip: Rewrite larger factorials as multiples of a common smaller factorial before simplifying.
\(\frac{9!}{6!}=504\) और \(\frac{7!}{5!}=42\), इसलिए अंतर (462) है। दोनों अनुपात अलग-अलग सरल करें। / \(\frac{9!}{6!}=504\) and \(\frac{7!}{5!}=42\), so the difference is (462). Simplify both ratios separately.
पहला पद ((n+3)(n+2)) और दूसरा ((n+2)(n+1)) है। समान ((n+2)) लेने पर (2(n+2)2) मिलता है। / The first term is ((n+3)(n+2)) and the second is ((n+2)(n+1)). Taking common ((n+2)) gives (2(n+2)2).
\((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\) होने से \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\) मिलता है। अतः \((n+2)(n+1)=42\)। क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल \(42\) देने वाली जोड़ी \(6\) और \(7\) है, इसलिए \(n+1=6\) तथा \(n=5\)। \(n=4\) लेने पर गुणनफल \(5\times6=30\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में समान \(n!\) को काटने से पहले बड़े फैक्टोरियल को विस्तार से लिखें। / Since \((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\), we get \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\). Hence, \((n+2)(n+1)=42\). The consecutive positive integers whose product is \(42\) are \(6\) and \(7\), so \(n+1=6\) and \(n=5\). If \(n=4\), the product would be \(5\times6=30\), so it is not correct. Exam tip: Before cancelling a factorial in a fraction, expand the larger factorial up to the common factorial term.
यहाँ प्रत्येक हर में अल्पविराम का अर्थ गुणन है। अतः \(\frac{12!}{10!\,2!}=\frac{12\times11}{2}=66\) और \(\frac{8!}{6!\,2!}=\frac{8\times7}{2}=28\)। इसलिए योग \(66+28=94\) है। विकल्प 90 तब मिल सकता है जब गुणनफल या जोड़ में गलती हो। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल को पहले सामान्य पदों तक काटकर सरल करें। / Here, the comma in each denominator indicates multiplication. Thus, \(\frac{12!}{10!\,2!}=\frac{12\times11}{2}=66\) and \(\frac{8!}{6!\,2!}=\frac{8\times7}{2}=28\). Therefore, the sum is \(66+28=94\). Option 90 can result from an error in multiplication or addition. Exam tip: Cancel common factorial terms first to simplify quickly.
\((n+1)!=(n+1)n!\) लिखने पर अंश \((n+1)n!-n!=n![(n+1)-1]=n\cdot n!\) हो जाता है। अब \(n!=n(n-1)!\), इसलिए \(\frac{n\cdot n!}{(n-1)!}=n\cdot n=n^2\)। अतः सही उत्तर \(n^2\) है। \(n(n+1)\) तब मिलता यदि \(n!\) घटाने की क्रिया को गलत ढंग से छोड़ दिया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के रूप में लिखें। / Using \((n+1)!=(n+1)n!\), the numerator becomes \((n+1)n!-n!=n![(n+1)-1]=n\cdot n!\). Since \(n!=n(n-1)!\), \(\frac{n\cdot n!}{(n-1)!}=n\cdot n=n^2\). Hence, the correct answer is \(n^2\). The expression \(n(n+1)\) would result from incorrectly ignoring the subtraction of \(n!\). Exam tip: In factorial expressions, first rewrite the larger factorial in terms of the smaller one.
यहाँ हर में \(4!\) और \(3!\) का गुणन अभिप्रेत है। अतः \(\frac{7!}{4!\,3!}\times3!=\frac{7!}{4!}=7\times6\times5=210\)। इसलिए सही विकल्प \(210\) है। \(140\) जैसा उत्तर \(3!\) को सही ढंग से निरस्त न करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: समान गुणनखंड ऊपर और नीचे हों, तो पहले उन्हें निरस्त करके गणना सरल बनाइए। / Here, the denominator is intended to mean the product \(4!\,3!\). Thus, \(\frac{7!}{4!\,3!}\times3!=\frac{7!}{4!}=7\times6\times5=210\). Therefore, \(210\) is the correct option. An answer such as \(140\) may result from not cancelling \(3!\) correctly. Exam tip: Cancel common factors in the numerator and denominator before expanding factorials.
\(\frac{8!}{6!}=\frac{8\times7\times6!}{6!}=8\times7=56\) और \(\frac{5!}{3!}=\frac{5\times4\times3!}{3!}=5\times4=20\)। अतः \(x+y=56+20=76\)। 72 एक निकट का विकल्प हो सकता है, लेकिन वह \(8!\) को सही प्रकार से \(6!\) से सरल न करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में समान फैक्टोरियल पदों को काटकर केवल शेष गुणनखंडों का गुणन करें। / \(\frac{8!}{6!}=\frac{8\times7\times6!}{6!}=8\times7=56\), and \(\frac{5!}{3!}=\frac{5\times4\times3!}{3!}=5\times4=20\). Hence, \(x+y=56+20=76\). 72 may seem close, but it can result from simplifying \(8!\) incorrectly against \(6!\). Exam tip: In a factorial fraction, cancel the common factorial term first and multiply only the remaining factors.
फैक्टोरियल का विस्तार करें: \((n+5)!=(n+5)(n+4)(n+3)!\)। अब अंश और हर में उपस्थित \((n+3)!\) कट जाता है, इसलिए \(\frac{(n+5)!}{(n+3)!}=(n+5)(n+4)\)। विकल्प B में \(n+4\) के स्थान पर गलत रूप से \(n+3\) लिया गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / Expand the larger factorial up to the smaller one: \((n+5)!=(n+5)(n+4)(n+3)!\). The common factor \((n+3)!\) cancels from the numerator and denominator, giving \(\frac{(n+5)!}{(n+3)!}=(n+5)(n+4)\). Option B incorrectly uses \(n+3\) in place of \(n+4\). Exam tip: In factorial division, expand the larger factorial only until the smaller factorial appears, then cancel common factors.
क्योंकि \(11!=11\times10!\), इसलिए \(11!-10!=11\times10!-10!=10!(11-1)=10\times10!\)। अब \(10!=10\times9!\), अतः \(\frac{10\times10!}{9!}=10\times10=100\)। इसलिए सही उत्तर 100 है। \(110\) तब मिलता है जब \(11!\) में से \(10!\) घटाने को सही ढंग से सरल नहीं किया जाता। परीक्षा टिप: अलग-अलग फैक्टोरियल वाले पदों में छोटे फैक्टोरियल को common लेकर पहले गुणनखंड निकालें। / Since \(11!=11\times10!\), we get \(11!-10!=11\times10!-10!=10!(11-1)=10\times10!\). Also, \(10!=10\times9!\), so \(\frac{10\times10!}{9!}=10\times10=100\). Hence, 100 is the correct answer. The value 110 can result from not simplifying the subtraction involving \(11!\) and \(10!\) correctly. Exam tip: When factorial terms are subtracted, first factor out the smaller factorial.
\(\frac{9!}{7!}=\frac{9\times8\times7!}{7!}=9\times8=72\) तथा \(\frac{6!}{5!}=6\) है। अतः दिया गया मान \(72\div6=12\) होगा। \(18\) तब मिल सकता है जब भाज्य या भाजक में गुणनखंडों को गलत ढंग से रद्द किया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्नों में समान फैक्टोरियल पदों को पहले रद्द करके शेष गुणनखंड लिखें। / \(\frac{9!}{7!}=\frac{9\times8\times7!}{7!}=9\times8=72\), and \(\frac{6!}{5!}=6\). Therefore, the given value is \(72\div6=12\). A value such as \(18\) can result from cancelling factorial factors incorrectly. Exam tip: In factorial fractions, cancel the common factorial part first and then multiply the remaining factors.
\((n+1)!=(n+1)n(n-1)!\) होने पर \((n-1)!\) कट जाता है और दिया गया व्यंजक \(n(n+1)\) बनता है। अतः \(n(n+1)=72\)। लगातार पूर्णांकों में \(8\times9=72\), इसलिए \(n=8\) है। \(n=7\) निकटतम विकल्प है, लेकिन \(7\times8=56\), 72 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे भिन्नों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर लिखें, फिर समान पदों को काटें। / Since \((n+1)!=(n+1)n(n-1)!\), the factor \((n-1)!\) cancels, so the given expression becomes \(n(n+1)\). Thus, \(n(n+1)=72\). The consecutive integers whose product is 72 are 8 and 9; hence, \(n=8\). The closest option, 7, gives \(7\times8=56\), not 72. Exam tip: expand the larger factorial up to the smaller factorial and then cancel common factors.
दिए गए व्यंजक में अल्पविराम को गुणन के अर्थ में लेते हुए, \(\frac{5!\times3!}{2!\times4!}=\frac{5!}{4!}\times\frac{3!}{2!}=5\times3=15\)। इसलिए सही उत्तर 15 है। विकल्प 20 तब आ सकता है जब भाज्य पदों का गलत निरस्तीकरण किया जाए। परीक्षा टिप: समान भाज्य पदों को \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\) नियम से तुरंत सरल करें। / Taking the commas in the given expression to indicate multiplication, \(\frac{5!\times3!}{2!\times4!}=\frac{5!}{4!}\times\frac{3!}{2!}=5\times3=15\). Therefore, the correct answer is 15. Option 20 can result from incorrect cancellation of factorial terms. Exam tip: simplify matching factorials quickly using \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\).
\(\frac{8!}{5!}=8\times7\times6=336\), क्योंकि \(5!\) कट जाता है। इसी प्रकार, \(\frac{6!}{4!}=6\times5=30\) और \(4!=24\)। अतः दिया गया मान \(336+30-24=342\) है। \(336\) चुनना गलत होगा, क्योंकि उसमें दूसरे पद और \(4!\) का प्रभाव नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्नों में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटकर शेष गुणनफल लिखें। / \(\frac{8!}{5!}=8\times7\times6=336\), since \(5!\) cancels out. Similarly, \(\frac{6!}{4!}=6\times5=30\), and \(4!=24\). Therefore, the value is \(336+30-24=342\). Choosing \(336\) would ignore the effect of the second term and \(4!\). Exam tip: In factorial fractions, cancel the common factorial first and then multiply the remaining factors.
क्योंकि \((n+5)!=(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)!\), इसलिए \((n+2)!\) कटने पर \((n+5)(n+4)(n+3)\) बचता है। अतः 3 क्रमागत गुणक बचते हैं। 4 गुणक तभी बचते जब हर में \((n+1)!\) होता। परीक्षा टिप: \(\frac{(n+r)!}{n!}\) में सामान्यतः \(r\) गुणक बचते हैं। / Since \((n+5)!=(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)!\), cancelling \((n+2)!\) leaves \((n+5)(n+4)(n+3)\). Hence, 3 consecutive factors remain. Four factors would remain if the denominator were \((n+1)!\). Exam tip: in \(\frac{(n+r)!}{n!}\), usually \(r\) factors remain after cancellation.
\((n+3)!\) में से \((n+1)!\) कटने पर \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\) मिलता है। अतः \((n+3)(n+2)=90\)। क्रमागत संख्याएँ \(9\) और \(10\) हैं, इसलिए \(n+2=9\) तथा \(n=7\)। \(n=8\) लेने पर गुणनफल \(10\times11=110\) होगा, जो सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में समान अंतिम फैक्टोरियल पदों को पहले काटें। / Cancelling \((n+1)!\) from \((n+3)!\) gives \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\). Thus, \((n+3)(n+2)=90\). The consecutive factors are \(9\) and \(10\), so \(n+2=9\) and \(n=7\). If \(n=8\), the product would be \(10\times11=110\), not \(90\). Exam tip: In factorial fractions, first cancel the common ending factorial terms.
\(\frac{13!}{11!\,2!}=\frac{13\times12}{2}=78\) और \(\frac{6!}{4!\,2!}=\frac{6\times5}{2}=15\) है। अतः आवश्यक मान \(78-15=63\) है। विकल्प 60 तब मिलता यदि गुणनखंडों को सही ढंग से सरल न किया जाए। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{(n-2)!\,2!}=\frac{n(n-1)}{2}\) का प्रयोग करके ऐसे पद जल्दी हल करें। / \(\frac{13!}{11!\,2!}=\frac{13\times12}{2}=78\), while \(\frac{6!}{4!\,2!}=\frac{6\times5}{2}=15\). Therefore, the required value is \(78-15=63\). The option 60 can result from incorrect cancellation of factorial terms. Exam tip: use \(\frac{n!}{(n-2)!\,2!}=\frac{n(n-1)}{2}\) to evaluate such terms quickly.
क्योंकि \((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\), इसलिए \(\frac{(n+2)!-n!}{n!}=(n+2)(n+1)-1\)। अतः यह \(n^2+3n+2-1=n^2+3n+1\) होगा। विकल्प \(n^2+3n\) में \(-1\) घटाने के बाद का स्थिर पद शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्न में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणनखंडों में लिखें। / Since \((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\), \(\frac{(n+2)!-n!}{n!}=(n+2)(n+1)-1\). Thus, it becomes \(n^2+3n+2-1=n^2+3n+1\). Option \(n^2+3n\) misses the constant term remaining after subtracting 1. Exam tip: In factorial fractions, first expand the larger factorial in terms of the smaller one.
\(\frac{10!}{8!}=\frac{10\times9\times8!}{8!}=90\) तथा \(\frac{7!}{6!}=\frac{7\times6!}{6!}=7\)। साथ ही, परिभाषा के अनुसार \(0!=1\)। अतः मान \(90+7+1=98\) है। \(97\) तब मिलता यदि \(0!\) को गलती से 0 मान लिया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में समान फैक्टोरियल पदों को काटकर शेष गुणनखंड लिखें। / \(\frac{10!}{8!}=\frac{10\times9\times8!}{8!}=90\) and \(\frac{7!}{6!}=\frac{7\times6!}{6!}=7\). Also, by definition, \(0!=1\). Therefore, the value is \(90+7+1=98\). One may get \(97\) by incorrectly taking \(0!\) as 0. Exam tip: In factorial fractions, expand only until the common factorial terms cancel.
फैक्टोरियल के अनुसार \(n!=n(n-1)!\), इसलिए \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\)। इसी प्रकार \((n+1)!=(n+1)n!\), अतः \(\frac{(n+1)!}{n!}=n+1\)। इसलिए पूरा व्यंजक \(n\times(n+1)=n(n+1)\) है। \(n^2\) तब मिलता जब दोनों गुणनखंड \(n\) होते। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल अनुपात में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणनखंडों में लिखकर काटें। / Using factorial notation, \(n!=n(n-1)!\), so \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\). Likewise, \((n+1)!=(n+1)n!\), so \(\frac{(n+1)!}{n!}=n+1\). Hence the full expression is \(n\times(n+1)=n(n+1)\). \(n^2\) would result only if both factors were \(n\). Exam tip: In factorial ratios, expand the larger factorial just enough to cancel the smaller one.
क्योंकि \(n!=n(n-1)(n-2)(n-3)!\), इसलिए \(\frac{n!}{(n-3)!}=n(n-1)(n-2)\) होगा। अतः \(n(n-1)(n-2)=210\)। \(7\times6\times5=210\), इसलिए \(n=7\) है। \(n=8\) लेने पर गुणनफल \(8\times7\times6=336\) होता है, जो 210 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के ऐसे भाग में हर वाले फैक्टोरियल तक पदों को काटकर लगातार गुणनफल लिखें। / Since \(n!=n(n-1)(n-2)(n-3)!\), we get \(\frac{n!}{(n-3)!}=n(n-1)(n-2)\). Thus, \(n(n-1)(n-2)=210\). As \(7\times6\times5=210\), \(n=7\). For example, if \(n=8\), the product is \(8\times7\times6=336\), not 210. Exam tip: In factorial quotients, cancel the denominator factorial and write the remaining consecutive factors.
\(9!=9\times 8!\) लिखने पर अंश \(9\times 8!+8!=8!(9+1)=10\times 8!\) हो जाता है। अतः \(\frac{10\times 8!}{7!}=10\times 8=80\), क्योंकि \(8!=8\times 7!\)। इसलिए सही उत्तर 80 है। 72 केवल \(9!\) को \(7!\) से भाग देने पर मिलता है; इसमें \(8!\) वाला पद छूट जाता है। परीक्षा टिप: समान फैक्टोरियल पद को बाहर निकालकर पहले सरल करें। / Using \(9!=9\times 8!\), the numerator becomes \(9\times 8!+8!=8!(9+1)=10\times 8!\). Therefore, \(\frac{10\times 8!}{7!}=10\times 8=80\), since \(8!=8\times 7!\). Hence, 80 is correct. The value 72 results from dividing only \(9!\) by \(7!\) and incorrectly omitting the \(8!\) term. Exam tip: factor out the common factorial before simplifying.
\(\frac{6!}{3!\,3!}=\frac{720}{6\times6}=20\) तथा \(\frac{7!}{5!\,2!}=\frac{5040}{120\times2}=21\)। अतः कुल मान \(20+21=41\) है। \(39\) जैसा विकल्प गलत सरलीकरण या जोड़ में त्रुटि से आ सकता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल पदों को काटने के बाद शेष गुणनफल को ध्यान से लिखें। / \(\frac{6!}{3!\,3!}=\frac{720}{6\times6}=20\), and \(\frac{7!}{5!\,2!}=\frac{5040}{120\times2}=21\). Therefore, the total is \(20+21=41\). An option such as \(39\) may result from an error in simplification or addition. Exam tip: Cancel factorial terms first and write the remaining products carefully.
दिए गए व्यंजक में \(n!\) वाले पद कट जाते हैं:
\(\frac{\frac{(n+4)!}{n!}}{\frac{(n+2)!}{n!}}=\frac{(n+4)!}{(n+2)!}\).
अब \((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)!\) रखने पर \((n+2)!\) कट जाता है और परिणाम \((n+4)(n+3)\) मिलता है। विकल्प C में \((n+2)!\) तक के गुणनखंड सही ढंग से नहीं काटे गए हैं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्नों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / The \(n!\) factors cancel in the given complex fraction:
\(\frac{\frac{(n+4)!}{n!}}{\frac{(n+2)!}{n!}}=\frac{(n+4)!}{(n+2)!}\).
Since \((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)!\), the factor \((n+2)!\) cancels, leaving \((n+4)(n+3)\). Option C does not result from cancelling the factorials correctly. Exam tip: expand the larger factorial only up to the smaller factorial before cancelling common factors.
A. प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक \(n\) के लिए, \(n!=n(n-1)!\)/For every positive integer \(n\), \(n!=n(n-1)!\)
Explanation
Simple Explanation
फैक्टोरियल का पुनरावर्ती गुण \(n!=n(n-1)!\) है, जहाँ \(n\) धनात्मक पूर्णांक है। \(0!=1\), इसलिए विकल्प B गलत है; फैक्टोरियल ऋणात्मक पूर्णांकों के लिए परिभाषित नहीं है। परीक्षा में इसे पदों के गुणन के रूप में याद रखें। / The recursive factorial property is \(n!=n(n-1)!\) for a positive integer \(n\). Also, \(0!=1\), so option B is false, and factorial is not defined for negative integers. Exam tip: remember factorial as a product, not a sum.
\((n+1)!\) में से \((n-2)!\) कटने पर \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n+1)n(n-1)\) प्राप्त होता है। अतः \((n+1)n(n-1)=60\)। \(n=4\) रखने पर \(5\times4\times3=60\), इसलिए सही मान \(\boxed{4}\) है। निकट विकल्प \(n=3\) पर गुणनफल \(4\times3\times2=24\) होता है, जो 60 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के ऐसे भिन्नों में ऊपर वाले फैक्टोरियल को नीचे वाले तक विस्तार करके समान पदों को काटें। / On cancelling \((n-2)!\) from \((n+1)!\), we get \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n+1)n(n-1)\). Hence, \((n+1)n(n-1)=60\). For \(n=4\), \(5\times4\times3=60\), so the correct value is \(\boxed{4}\). The nearby option \(n=3\) gives \(4\times3\times2=24\), not 60. Exam tip: In factorial fractions, expand the numerator factorial up to the denominator factorial and cancel common factors.
फैक्टोरियल में \(n!\) का अर्थ \(n\times(n-1)\times\cdots\times1\) है, इसलिए \(n!=n(n-1)!\)। विकल्प B में \(n\) से भाग दिया गया है, जो संबंध को उल्टा कर देता है। परीक्षा में फैक्टोरियल घटाने पर \(n\) गुणक अवश्य जाँचें। / Since \(n!\) means \(n\times(n-1)\times\cdots\times1\), it follows that \(n!=n(n-1)!\). Option B incorrectly divides by \(n\), reversing the relation. Exam tip: when reducing a factorial by one, check that the factor \(n\) is multiplied.
क्योंकि \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\), इसलिए अंश \((n+2)![(n+3)+1]\) होगा। \((n+2)!\) से भाग देने पर परिणाम \(n+4\) मिलता है। \(n+3\) चुनना गलत है, क्योंकि उसमें अंश के दूसरे पद \((n+2)!\) का योगदान नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणज के रूप में लिखें। / Since \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\), the numerator becomes \((n+2)![(n+3)+1]\). Dividing by \((n+2)!\) gives \(n+4\). Choosing \(n+3\) would ignore the contribution of the second term, \((n+2)!\), in the numerator. Exam tip: In factorial expressions, first rewrite the larger factorial as a multiple of the smaller one.
क्योंकि \(10!=10\times9\times8!\), इसलिए \(\frac{10!}{8!}=10\times9=90\)। अतः \(\frac{10!-8!}{8!}=\frac{10!}{8!}-\frac{8!}{8!}=90-1=89\)। \(90\) निकटतम विकल्प है, लेकिन वह \(8!\) वाले पद को घटाना भूलने पर मिलता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में समान फैक्टोरियल पदों को पहले काटकर सरल करें। / Since \(10!=10\times9\times8!\), \(\frac{10!}{8!}=10\times9=90\). Therefore, \(\frac{10!-8!}{8!}=\frac{10!}{8!}-\frac{8!}{8!}=90-1=89\). The close option \(90\) results from forgetting to subtract the \(8!\) term. Exam tip: In factorial fractions, cancel common factorial terms first.
\(4!=24\) और \(3!=6\) होता है। साथ ही, \(\frac{6!}{5!}=\frac{6\times5!}{5!}=6\)। अतः दिया गया व्यंजक \(24\times6-6=144-6=138\) है। विकल्प D में 144 प्राप्त होता है, यदि अंत में \(3!\) को घटाना भूल जाएँ। परीक्षा टिप: क्रमागत फैक्टोरियल के भाग में बड़े फैक्टोरियल को पहले छोटे फैक्टोरियल के गुणनखंड के रूप में लिखकर काटें। / \(4!=24\) and \(3!=6\). Also, \(\frac{6!}{5!}=\frac{6\times5!}{5!}=6\). Therefore, the expression becomes \(24\times6-6=144-6=138\). Option D, 144, results if \(3!\) is not subtracted at the end. Exam tip: For a quotient of consecutive factorials, write the larger factorial in terms of the smaller one and cancel common factors.
\(\frac{11!}{8!\,3!}=\frac{11\times10\times9}{3\times2\times1}=165\) तथा \(\frac{9!}{7!\,2!}=\frac{9\times8}{2\times1}=36\)। अतः आवश्यक मान \(165-36=129\) है। \(126\) जैसा विकल्प केवल पहला पद गलत सरल करने पर मिल सकता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल को पहले समान पदों तक काटें, फिर शेष गुणन करें। / \(\frac{11!}{8!\,3!}=\frac{11\times10\times9}{3\times2\times1}=165\), and \(\frac{9!}{7!\,2!}=\frac{9\times8}{2\times1}=36\). Therefore, the required value is \(165-36=129\). A value such as \(126\) can result from simplifying the first term incorrectly. Exam tip: cancel common factorial parts first, then multiply the remaining factors.
क्रमगुणित के विस्तार से \((n+5)!=(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)!\) होता है। अतः \((n+2)!\) कटने पर \(\frac{(n+5)!}{(n+2)!}=(n+5)(n+4)(n+3)\) प्राप्त होता है। विकल्प A में \((n+3)\) गुणक छूट गया है। परीक्षा टिप: बड़े क्रमगुणित को हर में दिए गए क्रमगुणित तक फैलाइए, फिर समान क्रमगुणित को काट दीजिए। / Expanding the numerator gives \((n+5)!=(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)!\). Cancelling \((n+2)!\) therefore leaves \((n+5)(n+4)(n+3)\). Option A misses the factor \((n+3)\). Exam tip: Expand the larger factorial only up to the factorial in the denominator, then cancel the common factor.
\((n+4)!\) और \((n+2)!\) में सामान्य गुणनखंड कटने पर \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) मिलता है। अतः \((n+4)(n+3)=132\)। 132 के क्रमागत गुणनखंड \(11\) और \(12\) हैं, इसलिए \(n+3=11\) तथा \(n=8\)। \(n=7\) लेने पर गुणनफल \(11\times10=110\) आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके समान पदों को काटें। / Cancelling the common factorial terms gives \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\). Hence, \((n+4)(n+3)=132\). The consecutive factors of 132 are \(11\) and \(12\), so \(n+3=11\) and therefore \(n=8\). If \(n=7\), the product is \(11\times10=110\), so it is not correct. Exam tip: In a factorial fraction, expand only up to the smaller factorial and cancel common terms.
\(\frac{7!}{5!}=7\times6=42\), क्योंकि \(5!\) कट जाता है। साथ ही, \(\frac{5!}{2!\,3!}=\frac{120}{2\times6}=10\) और \(1!=1\)। अतः कुल मान \(42+10+1=53\) है। \(52\) तब मिल सकता है जब \(1!\) को गलती से 0 मान लिया जाए, जबकि \(1!=1\) होता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्नों में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटकर गणना सरल करें। / \(\frac{7!}{5!}=7\times6=42\), since \(5!\) cancels out. Also, \(\frac{5!}{2!\,3!}=\frac{120}{2\times6}=10\), and \(1!=1\). Therefore, the total is \(42+10+1=53\). One may get \(52\) by incorrectly taking \(1!\) as 0, but \(1!=1\). Exam tip: simplify factorial fractions by cancelling common factorial terms before calculating.
क्योंकि \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), इसलिए \(\frac{(n+2)!}{(n+1)!}=n+2\)। इसी प्रकार \((n+1)!=(n+1)n!\), अतः \(\frac{(n+1)!}{n!}=n+1\)। इसलिए पूरा व्यंजक \((n+2)(n+1)\) है। विकल्प \(n+2\) केवल पहले अनुपात को दर्शाता है और दूसरे गुणनखंड \(n+1\) को छोड़ देता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के अनुपात में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके समान पदों को काटें। / Since \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), \(\frac{(n+2)!}{(n+1)!}=n+2\). Similarly, \((n+1)!=(n+1)n!\), so \(\frac{(n+1)!}{n!}=n+1\). Therefore, the complete expression is \((n+2)(n+1)\). The option \(n+2\) represents only the first ratio and misses the factor \(n+1\). Exam tip: In factorial ratios, expand the larger factorial up to the smaller one and cancel common factors.
दिए गए व्यंजक में factorial पदों का गुणन लिया गया है: \(\frac{8!\times3!}{6!\times2!}\)। अब \(\frac{8!}{6!}=8\times7=56\) तथा \(\frac{3!}{2!}=3\) होगा। अतः मान \(56\times3=168\) है। विकल्प 196 तब मिलता यदि factorial को सही प्रकार से सरल न किया जाए। परीक्षा टिप: समान factorial वाले अंश और हर में छोटे पदों तक काटकर पहले सरल करें। / The factorial terms in the given expression are multiplied: \(\frac{8!\times3!}{6!\times2!}\). Now, \(\frac{8!}{6!}=8\times7=56\) and \(\frac{3!}{2!}=3\). Hence, the value is \(56\times3=168\). A value such as 196 results from not simplifying the factorials correctly. Exam tip: Cancel common factorial parts first and then multiply the remaining factors.
क्योंकि \(9!=9\times8\times7!\), इसलिए \(\frac{9!}{7!}=9\times8=72\)। अतः \(\frac{9!-7!}{7!}=\frac{9!}{7!}-\frac{7!}{7!}=72-1=71\)। विकल्प 72 केवल \(\frac{9!}{7!}\) का मान है; उसमें \(\frac{7!}{7!}=1\) घटाना शेष है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्नों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पद काटें। / Since \(9!=9\times8\times7!\), \(\frac{9!}{7!}=9\times8=72\). Therefore, \(\frac{9!-7!}{7!}=\frac{9!}{7!}-\frac{7!}{7!}=72-1=71\). Option 72 is only the value of \(\frac{9!}{7!}\); subtracting \(\frac{7!}{7!}=1\) is still required. Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial up to the smaller factorial before cancelling common factors.
क्योंकि \(n!=n(n-1)!\), इसलिए अंश \(n(n-1)!+(n-1)!=(n-1)!(n+1)\) होगा। अब \((n-1)!\) से भाग देने पर \(n+1\) प्राप्त होता है। \(n\) विकल्प तब मिलता है जब दूसरे पद \((n-1)!\) को छोड़ दिया जाए। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में सभी पदों में सामान्य \((n-1)!\) पहले बाहर निकालें। / Using \(n!=n(n-1)!\), the numerator becomes \(n(n-1)!+(n-1)!=(n-1)!(n+1)\). Dividing by \((n-1)!\) gives \(n+1\). Option \(n\) would result from incorrectly ignoring the second term \((n-1)!\). Exam tip: first factor out the common \((n-1)!\) in factorial expressions.
(n=5) पर पहला पद \(\frac{8!}{6!}=56\) और दूसरा \(\frac{6!}{5!}=6\) है। अंतर (50) है। / For (n=5), the first term is \(\frac{8!}{6!}=56\) and the second is \(\frac{6!}{5!}=6\). The difference is (50).
\(\frac{6!}{2!\,4!}=\frac{6\times5}{2\times1}=15\) और \(\frac{4!}{3!}=4\) है। अतः दिया गया व्यंजक \(15\times4=60\) होगा। \(4!\) को दोनों भिन्नों में देखकर बिना नियम के काटना गलत है, क्योंकि वह एक भिन्न के हर और दूसरी भिन्न के अंश में है; पूरे गुणन को लिखकर ही सरलीकरण करें। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल में समान पदों को काटने से पहले अंश और हर को स्पष्ट रूप से एक ही भिन्न में लिखें। / \(\frac{6!}{2!\,4!}=\frac{6\times5}{2\times1}=15\), and \(\frac{4!}{3!}=4\). Therefore, the given expression is \(15\times4=60\). Do not cancel \(4!\) casually just because it appears in both fractions; first combine the product into a single numerator and denominator. Exam tip: While simplifying factorials, write the full product clearly before cancelling common factors.
\(\frac{14!}{12!}=14\times13=182\) और \(\frac{13!}{11!}=13\times12=156\)। अंतर (26) है। / \(\frac{14!}{12!}=14\times13=182\) and \(\frac{13!}{11!}=13\times12=156\). The difference is (26).
\((n+2)!=(n+2)(n+1)!\) लिखने पर अंश \((n+1)!\big[(n+2)-1\big]=(n+1)!(n+1)\) हो जाता है। अब \((n+1)!=(n+1)n!\) होने से दिया गया व्यंजक \((n+1)^2\) के बराबर है। इसलिए \((n+1)^2=36\), अतः \(n+1=6\) और \(n=5\)। \(n=-7\) स्वीकार्य नहीं है, क्योंकि ऋणात्मक पूर्णांक का फैक्टोरियल परिभाषित नहीं होता। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले प्रश्नों में सभी पदों को सबसे छोटे फैक्टोरियल के रूप में लिखकर सरल करें। / Write \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\). The numerator becomes \((n+1)!\big[(n+2)-1\big]=(n+1)!(n+1)\). Since \((n+1)!=(n+1)n!\), the given expression simplifies to \((n+1)^2\). Thus, \((n+1)^2=36\), giving \(n+1=6\) and \(n=5\). The other algebraic value, \(n=-7\), is not valid because factorials of negative integers are undefined. Exam tip: Express factorial terms in terms of the smallest factorial before cancelling.
जटिल भिन्न में दोनों आंतरिक भिन्नों के हर में \(n!\) है, इसलिए \(n!\) कट जाता है: \(\frac{\frac{(n+3)!}{n!}}{\frac{(n+2)!}{n!}}=\frac{(n+3)!}{(n+2)!}\)। अब \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\), अतः \(\frac{(n+3)!}{(n+2)!}=n+3\)। इसलिए सही उत्तर \(n+3\) है। \(\frac{n+3}{n+2}\) प्राप्त करना \((n+2)!\) को केवल \(n+2\) मानने की गलती है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणनखंड के रूप में लिखकर काटें। / The \(n!\) in the denominators of the two inner fractions cancels, giving \(\frac{(n+3)!}{(n+2)!}\). Since \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\), this becomes \(n+3\). Therefore, the correct answer is \(n+3\). The expression \(\frac{n+3}{n+2}\) results from the incorrect assumption that \((n+2)!\) equals \(n+2\). Exam tip: In factorial division, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and then cancel.
\(\frac{10!}{6!\,4!}=\binom{10}{4}=210\) तथा \(\frac{10!}{7!\,3!}=\binom{10}{3}=120\) है। अतः योग \(210+120=330\) होगा। इसलिए सही विकल्प D है। परीक्षा टिप: ऐसे व्यंजकों को \(\binom{n}{r}\) के रूप में पहचानने से गणना तेज होती है। / \(\frac{10!}{6!\,4!}=\binom{10}{4}=210\) and \(\frac{10!}{7!\,3!}=\binom{10}{3}=120\). Therefore, their sum is \(210+120=330\), so option D is correct. Exam tip: Recognising expressions of the form \(\frac{n!}{r!(n-r)!}\) as combinations makes calculation quicker.
\(\frac{15!}{12!}=15\times14\times13=2730\) और \(\frac{12!}{12!}=1\)। इसलिए मान (2730-1=2729) है। / \(\frac{15!}{12!}=15\times14\times13=2730\) and \(\frac{12!}{12!}=1\). Therefore the value is (2730-1=2729).
\((n+4)!\) और \((n+1)!\) में \((n+1)!\) कटने पर \(\frac{(n+4)!}{(n+1)!}=(n+4)(n+3)(n+2)\) मिलता है। अतः \((n+4)(n+3)(n+2)=504\)। लगातार तीन संख्याओं \(7,8,9\) का गुणनफल \(504\) है, इसलिए \(n+2=7\) और \(n=5\)। \(n=4\) रखने पर गुणनफल \(6\times7\times8=336\) आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / Cancelling \((n+1)!\) after expanding \((n+4)!\) gives \(\frac{(n+4)!}{(n+1)!}=(n+4)(n+3)(n+2)\). Hence, \((n+4)(n+3)(n+2)=504\). Since \(7\times8\times9=504\), we get \(n+2=7\), so \(n=5\). For example, \(n=4\) gives \(6\times7\times8=336\), not \(504\). Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and cancel common terms.
\(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) तथा \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\)। अतः व्यंजक \((n+3)[(n+4)-(n+2)] = 2(n+3)\) होगा। \(2n+4\) गलत है, क्योंकि सही गुणनखंड \(2(n+3)=2n+6\) है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में समान फैक्टोरियल पदों को काटकर शेष क्रमागत गुणनखंड लिखें। / \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) and \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\). Therefore, the expression becomes \((n+3)[(n+4)-(n+2)] = 2(n+3)\). \(2n+4\) is incorrect because \(2(n+3)=2n+6\). Exam tip: In factorial quotients, cancel the common factorial part and write the remaining consecutive factors.
भिन्न का सरल रूप (n+1) है, इसलिए (n+1=9) से (n=8)। पहले सामान्य फैक्टोरियल निकालें। / The simplified form of the fraction is (n+1), so (n+1=9) gives (n=8). First take the common factorial.
(\frac{(m+2)!}{m!}=(m+2)(m+1)), इसलिए \(10\cdot9=90\) से (m=8)। लगातार संख्याओं का गुणनफल पहचानें। / (\frac{(m+2)!}{m!}=(m+2)(m+1)), so \(10\cdot9=90\) gives (m=8). Identify the product of consecutive numbers.
फैक्टोरियल की परिभाषा से \(8!=8\cdot7\cdot6\cdot5\cdots1\) तथा \(6!=6\cdot5\cdots1\) है। इसलिए \(8!=8\cdot7\cdot6!\), अतः विकल्प A सही है। \(8\cdot6!\) में गुणनखंड \(7\) छूट जाता है। परीक्षा टिप: \(n!\) को \((n-r)!\) के रूप में लिखते समय बीच के सभी गुणनखंडों को शामिल करें। / By the definition of factorial, \(8!=8\cdot7\cdot6\cdot5\cdots1\), while \(6!=6\cdot5\cdots1\). Hence, \(8!=8\cdot7\cdot6!\), so option A is correct. In \(8\cdot6!\), the factor \(7\) is missing. Exam tip: When expressing \(n!\) in terms of \((n-r)!\), include every intervening factor.
\(\frac{14!}{12!\cdot2!}=\frac{14\cdot13}{2}=91\) होता है। बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक ही फैलाएं। / \(\frac{14!}{12!\cdot2!}=\frac{14\cdot13}{2}=91\). Expand the larger factorial only up to the smaller factorial.
\(\frac{8!}{4!\cdot2!\cdot2!}=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4}=420\) होता है। पहले (4!) काटकर छोटे पदों में गणना करें। / \(\frac{8!}{4!\cdot2!\cdot2!}=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4}=420\). Cancel (4!) first and calculate with smaller factors.
\(72=2^3\cdot3^2\) है और (6!) में ये गुणनखंड मिल जाते हैं। ऐसे प्रश्नों में संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करें। / \(72=2^3\cdot3^2\), and (6!) contains these factors. In such questions, use prime factorization of the number.
क्योंकि \(10!=10\cdot9\cdot8!\), इसलिए \(\frac{10!}{8!\cdot2!}=\frac{10\cdot9\cdot8!}{8!\cdot2}=\frac{90}{2}=45\)। अतः सही उत्तर 45 है। 90 निकटतम भ्रामक विकल्प है, लेकिन उसमें \(2!\) से भाग देना छूट जाता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / Since \(10!=10\cdot9\cdot8!\), \(\frac{10!}{8!\cdot2!}=\frac{10\cdot9\cdot8!}{8!\cdot2}=\frac{90}{2}=45\). Hence, 45 is correct. The close distractor 90 results from forgetting to divide by \(2!\). Exam tip: expand the larger factorial only up to the smaller factorial, then cancel common factors.
\(\frac{15!}{13!}=15\cdot14=210\) और (5!=120), इसलिए अंतर (90) है। पहले फैक्टोरियल अनुपात को सरल करें। / \(\frac{15!}{13!}=15\cdot14=210\) and (5!=120), so the difference is (90). Simplify the factorial ratio first.
क्योंकि \((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\), इसलिए \(\frac{(n+2)!}{n!}=\frac{(n+2)(n+1)n!}{n!}=(n+2)(n+1)\)। अतः विकल्प C सही है। \(n+2\) केवल एक गुणनखंड है; इसमें \((n+1)\) गुणनखंड छूट जाता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के अनुपात में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर लिखें, फिर समान पदों को काटें। / Since \((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\), we get \(\frac{(n+2)!}{n!}=\frac{(n+2)(n+1)n!}{n!}=(n+2)(n+1)\). Therefore, option C is correct. \(n+2\) is only one factor and misses the factor \((n+1)\). Exam tip: In a factorial ratio, expand the larger factorial up to the smaller one and then cancel common factors.
\(11!\) में से \(8!\) कट जाता है: \(\frac{11!}{8!\cdot3!}=\frac{11\cdot10\cdot9}{3\cdot2\cdot1}=\frac{990}{6}=165\)। इसलिए सही विकल्प 165 है। \(180\) जैसा उत्तर प्रायः \(3!\) से सही भाग न देने पर आता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / Cancel \(8!\) from \(11!\): \(\frac{11!}{8!\cdot3!}=\frac{11\cdot10\cdot9}{3\cdot2\cdot1}=\frac{990}{6}=165\). Hence, 165 is the correct option. An answer such as 180 can result from not dividing correctly by \(3!\). Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial only up to the smaller factorial, then cancel common factors.
(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=n(n+1)), इसलिए (n(n+1)=30) से (n=5)। ऐसे प्रश्नों में पहले फैक्टोरियल घटाएं। / (\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=n(n+1)), so (n(n+1)=30) gives (n=5). Reduce factorials first in such questions.
\(\frac{11!}{9!}=110\) और \(\frac{8!}{6!}=56\), इसलिए अंतर (54) नहीं बल्कि (110-56=54) है। गणना के बाद घटाव सावधानी से करें। / \(\frac{11!}{9!}=110\) and \(\frac{8!}{6!}=56\), so the difference is (110-56=54). Do the subtraction carefully after simplification.
ऊपर \(7!+6!=8\cdot6!\) और नीचे \(6!+5!=7\cdot5!\) है, इसलिए मान \(8\cdot6!/7\cdot5!=48/7\) नहीं है। सीधे मान रखने पर सही गणना करें। / The numerator is \(7!+6!=8\cdot6!\) and the denominator is \(6!+5!=7\cdot5!\), so careful direct calculation is needed. Substitute values to avoid mistakes.
क्योंकि \(18!=18\cdot17\cdot16!\), इसलिए \(\frac{18!}{16!\cdot2}=\frac{18\cdot17\cdot16!}{16!\cdot2}=\frac{18\cdot17}{2}=9\cdot17=153\)। अतः सही उत्तर 153 है। 144 केवल \(18\times 16/2\) करने पर आएगा, जिसमें 17 का गुणनखंड छूट जाता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / Since \(18!=18\cdot17\cdot16!\), \(\frac{18!}{16!\cdot2}=\frac{18\cdot17\cdot16!}{16!\cdot2}=\frac{18\cdot17}{2}=9\cdot17=153\). Therefore, the correct answer is 153. The value 144 would result from using \(18\times16/2\), which incorrectly omits the factor 17. Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial up to the smaller factorial and cancel common factors.
\(\frac{7!}{5!}=42\) और (3!=6), इसलिए कुल (48) है। मिश्रित प्रश्नों में हर भाग अलग निकालें। / \(\frac{7!}{5!}=42\) and (3!=6), so the total is (48). In mixed questions, evaluate each part separately.
(\frac{(n+4)!}{(n+1)!}=(n+4)(n+3)(n+2)), इसलिए तीन गुणनखंड बचते हैं। हर के फैक्टोरियल तक अंश को घटाएं। / (\frac{(n+4)!}{(n+1)!}=(n+4)(n+3)(n+2)), so three factors remain. Reduce the numerator up to the denominator factorial.
\(6!=720\) तथा \(3!=6\) होता है। इसलिए \(\frac{6!}{3!\cdot3!}=\frac{720}{6\cdot6}=\frac{720}{36}=20\)। विकल्प 15 तब मिलता है जब संयोजन के सूत्र में गलत पदों का प्रयोग किया जाए। परीक्षा टिप: पहले फैक्टोरियल के मान लिखें, फिर हर के गुणनफल से भाग दें। / \(6!=720\) and \(3!=6\). Therefore, \(\frac{6!}{3!\cdot3!}=\frac{720}{6\cdot6}=\frac{720}{36}=20\). The value 15 can result from using incorrect terms in a combination formula. Exam tip: evaluate the factorials first, then divide by the product in the denominator.
\(3!=6\), \(2!=2\) और \(1!=1\)। अतः अंश \(6+2+1=9\) है। साथ ही \(0!=1\), इसलिए \(\frac{9}{1}=9\)। विकल्प 8 तब मिल सकता है जब \(1!\) को गलती से 0 मान लिया जाए। परीक्षा टिप: \(0!=1\) और \(1!=1\) दोनों को हमेशा याद रखें। / \(3!=6\), \(2!=2\), and \(1!=1\). Therefore, the numerator is \(6+2+1=9\). Also, \(0!=1\), so \(\frac{9}{1}=9\). Option 8 may result from incorrectly taking \(1!\) as 0. Exam tip: Always remember that both \(0!\) and \(1!\) are equal to 1.
\(\frac{12!}{10!\cdot2}=\frac{12\cdot11}{2}=66\) होता है। पहले (10!) काटने से गणना छोटी होती है। / \(\frac{12!}{10!\cdot2}=\frac{12\cdot11}{2}=66\). Canceling (10!) first shortens the calculation.
\((n+3)!=(n+3)(n+2)!\) का उपयोग करें। अतः अंश \((n+3)(n+2)!-(n+2)!=[(n+3)-1](n+2)!=(n+2)(n+2)!\) होगा। अब \((n+2)!\) से भाग देने पर परिणाम \(n+2\) मिलता है। \(n+3\) चुनना गलत है, क्योंकि दूसरे पद \((n+2)!\) को घटाने पर गुणांक में 1 कम हो जाता है। परीक्षा टिप: अलग-अलग फैक्टोरियल वाले पदों में छोटे फैक्टोरियल को common लें। / Use \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\). The numerator becomes \((n+3)(n+2)!-(n+2)!=[(n+3)-1](n+2)!=(n+2)(n+2)!\). Dividing by \((n+2)!\) gives \(n+2\). Choosing \(n+3\) would ignore the subtraction of the second factorial term. Exam tip: when factorial terms differ by one factor, factor out the smaller factorial.
(n!) का अर्थ (1) से (n) तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल है। परिभाषा स्पष्ट हो तो सरलीकरण आसान होता है। / (n!) means the product of all natural numbers from (1) to (n). A clear definition makes simplification easier.
क्योंकि \(5040=7!\), अतः \(a=7\)। इसलिए \((a-4)!=(7-4)!=3!=6\)। विकल्प 24, अर्थात \(4!\), तब मिलता यदि \((a-4)!\) में \(a-4\) को गलती से 4 मान लिया जाए। परीक्षा टिप: पहले दिए गए फैक्टोरियल से चर का मान ज्ञात करें, फिर शेष व्यंजक में उसे प्रतिस्थापित करें। / Since \(5040=7!\), we get \(a=7\). Therefore, \((a-4)!=(7-4)!=3!=6\). The option 24, which is \(4!\), may result from incorrectly taking \(a-4\) as 4. Exam tip: first determine the variable from the given factorial, then substitute it into the required expression.
\(\frac{16!}{14!}=16\cdot15=240\) और \(\frac{5!}{4!}=5\), इसलिए योग (245) है। अनुपातों को अलग-अलग सरल करें। / \(\frac{16!}{14!}=16\cdot15=240\) and \(\frac{5!}{4!}=5\), so the sum is (245). Simplify the ratios separately.
क्योंकि \((n+1)!=(n+1)\,n\,(n-1)(n-2)!\), इसलिए \((n-2)!\) से भाग देने पर \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n+1)n(n-1)\) प्राप्त होता है। विकल्प A में \((n-1)\) गुणनखंड छूट गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में अंश को हर के फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पद काटें। / Since \((n+1)!=(n+1)\,n\,(n-1)(n-2)!\), dividing by \((n-2)!\) gives \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n+1)n(n-1)\). Option A misses the factor \((n-1)\). Exam tip: In factorial division, expand the numerator only up to the factorial in the denominator and then cancel common factors.
\(8!-7!=8\cdot7!-7!=7\cdot7!\), इसलिए मान (7) है। घटाव में सामान्य फैक्टोरियल निकालें। / \(8!-7!=8\cdot7!-7!=7\cdot7!\), so the value is (7). Take the common factorial in subtraction.
\(\frac{13!}{11!}=13\cdot12\) होता है। हर में मौजूद फैक्टोरियल तक अंश को विस्तार दें। / \(\frac{13!}{11!}=13\cdot12\). Expand the numerator only up to the factorial in the denominator.
ऊपर (24+6=30) और नीचे (6+2=8) नहीं, बल्कि (3!+2!=6+2=8), इसलिए मान \(\frac{15}{4}\) है। विकल्पों में सही मान नहीं हो तो पहले पुनर्गणना जरूरी है। / The numerator is (24+6=30) and denominator is (6+2=8), so the value is \(\frac{15}{4}\). If options do not match, recalculation is necessary first.
पहला पद (n+2) और दूसरा (n+1) है, इसलिए योग (2n+3) है। प्रत्येक भिन्न को अलग सरल करें। / The first term is (n+2) and the second is (n+1), so the sum is (2n+3). Simplify each fraction separately.
\(7!=7\cdot6\cdot5\cdot4!\) लिखने पर \(\frac{7!}{4!}=\frac{7\cdot6\cdot5\cdot4!}{4!}=7\cdot6\cdot5\) मिलता है। विकल्प B में \(4\) अतिरिक्त है, क्योंकि \(4!\) हर में कट चुका है। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{r!}\) में, जब \(n>r\), तब \(n\) से \(r+1\) तक के गुणनखंड लिखें। / Write \(7!=7\cdot6\cdot5\cdot4!\). Therefore, \(\frac{7!}{4!}=\frac{7\cdot6\cdot5\cdot4!}{4!}=7\cdot6\cdot5\). Option B incorrectly includes an extra \(4\), since \(4!\) has already been cancelled from the denominator. Exam tip: for \(\frac{n!}{r!}\), where \(n>r\), write the factors from \(n\) down to \(r+1\).
\(n!\) को काटने पर \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\) मिलता है। अतः \((n+2)(n+1)=56\)। 56 के क्रमागत गुणनखंड \(7\) और \(8\) हैं, इसलिए \(n+1=7\) तथा \(n=6\)। \(n=-9\) बीजीय मूल हो सकता है, लेकिन ऋणात्मक पूर्णांक के लिए फैक्टोरियल परिभाषित नहीं होता। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के ऐसे भिन्न में पहले छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके उसे काटें। / Cancelling \(n!\) gives \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\). Hence, \((n+2)(n+1)=56\). The consecutive factors of 56 are \(7\) and \(8\), so \(n+1=7\) and \(n=6\). Although \(n=-9\) is an algebraic root, factorials are not defined for negative integers. Exam tip: In such factorial fractions, expand up to the smaller factorial and cancel first.
\(\frac{9!}{6!\cdot3!}=\frac{9\cdot8\cdot7}{6}=84\) होता है। पहले (6!) काटने से हल छोटा होता है। / \(\frac{9!}{6!\cdot3!}=\frac{9\cdot8\cdot7}{6}=84\). Canceling (6!) first makes the solution shorter.
\(\frac{6!}{4!}=30\) और (2!=2), इसलिए मान (28) है। भाग और घटाव का क्रम ध्यान रखें। / \(\frac{6!}{4!}=30\) and (2!=2), so the value is (28). Keep the order of division and subtraction in mind.
क्योंकि \((n+1)!=(n+1)\,n\,(n-1)!\), अतः \((n-1)!\) से भाग देने पर \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\) मिलता है। विकल्प D में \(n\) गुणनखंड छूट जाता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान गुणनखंड काटें। / Since \((n+1)!=(n+1)\,n\,(n-1)!\), dividing by \((n-1)!\) gives \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\). In option D, the factor \(n\) is missing. Exam tip: In a factorial fraction, expand the larger factorial up to the smaller factorial and then cancel common factors.
क्योंकि \(5!=5\cdot4!\), इसलिए \(\frac{4!\cdot5}{5!}=1\)। फैक्टोरियल को निकट छोटे फैक्टोरियल से लिखें। / Since \(5!=5\cdot4!\), \(\frac{4!\cdot5}{5!}=1\). Write a factorial using the nearest smaller factorial.
\(3!=3\times2\times1=6\) तथा \(4!=4\times3\times2\times1=24\)। अतः \(3!\cdot4!=6\times24=144\)। 120, \(5!\) का मान है, इसलिए वह इस गुणनफल के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक फैक्टोरियल का मान निकालकर फिर गुणा करें। / \(3!=3\times2\times1=6\) and \(4!=4\times3\times2\times1=24\). Therefore, \(3!\cdot4!=6\times24=144\). Note that 120 is the value of \(5!\), so it is not the required product. Exam tip: evaluate each factorial first, then multiply the results.
\(8! = 8\cdot7\cdot6\cdot5!\) और \(3!=6\) होता है। अतः \(\frac{8!}{5!\cdot3!}=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5!}{5!\cdot6}=8\cdot7=56\)। इसलिए सही उत्तर 56 है। 48 प्राप्त करना सामान्यतः \(3!\) से सही ढंग से भाग न देने के कारण होता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्न में पहले समान फैक्टोरियल को काटकर शेष गुणनफल लिखें। / Since \(8! = 8\cdot7\cdot6\cdot5!\) and \(3!=6\), \(\frac{8!}{5!\cdot3!}=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5!}{5!\cdot6}=8\cdot7=56\). Therefore, 56 is correct. The value 48 can result from not dividing correctly by \(3!\). Exam tip: In factorial fractions, cancel the common factorial first and then multiply the remaining factors.
क्योंकि 120 = 5!, इसलिए n = 5 होगा। अतः (n-2)! = (5-2)! = 3! = 3 × 2 × 1 = 6। विकल्प 24, 4! का मान है; यह तब मिलता जब n-1! पूछा जाता। परीक्षा टिप: पहले दिए गए फैक्टोरियल से n ज्ञात करें, फिर मांगी गई फैक्टोरियल अभिव्यक्ति में उसका मान रखें। / Since 120 = 5!, we get n = 5. Therefore, (n-2)! = (5-2)! = 3! = 3 × 2 × 1 = 6. The value 24 is 4!, which would arise if (n-1)! were asked. Exam tip: First identify n from the given factorial, then substitute it into the required factorial expression.
\(7!=7\times6\times5\times4!\) है। अतः \(\frac{7!}{3!\cdot4!}=\frac{7\times6\times5}{3!}=\frac{7\times6\times5}{6}=35\)। इसलिए सही विकल्प 35 है। 42 प्राप्त करना एक सामान्य गलती है, जो \(3!=6\) से सही भाग न देने पर हो सकती है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्न में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटें, फिर शेष गुणन करें। / Since \(7!=7\times6\times5\times4!\), \(\frac{7!}{3!\cdot4!}=\frac{7\times6\times5}{3!}=\frac{7\times6\times5}{6}=35\). Therefore, 35 is the correct option. Getting 42 is a common error caused by not dividing correctly by \(3!=6\). Exam tip: In factorial fractions, cancel common factorial terms first and then multiply the remaining factors.
यहाँ \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\) तथा \(2!=2\) है। अतः \(\frac{5!}{2!}=\frac{120}{2}=60\)। साथ ही \(1!=1\), इसलिए \(\frac{5!}{2!}+1!=60+1=61\)। विकल्प 60 में \(1!\) को जोड़ना छूट जाता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में पहले प्रत्येक फैक्टोरियल का मान निकालकर फिर संक्रियाएँ करें। / Here, \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\) and \(2!=2\). Therefore, \(\frac{5!}{2!}=\frac{120}{2}=60\). Also, \(1!=1\), so \(\frac{5!}{2!}+1!=60+1=61\). Option 60 results from forgetting to add \(1!\). Exam tip: Evaluate each factorial first, then perform the remaining operations.
पहला पद (n+2) और दूसरा (n) है, इसलिए अंतर (2) है। अलग-अलग सरलीकरण करने से गलती कम होती है। / The first term is (n+2) and the second is (n), so the difference is (2). Simplifying separately reduces mistakes.
फैक्टोरियल गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए परिभाषित होता है, इसलिए \(n-3\ge0\)। दिए विकल्पों में (n=3) सही है। / Factorial is defined for non-negative integers, so \(n-3\ge0\). Among the given options, (n=3) is correct.
\(\frac{9!}{8!}=9\) और \(\frac{6!}{5!}=6\), इसलिए योग (15) है। सरल अनुपातों को तुरंत घटाएं। / \(\frac{9!}{8!}=9\) and \(\frac{6!}{5!}=6\), so the sum is (15). Reduce simple ratios quickly.
\(2!\cdot3!=2\cdot6=12\) और \(4!=24\), इसलिए कुल (36) है। गुणा को जोड़ से पहले करें। / \(2!\cdot3!=2\cdot6=12\) and \(4!=24\), so the total is (36). Do multiplication before addition.
फैक्टोरियल के अनुसार \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n!\)। अतः \(n!\) से भाग देने पर \(n!\) कट जाता है और \((n+3)(n+2)(n+1)\) प्राप्त होता है। विकल्प A में \((n+1)\) गुणनखंड छूट गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में ऊपर वाले फैक्टोरियल को नीचे वाले फैक्टोरियल तक लिखकर समान पदों को काटें। / Using factorial notation, \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n!\). Dividing by \(n!\) cancels \(n!\), leaving \((n+3)(n+2)(n+1)\). Option A misses the factor \((n+1)\). Exam tip: In a factorial quotient, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and then cancel common factors.
\(\frac{10!}{7!\cdot3!}=\frac{10\cdot9\cdot8}{6}=120\) होता है। बड़े फैक्टोरियल को तीन पदों तक घटाएं। / \(\frac{10!}{7!\cdot3!}=\frac{10\cdot9\cdot8}{6}=120\). Reduce the large factorial to three factors.
\(6!-5!=6\cdot5!-5!=5\cdot5!\), और \(\frac{5\cdot5!}{4!}=25\)। पहले सामान्य फैक्टोरियल निकालें। / \(6!-5!=6\cdot5!-5!=5\cdot5!\), and \(\frac{5\cdot5!}{4!}=25\). Take the common factorial first.
क्योंकि \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), इसलिए अंश \((n+2)(n+1)!+(n+1)!\) होगा। \((n+1)!\) को उभयनिष्ठ लेने पर यह \([(n+2)+1](n+1)!=(n+3)(n+1)!\) बनता है। अब \((n+1)!\) से भाग देने पर उत्तर \(n+3\) मिलता है। \(n+2\) विकल्प में दूसरे पद \((n+1)!\) का योगदान छूट जाता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में छोटे फैक्टोरियल को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में लें। / Since \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), the numerator becomes \((n+2)(n+1)!+(n+1)!\). Taking \((n+1)!\) common gives \([(n+2)+1](n+1)!=(n+3)(n+1)!\). Dividing by \((n+1)!\) gives \(n+3\). Option \(n+2\) misses the contribution of the second term, \((n+1)!\). Exam tip: in factorial expressions, factor out the smaller factorial first.
\(\frac{12!}{9!}=12\cdot11\cdot10\), इसलिए तीन गुणनखंड बचते हैं। हर के फैक्टोरियल तक अंश को काटें। / \(\frac{12!}{9!}=12\cdot11\cdot10\), so three factors remain. Cancel the numerator up to the denominator factorial.
यहाँ दिए गए व्यंजक में आशय \(r! = 24\) है। क्योंकि \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\), अतः \(r=4\)। इसलिए \((r+1)! = 5! = 5 \times 4! = 5 \times 24 = 120\)। \(720\), \(6!\) का मान है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \((n+1)!=(n+1)\,n!\) का उपयोग करके ऐसे प्रश्न जल्दी हल करें। / The intended meaning of the given expression is \(r! = 24\). Since \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\), we get \(r=4\). Therefore, \((r+1)! = 5! = 5 \times 4! = 5 \times 24 = 120\). The value \(720\) is \(6!\), so it is not correct. Exam tip: Use \((n+1)!=(n+1)\,n!\) to solve such questions quickly.
फैक्टोरियल के गुण के अनुसार \((n+1)!=(n+1)\times n!\)। अतः अंश और हर समान हैं, इसलिए \(\frac{(n+1)!}{(n+1)n!}=1\)। \(n+1\) उत्तर नहीं है, क्योंकि वह विस्तार करने पर अंश का केवल एक गुणनखंड है; \(n!\) भी हर में उपस्थित है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाली भिन्नों में पहले बड़े फैक्टोरियल को \(n!\) के रूप में विस्तार करके काटें। / Using the factorial identity, \((n+1)!=(n+1)\times n!\). Therefore, the numerator and denominator are equal, so \(\frac{(n+1)!}{(n+1)n!}=1\). \(n+1\) is not the answer because it is only one factor in the expanded numerator; \(n!\) is also present in the denominator. Exam tip: In factorial fractions, first expand the larger factorial in terms of the smaller one and then cancel common factors.
