क्योंकि \((n+1)!=(n+1)\,n\,(n-1)(n-2)!\), इसलिए \((n-2)!\) से भाग देने पर \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n+1)n(n-1)\) प्राप्त होता है। विकल्प A में \((n-1)\) गुणनखंड छूट गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में अंश को हर के फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पद काटें। / Since \((n+1)!=(n+1)\,n\,(n-1)(n-2)!\), dividing by \((n-2)!\) gives \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n+1)n(n-1)\). Option A misses the factor \((n-1)\). Exam tip: In factorial division, expand the numerator only up to the factorial in the denominator and then cancel common factors.
फैक्टोरियल के अनुसार \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n!\)। अतः \(n!\) से भाग देने पर \(n!\) कट जाता है और \((n+3)(n+2)(n+1)\) प्राप्त होता है। विकल्प A में \((n+1)\) गुणनखंड छूट गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में ऊपर वाले फैक्टोरियल को नीचे वाले फैक्टोरियल तक लिखकर समान पदों को काटें। / Using factorial notation, \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n!\). Dividing by \(n!\) cancels \(n!\), leaving \((n+3)(n+2)(n+1)\). Option A misses the factor \((n+1)\). Exam tip: In a factorial quotient, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and then cancel common factors.
\(7!=7\cdot6\cdot5\cdot4!\) लिखने पर \(\frac{7!}{4!}=\frac{7\cdot6\cdot5\cdot4!}{4!}=7\cdot6\cdot5\) मिलता है। विकल्प B में \(4\) अतिरिक्त है, क्योंकि \(4!\) हर में कट चुका है। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{r!}\) में, जब \(n>r\), तब \(n\) से \(r+1\) तक के गुणनखंड लिखें। / Write \(7!=7\cdot6\cdot5\cdot4!\). Therefore, \(\frac{7!}{4!}=\frac{7\cdot6\cdot5\cdot4!}{4!}=7\cdot6\cdot5\). Option B incorrectly includes an extra \(4\), since \(4!\) has already been cancelled from the denominator. Exam tip: for \(\frac{n!}{r!}\), where \(n>r\), write the factors from \(n\) down to \(r+1\).
फैक्टोरियल की परिभाषा से \(8!=8\cdot7\cdot6\cdot5\cdots1\) तथा \(6!=6\cdot5\cdots1\) है। इसलिए \(8!=8\cdot7\cdot6!\), अतः विकल्प A सही है। \(8\cdot6!\) में गुणनखंड \(7\) छूट जाता है। परीक्षा टिप: \(n!\) को \((n-r)!\) के रूप में लिखते समय बीच के सभी गुणनखंडों को शामिल करें। / By the definition of factorial, \(8!=8\cdot7\cdot6\cdot5\cdots1\), while \(6!=6\cdot5\cdots1\). Hence, \(8!=8\cdot7\cdot6!\), so option A is correct. In \(8\cdot6!\), the factor \(7\) is missing. Exam tip: When expressing \(n!\) in terms of \((n-r)!\), include every intervening factor.
क्रमगुणित के अनुसार \(13!=13\times12\times11\times10\times\cdots\times1\)। यहाँ \(11!=11\times10\times\cdots\times1\) है, इसलिए \(13!=13\times12\times11!\)। विकल्प \(13\times11!\) में \(12\) का गुणनखंड छूट जाता है। परीक्षा टिप: बड़े क्रमगुणित को दिए गए छोटे क्रमगुणित तक क्रमशः विस्तार करें। / By the definition of factorial, \(13!=13\times12\times11\times10\times\cdots\times1\). Since \(11!=11\times10\times\cdots\times1\), we get \(13!=13\times12\times11!\). In \(13\times11!\), the factor \(12\) is missing. Exam tip: Expand the larger factorial only up to the given smaller factorial.
क्रमगुणित की परिभाषा से \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1\) तथा \(4!=4\times3\times2\times1\) है। इसलिए \(6!=6\times5\times4!\)। विकल्प \(6\times4!\) में गुणनखंड \(5\) छूट जाता है। परीक्षा टिप: \(n!\) को \((n-r)!\) की सहायता से लिखते समय बीच के सभी गुणनखंड लिखें। / By the definition of factorial, \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1\) and \(4!=4\times3\times2\times1\). Therefore, \(6!=6\times5\times4!\). In \(6\times4!\), the factor \(5\) is missing. Exam tip: When expressing \(n!\) in terms of \((n-r)!\), include every intervening factor.
क्रमगुणित की परिभाषा के अनुसार \(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1\)। चूँकि \(5!=5\times4\times3\times2\times1\), इसलिए \(7!=7\times6\times5!\)। विकल्प \(7\times5!\) में \(6\) का गुणन छूट जाता है। परीक्षा टिप: \(n!\) को \((n-r)!\) के रूप में लिखने के लिए बीच के सभी क्रमागत गुणकों को शामिल करें। / By definition, \(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1\). Since \(5!=5\times4\times3\times2\times1\), we get \(7!=7\times6\times5!\). In \(7\times5!\), the factor \(6\) is missing. Exam tip: When expressing \(n!\) in terms of \((n-r)!\), include every consecutive factor in between.
क्रमगुणित की परिभाषा के अनुसार \(5!=5\times4\times3\times2\times1\) और \(3!=3\times2\times1\) होता है। इसलिए \(5!=5\times4\times3!\)। विकल्प \(5\times3!\) में गुणनखंड \(4\) छूट जाता है। परीक्षा में बड़े क्रमगुणित को दिए गए छोटे क्रमगुणित तक फैलाकर लिखें। / By the definition of factorial, \(5!=5\times4\times3\times2\times1\), while \(3!=3\times2\times1\). Hence, \(5!=5\times4\times3!\). In \(5\times3!\), the factor \(4\) is missing. In exams, expand the larger factorial only up to the given smaller factorial.
क्रमगुणित के नियम के अनुसार \(10!=10\times9\times8!\), क्योंकि \(10!=10\times9\times8\times7\times\cdots\times1\) और \(8!=8\times7\times\cdots\times1\)। इसलिए सही विकल्प \(10\times9\times8!\) है। \(10\times8!\) में गुणनखंड \(9\) छूट जाता है। परीक्षा टिप: बड़े क्रमगुणित को छोटे क्रमगुणित तक क्रमशः घटते हुए संख्याओं से गुणा करके लिखें। / Using the factorial rule, \(10!=10\times9\times8!\), because \(10!=10\times9\times8\times7\times\cdots\times1\) and \(8!=8\times7\times\cdots\times1\). Therefore, \(10\times9\times8!\) is correct. In \(10\times8!\), the factor \(9\) is missing. Exam tip: To express a larger factorial using a smaller one, multiply by the consecutive descending integers up to that smaller factorial.
क्रमगुणित के अनुसार \(8!=8\times7\times6\times5!\) होता है। इसलिए दिया गया व्यंजक \(8!\) के बराबर है। \(7!\) में केवल \(7\times6\times5!\) होता है, इसलिए उसमें 8 का गुणनखंड नहीं होता। परीक्षा टिप: किसी क्रमगुणित को पहचानने के लिए लगातार घटते हुए गुणनखंडों को दिए गए अंतिम क्रमगुणित से मिलाइए। / By factorial expansion, \(8!=8\times7\times6\times5!\). Hence, the given expression equals \(8!\). In contrast, \(7!=7\times6\times5!\), so it does not include the factor 8. Exam tip: Match consecutive descending factors with the factorial at the end to identify the required factorial.
क्रमगुणित की परिभाषा के अनुसार \(8!=8\times7\times6!\) होता है। अतः सही विकल्प \(8\times7\times6!\) है। \(8\times6!\) में गुणक \(7\) छूट जाता है, इसलिए वह \(8!\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: \(n!\) को \((n-r)!\) के रूप में लिखते समय बीच के सभी क्रमागत गुणकों को शामिल करें। / By the definition of factorial, \(8!=8\times7\times6!\). Therefore, \(8\times7\times6!\) is correct. In \(8\times6!\), the factor \(7\) is missing, so it is not equal to \(8!\). Exam tip: When expressing \(n!\) in terms of \((n-r)!\), include every consecutive factor in between.
फैक्टोरियल में किसी धनात्मक पूर्णांक से 1 तक के सभी पूर्णांकों का क्रमिक गुणन किया जाता है। इसलिए \(4!=4\times3\times2\times1\), अतः विकल्प C सही है। विकल्प B में 4 का चार बार गुणन है, जो \(4^4\) है, फैक्टोरियल नहीं। परीक्षा टिप: \(n!\) में हमेशा \(n\) से 1 तक घटते क्रम में गुणा लिखें। / A factorial is the product of all positive integers from the given number down to 1. Therefore, \(4!=4\times3\times2\times1\), so option C is correct. Option B represents \(4^4\), not a factorial. Exam tip: Write \(n!\) as multiplication from \(n\) down to 1.
