फैक्टोरियल के गुण के अनुसार \((n+1)!=(n+1)\times n!\)। अतः अंश और हर समान हैं, इसलिए \(\frac{(n+1)!}{(n+1)n!}=1\)। \(n+1\) उत्तर नहीं है, क्योंकि वह विस्तार करने पर अंश का केवल एक गुणनखंड है; \(n!\) भी हर में उपस्थित है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाली भिन्नों में पहले बड़े फैक्टोरियल को \(n!\) के रूप में विस्तार करके काटें। / Using the factorial identity, \((n+1)!=(n+1)\times n!\). Therefore, the numerator and denominator are equal, so \(\frac{(n+1)!}{(n+1)n!}=1\). \(n+1\) is not the answer because it is only one factor in the expanded numerator; \(n!\) is also present in the denominator. Exam tip: In factorial fractions, first expand the larger factorial in terms of the smaller one and then cancel common factors.
परिभाषा के अनुसार \(n!=n\times(n-1)!\)। अतः विकल्प A सही है। \((n+1)(n-1)!\) में \(n\) के स्थान पर \(n+1\) गुणक है। परीक्षा में फैक्टोरियल को एक पद पीछे तक फैलाकर जाँचें। / By definition, \(n!=n\times(n-1)!\), so option A is correct. In \((n+1)(n-1)!\), the required factor \(n\) is replaced by \(n+1\). Exam tip: expand a factorial by one term to verify such identities.
फैक्टोरियल की परिभाषा के अनुसार \(15!=15\times14\times13\times\cdots\times1\) और \(14!=14\times13\times\cdots\times1\) है। इसलिए \(15!=15\times14!\)। विकल्प C में \(15!\) स्वयं उपस्थित है, इसलिए वह \(14!\) के माध्यम से सही रूप नहीं देता। परीक्षा टिप: सामान्य नियम \(n!=n(n-1)!\) याद रखें। / By the definition of factorial, \(15!=15\times14\times13\times\cdots\times1\), while \(14!=14\times13\times\cdots\times1\). Hence, \(15!=15\times14!\). Option C still contains \(15!\) itself, so it does not correctly express it in terms of \(14!\). Exam tip: remember the general identity \(n!=n(n-1)!\).
क्रमगुणित की परिभाषा के अनुसार \(n!=n\times(n-1)!\)। अतः \(14!=14\times13!\), इसलिए सही उत्तर \(14!\) है। \(15!\) के लिए \(15\times14!\) होना चाहिए, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी संख्या के ठीक पहले वाले क्रमगुणित से गुणा करने पर उसी संख्या का क्रमगुणित प्राप्त होता है। / By the factorial definition, \(n!=n\times(n-1)!\). Therefore, \(14!=14\times13!\), so the correct answer is \(14!\). The expression \(15!\) would require \(15\times14!\), so it is not correct. Exam tip: multiplying a factorial by its next integer gives the factorial of that integer.
क्रमगुणित की परिभाषा के अनुसार \(n!=n\times(n-1)!\)। अतः \(9!=9\times8!\), इसलिए सही विकल्प \(9!\) है। \(10!\) के लिए \(10\times9!\) चाहिए, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(n!\) को तुरंत \(n\times(n-1)!\) के रूप में लिखकर ऐसे प्रश्न हल करें। / By the factorial identity, \(n!=n\times(n-1)!\). Hence, \(9!=9\times8!\), so \(9!\) is the correct option. \(10!\) would require \(10\times9!\), so it is not correct. Exam tip: Rewrite \(n!\) as \(n\times(n-1)!\) to solve such questions quickly.
फैक्टोरियल की परिभाषा के अनुसार \(8!=8\times 7\times 6\times\cdots\times 1\) होता है। चूँकि \(7!=7\times 6\times\cdots\times 1\), इसलिए \(8!=8\times 7!\)। विकल्प \(8\times 6!\) में 7 का गुणन नहीं है, इसलिए वह \(8!\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: \(n!=n\times (n-1)!\) पहचान का प्रयोग करें। / By the definition of factorial, \(8!=8\times 7\times 6\times\cdots\times 1\). Since \(7!=7\times 6\times\cdots\times 1\), we get \(8!=8\times 7!\). The expression \(8\times 6!\) misses the factor 7, so it is not equal to \(8!\). Exam tip: use the identity \(n!=n\times (n-1)!\).
