क्रमचय का गुणनफल रूप \({}^{n}P_r=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)\) होता है। अतः अंतिम factor \(n-r+1\) होगा। \(r=6\) रखने पर \(n-6+1=n-5\) मिलता है, इसलिए विकल्प A सही है। \(n-6\) लिखने पर अंतिम पद में आवश्यक \(+1\) छूट जाता है। परीक्षा टिप: factors की संख्या \(r\) होनी चाहिए; यहाँ \(n\) से \(n-5\) तक कुल 6 factors हैं। / The product form of a permutation is \({}^{n}P_r=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)\). Hence, its last factor is \(n-r+1\). On putting \(r=6\), we get \(n-6+1=n-5\), so option A is correct. \(n-6\) misses the required \(+1\). Exam tip: the product must contain exactly \(r\) factors; from \(n\) to \(n-5\), there are 6 factors.
क्रमचय का गुणनफल रूप \(^{n}P_r=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)\) होता है। इसलिए अंतिम गुणनखंड \(n-r+1\) है। \(r=5\) रखने पर यह \(n-5+1=n-4\) मिलता है। \(n-5\) लिखना निकटतम गलती है, क्योंकि अंतिम पद में \(+1\) अवश्य शामिल होता है। परीक्षा टिप: product form लिखते समय कुल \(r\) factors गिनकर अंतिम factor जाँचें। / The product form of a permutation is \(^{n}P_r=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)\). Hence, the last factor is \(n-r+1\). Substituting \(r=5\) gives \(n-5+1=n-4\). \(n-5\) is a common near-miss because the \(+1\) in the last factor is omitted. Exam tip: count the \(r\) factors in the product form to verify the final factor.
क्रमचय में \(^{n}P_r=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)\) होता है, इसलिए अंतिम गुणनखंड \(n-r+1\) है। यहाँ \(10-4+1=7\), अतः सही उत्तर 7 है। 6 प्राप्त होता यदि \(+1\) छोड़ दिया जाए। परीक्षा टिप: अंतिम गुणनखंड निकालते समय \(n-r+1\) को सीधे लिखकर मान रखें। / In permutations, \(^{n}P_r=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)\), so the last factor is \(n-r+1\). Here, \(10-4+1=7\), so the correct answer is 7. The value 6 would result from incorrectly omitting \(+1\). Exam tip: write \(n-r+1\) first and then substitute the values.
यह क्रमचय का प्रश्न है, क्योंकि चुने गए 3 चार्टों का क्रम बदलने पर व्यवस्था बदल जाती है। अतः व्यवस्थाओं की संख्या \({}^{11}P_{3}=11\times10\times9=990\) होगी। विकल्प 165 केवल \({}^{11}C_{3}\) है, जो क्रम को नहीं मानता। परीक्षा टिप: जब “क्रम से” या “व्यवस्थित करना” दिया हो, तो सामान्यतः क्रमचय प्रयोग करें। / This is a permutation question because changing the order of the selected 3 charts gives a different arrangement. Therefore, the number of arrangements is \({}^{11}P_{3}=11\times10\times9=990\). Option 165 is \({}^{11}C_{3}\), which counts selections without considering order. Exam tip: Words such as “arrange” or “in order” usually indicate permutations.
क्रमचय का सूत्र
\({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\) है। अतः \({}^{12}P_0=1\) तथा \({}^{12}P_1=12\)। इसलिए \({}^{12}P_0+{}^{12}P_1=1+12=13\)। विकल्प 12 केवल \({}^{12}P_1\) का मान है, योग का नहीं। परीक्षा में याद रखें कि किसी भी \(n\) के लिए \({}^{n}P_0=1\) होता है। / Using the permutation formula \({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\), we get \({}^{12}P_0=1\) and \({}^{12}P_1=12\). Hence, \({}^{12}P_0+{}^{12}P_1=1+12=13\). Option 12 is only the value of \({}^{12}P_1\), not the required sum. Exam tip: always remember that \({}^{n}P_0=1\) for every \(n\).
क्रमचय का सूत्र
\({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\) है। अतः \({}^{5}P_0=\frac{5!}{5!}=1\) और \({}^{5}P_2=\frac{5!}{3!}=5\times4=20\)। इसलिए \({}^{5}P_0+{}^{5}P_2=1+20=21\)। विकल्प 20 केवल \({}^{5}P_2\) का मान है, योग का नहीं। परीक्षा टिप: \({}^{n}P_0\) का मान हमेशा 1 होता है। / Using the permutation formula, \({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\). Thus, \({}^{5}P_0=\frac{5!}{5!}=1\) and \({}^{5}P_2=\frac{5!}{3!}=5\times4=20\). Therefore, \({}^{5}P_0+{}^{5}P_2=1+20=21\). Option 20 is only the value of \({}^{5}P_2\), not the required sum. Exam tip: \({}^{n}P_0\) is always 1.
क्रमचय का सूत्र \,\({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\) है। अतः \,\({}^{15}P_0=\frac{15!}{15!}=1\)। शून्य वस्तुओं को चुनकर व्यवस्थित करने का केवल एक तरीका होता है—कुछ भी न चुनना। विकल्प 0 गलत है, क्योंकि यह चयन के तरीकों की संख्या नहीं बल्कि चुनी गई वस्तुओं की संख्या दर्शाता है। परीक्षा टिप: जब \,\(r=0\) हो, तो हमेशा \,\({}^{n}P_0=1\) होता है। / Using the permutation formula, \({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\). Therefore, \({}^{15}P_0=\frac{15!}{15!}=1\). There is exactly one way to select and arrange zero objects: choose nothing. Option 0 is incorrect because it represents the number of objects selected, not the number of possible arrangements. Exam tip: whenever \(r=0\), \({}^{n}P_0=1\).
क्रमचय के सूत्र \({}^nP_r=\frac{n!}{(n-r)!}\) से \({}^4P_0=1\) तथा \({}^4P_1=4\) प्राप्त होता है। अतः \({}^4P_0+{}^4P_1=1+4=5\), इसलिए विकल्प D सही है। विकल्प A केवल \({}^4P_1\) का मान है। परीक्षा टिप: किसी भी \({}^nP_0\) का मान हमेशा 1 होता है। / Using the permutation formula \({}^nP_r=\frac{n!}{(n-r)!}\), we get \({}^4P_0=1\) and \({}^4P_1=4\). Therefore, \({}^4P_0+{}^4P_1=1+4=5\), so option D is correct. Option A is only the value of \({}^4P_1\). Exam tip: \({}^nP_0\) is always equal to 1.
क्रमचय का सूत्र \,\({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\) है। अतः \,\({}^{7}P_0=\frac{7!}{(7-0)!}=\frac{7!}{7!}=1\)। शून्य वस्तुओं को व्यवस्थित करने का ठीक एक तरीका होता है—कुछ भी न चुनना। विकल्प 0 यह भ्रम दर्शाता है कि शून्य वस्तुएँ हैं, जबकि यहाँ व्यवस्थाओं की संख्या पूछी गई है। परीक्षा टिप: \,\({}^{n}P_0\) और \,\({}^{n}C_0\) दोनों का मान हमेशा 1 होता है। / Using the permutation formula \({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\), we get \({}^{7}P_0=\frac{7!}{(7-0)!}=\frac{7!}{7!}=1\). There is exactly one arrangement of zero objects: choosing nothing. Option 0 confuses the number of objects with the number of possible arrangements. Exam tip: both \({}^{n}P_0\) and \({}^{n}C_0\) always equal 1.
क्रमचय का सूत्र \({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\) है। अतः \({}^{4}P_4=\frac{4!}{(4-4)!}=\frac{24}{0!}=24\), क्योंकि \(0!=1\)। इसलिए 24 सही उत्तर है। 16 जैसे विकल्प क्रमचय सूत्र के सही प्रयोग से नहीं मिलता। परीक्षा टिप: जब \(r=n\) हो, तो सीधे \({}^{n}P_n=n!\) लिखें। / The permutation formula is \({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\). Thus, \({}^{4}P_4=\frac{4!}{(4-4)!}=\frac{24}{0!}=24\), since \(0!=1\). Therefore, 24 is the correct answer. A value such as 16 does not result from applying the permutation formula correctly. Exam tip: when \(r=n\), use \({}^{n}P_n=n!\) directly.
क्रमचय का सूत्र \,\({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\)\, है। अतः \,\({}^{8}P_0=\frac{8!}{(8-0)!}=\frac{8!}{8!}=1\)। शून्य वस्तुओं को चुनकर व्यवस्थित करने का केवल एक तरीका माना जाता है—कोई वस्तु न चुनना। विकल्प 0 वस्तुओं की संख्या है, क्रमचयों की संख्या नहीं। परीक्षा टिप: \,\({}^{n}P_0=1\)\, और \,\({}^{n}P_n=n!\)\, को सीधे याद रखें। / The permutation formula is \({}^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\). Therefore, \({}^{8}P_0=\frac{8!}{(8-0)!}=\frac{8!}{8!}=1\). There is exactly one way to arrange zero selected objects: choose nothing. Option 0 represents the number of objects selected, not the number of permutations. Exam tip: remember directly that \({}^{n}P_0=1\) and \({}^{n}P_n=n!\).
4 लोगों में से 3 को पंक्ति में खड़ा करने में क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए क्रमचय लगेगा: \({}^{4}P_{3}=\frac{4!}{(4-3)!}=4\times3\times2=24\)। अतः सही उत्तर 24 है। 16 केवल चयन और व्यवस्था की सही गणना नहीं दर्शाता। परीक्षा टिप: जब ‘पंक्ति में’ या ‘क्रम’ दिया हो, तो सामान्यतः क्रमचय का प्रयोग करें। / The order matters when 3 people are placed in a row, so we use permutations: \({}^{4}P_{3}=\frac{4!}{(4-3)!}=4\times3\times2=24\). Hence, the correct answer is 24. The value 16 does not represent the correct selection-and-arrangement count. Exam tip: Words such as “in a row” or “arrange” usually indicate a permutation.
क्रमचय का सूत्र
\(^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\) है। अतः \(^{10}P_1=\frac{10!}{9!}=10\)। इसलिए सही विकल्प 10 है। 100, \(10\times10\) हो सकता है, लेकिन एक वस्तु चुनकर व्यवस्थित करने के लिए केवल 10 विकल्प होते हैं। परीक्षा-युक्ति: \(^{n}P_1=n\) सीधे याद रखें। / The permutation formula is \(^{n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}\). Therefore, \(^{10}P_1=\frac{10!}{9!}=10\). Hence, 10 is the correct option. Although 100 is \(10\times10\), arranging just one item gives only 10 possible choices. Exam tip: remember directly that \(^{n}P_1=n\).
