क्रमचय का सूत्र
\({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\) है। अतः \({}^{12}P_0=1\) तथा \({}^{12}P_1=12\)। इसलिए \({}^{12}P_0+{}^{12}P_1=1+12=13\)। विकल्प 12 केवल \({}^{12}P_1\) का मान है, योग का नहीं। परीक्षा में याद रखें कि किसी भी \(n\) के लिए \({}^{n}P_0=1\) होता है। / Using the permutation formula \({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\), we get \({}^{12}P_0=1\) and \({}^{12}P_1=12\). Hence, \({}^{12}P_0+{}^{12}P_1=1+12=13\). Option 12 is only the value of \({}^{12}P_1\), not the required sum. Exam tip: always remember that \({}^{n}P_0=1\) for every \(n\).
क्रमचय का सूत्र
\({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\) है। अतः \({}^{5}P_0=\frac{5!}{5!}=1\) और \({}^{5}P_2=\frac{5!}{3!}=5\times4=20\)। इसलिए \({}^{5}P_0+{}^{5}P_2=1+20=21\)। विकल्प 20 केवल \({}^{5}P_2\) का मान है, योग का नहीं। परीक्षा टिप: \({}^{n}P_0\) का मान हमेशा 1 होता है। / Using the permutation formula, \({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\). Thus, \({}^{5}P_0=\frac{5!}{5!}=1\) and \({}^{5}P_2=\frac{5!}{3!}=5\times4=20\). Therefore, \({}^{5}P_0+{}^{5}P_2=1+20=21\). Option 20 is only the value of \({}^{5}P_2\), not the required sum. Exam tip: \({}^{n}P_0\) is always 1.
\((n+4)!=(n+4)(n+3)!\) लिखने पर अंश \((n+3)![(n+4)+1]=(n+3)!(n+5)\) बनता है। अतः दिया गया व्यंजक \((n+3)(n+5)=120\) होगा। \(n=7\) रखने पर \(10\times12=120\), इसलिए सही मान \(7\) है। उदाहरण के लिए, \(n=6\) पर गुणनफल \(9\times11=99\) आता है, 120 नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्न में पहले समान फैक्टोरियल पद को बाहर निकालकर सरल कीजिए। / Using \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\), the numerator becomes \((n+3)![(n+4)+1]=(n+3)!(n+5)\). Thus, the expression simplifies to \((n+3)(n+5)=120\). For \(n=7\), this gives \(10\times12=120\), so the correct value is \(7\). For instance, \(n=6\) gives \(9\times11=99\), not 120. Exam tip: In factorial fractions, first factor out the common factorial term before simplifying.
क्योंकि \(n!=n\times(n-1)!\), इसलिए \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\) (जहाँ \(n\geq1\))। अतः दिया गया समीकरण \(n+2=9\) होगा, जिससे \(n=7\) प्राप्त होता है। \(8\) निकटतम विकल्प हो सकता है, पर उसके लिए बायाँ पक्ष \(8+2=10\) होता है, 9 नहीं। परीक्षा टिप: लगातार फैक्टोरियल वाले भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के पदों में लिखकर पहले सरल करें। / Since \(n!=n\times(n-1)!\), we get \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\) (for \(n\geq1\)). Thus, the given equation becomes \(n+2=9\), which gives \(n=7\). Option \(8\) is a close distractor, but it makes the left-hand side \(8+2=10\), not 9. Exam tip: In a fraction involving consecutive factorials, expand the larger factorial in terms of the smaller one before simplifying.
